重庆八中学2022-2023学年数学九年级第一学期期末联考模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

请考生注意：

1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)

1．如图，点A 、B 、C 在O 上，∠A=72°，则∠OBC 的度数是（ ）

A ．12°

B ．15°

C ．18°

D ．20°

2．已知二次函数y=mx 2+x+m （m-2）的图像经过原点，则m 的值为（ ）

A ．0或2

B ．0

C ．2

D ．无法确定

3．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是（ ）

A ．15π

B ．20π

C ．24π

D ．30π 4．关于x 的一元二次方程2(2)210m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是（ ）

A ．3m ≤

B ．3m <

C ．3m <且2m ≠

D ．3m ≤且2m ≠

5．若点()()()2313,,1,,3,y y y --，在反比例函数()0k y k x =

<上，则123,,y y y 的大小关系是（ ） A ．312y y y << B ．321y y y << C ．123y y y <<

D ．213y y y << 6．一个不透明的袋子里装有两双只有颜色不同的手套，小明已经摸出一只手套，他再任意摸取一只，恰好两只手套凑成同一双的概率为( )

A ．14

B ．13

C ．12

D ．1

7．一元二次方程230x x -=的根为（ ）

A ．123,0x x ==

B ．3,3x x ==-

C ．3x =

D ．3x = 8．若点()10,A y ，()21,B y 在抛物线()213y x =-++上，则下列结论正确的是（ ）

A ．213y y <<

B ．123y y <<

C ．213y y <<

D ．213y y <<

9．抛物线y=x 2+2x-2最低点坐标是（ ）

A ．（2，-2）

B ．（1，-2）

C ．（1，-3）

D ．（-1，-3）

10．如图，将一边长AB 为4的矩形纸片折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，若EF ＝25，则矩形的面积为（ ）

A ．32

B ．28

C ．30

D ．36

二、填空题(每小题3分,共24分)

11．边长为4cm 的正三角形的外接圆半径长是_____cm ．

12．从长度为2cm 、4cm 、6cm 、8cm 的4根木棒中随机抽取一根，能与长度为3cm 和5cm 的木棒围成三角形的概率为_____．

13．关于x 的方程x 2﹣3x ﹣m ＝0的两实数根为x 1，x 2，且21121222x x x x x -+=，则m 的值为_____．

14．已知圆锥的底面半径为3cm ，母线长4cm ，则它的侧面积为 cm 1．

15．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是____________．

16．点(2，3)关于原点对称的点的坐标是_____．

17．方程290x 的解为________.

18．小芳的房间有一面积为3 m 2的玻璃窗,她站在室内离窗子4 m 的地方向外看,她能看到窗前面一幢楼房的面积有____m 2(楼之间的距离为20 m).

三、解答题(共66分)

19．（10分）如图，在长方形ABCD 中，6AB cm =，AD 2cm =，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以2厘米/秒的速度向终点B 移动，点Q 以1厘米/秒的速度向D 移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动的时间为t ，问：

(1)当1t =秒时，四边形BCQP 面积是多少？

(2)当t 为何值时，点P 和点Q 距离是3cm ？

(3)当t =_________时，以点P 、Q 、D 为顶点的三角形是等腰三角形.(直接写出答案)

20．（6分）（1）已知：如图1，ABC ∆为等边三角形，点D 为BC 边上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作等边ADE ∆，连接CE .求证：①BD CE =，②120DCE ∠=；

（2）如图2，在ABC ∆中，90BAC ∠=，AC AB =，点D 为BC 上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作等腰Rt ADE ∆，90DAE ∠=（顶点A 、D 、E 按逆时针方向排列），连接CE ，类比题（1），请你猜想：①DCE ∠的度数；②线段BD 、CD 、DE 之间的关系，并说明理由；

（3）如图3，在（2）的条件下，若D 点在BC 的延长线上运动，以AD 为边作等腰Rt ADE ∆，90DAE ∠=（顶点A 、D 、E 按逆时针方向排列），连接CE .

①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；

②连结BE ，若10BE =，6BC =，直接写出AE 的长.

21．（6分）如图，△ABC 的坐标依次为（﹣1，3）、（﹣4，1）、（﹣2，1），将△ABC 绕原点O 顺时针旋转180°得到△A 1B 1C 1．

（1）画出△A 1B 1C 1；

（2）求在此变换过程中，点A 到达A 1的路径长．

22．（8分）如图，在平面直角坐标系中有点A(1，5)，B(2，2)，将线段AB 绕P 点逆时针旋转90°得到线段CD ，A 和C 对应，B 和D 对应.

(1)若P 为AB 中点，画出线段CD ，保留作图痕迹；

(2)若D(6，2)，则P 点的坐标为 ，C 点坐标为 .

(3)若C为直线

1

3

y x

上的动点，则P点横、纵坐标之间的关系为 .

23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．

（1）求n的值；

（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．

24．（8分）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，作∠ABC的平分线交AC于点D，在AB上取点O，以点O 为圆心经过B、D两点画圆分别与AB、BC相交于点E、F（异于点B）．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若点E恰好是AO的中点，求BF的长；

（3）若CF的长为3

4

，①求⊙O的半径长；②点F关于BD轴对称后得到点F′，求△BFF′与△DEF′的面积之比．

25．（10分）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：四边形AEOD是正方形．

26．（10分）如图，是由两个等边三角形和一个正方形拼在-起的图形，请仅用无刻度的直尺按要求画图，

(1)在图①中画一个60的角，使点C或点E是这个角的顶点，且以CE为这个角的一边：

(2)在图②画一条直线AP，使得//

AP CE．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)

1、C

【分析】根据圆周角定理可得∠BOC的度数，根据等腰三角形的性质即可得答案.

【详解】∵点A、B、C在O上，∠A=72°，

∴∠BOC=2∠A=144°，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=1

2

(180°-∠BOC)=18°，

故选：C.

【点睛】

本题考查圆周角定理及等腰三角形的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；熟练掌握圆周角定理是解题关键.

2、C

【分析】根据题意将（0，0）代入解析式，得出关于m 的方程，解之得出m 的值，由二次函数的定义进行分析可得答案．

【详解】解：∵二次函数y=mx 1+x+m （m-1）的图象经过原点，

∴将（0，0）代入解析式，得：m （m-1）=0，

解得：m=0或m=1，

又∵二次函数的二次项系数m ≠0，

∴m=1．

故选：C ．

【点睛】

本题考查二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的定义，熟练掌握二次函数图象上的点满足函数解析式及二次函数的定义是解题的关键．

3、A

【解析】试题分析：∵圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，

∴这个圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5.

∴这个圆锥的侧面积=

1523152

ππ⋅⋅⋅=． 故选A ．

考点：1.简单几何体的三视图；2.圆锥的计算．

4、D

【解析】试题分析：∵关于x 的一元二次方程2(2)210m x x -++=有实数根，∴20m -≠且△≥0，即224(2)10m --⨯≥，解得3m ≤，∴m 的取值范围是3m ≤且2m ≠．故选D ．

考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．

5、A

【分析】由k ＜0可得反比例函数()0k y k x

=<的图象在二、四象限，y 随x 的增大而增大，可知y 3＜0，y 1＞0，y 2＞0，根据反比例函数的增减性即可得答案．

【详解】∵k ＜0， ∴反比例函数()0k y k x

=<的图象在二、四象限，y 随x 的增大而增大， ∴y 3＜0，y 1＞0，y 2＞0，

∵-3＜-1，

∴y 1＜y 2，

∴312y y y <<，

故选：A ．

【点睛】

本题考查反比例函数的性质，对于反比例函数y=k x

（k≠0），当k ＞0时，图象在一、三象限，在各象限，y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，图象在二、四象限，在各象限内，y 随x 的增大而增大；熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．

6、B

【分析】列举出所有情况，让恰好是一双的情况数除以总情况数即为所求的概率．

【详解】解：设一双是红色，一双是绿色，则列表得：

∵一共有12种等可能的情况，恰好是一双的有4种情况，

∴恰好是一双的概率：41123

P =

=； 故选择：B.

【点睛】

列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

7、A

【解析】提公因式，用因式分解法解方程即可．

【详解】一元二次方程230x x -=，

提公因式得：()30x x -=，

∴0x =或30x -=，

解得：1203x x ==，．

故选：A ．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程－因式分解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键．

8、A

【分析】将x=0和x=1代入表达式分别求y 1,y 2,根据计算结果作比较.

【详解】当x=0时，y 1= -1+3=2,

当x=1时，y 2= -4+3= -1,

∴213y y <<.

故选：A.

【点睛】

本题考查二次函数图象性质，对图象的理解是解答此题的关键.

9、D

【分析】利用配方法把抛物线的一般式转化为顶点式，再写出顶点坐标即可．

【详解】∵()2

2222211213y x x x x x =+-=++--=+-，且10a =>， ∴最低点（顶点）坐标是()1

3--，． 故选：D ．

【点睛】

此题考查利用顶点式求函数的顶点坐标，注意根据函数的特点灵活运用适当的方法解决问题．

10、A

【分析】连接BD 交EF 于O ，由折叠的性质可推出BD ⊥EF ，BO ＝DO ，然后证明△EDO ≌△FBO ，得到OE ＝OF ，设BC ＝x ，利用勾股定理求BO ，再根据△BOF ∽△BCD ，列出比例式求出x ，即可求矩形面积．

【详解】解：连接BD 交EF 于O ，如图所示：

∵折叠纸片使点D 与点B 重合，折痕为EF ，

∴BD ⊥EF ，BO ＝DO ，

∵四边形ABCD 是矩形，

∴AD ∥BC

∴∠EDO=∠FBO

在△EDO 和△FBO 中，

∵∠EDO=∠FBO ，DO=BO ，∠EOD=∠FOB=90°

∴△EDO ≌△FBO （ASA ）

∴OE ＝OF ＝12

EF ∵四边形ABCD 是矩形，

∴AB ＝CD ＝4，∠BCD ＝90°，

设BC ＝x ，

BD

∴BO ∵∠BOF ＝∠C ＝90°，∠CBD ＝∠OBF ，

∴△BOF ∽△BCD ， ∴OB BC ＝OF CD

，

即：

2x 解得：x ＝8，

∴BC ＝8，

∴S 矩形ABCD ＝AB •BC ＝4×8＝32，

故选：A ．

【点睛】

本题考查矩形的折叠问题，熟练掌握折叠的性质，全等三角形的判定，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．

二、填空题(每小题3分,共24分)

11、3

． 【分析】经过圆心O 作圆的内接正n 边形的一边AB 的垂线OC ，垂足是C ．连接OA ，则在直角△OAC 中，∠O ＝180n

．OC 是边心距r ，OA 即半径R ．AB ＝2AC ＝a ．根据三角函数即可求解． 【详解】解：连接中心和顶点，作出边心距．那么得到直角三角形在中心的度数为：360°÷3÷2＝60°，那么外接圆

半径是4÷2÷sin60°＝433

； 故答案为：433

．

【点睛】

本题考查了等边三角形、垂径定理以及三角函数的知识，解答的关键在于做出辅助线、灵活应用勾股定理. 12、12

【分析】根据三角形的三边关系得出第三根木棒长度的取值范围，再根据概率公式即可得出答案．

【详解】∵两根木棒的长分别是3cm 和5cm ， ∴第三根木棒的长度大于2cm 且小于8cm ，

∴能围成三角形的是：4cm 、6cm 的木棒，

∴能围成三角形的概率是：21=42，

故答案为

12． 【点睛】

本题主要考查三角形的三边关系和概率公式，求出三角形的第三边长的取值范围，是解题的关键.

13、-1．

【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．

【详解】由题意可知：x 1+x 2＝3，x 1x 2＝﹣m ，

∵21121222x x x x x -+=，

∴21x ﹣3x 1+x 1+x 2＝2x 1x 2，

∴m+3＝﹣2m ，

∴m ＝﹣1，

故答案为：﹣1

【点睛】

本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．

14、11π

【解析】试题分析：圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积底面半径×母线．

由题意得它的侧面积．

考点：圆锥的侧面积

点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握圆锥的侧面积公式，即可完成.

15、15π．

【分析】根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．

【详解】解：根据题意得圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，

所以这个圆锥的侧面积=1

2

×5×2π×3=15π．

【点睛】

本题考查圆锥侧面积的计算，掌握公式，准确计算是本题的解题关键.

16、（-2，-3）．

【解析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”可知：

点P(2,3)关于原点对称的点的坐标是(−2,−3).

故答案为（－2，－3）.

17、3

x=±

【解析】这个式子先移项，变成x2=9，从而把问题转化为求9的平方根．

【详解】解：移项得x2=9，

解得x=±1．

故答案为3

x=±．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．注意：

（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

18、108

【解析】考点：平行投影；相似三角形的应用．

分析：在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析．

解答：解：根据题意：她能看到窗前面一幢楼房的图形与玻璃窗的外形应该相似，且相似比为246=6， 故面积的比为36； 故她能看到窗前面一幢楼房的面积有36×3=108m 1． 点评：本题考查了平行投影、视点、视线、位似变换、相似三角形对应高的比等于相似比等知识点．注意平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例

三、解答题(共66分)

19、（1）5厘米2；（2）653+秒或653-秒；（3）62333-+秒或1.2秒或372

+秒或372-秒. 【分析】（1）求出BP ，CQ 的长，即可求得四边形BCQP 面积.

（2）过Q 点作QH ⊥AB 于点H ，应用勾股定理列方程求解即可.

（3）分PD=DQ ，PD=PQ ，DQ=PQ 三种情况讨论即可.

【详解】（1）当t=1秒时，BP=6-2t=4，CQ=t=1，

∴四边形BCQP 面积=()141252

+⨯=厘米2. （2）如图，过Q 点作QH ⊥AB 于点H ，则PH=BP-CQ=6-3t ，HQ=2，

根据勾股定理，得()2223263t =+-， 解得653

t ±=. ∴当653t +=秒或653

t -=秒时，点P 和点Q 距离是3cm.

（3）∵()()222222222244,6,26393640PD t t DQ t PQ t t t =+=+=-=+-=-+，

当PD=DQ 时，()22446t t +=-，解得6233t -+=或6233t --=（舍去）； 当PD=PQ 时，224493640t t t +=-+，解得 1.2t =或6t =（舍去）；

当DQ=PQ 时，()22693640t t t -=-+，解得37t +=37t -=

综上所述，当t =

1.2t =

秒或t =

t = 以点P 、Q 、D 为顶点的三角形是等腰三角形. 20、（1）①见解析；②∠DCE ＝110°；（1）∠DCE ＝90°, BD 1+CD 1＝DE 1．证明见解析；（3）①（1）中的结论还成立，

②AE

【分析】（1）①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC ，AD=DE=AE ，进而就可以得出△ABD ≌△ACE ，即可得出结论；②由△ABD ≌△ACE ，以及等边三角形的性质，就可以得出∠DCE ＝110°；

（1）先判定△ABD ≌△ACE （SAS ），得出∠B=∠ACE=45°，BD=CE ，在Rt △DCE 中，根据勾股定理得出CE 1+CD 1=DE 1，

即可得到BD 1+CD 1=DE 1；

（3）①运用（1）中的方法得出BD 1+CD 1=DE 1；②根据Rt △BCE 中，BE=10，BC=6

，求得8CE ==进而得出CD=8-6=1，在Rt △DCE 中，

求得DE ==△ADE 是等腰直角三角形，即可得出AE 的长．

【详解】（1）①如图1，∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，

∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠ ACB ＝∠B ＝ 60°，

∠BAC ＝∠DAE ＝60°，

∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，

∴∠BAD ＝∠EAC ．

在△ABD 和△ACE 中，

AB AC BAD EAC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

∴△ABD ≌△ACE （SAS ），

∴BD ＝CE ；

②∵△ABD ≌△ACE ,

∠ACE ＝∠B ＝60°

, ∴∠DCE ＝∠ACE +∠ACB ＝60°+60°＝110°；

（1）∠DCE ＝90°

, BD 1+CD 1＝DE 1． 证明：如图1，∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，

∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，

即∠BAD ＝∠CAE ，

在△ABD 与△ACE 中，

AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

∴△ABD ≌△ACE （SAS ），

∴∠B ＝∠ACE ＝45°，BD ＝CE ，

∴∠B+∠ACB ＝∠ACE+∠ACB ＝90°，

∴∠BCE ＝90°，

∴Rt △DCE 中，CE 1+CD 1＝DE 1，

∴BD 1+CD 1＝DE 1；

（3）①（1）中的结论还成立．

理由：如图3，∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC ，

即∠BAD=∠CAE ，

在△ABD 与△ACE 中，

AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ABD ≌△ACE （SAS ），

∴∠ABC=∠ACE=45°，BD=CE ，

∴∠ABC+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，

∴∠BCE=90°

=∠ECD ， ∴Rt △DCE 中，CE 1+CD 1=DE 1，

∴BD 1+CD 1=DE 1；

②∵Rt △BCE 中，BE=10，BC=6，

8CE ∴==

∴BD=CE=8，

∴CD=8-6=1，

∴Rt △DCE 中，

DE ==∵△ADE 是等腰直角三角形，

683422

DE AE ∴=== 【点睛】

本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等．解题时注意：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

21、（1）画图见解析；（2）点A 到达A 1的路径长为π10．

【分析】（1）根据旋转的定义分别作出点A ，B ，C 绕原点旋转所得对应点，再首尾顺次连接即可得； （2）点A 到达A 1的路径是以O 为圆心，OA 为半径的半圆，据此求解可得．

【详解】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求．

（2）∵OA 221+310，

∴点A 到达A 1的路径长为

12

10＝10． 【点睛】

本题考查利用旋转变换作图，勾股定理，弧长公式，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．

22、（1）见解析；（2）（4,4），（3,1）；（3）24y x =-.

【分析】（1）根据题意作线段CD 即可；

（2）根据题意画出图形即可解决问题；

（3）因为点C 的运动轨迹是直线13y x =，所以点P 的运动轨迹也是直线，找到当C 坐标为（0,0）时，P'的坐标，利用待定系数法即可求出关系式.

【详解】（1）如图所示，线段CD 即为所求，

（2）如图所示，P点坐标为（4,4），C点坐标为（3,1），

故答案为：（4,4），（3,1）.

（3）如图所示，

∵点C的运动轨迹是直线

1

3

y x ，

∴点P的运动轨迹也是直线，

当C 点坐标为（3,1）时，P 点坐标为（4,4），

当C 点坐标为（0,0）时，P'的坐标为（3,2），

设直线PP'的解析式为y kx b =+，则有4432k b k b +=⎧⎨+=⎩

，解得24k b =⎧⎨=-⎩， ∴P 点横、纵坐标之间的关系为24y x =-，

故答案为：24y x =-．

【点睛】

本题考查网格作图和一次函数的解析式，熟练掌握旋转变换的特征是解题的关键.

23、 (1)60；（2）四边形ACFD 是菱形．理由见解析.

【分析】（1）利用旋转的性质得出AC=CD ，进而得出△ADC 是等边三角形，即可得出∠ACD 的度数；

（2）利用直角三角形的性质得出FC=DF ，进而得出AD=AC=FC=DF ，即可得出答案．

【详解】解：（1）∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后，得到△DEC ， ∴AC=DC ，∠A=60°，∠DCE=∠ACB=90°，

∴△ADC 是等边三角形，

∴∠ACD=60°，

∴n 的值是60；

（2）四边形ACFD 是菱形；

理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F 是DE 的中点，

∴FC=DF=FE ，

∵∠CDF=∠A=60°，

∴△DFC 是等边三角形，

∴DF=DC=FC ，

∵△ADC 是等边三角形，

∴AD=AC=DC ，

∴AD=AC=FC=DF ，

∴四边形ACFD 是菱形．

24、（1）见解析；（2）5

9π；（3）①r 1＝1，2158

r =；②△BFF'与△DEF'的面积比为16或95 【分析】（1）连结DO ，证明//DO BC ，得出90ADO ∠=︒，则结论得证；

（2）求出30A ∠=︒，60B ∠=︒，连结FO ，则60BOF ∠=︒，由弧长公式可得出答案；

（3）①如图3，过O 作OM BC ⊥于M ，则BM FM =，四边形CDOM 是矩形，设圆的半径为r ，则

5OA r =-．34BM FM r ==-，证明ADO OMB ∆∆∽，由比例线段可得出r 的方程，解方程即可得出答案； ②证明DEF BFF ''∆∠∽，当1r =或158r =

时，根据相似三角形的性质可得出答案． 【详解】解：（1）连结DO ，

∵BD 平分∠ABC ，

∴∠CBD ＝∠ABD ，

∵DO ＝BO ，

∴∠ODB ＝∠OBD ，

∴∠CBD ＝∠ODB ．

∴DO ∥BC ，

∵∠C ＝90°，

∴∠ADO ＝90°，

∴AC 是⊙O 的切线；

（2）∵E 是AO 中点，

∴AE ＝EO ＝DO ＝BO ＝

53， ∴sin ∠A ＝12

， ∴∠A ＝30°，∠B ＝60°，

连结FO ，则∠BOF ＝60°，

∴BF ＝

6055 18039

ππ

⨯⨯=．

（3）①如图3，连结OD，过O作OM⊥BC于M，则BM＝FM，四边形CDOM是矩形

设圆的半径为r，则OA＝5﹣r．BM＝FM＝r﹣3

4

，

∵DO∥BC，

∴∠AOD＝∠OBM，

而∠ADO＝90°＝∠OMB，∴△ADO∽△OMB，

∴OA OB OD BM

=，

即5

3

4

r r

r r

-

=

-，

解之得r1＝1，

215 8

r=．

②∵在（1）中∠CBD＝∠ABD，∴DE＝DF，

∵BE是⊙O的直径，

∴∠BDE＝90°，

而F、F'关于BD轴对称，

∴BD⊥FF'，BF＝BF'，

∴DE∥FF'，

∴∠DEF'＝∠BF'F，

∴△DEF'∽∠BFF'，

当r＝1时，AO＝4，DO＝1，BO＝1，

由①知OD OA BC AB

=，

∴14

5

BC

=，

∴

5

4 BC=，

3

4

CF=，

∴

1

2

BF=，

∴CD，

∴DF DF'

==，

BFF

∴∆'与DEF

∆'

的面积之比

2

1

1

6

⎛⎫

⎪

==，

同理可得，当

15

8

r=时．时，BFF'

∆与DEF'

∆的面积比

9

5

=．

BFF'

∴∆与DEF'

∆的面积比为

1

6

或

9

5

．

【点睛】

本题是圆的综合题，考查了直角三角形30度角的性质，切线的判定和性质，等腰三角形的判定，圆周角定理，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线，熟练运用圆的相关性质定理是解题的关键．25、证明见解析．

【分析】先根据已知条件判定四边形AEOD为矩形，再利用垂径定理证明邻边相等即可证明四边形AEOD为正方形．【详解】证明：∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝

1

2

AB．

同理AE＝CE＝

1

2

AC．

∵AB＝AC，∴AD＝AE．