浅谈数学怪物——分形

1 分形理论的产生

分形（Fractal）理论是当今世界的新理论、新学科，其概念是美籍数学家曼德布罗特首先提出的.大自然中物体和现象的几何形状普遍具有复杂的不规则性, 传统的欧氏几何学在描述这样的自然现象时显得苍白无力,分形学的产生就是被用来描述这些不规则的欧氏几何无法描述的几何现象和物体的,它的产生使自然景物的描绘成为可能,这也是分形几何得到高度重视的原因之一.在分形理论真正发展起来的这十几年来,其研究倍受重视,分形的理论意义及实用价值深深吸引着人们寻求新规律、新特征存在的可能性.

2 分形理论的发展

分形理论的发展可以分为三个阶段[1](P114-115)：

第一个阶段是从1827年到1925年,在此期间,数学家们构造并且研究了很多奇遇或病态的集合及其图象,还试图对这类集合与经典集合的差别进行了详细分析.1827年,维尔斯特拉斯证明的一种在任意一点都不具有有限或无限的导数的连续函数曾引起了极大的震动,虽然人们认为此函数是极为“病态”的，但人们还是从不同方面推广了它,并且还对这类函数的奇异性质作了深入的研究.1904年，瑞典的数学家科赫通过初等方法构造出了如今称之为科赫曲线的处处不可微的连续曲线,并且还对该曲线的性质加于研究,该曲线改变了连续不可微曲线的构造一定非常复杂的看法,这是第一个认为构造的具有局部与整体相似结构的曲线.1883年,德国数学家康托尔构造了一类不连通的紧集s,s被称为康托尔三分集.在当时,它被认为在传统的研究中是可以忽略的,但现在它在非线性研究中却占有重要的意义.1890年,意大利数学家皮亚诺构造了能够通过某个正方形内所有点的曲线,这种奇怪的曲线曾使人们对以往的长度与面积等概念重新进行认识,并使数学界大吃一惊.在此基础上，1901年,闵可夫斯基引入了闵可夫斯基容度,1919年,豪斯道夫引入了豪斯道夫测度和豪斯道夫维数.总之,在此阶段,人们已经提出了典型的“分形”对象和相关问题,并为研究此类问题提供了最基本的数学工具.

第二阶段大致是从1926年到1975年,在此阶段,人们对分形的性质作了深入研究,特别是对维数理论的研究已获得了丰富的成果.这一阶段对第一阶段的思想进行了系统、深入的研究,不仅逐渐使其形成了理论,而且将研究范围扩大到了数学的许多分支之中.庞特里亚金、贝塞克维奇等研究的曲线的维数,分形集的局部性质,分形集的结构以及其在数论、调和分析、几何测度论中的应用,这些都极大地丰富了分形几何理论.列维在这一阶段的工作极为重要,首先,他第一个系统地研究了自相似

集,现在研究的许多自相似性都可以追溯到他的工作中;其次,他建立了分数布朗运动的理论,成为随机分形理论系统研究的重要先驱者之一.在这一阶段,绝大部分从事这一领域工作的人还局限于纯的数学理论的研究,而未与其他学科发生联系.在物理、地质、天文学和工程学等学科已产生了大量与分形有关的问题的形势下,这就迫切需要新的思想与有力的工具来处理.曼德布罗特以独特的思想, 研究了海岸线的结构、具有强噪音干扰的电子通讯、月球的表面、地貌几何性质等典型的自然界的分形现象,并取得了一系列令人瞩目的结果.

第三阶段是从1976 年至今,这是使分形在各个领域的应用取得全面发展,并使之形成独立学科的阶段.

3 分形的特征及有关概念

3.1分形的特征

通常人们认为分形具有以下几个特征[1](P116):具有精细的结构,也就是说在任意小的尺度下,它总是有复杂的结构;具有不规则性,它的整体与局部不能用传统的几何语言来描述;具有自相似形式,这种自相似可以是近似的或统计意义的;一般地,分形图形在某种意义下的维数大于它的拓扑维数;在大多数情况下,分形图形可以用非常简单的方法产生.

3.2有关概念

概念一分形

曼德勃罗最先提出的分形[2]（Fractal ）具有不规则、支离破碎等意义.他曾经为分形下过两个定义[1](P116)：（1）满足下式条件()()A A Dim dim > 的集合A ,称为分形集.其中,()A Dim 为集合A 的Hausdoff 维数（或分维数）,()A dim 为其拓扑维数.一般说来,()A Dim 不是整数,而是分数.（2）部分与整体以某种形式相似的形,称为分形.然而,经过理论和应用的检验,人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容.实际上,对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义.但是自然界中有很多分形的例子,例如:羊齿植物、菜花以及许多其他植物,它们的每一分支和嫩枝都与其整体非常相似.大自然中的山、树、云、海岸线也都可以看成是分形.下面给出大家两个分形图形:

左图是一棵厥类植物，仔细观察，我们就会发现,它的每一个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅是在尺寸上小了一些,而枝杈的枝杈也和整体相同,只是变得更加小了一些.右图是数学家们构造的Kohn （克赫）曲线.

概念二维数

为什么说分形是数学中的怪物呢?这是由于它的维数不是人们通常用的整数而是分数.长期以来在欧氏空间中,人们习惯于将点定义为零维,直线定义为一维,平面定义为二维,空间定义为三维,爱因斯坦在相对论中引入时间维,就形成四维时空.但通常人们习惯于整数的维数.分形理论把维数视为分数为了定量地描述客观事物的“非规则”程度.

1919年,数学家从测度的角度引入了维数概念,将维数从整数扩大到分数,从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限.分形维数,作为分形的定量表征和基本参数,是描述分形的重要参数,能够反映分形的基本特征,但由于侧重面不同,有多种定义和计算方法.常见的有以下几种[3](P44-46):

相似维数s D 我们画一个边长都是1的线段、正方形和立方体.将它们的边长二等分,此时,原图的线段长均缩小为原来的

12,而将原图等分为若干个相似的图形.其线段、正方形、立方体分别被等分为12、22和32个相似的子图形,其中的指数321、、,正好等于与图形相应的经验维数.一般说来,如果某图形是由把原图缩小为1a

的相似的b 个图形所组成,有:b a s D =,a b D s ln ln =的关系成立,则指数s D 称为相似性维数,s D 可以是整数,也可以是分数.

容量维数c D 容量维数是利用相同大小形状的小球或立方体包覆几何对象而定义的维数,由著名苏联数学家科尔莫哥诺夫提出的.设一几何对象s ,若用直径为ε的小球为标准去覆盖s ,所需的小球的最小数量为()εN ,则s 的容量维数为:

)1ln()(ln lim 0ε

εεN D c →=. 豪斯道夫 (Hausdorff)维数H D 设一个整体s 划分为N 个大小和形态完全相同的小图形,每一个小图形的线度是原图形的r 倍,则豪斯道夫维数为:

()⎪⎭

⎫ ⎝⎛=→r r N D r H 1ln ln lim 0. 计盒维数b D 将用边长为

1 的封闭正方盒子覆盖s ,若s 中包含的小方盒数量()n M ,则计盒维数为: ()2

ln ln lim n n M D n b ∞→= . 除上述定义的几种分形维数外,还有信息维数、谱维数、模糊维数、拓扑维数、广义维数、微分

维数、分配维数、质量维数、填充维数等.

4 分形理论的应用

分形的应用很广,在各个方面都有其应用,如在数学、物理学、化学、生物科学、地质科学等各个领域都已得到了极为广泛的应用.

4.1 在数学中的应用

例1[4](P9) 计算Koch 曲线的相似维数：

则分别有：1 3ln 4ln =s D 2 232ln 2ln 4ln 8ln 23===s D 3 6ln 18ln =s D 4 4

ln 7ln =s D 例2 计算Koch 曲线的容量维数：

根据Koch 曲线的构造过程,如右图:第一次线段长

度3

11=

ε,只要四段即可覆盖住点集,所以()41=εN ,第二次线段长度9

12=ε,用十六段才可覆盖住点集,第n 次,n n 31=ε,()n n N 4=ε,因此3

ln 4ln 3ln 4ln lim 3ln 4ln lim ===∞→∞→n n D n n n n c . 例3 Cantor 集[4](P2),如右图:取单位长

线段[]1,0,三等分然后舍弃中间一段

⎪⎭⎫ ⎝⎛32,31,再将剩下两段⎥⎦⎤⎢⎣⎡31,0,⎥⎦

⎤⎢⎣⎡1,32分别三等分并舍弃中间的⎪⎭⎫ ⎝⎛92,91和⎪⎭

⎫ ⎝⎛98,97两段,在剩下的四段⎥⎦⎤⎢⎣⎡91,0,⎥⎦⎤⎢⎣⎡31,92,⎥⎦⎤⎢⎣⎡97,32,⎥⎦

⎤⎢⎣⎡1,9

8中用同样的办法,每一段都三等分去掉中间一段,如此继续下去直到无穷,最后所得到的点集就称为Cantor 三分集,或简称Cantor 集.

在实变函数中介绍它的Hausdorff 维数是3ln 2ln =H D .现在我们来计算一下它的容量维数:根据构造过程,第一次线段长度3

11=ε,只要两段即可覆盖住点集,所以()21=εN ,第二次线长度2231=ε,用四段可覆盖住点集,第n 次,n n 3

1=ε,()n n N 2=ε,因此 3

ln 2ln 3ln 2ln lim 3ln 2ln lim ===∞→∞→n n D n n n n c . 由它的构造过程我们还可以把它每一步的相似维数求出来,第一步是把原图缩小为

31的相似的2个图形,所以3ln 2ln =s D ,…,第n 步是把原图缩小为n 3

1的相似的n 2个图形,所以 3ln 2ln 3ln 2ln 3

ln 2ln ===n n D n n s . 经计算每步的相似维数得出它们都相等并且都是3

ln 2ln . 猜想:相似维数用于按一定规律进行有限次的改变而形成的分形中,而容量维数则是用于按一定规律进行无限可列次的改变而形成的分形中,它通常以极限的形式出现.如对同一个图按同一个规律改变,那么每次改变后所得到的分形图形的相似维数与无限可列次的改变后所得到的分形图形的容量维数是相等的.

分形将作为一门课程进入高中.其实不知不觉分形几何已进入了我们的考试中:

例4[5](P44) 在2002年全国高中数学联赛试题中就有这样一道题：如下图:有一列曲线0P ,1P ,2P ,…,已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形,(1)k P +是对k P 进行如下操作得到:将k P 的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉()Λ,3,2,1=k .记 n S 为曲线n P 所围成图形的面积.(1)求数列{}n S 的通项公式;(2) 求 n n S ∞

→lim .

这是一道以分形几何为背景的试题,主要考查的是与数列相关的基础知识,同时考查阅读理解能力,立意新,落点实,体现了研究性学习的深入和数形结合思想的应用.随着考试改革的深化,在试题设计上,更加注重能力立意,强调对学生思维品质、创新能力和学习潜能的考查.而以分形几何为背景的试题,新颖鲜活而有创意,富有时代气息,恰好体现了这方面的要求,因此备受青睐,使“怪物”焕发

出亮丽的风采.同时,也让学生感受到分形几何无穷的美学魅力,激发学生对这门新兴学科的学习兴趣.

4.2 在物理学中的应用

分形学的问世给物理学的研究注入了新的活力,因而分形在物理学中得到了广泛的应用,其中比较成功的应用包括以下方面.在分形凝聚[6](P81-82)方面,人们提出的具有多重分形的受限扩散凝聚(DLA)模型和动力学集团凝聚(KCA)模型;在固体物理方面,用于准晶态的扩散,薄膜的研究,如在气相物理沉淀、非晶态薄膜的晶化、溶液膜中的晶体生长、液体界面上的电解沉淀、气态电解质膜中的电击穿等过程中都可出现分形图样;分形理论已用于纳米半导体薄膜、超导薄膜、各种薄膜生长和超薄金属膜生长的研究之中.用于湍流的研究,分子光谱(分子线谱和分子能量状态具有分形结构),电磁散射(由于粗糙分形表面引起的),材料断裂表面和边界、以及碎块的大小和频度具有分形规律,材料力学行为和材料弹塑性断裂研究;在粒子物理中的应用,高能粒子碰撞中的阵发现象具有分形结构,分形理论用于解释碰撞的机制,为粒子物理打开一个新的领域;在流体粘性指进现象中的应用,粘性指进是指两种具有不同粘性的流体相遇时,在其界面形成的具有分形结构的奇特形状,该形状与受限扩散凝聚(DLA)模型相似;在放电式样研究中的应用、相变分析.超微粒及其聚集体,及其在粒径、熔化、磁性、电导及生长过程中均具有分形特征.有人对超导现象研究后发现,材料微观结构的分形维数与其超导电性密切相关.分形学也用于布朗运动分析、非晶态半导体的研究、引力波的研究、电子在固体中的散射、多孔介质中的声传播、激光全息防伪等领域.

4.3 在化学中的应用[7](P207)

分形理论在化学中也有很广泛的应用,如:在多相催化体系中的应用,催化剂颗粒是一个分形体,不仅疏松的衬底和分布在其上作为催化物质的颗粒表面可以用分维表征,而且起主要催化作用的颗粒的亚微观结构也具有分形特征.研究表明,在分形介质中进行分散和反应都与表面分维数有关.此外,分形理论还在生物催化方面有应用.在宏观化学动力学方面,远离平衡态的化学过程往往产生具有分数维的表面结构.在颜料表面改性方面的应用,颜料粒子的表面形貌是一个影响颜料性能的很重要的因素,研究结果表明,表面分形维数、粒子表面形貌与颜料某些性能之间确实存在很好的对应关系.目前,分数维方法在化学中各个领域的应用也正在开展之中.例如:沉积物的形成、表面吸附、高分子溶液、晶体结构以及高分子凝胶等方面.此外,薄膜分形、断裂表面分形以及超微粒聚集体分形等领域的研究已日趋活跃,在准晶和非晶态固体的描述、气固反应模型等也有应用.

4.4 在生物医药中的应用[8](P423-428)

分形学在药学领域的应用以药剂学最吸引人.如用分形维数表征粉粒状药物、多孔固体制剂、混悬剂和乳剂、气溶胶、微乳剂等结果,可更好地研究药剂表面结构与药物性能的关系.在生物药剂学和药物动力学也有许多潜在用途,如用分形表示药物溶出动力学曲线、分形反应维数在药物膜通透速

率中的应用、吸附剂表面吸附程度以及血药水平和尿排泄曲线等.在生理学方面,各种组织和器官在微观结构上是分形的,同样组织中发生的功能性事件也具有非线性动力学特征.分形和非线性动力学的概念提供了一种描述由于疾病或药物毒性导致的功能失调以及药理学中常遇到的许多现象的灵敏方法.如药物 - 受体相互作用、细胞膜表面的分形维数及离子通道动力学模型、跨膜转运、神经系统和功能、生物反应器.

另外,分形在地质科学、社会科学、人文科学以及艺术等各个领域也都有应用.

分形学是一门很年轻的科学,正处在不断发展之中.其应用研究已涉及几乎所有学科领域,我们必须以科学的态度对待这一新兴学科.分形几何的创立为描述存在的不规则图形和现象提供了思想方法,为解决传统科学中的难题提出了新的思路,已成为当代科学最有影响的基本概念之一,其深远的理论意义和巨大的实用价值在众多学科领域日益凸显.

分形(一种别样的数学美丽)

分形（一种别样的数学美丽）从海螺和螺旋星云到人类的肺脏结构，我们身边充满各种各样的混沌图案。分形（一种几何形状，被以越来越小的比例反复折叠而产生不能被标准几何所定义的不标准的形状和表面）是由混沌方程组成，它包含通过放大会变的越来越复杂的自相似图案。要是把一个分形图案分成几小部分，结果会得到一个尺寸缩小，但形状跟整个图案一模一样的复制品。分形的数学之美，是利用相对简单的等式形成无限复杂的图案。它通过多次重复分形生成等式，形成美丽的图案。我们已经在我们的地球上搜集到一些这方的天然实例，下面就让我看一看。 1.罗马花椰菜：拥有黄金螺旋罗马花椰菜这种花椰菜的变种是最重要的分形蔬菜。它的图案是斐波纳契数列，或称黄金螺旋型(一种对数螺旋，小花以花球中心为对称轴，螺旋排列)的天然代表。 2.世界最大盐沼——天空之镜

盐沼

坚硬的盐层上呈现非常一致的不规则图案过去一个世纪，上图里的旧金山海湾盐沼一直被用来进行工业盐生产。下图显示的是位于玻利维亚南部的世界最大盐沼——天空之镜(Salar de Uyuni)。坚硬的盐层上呈现非常一致的不规则图案，这是典型的分形。 3.菊石缝线菊石的外壳还生长成一个对数螺旋型

大约6500万年前灭绝的菊石在大约6500万年前灭绝的菊石，是制作分成许多间隔的螺旋形外壳的海洋头足纲动物。这些间隔之间的壳壁被称作缝线，它是分形复曲线。美国著名古生物学家史蒂芬·杰伊·古尔德依据不同时期的菊石缝线的复杂性得出结论说，进化并没驱使它们变得更加复杂，我们人类显然是“一个例外”，是宇宙里独一无二的。菊石的外壳还生长成一个对数螺旋型，很显然，自然界经常会出现这种图案，例如罗马花椰菜。 4.山脉山脉山脉是构造作用力和侵蚀作用的共同产物，构造作用力促使地壳隆起，侵蚀作用导致一些地壳下陷。这些因素共同作用的产物，是一个分形。上图显示的是喜马拉雅山脉，它

穷竭法

穷竭法古希腊学者创立的一种确定面积和体积的方法。古典希腊时期智人学派成员安蒂丰在研究化圆为方时，提出了一种求圆面积的方法：在圆内作一内接正方形后，不断将其边数倍增，希望得到一个与圆重合的正多边形，从而来“穷竭”圆的面积。欧多克索斯受其影响，试图把这种方法建立在科学的基础之上，建立了下列著名原理：“对于两个不相等的量，若从较大量中减去大于其半的量，再从所余量中减去大于其半的量，继续重复这一步骤，则所余之量必小于原来较小的量。”如果反复运用原理中指出的步骤，则所余之量将会小于任何事先指定的量。这个原理是近代极限思想的雏形。分析学中著名的阿基米德公理“对任意二正实数a，b，必存在正整数n，使na＞b”就由欧多克索斯原理变形而来。欧多克索斯运用这一方法得到大量关于面积和体积问题的结果。在欧几里得《几何原本》第12卷中，也用这种方法作为主要的推理工具。例如，为了比较两个圆的面积，欧几里得在每个圆中分别作内接正四边形、正八边形和正十六边形等等，并证明余下的部分分别小于圆面积的二分之一、四分之一和八分之一，等等。这样一来，当正多边形边数增加时，圆的面积逐渐被“穷竭”。由此欧几里得证明了两圆面积之比等于两圆半径平方之比。阿基米德更广泛、更漂亮地运用上述方法。他在《抛物弓形求积》和《论劈锥曲面体与椭球体》中，已经建立了类似现代积分概念的一种方法，即把面积或体积作为无穷多个无穷小量之和的极限来考虑，不过他证明极限的方法是双重归谬法，与现代分析方法有着根本的差别。在17世纪初期，阿基米德关于面积、体积的工作在欧洲被重新研究。这一时期的学者称上述由安蒂丰提出、由欧多克索斯发展、被欧几里得和阿基米德广泛应用的方法为“穷竭法”。这一名词最早出现在比利时学者圣樊尚于1647年出版的一本著作中。穷竭法对积分概念的发展产生了强烈的刺激作用，求长度、面积、体积和重心的工作成了17世纪数学研究的重要课题，成批的学者围绕这些课题做了大量的工作，穷竭法被逐步修改，并最终为现代积分法所代替。分形--真实还是想象？多少世纪以来，人们总是用欧几里得几何的对象和概念（诸如点、线、平面、空间、正方形、圆……）来描述我们这个生存的世界。而非欧几何的发现，引进了描画宇宙现象的新的对象。分形就是这样一种对象。分形的思想初见于公元1875至1925年数学家们的著作。这些对象被贴上畸形怪物的标签，人们深信它没有丝毫的科学价值。它就是今天人们众所周知的分形。分形一词是曼德勃罗于1975年创造的，曼德勃罗在该领域有着广泛的发现。从严格意义上讲，分形是这样一种对象，将其细微部分放大后，其结构看起来仍与原先的一样。这与圆形成了鲜明的对比，把圆的一部分放大后便变得比较平直。分形可分为两类：一是几何分形，它不断地重复同一种花样图案；另一种

从西兰花开始浅谈分形学

从西兰花开始浅谈分形学西兰花，含蛋白质、糖、脂肪、维生素和胡萝卜素，营养成份位居同类蔬菜之首，被誉为“蔬菜皇冠”。西兰花营养成分如此丰富，是我们平日常吃到的蔬菜，在餐桌上和菜市场上无处不在，可是我们一般人仅知道它是有营养的蔬菜而已，殊不知它的外形是大自然较典型的分形几何图。牛顿能从掉落的苹果发现万有引力，而我们为何不能从平日里常吃的西兰花或大自然常见的树枝中发现这个世界无处不在的分形呢？因此，我们要善于从生活中常见的事物，发现一些潜在的、不寻常的内在规律。一、分形概念分形，就是指由各个部分组成的形态，每个部分以某种方式与整体相似。以西兰花为例，一小簇是整个花簇的一个分支，而在不同尺度下它们具有自相似的外形。换句话说，较小的分支通过放大适当的比例后可以得到一个与整体几乎完全一致的花簇，如图（一）和（二）所示。图（一）图（二）分形具有自相似性和标度不变性。所谓自相似性是指某种结构和过程的特征从不同的空间尺度和时间尺度来看都是相似的。所谓标度不变性是指在分形上任选一局域，对它进行放大，这时得到的放大图又会显示出原图的形态特征。分形

有以下几个含义：分形既可以是几何实体也可以是由“功能”或“信息”等架起的数理模型；分形可以同时具有形态、功能和信息方面的自相似性，也可以只具有其中某一方面的自相似性，这样就使分形理论研究的领域大大拓宽；分形中的自相似性可以是绝对的相同，也可以是统计意义上的相似，自然界中前者凤毛麟角，后者不计其数；分形的相似性有层次上的差异。二、分形维数分形维数，又叫分维，是定量刻画分形特征的参数，在一般情况下是一个分数（可是整数，也可以是非整数），它表征了分形体的复杂程度，分形维数越大, 其客体就越复杂，反之亦然。经典维数是我们所熟悉的，即在Euchlid几何学中的维数，它必须是整数，比如点：0维，线：1维，面：2维，体：3维。Euchlid几何中的维数D可以用以下公式表示：D=lnK/lnL ,其中，K为规则图形的长度、面积或体积增大（缩小）的倍数，L是指规则图形的每个独立方向皆扩大（缩小）的倍数。例如，若将直线段的长度增至原来的两倍（L=2），所得到的线段长度为原线段的两倍（K=2）,所以直线是一维的；若将正方形每边长增至原来的2倍（L=2），所得到的正方形的面积将增至原来的4倍（K=4），所以正方形是二维的，若将正方体的每边长增至原来的2倍（L=2），所得到的立方体的体积将增至原来的8倍（K=8），所以立方体是三维的，如图（三）、（四）、（五）所示图（三）图（四）现以Sierpinski垫和Sierpinski地毯为例来讨论有规分形维数的计算。对于Sierpinski垫，首先将一个等边三角形4等分，得到4个小等边三角形，去掉中间一个，保留它的三条边。将剩下的3个小等边三角形再分别4等分,

浅谈分形

浅谈分形曼德布罗（B. B. Mandelbrot）说过：“云不是球形的，山不是锥形的，海岸不是圆形的。”在自然界中，许多物体的形状和现象是十分复杂的：纵横交错的江河流域，婉转悦耳的古琴音乐中的旋律，蜿蜒盘旋的山岳高峰，星际空间物质的分布，尘粉无规则运动的轨迹，人体复杂的血管分布，如此等等。像如此不定型的东西，在欧式几何中是无法解释分析的。因此“分形”应运而生。说到分形（fractal），先来看看分形的定义。分形这个词最早是分形的创始人曼德布罗提出来的，他给分形下的定义就是：分形是由一些与其整体以某种方式相似的部分所组成的形体。很显然，在曼德布罗的分形定义中，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。但是迄今为止，分形还没有非常具体明确的科学定义。1989年法尔科内提出类似但较为全面的定义: （i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。（ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。（iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。（iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。（v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。定义总是抽象的，下面先介绍几种理想的或典型的分形结构，以便对定义中的分形集,自相似性,分形维数,拓扑维数,迭代等有所了解,从而对分形有具体而形象的认识。（1）康托尔集（Cantor set）。假设一条为单位长度的线段，将其设为基本区间[0,1]，把它三等分，分点分别为1/3，2/3，去掉该线段中间的三分之一，这样留下的部分将是两段长度分别为三分之一的线段，总长度为2/3，用集合表示为[0,1/3] ∪[2/3,1]。接下去我们再把这两条线段分别去掉中间的三分之一，这时留下的部分将是四条长度各为九分之一的线段，总长度为4/9,用集合表示为[0,1/9] ∪[2/9,1/3] ∪[2/3,7/9]∪[8/9,1]。如此不断地循环操作，最终得到的点的集合就是康托尔三分集。这就是一个分形图案。(如图)由图,显而易见,当线段分到一定程度时,每一个线段的长度将无限接近于0, 但是在原线段的分

几何里的艺术家——分形几何

几何里的艺术家——分形几何分形几何是指生物学家、数学家Mandelbrot于20世纪60年代提出的一种新的几何方法。它主要是以图形展示自然界里颇多的自相似性和重复性，我们在自然界中可以看到很多地方都能体现出分形几何的形态。目前，分形几何的研究成果已经被广泛运用在计算机图形学、自然科学、金融、物理学等方面，并在各个领域都取得了很好的应用效果。分形几何不同于常规的几何学，它将几何形态转换为数学符号来分析形态的特征。分形几何的美感与特性分形几何的美在于它具有迷人的自相似性和重复性，这个特性使得分形几何的形态无论在大小还是在宏观与微观的层次上表现出了一致性。这种自相似性不但具有几何形态的美感，并且在自然界的很多生物和物体中都可以看到它的存在。譬如火花、雨滴和云朵都具有分形几何的形态，对此我们可以用数学符号和计算机程序来表达和描述这些自然现象。在分形几何中，出现的大多数形态都是基于数学方程式的操作得到，这些数学方程式需要通过反复的迭代运算才能得到最终的形态，几何学家调用的工具主要是数学符号和计算机程序。因此，分形几何不仅展示了具有美感的自相似性和重复性，还向我们展示了无穷的变幻和生命力，在人类的审美中表现出了多姿多彩的美，可以说是几何美学中的一种绚丽多彩的表现形式。分形几何的计算机图形学应用分形几何在计算机图形学中的应用很广泛，计算机图像能够更加真实地表现物体的特性和微观结构，分形几何的技术能够很好地表现出物体的自相似性和重复性，因此在图像处理和计算机图形学中应用颇多。其中一个应用场景是在动画电影中，我们常常看到很多自然界中的生物，譬如花朵、藤蔓和蘑菇等生物，它们都具有分形结构，设计师用计算机图形学的方法可以让这些生物呈现出美妙的自然形态。另外，分形几何还被广泛运用在生成式艺术中，生成式艺术是一种基于数学或人工智能算法的艺术形式，使用分形几何的技术可以生成独特的图案和模型，比如拓扑结构和有机体结构等。分形几何中的自相似性和重复性不仅提供了美感和独特的艺术表现形式，还为我们提供了一种模拟生命活动的方式，是数学艺术范畴中一个多功能的形式。

分形1——谢尔宾斯基三角形

分形——谢尔宾斯基三角形普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。在20世纪70年代末80年代初，产生了新兴的分形几何学（fractal geometry），空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数。这是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。根据物理学家李荫远院士的建议，大陆将fractal一开始就定译为“分形”，而台湾学者一般将fractal译作“碎形”。 ——摘自百度百科对于初学Java的同学来说，做分形，的确是一个锻炼思维，熟悉递归算法的好方法，而在众多分形图案中，谢尔宾斯基三角形可以说是比较容易入手的，因为它不管是公式还是图案都比较简单，学会如何用java画歇尔滨斯基三角形后，再画其他图案都会简单很多；今天我们就从歇尔滨斯基三角形入手，进入分形的世界. 1、用Java绘制歇尔滨斯基三角形首先要知道如何建立窗体，调取画布对象，如何画线，有一定的数学基础（了解正三角形的性质），还有——数学思维。 2、打开eslips，建立一个Java的工程命名自己命吧，这个随便的哈；（这是我建立的工程） //3、这个程序需要引入的包： import java.awt.Color; import java.awt.Graphics; import javax.swing.JFrame; //4、主类继承JFrame，因此Retangerate拥有所有JFrame的方法 public class Retangerate extends JFrame{ /** * @param args */ public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub Retangerate a = new Retangerate(); a.Draw(); } // //5、需要创建的方法一：（绘制三角形） //在这个方法里绘出窗体，并生成画布对象 public void Draw() { this.setSize(1000,700); this.setLocationRelativeTo(null);

分型

分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a 的相似的b个图形所组成，有： a^D=b, D=logb/loga Koch曲线的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。另一方面，当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1（大于0、小于2）。与此类似，如果我们画一个Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平面），那么只有找

一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维。Koch曲线的每一部分都由4个跟它自身比例为1:3的形状相同的小曲线组成，那么它的豪斯多夫维数(分维数)为d=log(4)/log(3)=1.26185950714... 所谓的''分形''本意是指''破碎,不规则'',所谓''分形艺术''图就是利用数学方法通过计算机程序进行无数次运算最终形成的分形艺术图案. Fractal（分形）一词的由来据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无规碎片”）。此外与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。在70年代中期以前，曼德勃罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。

数学中的多重分形

数学中的多重分形分形是一种几何形状，它可以通过自相似的方式进行无限次重复和放缩。多重分形是指在一个图形内部同时存在多个不同尺度的分形结构。在数学中，多重分形是一种抽象的概念，它在物理学、生物学和金融等多个领域都有广泛的应用。本文将介绍数学中的多重分形以及其相关应用。 1. 分形维度分形维度是用来描述分形结构复杂程度的一个指标。对于一个平面图形，我们可以通过计算其分形维度来衡量其形状的复杂程度。一般而言，分形维度大于该图形的几何维度。例如，对于一条曲线，其分形维度可能为1.5，而几何维度为1。这表示该曲线在局部区域呈现一种类似于一维线段的性质，但整体上又具有一定的维度。 2. 分形生成器分形生成器是用来生成多重分形的数学函数或算法。其中最为著名的是Mandelbrot集合，它是由一个递归函数生成的。Mandelbrot集合在复平面上呈现出精细且复杂的分形结构，其吸引子具有无限的细节层次。另一个著名的分形生成器是Julia集合，它同样是由一个递归函数生成的。 3. 分形几何学分形几何学是研究分形形状及其性质的数学分支。它将自然界中的复杂图形抽象为数学模型，并通过分形维度等指标对其进行研究和描

述。分形几何学在地理学、地质学和生物学等领域的应用非常广泛，例如用于描述山脉的形状、岩石的纹理和树叶的形态等。 4. 分形噪声分形噪声是一种具有分形结构的随机信号。与传统的白噪声和布朗噪声相比，分形噪声具有更强的自相关性和自相似性。这使得分形噪声在图像压缩、信号处理和音乐合成等领域有着广泛的应用。分形噪声可以通过分形生成器生成，也可以通过分形插值算法生成。 5. 分形金融分形金融是一种基于分形几何学理论的金融分析方法。通过研究金融市场的分形特征，可以更好地预测和分析市场的动态变化。分形金融理论认为，金融市场的价格序列具有自相似性和长期依赖性，因此可以利用分形维度等指标对市场进行建模和预测。 6. 分形动力系统分形动力系统是研究分形结构演化过程的数学模型。分形动力系统可以用来描述自然界中的复杂现象，例如天气模式、流体力学和生物进化等。分形动力系统的研究对于理解自然界中的混沌现象和非线性行为具有重要意义，同时也为复杂系统的建模和仿真提供了重要思路。总结：多重分形是数学中一种具有复杂结构和自相似性的几何形状。分形维度、分形生成器、分形几何学、分形噪声、分形金融和分形动力系统是多重分形的相关概念和应用领域。多重分形在科学研究和实际应

浅谈分形科学及其哲学意义

浅谈分形科学及其哲学意义在当今的世界科学界，分形理论与混沌理论、孤子理论被公认为是三大非线性科学的前沿。从上个世纪80年代以来，分形的新概念成为全球科学界热议的话题之一，并形成了分形理论的研究和探索热潮。加入这个热潮的有各种门类的科学家，包括自然科学家、社会科学家、哲学家，甚至包括各类艺术家和电影制片工作者。一、分形科学的产生及其基本特征[1] 分形理论的创立者是当代美籍数学家曼德布罗特，他在欧式几何整数维度的基础上提出了分数维度的概念——分维，进而对大自然林林总总的各类粗糙的、貌似支离破碎的的不规则形状进行描述并研究，1975年冬天，曼德布罗特为这一门更加接近自然的新学科进行了命名——分形科学。自此，“分形”一词成为一种新方法，可以用来描绘、计算和思考那些不规则的、凹凸不平的、零散分布的、支离破碎的图形，例如从雪花晶体的曲线到散落在星系中的繁星点点。而分数维曲线，则代表一种隐藏在这些令人望而生畏的复杂图形中的有序结构。于是，分形的理论和方法被广泛采用。在那些最实用的水平上，它提供了一套工具，被研究人员广泛接纳，公认的非线性动力学提供良方的那些结构都证明是分形的。由于开辟了一条不寻常的学术成功之路，曼德布罗特被科学史家伯纳德·科恩列在与爱因斯坦、康托尔齐名的少数科学家的名单上，因为这些科学家的工作在科学史上具有革命的意义。分形理论告诉我们，那些外表极不规则与支离破碎的几何形体，有着自己内在的规律和特性：这就是自相似性、层次性、递归性和仿射变换不变性。自相似性就是局部的形态和整体的形态相似，或者说从整体中割裂出来的部分仍能体现整体的基本精神与主要特征。在曼德布罗特那里，无论是对自然过程中不规则结构的研究，还是对无限次重复形状的探讨，都贯穿着自相似性。例如，一个立于两面镜子之间的无穷反射，这是制作动画的最好方法。自相似性作为制作曲线的一种方法，同样的变换在越来越小的尺度上重复进行，就可以构造出美丽无比的科克雪花、谢宾斯基衬垫和地毯等图形。自相似性是分形理论的核心，是所有特性中的基本特性。层次性就是分形整体中存在的等级不同、规模不等的次级系统，可以说整体中的任何部分又是一个自身的整体，依次重复，直至无限。埃菲尔铁塔就是它的类似物，它的小梁、构架和大梁不断分叉成构件更细的格式，层次性的网络结构浑然一体。递归性就是结构之中存在着结构。由于自相似性是不同尺度的对称，这就意

数学中的分形理论

数学中的分形理论随着人类对自然界了解的不断深入，我们发现很多自然形态都呈现出一种神秘而美妙的特质：分形。分形是一种几何对象，具有自我相似的特征，在自然界和人工模拟中均有广泛的应用。很多分形现象都涉及到数学分析，因此，了解数学中的分形理论是很有意义的。一、什么是分形？ 1982年，美国数学家麦德里·曼德博士首先提出了分形的概念，他表示：“一种比几何图形概念更具体的新理论。”通俗来讲，分形是指一类自相似的物体或形态。自相似的意思是说，想象你把这个物体放大，那么这个物体的某个部分，将会与其他部分相似，如此反复，直到无穷大。在数学中，通过不断重复一部分内容，会得到一个类似整体的图案，我们称之为分形。分形由多个重复出现的基本形状组成，这些基本形状被称为迭代函数中的自相似部分，不断迭代后便可得到分形的自相似性质。分形具有自相似、无限细节、非整数维度和结构复杂等特征。

二、分形的应用分形理论广泛应用于各个领域，如自然界、艺术和科技等。以下简单介绍几个分形的应用领域： 1.自然景观许多自然景观都具有分形结构，例如云彩、大麻鸡爪、树的枝干、树叶排列、岩石表面等。早期的科学家们通常认为自然景观是遵循一定规则的，但他们无法解释这些规则。分形具有解释自然现象的能力，例如，海岸线有无限多的下垂崖、山脉覆盖着大小不一的山峰，每个山峰又有自己的小山、小河和树木等。分形理论可以用来解释这些结构和广泛的自然现象，揭示它们的本质规律。 2.压缩图像图像可以看成是二维的平面矩阵，它们可以按任意比例或任意比例进行压缩和缩小。分形压缩算法是一种快速且节省空间的压

缩方法，它是通过深入分析图像的各个部分来实现对图像的压缩。与其他压缩方法相比，分形压缩算法可以保留大量的图像细节和标记，从而提供更准确的图像还原。 3.金融市场分形也可以应用于金融市场，例如股票市场、外汇市场和商品市场等。这些市场的行情是非常波动的，并且形成许多买入和卖出的机会。分形可以用来分析这些价格变化过程，并更好地理解行情和趋势，为投资者提供参考分析依据。三、分形理论的发展分形理论是一个非常年轻的理论，由于其深厚的内涵和复杂的结构，仍然是一个充满挑战性的领域，对人类的贡献正在延续。著名的分形--“谢尔宾斯基三角形”是分形理论的一个重要成果。20世纪70年代，美国数学家迈克尔·谢尔宾斯基发明了如下构造方法：以一个正三角形为基础，从中央去掉一小块三角形，剩下的部分把它分成4个等大的小三角形。然后更细致地按照前一个

幼儿园数学世界之分形教案深度探索与实践

一、引言幼儿园是儿童数学启蒙的重要阶段，而数学教育的方式也需要与幼儿的认知发展相适应。分形作为数学中的一个重要概念，其丰富的几何图形特征和数学原理为幼儿园数学教学提供了全新的思路和方法。本文将对幼儿园数学教学中的分形教案进行深度探索与实践，以期为幼儿数学教育提供更加丰富多彩的内容和方法。二、分形的概念和特征 1. 什么是分形分形是指一类具有自相似性的特殊几何形状，无论是放大或缩小该几何形状，都能看到与原始形状相似的图案。分形不同于传统的几何图形，它的形状是由自身不断重复生成的，因此在数学上具有独特的美学和深刻的意义。 2. 分形的特征分形具有以下几个重要的特征：自相似性、不规则性、无限复杂性和维数非整数性。这些特征使得分形成为了数学中一个特殊而有趣的研究对象，也为幼儿的数学教学提供了更多的可能性。

三、分形在幼儿数学教学中的应用 1. 分形图形的引入通过向幼儿展示各种分形图形，可以引发幼儿对特殊几何形状的好奇和兴趣，培养他们对数学的兴趣和热爱。教师可以引导幼儿观察不同的分形图形，并鼓励他们发现这些图形中的自相似性和特殊规律。 2. 分形图形的制作在幼儿园数学教学中，可以利用各种简单的材料和工具，帮助幼儿制作分形图形。通过亲身参与，幼儿能够更直观地理解分形的特殊性质，并培养他们的创造力和动手能力。 3. 分形图形的游戏可以设计各种有趣的分形图形游戏，让幼儿在游戏中感受分形的美丽和奥秘。让幼儿在图形中找出自相似的部分、完成分形图形的填色等，这些游戏既能够培养幼儿的观察力和逻辑思维能力，也能够激发他们对数学的兴趣。四、分形教案的设计与实践

浅谈分形图形与传统图形的比较

浅谈分形图形与传统图形的比较作者：李学勤来源：《速读·上旬》2015年第11期摘要：随着时代和科技的发展，传统图案的制作和观念的局限性，使它们对现在设计的需求日益不能满足要求，现在人们的审美不在局限在传统的图案样式和设计观念，分形图形作为一种新兴的视觉表现形式，以无限嵌套的组织结构，以及自身的相似性去无限的叠加和延续成多变的视觉图形。通过其自身形的变换和迭代性在形成图形的过程中演示着数学与自然的形态变化联系及规律。关键词：分形图形；传统图形；比较 1 图形的形式感比较有人说当代设计师的世界是一个五彩缤纷是世界里，看谁的创意以及图形形式构成是否合理，其实最重要的是设计师在自我个性风格的形成。分形图形为设计师们打开了一个寻找个性，创造个性是思维空间，更充分的发挥图形中各个元素的视觉张力和整体协调的重要性。 1.1分形图形与传统图形的空间感比较传统图形在设计时，可以在二维的空间绘画出立体效果，一般通过正负形、骨骼、视错觉等方法来实现。通过透视和骨骼等组合方式，将图案元素进行设计从适合纹样。如花卉图案通过花与花、花与叶之间的排列，使人感觉图案的空间和视觉效果更加突出，运用透视、远近、虚实的变化，使图案更具有立体效果。单这中表现手法有一定的局限性，对空间的刻画不够深刻，难以来开更深一些的空间。分形图形同样是把视觉元素通过迭代关系产生强烈的空间的变化，由于分形图形的分维性，使图形的细节和变化产生真实而梦幻的变化，从而使分形图形更具有强力空间感，这是传统图形无法具有的。一般分形图形根据透视结构叠加生成，通过线条和色块的缠绕，有序的把视线吸引向纵深。从而使空间进一步的、无限的向深处延伸，同时还表现出色块的旋转运动，把观者带入一个由近而远的世界，黑与白的旋转交替给图形的空间赋予梦幻而又神秘的色彩。 1.2 丰富的动态变化人的心理与视觉存在某种事物以及事物外在关系所产生的视觉张力和形体势力，有非常敏感的判断。因此，图形是设计师如何根据事物以及事物本身的含义来对主题事物进行从新分割组合成新的图形，关键的该图形是否具备张力和事物的倾向性。在研究分形图形的过程中，我发现复杂的形体以及色彩变化过程中具有其内在的规律和秩序是分形图形的特点之一。在动态变化中寻求力的平衡，这中多变的动态美是传统图形不具备的，而且比传统图形更具有灵活性、运动多变性的艺术变化，无论从形态，还是从结构，还是图形本身的色彩变化来看，分形

浅谈分形理论在片头设计理念中的运用——以《今日中国》片头制作为例

浅谈分形理论在片头设计理念中的运用——以《今日中国》片头制作为例分形理论是一种数学理论，它探讨的是一种特殊的自相似性结构。在片头设计中，分形理论可以被用来创建独特、吸引人的图像，并传达电影的主题和氛围。本文将以《今日中国》片头制作为例，探讨分形理论在片头设计理念中的运用。首先，分形理论可以用来创建流畅的过渡效果。在《今日中国》的片头制作中，可以运用分形理论来设计图像的过渡效果，使得片头场景之间产生自然的转换。通过选择合适的分形形状和颜色，可以创建出既自然又令人惊艳的过渡效果。这种流畅的过渡效果可以帮助观众更好地沉浸在电影的情节中，增强电影的艺术表达力。其次，分形理论还可以用来塑造独特的视觉风格。《今日中国》作为一部关于中国当代发展的纪录片，可以通过运用分形理论来表达中国的独特之处。例如，在片头制作中可以使用具有中国传统文化元素的分形形状，并结合现代化的图像处理技术，来创造出富有中国特色的视觉效果。这样的设计既图像美观，又能突出电影的主题，增强电影的观赏性。此外，分形理论还可以用来表达电影的主题和情感。在《今日中国》中，片头的设计可以运用分形理论来表达中国当代社会发展的复杂性和多样性。通过使用分形形状和图像，可以传达出中国社会的纷繁复杂，以及中国的变化和发展。此外，还可以通过分形的自相似性结构来传达出电影中的反复出现的主题和情感，增强电影的艺术性和观众的情感共鸣。综上所述，分形理论在片头设计理念中的运用可以帮助创造出独特、吸引人的图像，并传达电影的主题和情感。通过运用分形理论，可以创建流畅的过渡效果，塑造独特的视觉风格，表达电影的主题和情感，以及加

浅谈数学怪物——分形

浅谈数学怪物——分形 1分形理论的产生分形（Fractal）理论是此刻世界的新理论、新学科，其观点是美籍数学家曼德布罗特第一提出的.大自然中物体和现象的几何形状广泛拥有复杂的不规则性,传统的欧氏几何学在描述这样的自然现象时显得苍白无力,分形学的产生就是被用来描述这些不规则的欧氏几何没法描述的几何现象和物体的,它的产生使自然光景的描述成为可能,这也是分形几何获取高度重视的原由之一.在分形理论真实发展起来的这十几年来,其研究倍受重视,分形的理论意义及适用价值深深吸引着人们追求新规律、新特点存在的可能性. 2分形理论的发展分形理论的发展能够分为三个阶段[1](P114-115)：第一个阶段是从1827年到1925年,在此时期,数学家们结构并且研究了好多奇遇或病态的会合及其图象,还试图对这种会合与经典会合的差异进行了详尽剖析.1827年,维尔斯特拉斯证明的一种在随意一点都不拥有有限或无穷的导数的连续函数曾惹起了极大的震动,固然人们以为此函数是极为“病态”的，但人们仍是从不一样方面推行了它,并且还对这种函数的奇异性质作了深入的研究.1904 年，瑞典的数学家科赫经过初等方法结构出了此刻称之为科赫曲线的到处不行微的连续曲线,并且还对该曲线的性质加于研究,该曲线改变了连续不行微曲线的结构必定特别复杂的见解,这是第一个认为结构的拥有局部与整体相像结构的曲线.1883年,德国数学家康托尔结构了一类不连通的紧集 s,s被称为康托尔三分集.在当时,它被以为在传统的研究中是能够忽视的,但此刻它在非线性研究中却据有重要的意义.1890 年,意大利数学家皮亚诺结构了能够经过某个正方形内全部点的曲线,这种奇异的曲线曾令人们对过去的长度与面积等观点从头进行认识,并使数学界大吃一惊.在此基础上，1901年,闵可夫斯基引入了闵可夫斯基容度,1919年,豪斯道夫引入了豪斯道夫测度和豪斯道夫维数.总之,在此阶段,人们已经提出了典型的“分形”对象和有关问题,并为研究此类问题供给了最基本的数学工具. 第二阶段大概是从1926年到1975年,在此阶段,人们对分形的性质作了深入研究,特别是对维数理论的研究已获取了丰富的成就.这一阶段对第一阶段的思想进行了系统、深入的研究,不单渐渐使其形成了理论,并且将研究范围扩大到了数学的很多分支之中.庞特里亚金、贝塞克维奇等研究的曲线的维数,分形集的局部性质,分形集的结构以及其在数论、调解剖析、几何测度论中的应用,这些都极大地丰富了分形几何理论.列维在这一阶段的工作极为重要,第一,他第一个系统地研究了自相像

分形几何学在数学中的应用

分形几何学在数学中的应用分形几何学是一门描述非整体几何形态的学科，旨在研究自然中那些看似复杂但具有某种重复结构的“异形体”，如云朵、树枝、海岸线等。分形几何学涉及的多为斐波那契数列、曼德博集、朱利亚集等著名的分形图像，它们虽然看似艺术品，但同时也为科学家研究探索提供了许多思路和启示。在数学领域中，分形几何学有着广泛的应用，本文将会介绍其中的一些。一、分形理论在图像压缩中的应用分形图像压缩技术是一种全新的图像压缩模式，它对自相似性的图像进行了探索，并且寻找到了自相似性的一般规律，最终形成了基于分形特征的高比例压缩模式。这种压缩模式的具体应用包括电子图象、遥感图象、数字信号、地图等领域。二、分形理论在金融市场预测中的应用分形几何学在金融市场的应用主要是通过其分形特征来预测市场走势。经过多年的研究，科学家们发现，在金融市场中，股票、期货等商品的价格走势常常表现出来分形的特征，因此可以利用

分形理论来剖析市场，预测市场走势和涨跌趋势。许多金融大佬利用分形理论，制定交易策略，从而取得了良好的投资回报。三、分形理论在土地利用规划中的应用利用分形特征对地形进行分段，可以得到一系列体块空间，这种方法被应用于城市风貌的分析和规划以及土地利用的方案制定中。利用分形特征进行空间自动分割，在统计分析地表质心变化的同时，改进了城市土地利用的管理和规划模式。四、分形理论在生命科学中的应用生命科学中的DNA序列、蛋白质序列等都具有自相似的特点，生物界的许多分形现象都存在着是否是一种更为高级的自组织模式仍然存在争议，但是利用分形特征，科学家们已经开始了一系列的探索和实验，涉及癌症诊断和治疗策略的制定、人体运动过程的测量以及脑功能的计算等等。五、分形理论在计算机科学中的应用

数学、分形与龙-最新教育文档

数学、分形与龙作者：佚名分形已被归为自然的几何。虽然自然界里有殴几里得物体的丰富例子（诸如六角形、圆、立方体、四面体、正方形、三角形、……）。但许多随意性的自然现象似乎难于由欧几里得的方法产生。对这类情况，分形给出了最好描述。我们知道，欧几里得几何被大量用于描述像晶体、蜂巢之类的物体，但人们很难在欧氏几何中找到表述诸如炒玉米花、烘烤物品、树皮、云朵、姜根和海岸线等对象的方法。欧几里得几何发祥于古代的希腊（约于公元前300年，欧几里得写下了《几何原本》），而分形出现的时间则要迟至19世纪。事实上，分形这个术语在1975年B·曼德勃罗之前还没有被造出来。分形有两种类型，一是几何分形，二是随机分形。分形的性质是多样的。例如，在平面上分形的维数是在1与2之间的分数，而在空间里分形维数在2与3之间。在分形的世界里，我们不能把它说成是2维或3维的，而应说它是1.75维或2.3维等等。在分形几何里海岸线的长度被认为是无限的，因为每个小小的海湾和沙滩都被测量，而这样的海湾和沙滩的数量在不断地变化，就像在龙的曲线构造里那样。分形有许多形式和用途。一组分形具有以下性质：即它的精细部分不会损失，放大后具有与原先相同的结构。下图所示的例子是塞沙洛曲线。

分形的新应用不断被发现。由于分形能够用递推函数加以描述（斐波那契序列就是一个递推的例子，它的每个项都等于前两项的和），所以用计算机生成分形是理想的。像电影《星际旅行Ⅱ：可汗的愤怒》中新行星的诞生以及《吉地的返回》中行星在空间飘浮等壮观的场面，就是由彼克沙公司在一台计算机上完成的（1986年）。分形还能用于描述和预示不同生态系统的演化（如乔治亚洲奥克芬诺沼泽地和生态变化。注：H·哈斯汀是纽约豪弗斯塔大学的一名数学家。他用分形作为奥克芬诺基沼泽地的生态系统的动态模型。将植物及丝柏斑块的地图与随机分形的地图相比较。结果，无需广泛的历史资料便能得出，在物种竞争中怎样的种类能够残留下来）。事实上，生态系统用分形来处理已成为当前的一种主要手段，它对于确定酸雨的扩散和研究其他环境污染问题也有重要的作用。分形打开了一个完全崭新和令人兴奋的几何学大门。这一新的数学领域，触及到我们生活的方方面面，诸如自然现象的描述，电影摄影术、天文学、经济学、气象学、生态学等等。分形能够产生具有出人意料的古怪物体。它的应用是如此广泛，它的特性是如此迷人。这个我们拥有的新几何，甚至可以描述变化的宇宙！龙的曲线是由物理学家J·E·亥威最先发现的，它可以通过若干步骤形成。

数学的分形几何

数学的分形几何分形几何是一门独特而迷人的数学领域，它研究的是自相似的结构和形态。分形几何的概念由波蒂亚·曼德博（Benoit Mandelbrot）在 1975年首次提出，之后得到了广泛应用和发展。本文将介绍分形几何的基本概念和应用领域，旨在帮助读者更好地了解这一令人着迷的学科。一、分形几何的基本概念分形（fractal）是一种非几何形状，具有自相似的特点。简单来说，分形就是在各个尺度上都具有相似性的图形。与传统的几何图形相比，分形图形更加复杂、细致，其形状常常无法用传统的几何方法进行描述。分形几何的基本概念包括分形维度、分形特征和分形生成等。 1. 分形维度分形维度是分形几何中的重要概念之一。传统的几何图形维度一般为整数，如直线的维度为1，平面的维度为2，而分形图形的维度可以是非整数。分形维度能够描述分形的复杂程度和空间占据情况，是衡量分形图形特性的重要指标。 2. 分形特征分形几何的分形特征是指分形图形所具有的一些独特性质。其中最著名的就是自相似性，即分形图形在不同尺度上具有相似的形态和结构。此外，分形图形还具有无限的细节，无论放大多少倍都能够找到相似的结构。

3. 分形生成分形图形的生成是分形几何中的关键问题之一。分形图形可以通过递归、迭代等方式进行生成，比如著名的分形集合——曼德博集合就是通过迭代运算得到的。分形生成的过程常常需要计算机的辅助，对于不同的分形形状，生成算法也有所不同。二、分形几何的应用领域分形几何的独特性质使其在许多领域中得到广泛应用。以下列举了几个典型的应用领域。 1. 自然科学分形几何在自然科学中有着广泛的应用。例如，分形理论可以用来研究自然界中的地形、云雾形态等。通过分形几何的方法，我们能够更好地理解和描述自然界的复杂性，揭示出隐藏在表面之下的规律。 2. 经济金融分形几何在经济金融领域也有着重要的应用。金融市场的价格走势往往具有分形特征，通过分形几何的方法可以更好地预测未来的市场走势和波动。此外，分形几何还可以用来研究金融时间序列的长期相关性与短期波动性。 3. 艺术与设计分形几何的美学特性使其在艺术与设计领域中得到广泛运用。许多艺术作品和设计元素都融入了分形的概念，如分形艺术品、建筑设计

分形几何简介

寻找隐藏的维度一一大自然的分形几何陈燕子一、课例背景上世纪80年代初开始的“分形热〃经久不息。分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。美国物理学大师约翰•惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。可以说分形几何是真正描述大自然的几何学，对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域，使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。高中生具有平面几何的相似性和对维数的理解，继而来认识一门新的，神奇的几何，既温故知新，又趣味盎然。二、教学目标（一）知识与技能 1、了解当今数学前沿的发展，以及数学在我们的生活，艺术，经济，医学等方而的宽广应用； 2、了解分形理论的思想：自相似性与分数维数（二）过程与方法 1、通过视频分步讲解（三）情感、态度与价值观 1、用独特的眼光观察大自然，发现不同事物的共同规律；

2、用科学的方法认知世界，体悟思考，钻研和创新的力量。三、课例内容（一）引入课题数学犹如一棵大树深深地扎根于现实世界中.它包含两大分支——代数和几何.这两个分支又有很多分支，并相互交叉，相辅相成. 数学这棵大树如此之古老，已有万年的历史；数学这棵大树如此之常新，每年都在发新枝；数学这棵大树如此之繁茂，它从自然科学深入到社会科学的领域, 深入到生活的各个领域；这棵大树如此之奇特，它同根异干，同干异枝，同枝异叶，同叶异花，同花异果。下面，我们就从几何这个枝干上摘一两片新叶来看看到底是多么奇特。电影特效，股票市场，和心脏病的共同点是什么？（以视频辅助讲解）它们连接了一个革命性的新的数学分支，改变了我们看世界，开辟了广阔的新领域。（二）推入新课无尽相似的艺术一一分形几何 1、分形几何的诞生分形理论建立于20世纪70年代末,30年来震惊着世界科学界，被科学界列入20世纪的20项重大科学发现之一，但至今仍鲜为世人所知。 ①不规则事物的启发众所周知，基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象

华工数学实验实验三迭代与分形

华工数学实验实验三迭代与分形华工数学实验实验三迭代与分形实验三迭代与分形一、实验目的与要求（了解分形几何的基本情况;1 2（了解通过迭代方式产生分形图的方法；3（了解matlab软件中简单的程序结构； 4（掌握matlab软件中plot, fill 等函数的基本用法； 1 二、实验内容 1（对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为Koch雪花。编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。 2（自己构造生成元（要有创意），按照图形迭代的方式产生分形图，用计算机编制程序绘制出它的图形，并计算其分形维数。三、实验过程 1. 问题分析 Koch曲线是通过图形迭代的方式产生的，其迭代规则是：对一条线段，首先将它分成三等份，然后将中间的一份替换成以此为底边的等边三角形的另外两条边。

无限次迭代下去，最终形成的曲线就是Koch曲线。在本次实验当中，以等边三角形为基本单元进行迭代，从而形成Koch曲线。

在这个实验中，可借助一条线段迭代的代码进行修改，让它对一个等边三角形的每条边都按照Koch 曲线的方式进行迭代，产生的分形图就为Koch 雪花。编制程序绘制出它的图形时，我们要先规定等边三角形的三个顶点的坐标分别为(0,0) 、(20,0) 、(10,20*sin(pi/3)). 绘制出它的图形后计算Koch 雪花的面积，以及它的分形维数。 2. 编程实现 Koch雪花图形编制程序的具体代码如下，程序截图如图1所示 function plotkoch (k) % 显示迭代k 次后的Koch 曲线图 p=[0,0; 10,20*sin(pi/3); 20,0;0,0]; % 存放等边三角形3 个结点坐标初始值n=3; % 存放线段的数量，初始值为3 A=[cos(pi/3),-sin(pi/3);sin(pi/3),cos(pi/3)]; % 用于计算新的结点for s=1:k % 实现迭代过程，计算所有的结点的坐标 j=0; % 以下根据线段两个结点的坐标，计算迭代后它们之间增加的三个 % 结点的坐标，并且将这些点的坐标按次序存暂时放到r 中 for i=1:n % 每条边计算一次 q1=p (i,:); % 目前线段的起点坐标 q2=p (i+1,:); % 目前线段的终点坐标 2 d=(q2-q1)/3; % j=j+1;r (j,:)=q1; % 原起点存入r j=j+1;r (j,:)=q1+d; % 新1 点存入r