数理逻辑三个逻辑

模态逻辑，或者叫(不很常见)内涵逻辑，是处理用模态如“可能”、“或许”、“可以”、“一定”、“必然”等限定的句子的逻辑。模态逻辑可以用语义的“内涵性”来描述其特征: 复杂公式的真值不能由子公式的真值来决定的。允许这种决定性的逻辑是“外延性的”，经典逻辑就是外延性的例子。模态算子不能使用外延语义来形式化: “乔治·布什是美国总统”和“2 + 2 = 4”是真的，但是“乔治·布什必然是美国总统”是假的，而“2 + 2 = 4 是必然的”是真的。

形式模态逻辑使用模态判决算子表示模态。基本的模态算子是和(有时分别使用“L”和“M”)。它们的意义依赖于特定的模态逻辑，但它们总是以相互定义的方式来定义。

研究必然、可能及其相关概念的逻辑性质。逻辑的一个分支模态逻辑所研究的命题"必然A"和"可能A"与通常命题演算中的命题不同。后者是真值函项，前者不是。因为，当A 真时，"必然A"既可以是真也可以是假；当A假时，"可能A"既可以是真也可以是假。模态命题演算是现代模态逻辑的基本内容之一。

模态逻辑，研究必然、可能及其相关概念的逻辑性质。逻辑的一个分支。模态逻辑所研究的命题“必然A”和“可能A”与通常命题演算中的命题不同。后者是真值函项，前者不是。因为，当A真时，“必然A”既可以是真也可以是假；当A假时，“可能A ”既可以是真也可以是假。模态命题演算是现代模态逻辑的基本内容之一。它是应用数理逻辑的方法研究模态命题逻辑的结果。

模态逻辑涉及到必然性和可能性概念。一阶模态逻辑语言L ML由一阶谓词演算Ｌ加上两个新的算子Ｌ(或□必然算子)和Ｍ(或◇可能算子)得到,更精确地说L ML由Ｌ加上下列子句组成：如果Ａ是Ｌ的wff(合式公式)，则ＬＡ和ＭＡ也是wff。他们的语义解释为若Ａ在某些可能世界中为真则Ｍ真,如果Ａ在每一个可能世界为真则ＬＡ为真。更精确形式定义为：

定义1一个模态框架(Model Frame)M是一个四元组＜W, D, R, F＞,其中

①W是一个(可能世界的) 非空集合；

②D是一个‘个体’非空域;

③R是W上的一个二元‘可达性’关系；

④F是一个映射，它赋给每一个由一个ｎ(ｎ≥0)元函数符号f和ｎ个W的元素w所组成的对（f，w），以一个D n到D的函数，以及赋给每一个由ｎ(n > 0)元关系符号r和ｎ个W的元素w的对(r, w)以2Dn一个元素。

模态逻辑包括模态命题和模态推理。

模态：modal ：形态、样式

模态，是指客观事物或人们的认识的存在和发展的样式、情状、趋势等。

语言中用来表达模态或模态概念的语词或符号称为模态词，如“必然”、“可能”，Necessity possibility

模态命题：广义地是指一切包含有模态词（可能、必然、允许、禁止等等）的命题。

狭义模态命题：包括“必然”、“可能”模态词的命题。

模态命题：

谁打了纳粹军官

第二次世界大战德国占领法国期间，在法国巴黎一家旅馆里，四个人同乘一部电梯。其中一位是穿军装的纳粹军官，一名是当地的法国人，他是地下抵抗组织的成员，第三位是个漂亮的少女，还有一位是老妇人，他们相互都不认识。突然，电源发生故障，电梯停住不动，电

灯也熄灭了，电梯内漆黑一团。这时传出一声接吻的声音，随后是拳打在脸上的声音。过了一会儿，电灯亮了，纳粹军官的一只眼睛下面出现了一块青紫的伤痕。

老妇人想：“真是活该！幸亏现在的姑娘们学会了如何保护自己。”

少女寻思：“奇怪！他没有吻我，一定是吻了这位老妇人或那位小伙子。”

纳粹军官也在纳闷：“怎么啦？我什么也没做，可能是这个法国男子想吻这位姑娘，她失手打着了我。”

只有那位法国男子对事情了解得一清二楚。你知道是怎么回事吗？

原来，这位聪明的法国小伙子先吻了一下自己的手，然后打了纳粹军官一拳。这里，我们感兴趣的是其中所出现的判断“一定是他吻了这位老妇人或那位小伙子”，“可能是这个法国男子想吻这位姑娘”。第一个判断是断定他吻了这位老妇人或那位小伙子的必然性，而第二个判断则断定这个法国男子想吻这位姑娘的可能性。这种断定事物可能性与必然性的判断就是模态命题。

以下命题都是狭义模态命题

（1）摩擦必然生热

（2）吸烟可能导致肺癌

（3）科学与技术一旦获得革命性进步，就会引起整个社会的变革，这是必然的。

模态命题：

事物的模态、客观的模态：客观事物确定存在的可能性和必然性，不依我们的认识为转移。认识的模态：由于人们在认识过程中，对事物情况的认识的不同程度而形成的，它是受到各种客观条件和主观条件制约的。

一、什么是模态推理

模态推理，简单理解就是包含模态判断的推理，或者说是由模态判断构成的推理。

案例分析

小王、小李、小张准备去爬山。天气预报说：今天可能下雨。围绕天气预报，三个人争论起来。

小王：今天可能下雨，那并不排斥今天也可能不下雨，我们还是去爬山吧。

小李：今天可能下雨，那就表明今天要下雨，我们还是不去爬山了吧。

小张：今天可能下雨，只是表明今天不下雨不具有必然性，去不去爬山由你们决定。

对天气预报的理解，三个人中：

A、小王和小张正确，小李不正确。

B、小王正确，小李和小张不正确。

C、小李正确，小王和小张不正确。

D、小张正确，小王和小李不正确。

E、小李和小张正确，小王不正确。

“今天可能下雨”和“今天可能不下雨”之间具有下反对关系，当其中一个为真时，另一个也可能为真，所以小王的理解是正确的。根据矛盾关系，从“今天可能下雨”推出“今天不必然不下雨”，所以，小张的理解是正确的。小李从可能性推出现实性，是不正确的。

时序逻辑

概念

由多个触发器和多个组合逻辑块组成的网络。常用的有：计数器、复杂的数据流动控制逻辑、运算控制逻辑、指令分析和操作控制逻辑。同步时序逻辑是设计复杂的数字逻辑系统的核心。时序逻辑借助于状态寄存器记住它目前所处的状态。在不同的状态下，即使所有的输入都相同，其输出也不一定相同。

时序逻辑也叫时态逻辑（temporal logic），是计算机科学里一个很专业很重要的领域。时序逻辑被用来描述为表现和推理关于时间限定的命题的规则和符号化的任何系统，主要用于形式验证。20世纪60年代Arthur Prior提出介入的基于模态逻辑的特殊的时间逻辑系统，这一理论后来被艾米尔伯努利等逻辑学家进一步发展。

时态逻辑(Temporal Logic)

时态逻辑, 在不同时间, 同一个语句可以有不同的真值。时态逻辑语言L T由通常逻辑语句加上时态算子F, P, G , H组成。其中

FA表示在将来(Future)某个时间A为真；

PA表示在过去(Past)某个时间A为真;

GA表示在所有将来时间A都为真;

HA表示在过去时间A总归为真。

定义2一个时态框架T由时间非空点集T,一个时间优先次序关系R以及一个函数h：T×L T 的原子集合→{0, 1}所组成。T= (T, R, h)。

函数h给每一个原子语句在全部时间点上赋予真假值。h在整个L T上的语义由下列方式规定：

⑴h(t, A ∧ B)=1当且仅当h(t, A)=1且h(t, B)=1

⑵h(t, ~A)=1当且仅当h(t, A)=0

⑶h(t, FA)=1当且仅当(?t')(R(t, t')&h(t', A)=1)

⑷h(t, PA)=1当且仅当(?t')(R(t', t)&h(t', A)=1)

其中R(t, t')表示按时间优先次序t优先于t’。由GA和HA的意义知

GA?~F~A

HA?~P~A

因此

h(t, GA)=1当且仅当(?t’)(R(t, t’)→h(t’, A)=1)

h(t,HA)=1当且仅当(?t’)(R(t’, t)→h(t’, A)=1)

如果一个语句在任何时间点都取值为1，我们称它在这样一个框架中为真，。

数理逻辑（用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科）

数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。它既是数学的一个分支，也是逻辑学的一个分支。是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是基础数学的一个不可缺少的组成部分。虽然名称中有逻辑两字，但并不属于单纯逻辑学范畴。

数理逻辑包括哪些内容呢？广义上，数理逻辑包括集合论、模型论、证明论、递归论。这里我们先介绍它的两个最基本的也是最重要的组成部分，就是“命题演算”和“谓词演算”。

命题演算是研究关于命题如何通过一些逻辑连接词构成更复杂的命题以及逻辑推理的方法。命题是指具有具体意义的又能判断它是真还是假的句子。

如果我们把命题看作运算的对象，如同代数中的数字、字母或代数式，而把逻辑连接词看作运算符号，就象代数中的“加、减、乘、除”那样，那么由简单命题组成复合命题的过程，就可以当作逻辑运算的过程，也就是命题的演算。

这样的逻辑运算也同代数运算一样具有一定的性质，满足一定的运算规律。例如满足交换律、结合律、分配律，同时也满足逻辑上的同一律、吸收律、双否定律、狄摩根定律、三段论定律等等。利用这些定律，我们可以进行逻辑推理，可以简化复和命题，可以推证两个复合命题是不是等价，也就是它们的真值表是不是完全相同等等。

命题演算的一个具体模型就是逻辑代数。逻辑代数也叫做开关代数，它的基本运算是逻辑加、逻辑乘和逻辑非，也就是命题演算中的“或”、“与”、“非”，运算对象只有两个数0和1，相当于命题演算中的“真”和“假”。

逻辑代数的运算特点如同电路分析中的开和关、高电位和低电位、导电和截止等现象完全一样，都只有两种不同的状态，因此，它在电路分析中得到广泛的应用。

利用电子元件可以组成相当于逻辑加、逻辑乘和逻辑非的门电路，就是逻辑元件。还能把简单的逻辑元件组成各种逻辑网络，这样任何复杂的逻辑关系都可以有逻辑元件经过适当的组合来实现，从而使电子元件具有逻辑判断的功能。因此，在自动控制方面有重要的应用。

谓词演算也叫做命题涵项演算。在谓词演算里，把命题的内部结构分析成具有主词和谓词的逻辑形式，由命题涵项、逻辑连接词和量词构成命题，然后研究这样的命题之间的逻辑推理关系。

命题涵项就是指除了含有常项以外还含有变项的逻辑公式。常项是指一些确定的对象或者确定的属性和关系；变项是指一定范围内的任何一个，这个范围叫做变项的变域。命题涵项和命题演算不同，它无所谓真和假。如果以一定的对象概念代替变项，那么命题涵项就成为真的或假的命题了。

命题涵项加上全称量词或者存在量词，那么它就成为全称命题或者特称命题了。