对一道竞赛题的深入探究

一道高考数学几何题的多种解法探究

一道高考数学几何题的多种解法探究 本文通过一个高考填空题的四种解法着重阐明解析 几何的思想和方法。解法一打破题目所给的坐标系的禁锢，重新建立坐标系另辟蹊径。解法二根据直线AC⊥BD以此建立新的坐标系，这是本题的又一个另辟蹊径。有了参数α，写出新坐标系下的圆的方程，再数形结合用根与系数的关系求弦长。解法三采用直线参数方程，再一次另辟蹊径为解决本题寻求新的方法，其根本目的是便于计算弦长。解法四是几何法，用添加两条垂线的巧妙运用，结合几个重要定理求出弦长，用重要不等式求四边形的最大值。有了这些好方法，使本来很难做的问题得以迎刃而解。 命题：如图⑴已知AC、BD为⊙O：x?+y?=4的两条互相垂直的弦， 垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值是__. 解法一： 由于|OM|= ，考虑到原来的坐标系中两条弦长的计算比较繁琐，因此可改变方法，以 直线OM为x轴，建立新的直角坐标系，此时M的坐标是（，0）。 1.直线AC与BD有一条斜率不存在时，另一条的斜率

为0.不妨设BD的斜率 不存在，则BD⊥x轴，另一条|AC|为直径4，弦|BD|= 此时四边形ABCD 的面积S=1/2|AC|?|BD|=4 2.当直线AC与BD的斜率都存在时，不妨设AC的斜率为k，（k≠0）则BD的斜率为-1/k.所以AC的直线方 k?x-y-k=0，BD的直线方程为x+k?y-=0 。 设O到AC、BD的距离分别是d1，d2，则d1=，d2= 由垂径定理和相交弦定理得|AC|?=4（|AC|/2）?=4（2+d1）（2-d1）=4（4-d1?）类似地可得到|BD|? S?=（1/2|AC|?|BD|）? ∴S ≤ 5. 当k?=1/k?时k=±1时等式成立，此时四边形ABCD的面积S取得最大值5。 坐标系的恰当建立是解析法解题的重要基础和关键，否则会使计算繁琐。本题解法打破题目所给的直角坐标系的禁锢，重新建立坐标系，这就是另辟蹊径的重要途径。然后再综合运用圆的垂经定理和相交弦定理，点到直线的距离公式和重要不等式定理就可解决问题。 解法二：由于AC⊥BD，分别以AC、BD所在直线为x′、y′轴，建立如图新的直角坐标系设∠xMx′=α，则M的坐标为（0，0），O的坐标是（-cosα，sinα），圆的方程是（x′+cosα）?+（y′-sinα）?=4

一道竞赛试题的解法探究

44 福建中学数学 2012年第3期 一道竞赛试题的解法探究 浙江省温州市第二十二中学（325000） 2011年全国高中数学联合竞赛第2题，试题简约，寓意深刻，考生可以从多个角度切高洪武 吴勇军 一试（A 卷）中22(1)1(1)y x t t x t t =??? ?令=??=≥?? （＊2） 而直线入，很好地考查高中数学常见的一些思想方法以及学生对基本知识、基本技能的掌握情况．本文拟从四个角度出发，对该题目进行初步的剖析，以 期引发更多的思考． 题目 （2011年全国高中数学联合竞赛一试试题 （A (1)t y x =? 过定点（1，0）．当时，两曲线有公共点，则； 0y >1y >时，两曲线有公共点，x 直线(1t y 当0y <)=?应 绕着点(1，0)从逆时针方向旋转到的位置，与 曲线t 2L 卷）第2 题）函数()1 f x x = ?的值域是 ． 解法一三角换元法 令tan x θ=，（22θπ?<<，且π4 θπ ≠） （注：换元时保持变量的等价性） 则y tan 1cos θθ? = 11 sin cos )4 θθθ==π??． 22θππ?<<∵，且4θπ≠， 3444 <，且0θπππ ∴?π?， ()f x ∴ 的值域为((12 ?∞?+∞∪，，)． 评析 此函数为分式型无理函数，解决此类问题 通常是化无理式为有理式，即努力将根式中的被开方数(式)化成完全平方数(式)，由221tan 1cos θθ+=联想到三角换元，思路由此打开．解法二 数形结合法 y =∵ ，(y x ∴1)?=（＊1）， 322t x L 3L 1(1)?=≥切． 相联立方程221t x (1)t y x =????=?， 得(1)y x ??． 即2222(1)210y x y x y ，22210x ?=??+?=． 若直线1)(t y x =?x t ≥相切， )4(0y y 与2t ?=21( 1)2y =?则2(21)222Δ=?=??，． ∴直线(1)t y x =?绕着点(1，逆时针方向旋转过程中，0)从2 L 2 到L 的y ≤3． 综上得y ≤或即函数的值域为 1y >， ((1)?∞+∞∪，， ． 解法比较巧妙地函数值赋予“特殊身份”，想，将问题转化为我们熟悉的两类曲线有公共点问题．其转化基本思路为：函数 有意义评析 本将利用数形结合思方程有解曲线有公共点． ←←解法三 基本不等式法 （1） 若1x >， ()f x 1x >∵，20x x ∴+?>2x x ∴+>，， 2 1112x x ∴+>+?，f x ()1∴>（2）若． ， x 1<

一题多解之五种方法解一道经典数学题

1 O B C D ① A 一题多解之五种方法解一道经典数学题 江苏海安紫石中学 黄本华 一题多解是我们学习数学的特好方法！通过一题多解，我们可以多角度、多方位地去思考解题的方案，这样不仅能加强知识间的联系，同时也增添新颖性和趣味性，优化我们的思维结构，提升我们的思维能力。更重要的是，一题多解让我们不仅只满足解题目标的实现，而是让我们拥有了研究学问的态度！ 例题 如图，在平面直角坐标系中，点A (－1，0)，B (0，3)，直线BC 交坐标轴于B ， C 两点，且∠CBA ＝45°.求直线BC 的解析式． 【分析】要求BC 解析式，现在已经知道了B 点坐标，所以只要求到C 点坐标就好了。这就要用到条件∠CBA ＝45°。但这个条件如何用呢？这是本题的难点，也是关键点。考虑到这个角是45°，我们可以尝试做垂线，构造等腰直角三角形。如图①，作AD ⊥BC 于D ，由A 、B 的坐标可知1OA =，3OB =，根据勾股定理2 2 10AB OA OB =+=， 5BD AD ==AC x =，则1OC x =+，25DC x =-255BC x =-，在 RT OBC ?中， 根据勾股定理得出222OC OB BC +=，即()2 222 13(55)x x ++=-，解得15 2 x =- （舍去），25x =，求得6OC =，得出C （﹣6，0），然后根据待定系数法即可求得BC 的解析式． 解法一：如图①，作AD ⊥BC 于D ， ∵点A （﹣1，0），B （0，3）， ∴1OA =，3OB =，∴2 2 10AB OA OB =+=， ∵∠CBA =45°，∴△ABD 是等腰直角三角形， ∴5BD AD == 设AC x =，则1OC x =+， ∴25DC x =-，∴BC=+255BC x = -+， 在152 x =- 中，222OC OB BC +=2 ，即()222213(55)x x ++=-）， 解得x 1=﹣ （舍去），25x =， ∴5AC =，6OC =，∴C （﹣6，0）， 设直线BC 的解析式为3y kx =+，

科技知识竞赛题库及答案

科技知识竞赛题库及答案 1、中华人民共和国科学技术普及法何时开始实施的？B A、2002年6月26日 B、2002年6月29日 C、2002年7月1日 D、2003年6月29日 2、何时美国英格伯格和德沃尔制造出世界上第一台工业机器人，机器人的历史 才真正开始？(C ) A、1946年 B、1950年 C、1959年 3、奥运五环旗中的绿色环代表哪里？( C ) A、美洲 B、欧洲 C、澳洲 D、亚洲 4、根据党的十六大及十六届三中、四中、五中全会精神，依照《?》和《国家中 长期科学和技术发展规划纲要（2006—2020年）》，制定并实施《全民科学素质行动计划纲要（2006—2010—2020）》。(B) A、中华人民共和国宪法 B、中华人民共和国科学技术普及法 C、中华人民共和国民法 D、中华人民共和国专利法 5、太阳光是由三部分组成，下面哪种不是太阳光的组成之一？（C） A、可见光 B、紫外线 C、不可见光 D、红外线 6、哪些因素是大气污染形成的主要原因？（C） A、森林火灾 B、火山爆发 C、汽车尾气、工业废气 7、我国的载人航天发射场是下列哪一个？(A) A.酒泉 B.太原 C.山西 8、全民科学素质行动计划在十一五期间主要行动有（A）

A、未成年人科学素质行动，农民科学素质行动,城镇劳动人口科学行动素质 行动，领导干部和公务员科学素质行动 B、中老年人科学素质行动，农民科学素质行动，农村党员干部科学行动素质 行动，领导干部和公务员科学素质行动 C、农民科学素质行动，城镇劳动人口科学行动素质行动，领导干部和公务员 科学素质行动 9、目前国际公认的高技术前沿是指(B)。 A、航天航空技术 B、计算机与信息技术 C、生物技术 D、新材料技术 10、人体需要的营养素中，在各种营养素中排行第七的营养素是什么？B A、脂肪 B、纤维素 C、维生素 11、提高公民科学素质，对于增强公民获取和运用科技知识的能力、改善生活质 量、实现全面发展，对于提高国家自主创新能力，建设( C )国家，实现经济社会全面协调可持续发展，构建社会主义和谐社会，都具有十分重要的意义。 A、节约型 B、民主法制 C、创新型 D、科技型 12、我国森林覆盖率最高的省是哪个省？B A、浙江 B、福建 C、吉林 D、四川 13、“百日咳”的百日是指：A A、病程长度 B、通常在婴儿100天时发病 C、发现这种病毒只用了100天 D、此病有100天的潜伏期

一道高考数学试题的多种解法

一道高考试题的多种解法 2007年普通高等学校招生全国统一考试卷Ⅰ理科数学19题: S?ABCDABCD为平行四边形底面,四棱锥中, CBBCS?A面侧.已知底面2BC?23?SA?SB2?AB45??ABC. ,,,BC?SA; 证明(Ⅰ)SABSD. 与平面所成的角的大小(Ⅱ)求直线下面只列,第一问证法较多,第二问相对作法较少: 举几种第一问的证法AOO?BCSSO. ）垂足为证法一:过（如图作,连接1,?SOCDBC?ABS面底得由侧面底面 ABCDSASBCDAOBOAB内的射,、分别是、在底面影. ?OBOASA?SB? ,又45??ABC?ABO?, 形直,角三角又是等腰?OB?OA. BC?SA. 由三垂线定理得SOOAO?BCA1). 连接如图,垂足为(:证法二过,作?SBCSBCSASOSBC?ABCDAO?且由侧面,在侧面底面内的射 影得是,侧面BO,AO?AO?SO. 45?ABO??SBO????SA?ABO?SBSAOOBOA?. .,在又,中90SOA???SOB??SOOB?. 即BCSA?. 由三垂线定理得 OBCAC连接,记证法三:连接的中点为,ABCAOSO?中2).、在(如图 2BC?245??ABC?2AB?ABC?,,,?BCAO?) .(是等腰直角三角形, 下同证法二OACBC连接的中点为,记,证法四:连接 2BC?245ABO???2AB?ABC?SOAO?ABC是等腰直角,中,,2).、(如图在?BC?AO. 三角形, ??SBCSOSASBCSBCABCDAO?. 在侧面,是又侧面底面,内的射影侧面3?cosSBA?SAB?. 在中易得3． 6???SBCcosCBAcos??cos?SBCcos?SBA. 又3?3SC?SO??BCSBC. 中由余弦定理得,在SA?BC. 由三垂线定理得AAO?BCOSO(如图,连接,垂足为过证法五:1). 作?SOSA?SBCSBCSBC?ABCDAO内的射影侧面由侧面,,底面在侧面得且是AO?SO,AO?BO. OA?OB?245??ABC?2AB?ABO?Rt. ,在中,AOS?SORt??12SA?3,AO?. ,在中BOSSO?1?OB?SO?2BO?SB?3,. 中在,,SA?BC. 由三垂线定理得?SBABCDABCDBCSBC?. ,证法六: 侧面在底面内的射影为底面 3??SBAcosSAB?. 中易得在36?cos?SBC?CBA??SBA?cos?SBCcoscos又. 3 SC?3SBC?. 在中由余弦定理得?AO?ABCDBC?SOBCOAOSOSO?是记则的中点为,连接底面、,(如图1),SAABCD内的射影.

小学数学竞赛：统筹规划.学生版解题技巧 培优 易错 难

统筹规划 教学目标 1.掌握合理安排时间、地点问题. 2.掌握合理布线和调运问题． 知识点拨 知识点说明： 统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率．我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务，他在中学语文课本中，曾有一篇名为《统筹原理》的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义．运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索的方法等，都是我们小学生能够掌握的。这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。 本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。 “节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。 “发生对流的调运方案”不可能是最优方案。 “小往大靠，支往干靠”。 例题精讲 板块一、合理安排时间 【例 1】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎3张饼需几分钟？怎样煎？ 【巩固】烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼，至少需要多少分钟？ 【巩固】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎2009张饼需几分钟？

科普知识竞赛题库

1、工笔是哪种绘画形式的技法（D） A.水彩画 B.油画 C.水粉画 D.国画 2、人体含水量百分比最高的器官是（C） A.肝 B.肾 C.眼球 3、人体最大的解毒器官是（C） A.胃 B.肾脏 C.肝脏 D.脾 4、中国民间“送灶神”时要吃粘牙的甜食，这是为了（D） A.容易打发小孩子 B.是灶神喜欢的食品 C.甜为吉利 D.用糖粘住灶神的牙 5、下列哪种邮件如果丢失了，邮局不负赔偿责任（A） A.平信 B.挂号信 C.保价邮件 D.非保价邮包 E.特快专递邮 6、全世界最大的石佛像在(A)

A.四川乐山 B.河南洛阳 C.四川屏山 D.四川江津 7、狗热时用什么散热(B) A.皮肤 B.舌头 C.眼睛 D.耳朵 8 、现在美国国旗星条旗上有多少颗星: (C) A.25颗 B.30颗 C.50颗 D.60颗 9 、鱼、蛙、蛇等冷血动物的体温是(B) A.固定不变的 B.随外界的温度变化而变化 C.随体形的大小变化而变化 10、按照风俗习惯戒指带在中指上表示(B) A.正在寻找对象 B.正在恋爱之中 C.表示独身 D.表示离婚 E.表示结婚 11、智力的核心是(C)

A.机械记忆能力 B.注意力 C.抽象思维能力 D.观察力 12 、预防感冒要（ＡＢＣＤ） A 锻炼身体增强抵抗力 B 经常开窗通风换气 C 随气候变化增减衣服 D 不去病家串门，感冒流行时少去公共场所 13、预防骨折要（ＡＢＣＤ） A 注意遵守交通规则，防止交通事故 B 上下楼梯或高空作业要注意安全 C 要避免攀高取物，防止跌倒骨折D骨质疏松症者要避免剧烈运动 14、中暑急救处理（ＡＢＣＤ） A 轻度中暑时，应立即撤离高温环境到通风阴凉处休息 B 饮糖盐水及清凉饮料，也可内服人丹

2020年中考数学 一道竞赛题的多种解法

一道竞赛题的多种解法 数学被公认为是“思维的体操”，原因之一是数学题目本身蕴含或隐藏着各种各样的联系，促使我们去分析，去发现；同时，在一个题目周围，又往往能衍生出一大批与之相关的，相似的内容丰富的问题，引发我们进一步探究和深思。数学解题不在多，而在深。认真研究某一问题，深入钻研进去，就会有异常的收获，因此解题要注意，扩大解题成果。 题：已知a、b、c是三角形ABC的三条边长，△是该三角形的面积. 求证: a2+b2+c2≥43△,指出在什么条件下等号成立？ 解一：分析： 探索求解思路：求证的不等式可以改写为： 先考虑特殊情形：三角形ABC是等边三角形时，即a=b=c时， ∴ △ABC为等边三角形时成立. 又利用“三角形周长一定时，以等边三角形的面积为最大（不妨设为T）”的结论，只需证明“”即可. 证明：∵当三角形的周长a+b+c一定时，以等边三角形的面积为最大，则： ∴ 当且仅当a=b=c时取等号.

证明二：由 得证. 证明三：由三角形面积的海伦公式 16△2=2a2b2+2b2c2+2c2a2-a4-b4-c4 又 a4+b4+c4-(a2b2+b2c2+c2a2) ∴a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2 ∴(a2+b2+c2)2=a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2a2c2 ≥3(2a2b2+2b2c2+2c2a2-a4-b4-c4) =3×16△2=48△2 从而得证. 证明四： (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) 其中当且仅当b+c-a=c+a-b=a+b-c, 即a=b=c时，等号成立. 此题的证法不只限于这几种，大家还可想出更多的新的解题思路。

解题-对一道竞赛试题的思考-杨广亮

对一道竞赛试题的思考 杨广亮 (高新区枫杨街 郑州外国语学校 河南 郑州 450001） 题目 设ABC ?为锐角三角形，M ，N ，P 分别是ABC ?的重心G 向边AB ，BC ， CA 所作垂线的垂足. 证明： 4 1274≤

2021年科学知识竞赛试题及答案

2021年科学知识竞赛试题及答案 1、蚯蚓是改良土壤的能手吗?(是) 2、水蒸汽受冷能直接变成冰吗?(能) 3、世界上最先种桑养蚕生产丝织品的国家是中国吗?(是) 4、把50毫升黄豆与100毫升小米混合，体积是150毫升吗(不) 5、降落伞下降的速度与伞面的制作材料有关吗(没有) 6、小明坐在行驶的汽车里，他说自己是静止的。他的参照物是什么(汽车内的物品) 7、历时40年的研究，能够预测黑猩猩行为的科学家是谁(珍妮) 8、中国的四大发明是什么(火药、指南针、造纸术、活字印刷)

9、透过红色滤光片，看到白色的衣服是黄色的吗(不) 10、水是白色透明的液体吗(不是) 11、太空是一个静悄悄的世界吗(不是) 12、有空气、温度和水，种子一定能发芽吗(不一定) 13、二氧化碳能使食盐水变混浊吗(不能能使清石灰水变浑浊) 14、月亮是光源吗?(不是) 15、磁铁中磁性最强的部分叫什么?(磁极) 16、人体共有多少块骨头，(206)共同组成人体的支架，这个支架叫什么?(骨骼) 17、人体大约多少块肌肉?( 600多块) 18、正常情况下，人的呼吸次数的多少与人的年龄大小有关系吗?(有)

19、云和雾都是水蒸汽吗?(不是) 20、木头反射光吗?(反) 21、0℃的冰比0℃的水更冷吗?(不) 22、土豆我们食用的部分是果实吗?(不) 23、声音是由物体振动引起的，物体振动消失后，声音会消失吗?(会) 24、植物都具有向光性吗?(有) 25、所有气体都不能在水中溶解?(不) 26、早晨8点，小明测的一棵小树在阳光下的影子长6米，上午11点再去测量，小树的影子变长了吗?(变短了) 27、科学就是提出问题并想办法寻求问题答案的过程吗?(是)

一道高考选择题的多种解法

一道高考选择题的多种解法 题目：两个可视为质点的小球a 和b ，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，如图所示。已知小球a 和b 的质量之比为3，细杆长度是球面半径的2倍。两球处于平衡状态时，细杆与水平面的夹角θ是（ ） A. 45 B. 30 C. 5.22 D. 15 解法一：力矩平衡 辅助线如图所示，其中ON 垂直ab ，OM 垂直水平虚线，则θ=∠MON 。又由于R ab 2=，所以三解形aOb 为等腰直角三角形。以O 点为转轴，用力矩平衡原理有（图中未做出转轴到力的作用线的距离）： ?? ? ??+=??? ??-θπθπ4sin 4sin gR m gR m b a 整理得 ?? ? ??+=??? ??-θπθπ4sin 4sin 3…………………………（1） 将四个选项代入可知，选项D 正确。 附：若将上面的（1）式展开来看，可以直接求出关于关于θ的三角函数值，但从下面的计算可以看出，这样做来选择正确选项，并不是容易的。 θθθθcos 2 2sin 22sin 223cos 223+=?-? 整理可得： 32tan -=θ 图2 图1

可以很容易的知道A 和B 是不正确的，但由于我们没有记住C 和D 的角度的正切值，所以说不易找到结果。这说明了解选择题和解答题的解法是不同的。 解法二：共点力平衡——正弦定理 受力分析如图3所示，由于两物体处于平衡状态，所以所受到的三个力将分别构成封闭的三角形。 由两直线平行，同位角相等，可知a 、b 两物体所受支持与直方向的夹角分别为θπ -4和 θπ +4。在两个三角形中分别用正弦定理，有 4sin 4sin 1π θπg m F =??? ??- (2) 4sin 4sin 2π θπg m F =??? ??+ (3) （2）式除以（3）式，整理可得 34sin 4sin 12==?? ? ??-??? ??+m m θπθπ 将四个选项分别代入上式可以找到正确答案。 解法三：共点力平衡——正交分解法 如图对a 进行受力分析并建立直角坐标系。由共点力平衡条件可知 图4 图3

一道几何常规题的五种解法

一道几何常规题的五种解法 发表时间：2019-06-10T15:11:06.673Z 来源：《知识-力量》2019年8月28期作者：向星[导读] 一道数学题可以涵盖很多知识点。当然，一道数学题的解法也有很多。在数学教学中，教师引导学生探究一道数学题的多种解法是很有必要的。因此，本文就从一道数学常规题出发，探讨了它的多种解法。通过对不同方法的分析，旨在给我们的数学带来一定的启示。（湖北省秭归县归州镇初级中学，湖北省宜昌市 443601） 摘要：一道数学题可以涵盖很多知识点。当然，一道数学题的解法也有很多。在数学教学中，教师引导学生探究一道数学题的多种解法是很有必要的。因此，本文就从一道数学常规题出发，探讨了它的多种解法。通过对不同方法的分析，旨在给我们的数学带来一定的启示。关键词：数学教学；几何题；多种解法 在平常做数学题时，同学们受时间和知识局限等因素的影响，解题方法往往较单一，如果遇到问题多角度的思考，会回忆出更多的基础知识，收获一些解决问题的方法。下面笔者用一个常规题进行说明，供同学们参考。 如图1：正方形ABCD边BC上一点E，过E作AE的垂线交 BCD的外角平分线于点F，求证：AE=EF。 分析:本题是以正方形为条件，证两线段相等问题。对于几何证明题，若能根据已知求证并结合所给图形的特征(数字、关系、结构)，通过分析，适当添置辅助线，则能形成证题思路。 方法1：构造全等 本题是最常见的证明线段相等问题，最常规的方法也就是证明全等，观察AE和EF，所在的三角形有两种（并不全等），一个是直角三角形，一个是钝角三角形，很显然要紧扣条件构造全等。 俗话说：“条条大路通罗马”。以上展示了几种解法，都可以解决问题，构造全等（相似），利用对称转化是几何计算证明的常规方法；代几结合是一种数形结合思想所以每道题做完后，不妨再想一想，还有没有其它解法呢？如果能养成这样的思考习惯，或许能开阔我们做题的思路，又能加强数学知识的横向联系。 参考文献 [1]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

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一道数学竞赛试题的解法探索及启示 一、的提出 笔看在分析2010年全国初中数学联合竟赛试题时.对第一大题 第4小禽产生了极大的兴趣。厚题如下：若方程。. 3x-l=0(l)的两个根 也是方程x\ax4bxM=0(2)的根， 则ib-2c 的值为(,)(A)?13 (B)-9 (C)6 (D)0 为什么笔者会对这道试题特别感兴趣？我们一起从解决这一试题 的思路形成过程及解答过程中寻求答案。 二、何题的分析及解决 该题纶出的参冬答案中解答如下： 设m是方程x2-3x-l=O的一个根，则m2-3m-l=O，所以mJ3m+l o 由鹿意.m也是方程x4>ax2fbx>cxO得根，所以m4fam2+ bin代 =0,把代人上式，得(3m+l)A?mJbmM=0，整理 AVTT -2~ 将x>x2分别代入方程联立方程组并化简得： (952^-264 VTT+88a+24a VTT+24b+8b VIT+】6c=0 (3) '952-264\/TT*88a-24aV1T4-24b-8bx/1T?l^O (4) (3*)得：3a+b=-33 (5) (3 片(4)得：lla?3b+2c=-l 19 (6) (5)x4-(6)得：wb-2g-13 反思一：该思路清嘶、明了 .但在具体运算中.计算过程比较 繁琐,且技巧性比较强?则有下面的分析： 思路分析二：若方程(1)的两个根也是方程(2)的根.则多项式 x^ax^bx+c可分解为/?3x-l与另一个因式乘积的形式，可设 x%ax24-bx-H：=(x2-3x-1 Xx2^mx+n) (7) 其中?mji为待定的系IL为了得到a+b-2c的值，可以有两种 解法. 解必二：由多顼式恒等定理知道，两个多项式恒等，对应次项 的系数对应相等，即由x4+ax2+bx-H5=x4-Hm-3)x3+(n-3in-1) x2- (m+3n)x-n,得 m-3=0 n-3m-l=a m+3n=-b ic=f 典I a+b-2c—13 解法三：(7)式既然是怛等式，那么该式对所有实数均成立， 令x=(?=l得： n=-c -3(m+n+ l)=a+b+c+1 1 +a-b+c=4( 1 -m+n) *l<#a+b-2c=-13 反思二：由思路分析二可知，x%ax、bwc能被F?3x?l 整 除，设其商式F+mx+n,姻余式为O0此时，问题转换为求X、 ax24bx*c 除以x^-Sx-l 的商? 解法四：由长除法m x4 4-0-jr1?-女-1 * -3.？X 4 >3X4(0 4 10X^30 J G X-t-far +c 3? -X -* (a^lO)j^ +(64 3)x (o ? 10湿 T。? 10U - 10) (8 + 3a + 33)x +(Q + c*10)(余式) 右jb+3a+33=O 侣：aw 10=0 解之得：a+b-2c=-13 反思三：由解法四可知.当按长除法计算两多项式之商时，各项排列的位置完全可以表示它们所含字母的次救，故可以略去字母而只写出系数,以简化计算，此方法称为分离系数的长除法。 僻法五：由分离系数的长除法⑶ 1 ?0 40 ?!> ?c 1 ?3 T ■)1 T T h *3 .("10X商式) 3 +("1)?b 3 “?3 _______________ ("10) ?(8?3) +c 9 + 10) -3("10) -(。+ 10) (8i?33) ?("?c?10X余式) 下同解法四。 反思四：显然，分离系数的长除法比长除法简单，为使除法书写更简单一些。下面我们进一步讨论被除式、除式、商以及余式之间的系数关系：设 Rx)二KX W.I LI???”以+炒。(a.#0)? 除以x-a的商及余数分别是q(x)、r,其中 b#T??4遇1蛎。(bi。。) 得(9.a)mW6*b)m+c+1 =0。 从而可知：方程x2-3x-1=O的两根也是方程(9+a)mW6+ b)m-K>l=0的根,这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，从而有(9+a)m2+<6+b)m+c+l =k(x2-3x-1)(k 为常数)，故9±a_=6^=c+t，所以Jb=-3a律3 .因此出扯&-也 1 一3 —1 ic=—a—iu 笔者在对这道题经过研究，又得到了下面几种解法： 思路分析一：由原题可知，方程(1)的两个根也是方程(2)的根，据此得： 解法一：求出方程(1)的炯个根：由=号豆?％= 下用待定系数法来确定q(x)中的系数与余数r o f(x)Hx-a)q(x片 T,即 ? ? ? fxQao =b-ixN

一道三角函数竞赛题的多种解法

一道三角函数竞赛题的多种解法 《华罗庚数学奥林匹克竞赛集训教材》第169页有这样一道竞赛题： 求满足下式的锐角x ：4sin 347cos 1215=-+-x x 由于此题较难，所以笔者将它作为我校高二竞赛培训中的一道压轴考试题，但考试结果较好。笔者收集了几种颇具代表性的解答，供竞赛教练和同学参考。 解法1：考虑构造余弦定理（此法与教程相同）。 因4)90cos(3432cos 31223123222=-?-++?-+x x 在ABC Rt ?中，设3 =CE ，x ACD =∠，则x BCD -?=∠90。 如图，||4|||AB BE AE ≥=+，又4412||=+=AB 所以点E 、D 重合。设y AD =||，于是 )]90sin(2sin 32[32 132x x S S S BCD ACD ABC -?+?= +==??? ?=??+=?60)30sin(1x x 解法2：运用柯西不等式。 因≥?? ????-+-???????+2222sin 347cos 4513x x 2sin 3471cos 453??????-?+-?≥x x 16sin 347cos 12152=??????-+-=x x 当且仅当x x sin 3471cos 453-=-，即4cos sin 33=-x x ， 因x x x f cos sin 33)(-=在??? ?? 2 ,0π上递增，又4)3(==πf ，则3π =x 。 解法3：分子有理化巧妙化简。 因4sin 347cos 1215=-+-x x ① 则?=------4sin 347cos 1215) sin 347()1215(x x x cocx x x x x sin 3cos 32sin 347cos 1215+-=--- ② 由(①+②2)整理得：04)sin 3(cos 4)sin 3(cos 2=++-+x x x x 则2sin 3cos =+x x ，从而?=60x . 12 3 2 C A B D E

2020年科普知识竞赛精选题库及答案(共320题)

2020年科普知识竞赛精选题库及答案 （共320题） 1.花卉的常用繁殖方法有四种，试问文竹是属于哪一种繁殖方法？（C） A、播种繁殖 B、扦插繁殖 C、分株繁殖 D、压条繁殖 2.奥运五环旗中的绿色环代表哪里？( C ) A、美洲 B、欧洲 C、澳洲 D、亚洲 3. 太阳光是由三部分组成，下面哪种不是太阳光的组成之一？（C） A、可见光 B、紫外线 C、不可见光 D、红外线 4.哪些因素是大气污染形成的主要原因？（C） A、森林火灾 B、火山爆发 C、汽车尾气、工业废气 5.我国的载人航天发射场是下列哪一个？(A) A.酒泉 B.太原 C.山西 6. 今年1月９日，全国科学技术大会在人民大会堂隆重开幕，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席胡锦涛向获得2005年度国家最高科学技术奖的（ A ）和吴孟超颁发奖励证书和奖金。 A.叶笃正 B.王永志 C.袁隆平 7.2008年北京奥运主题口号是：（ A ） A、绿色奥运、科技奥运、人文奥运 B、同一个世界，同一个梦想 C、更快、更高、更强8.人造卫星是什么? ( B ) A.是围绕卫星飞行的人造物体 B.是围绕行星飞行的人造物 C.是围绕行太阳飞行的人造物体

9. 探测器用于（C）。 A．加速粒子B．产生粒子 C．观测粒子D．接收粒子 E．使粒子发生碰撞 10.人体需要的营养素中，在各种营养素中排行第七的营养素是什么？（ B ） A、脂肪 B、纤维素 C、维生素 11. 1876年，定居美国的苏格兰人( A )试验有线电话成功 A.贝尔 B.赫兹 C.马可尼 D.摩尔斯 12.第一个研制成功原子弹的国家是：( A ) A.美国 B.苏联 C.英国 D.中国 13.目前世界上拥有核武器的国家不包括：( D ) A.印度和巴基斯坦 B美国英国法国 C.中国和俄国 D.德国和日本 14.目前世界软件出口最大的发展中国家是：( A ) A.印度 B.巴西 C.埃及 D.中国 15.根据板块构造学说，地球的岩石圈分为六大板块，而惟一全是海洋的板块是：( A ) A.太平洋板块 B.印度洋板块 C.亚欧板块 D.南极洲板块 16.九大行星中不属于类地 行星的是：（ D ） A.水星 B.金星 C.火星 D.土星 17.我国南方的梅雨属于：( C ) A.地形雨 B.对流雨 C.锋 面雨 D.雷阵雨 18.一般来说，海拔每升高1000米，气温 下降：( A ) A. 3℃ B. 4℃ C. 1℃ D. 2℃ 19.一架飞机从北京飞往乌鲁木齐，用3.5个小时，而从乌鲁木齐返 航北京时，飞行速度不变，却只需要3小时，原因是：( C ) A.地球自转的影响 B.两地时差的影响

一道数学竞赛题的探究(1)

２），则ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ ｃｏｓ３ αｓ ｉｎα的最小值为（ ） （Ａ）２７６４． （ Ｂ）３５槡２．（Ｃ）１． （Ｄ）５６ 槡３．本文首先给出问题的多种解法，然后对问题作引申推广． 一、一题多解 解法１　∵α∈（ ０，π２ ），∴ｓｉｎα＞０，ｃｏｓα＞０，∴ｓｉｎ３ αｃｏｓα＋ｃｏｓ３ αｓｉｎα＝ ｓｉｎαｃｏｓα （１－ｃｏｓ２α）＋ｃｏｓαｓｉｎα（１－ｓｉｎ２ α）＝ｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｏｓαｓｉｎα－ｓ ｉ ｎ　２α≥２－１＝１． 等号成立当且仅当α＝π４． 因此，ｓｉｎ３ αｃｏｓα＋ｃｏｓ３ αｓ ｉｎα的最小值为１．解法２　∵α∈（ ０，π２ ），∴ｓｉｎα＞０，ｃｏｓα＞０，由柯西不等式得 （ｓｉｎαｃｏｓα＋ｓｉｎαｃｏｓα）（ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３ αｓｉｎα）＝［（ｓｉｎαｃｏｓ槡α）２＋（ｓｉｎαｃｏｓ槡α）２ ］· ［（ｓｉｎ３αｃｏｓ槡α ）２＋（ｃｏｓ３ αｓｉｎ槡 α）２ ］ ≥（ｓｉｎαｃｏｓ槡α·ｓｉｎ３ αｃｏｓ槡 α ＋ｓｉｎαｃｏｓ槡α·ｃｏｓ３ α ｓｉｎ槡 α ）２ ＝（ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α）２ ＝１， ∴ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３ αｓｉｎα≥１ｓｉｎ　２α ≥１．等号成立当且仅当α＝π４ ． 因此，ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３αｓ ｉｎα的最小值为１．解法３　∵α∈（ ０，π２ ），∴ｓｉｎα＞０，ｃｏｓα＞０，由均值不等式，得 ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｓｉｎ３αｃｏｓα ＋ｃｏ ｓ２ α≥３ ３ （ｓｉｎ３ αｃｏｓα ）２ｃｏｓ２槡 α＝３ｓｉｎ２ α，ｃｏｓ３αｓｉｎα＋ｃｏｓ３ αｓｉｎα ＋ｓｉ ｎ２ α≥３ ３ （ｃｏｓ３ αｓｉｎα ）２ｓｉｎ２槡 α＝３ｃｏｓ２ α，将上面二式相加，整理得ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３ αｓ ｉｎα≥１．等号成立当且仅当α＝π４ ．因此，ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３αｓｉｎα的最小值为１．二、引申推广 对问题作引申推广，可得如下命题． 命题１　设α∈（０，π２），则ｓｉｎｎ＋２αｃｏｓｎα＋ｃｏｓｎ＋ ２αｓｉｎｎ α 的最小值为１． 证明　∵α∈（０，π２ ），∴ｓｉｎα＞０，ｃｏｓα＞０，由均值不等式，得 ｓｉｎｎ＋２αｃｏｓｎα＋ｓｉｎｎ＋２αｃｏｓｎ α ＋ｃｏｓα＋ｃｏｓα＋…＋ｃｏｓ烉烇烋αｎ个 ≥（ ｎ＋２）ｎ＋ ２（ｓｉｎｎ＋ ２αｃｏｓｎα ）２ｃｏｓ２ｎ槡 α，即２ｓｉｎｎ＋ ２αｃｏｓｎ α ＋ｎｃｏｓ２α≥（ｎ＋２）ｓｉｎ２ α，６５数学通讯———２０１２年第４期（上半月） ·课外园地·

一道高考题的五种解法

一道高考题的五种解法-中学数学论文 一道高考题的五种解法 高成龙 （首都师范大学数学科学学院，北京100048） 摘要：数学被称为思维的体操，一题多解可以透过多个角度来审视一道题目，对学生的解题能力有很大提高。本文通过对一道高考题进行深入分析，得出五种解法，拓展了解题思路，培养学生探究式学习的兴趣。 关键词：三角函数；一题多解；高考 中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-11-0025-01 题目：（2012年全国大纲卷·理7）已知α为第二象限角，且si nα+cosα=33，则cos2α=（） A.－53 B.－59 C.53 D.59 分析一：利用三角函数基本公式sin2α+cos2α=1，联立方程组来求解得sinα,cosα的值，进而求得cos2α的值. 解法一：sin2α+cos2α=1（1），sinα+cosα=33（2），联立（1）式与（2）式消去cosα得：2sin2α－233sinα－23=0， 求得sinα=3+156或sinα=3－156. 又由题设α为第二象限角，所以sinα0，即sinα=3+156 ，代入（2）式得cosα=3－156，由cos2α=cos2α－sin2α得cos2α=－53，选A. 分析二：在解法一中求得sinα的值之后，无需在求cosα，直接利用cos2α=1－2sin2α来求cos2α的值. 解法二：由解法一求得sinα=3+156，由cos2α=1－2sin2α得cos2α=1－

2sin2α=1－23+1562=－53，选A. 分析三：根据sinα+cosα=33先求得sin2α的值，进而求得cos2α的值. 解法三：因为sinα+cosα=33，将其两边完全平方得: sinα+cosα2=1+sin2α=13，解得:sin2α=－23，利用sin22α+cos22α=1得cos2α=±53，由题设α∈π2,π，则2α∈π,2π，即2α位于第三或第四象限，这样cos2α的符号不唯一，因此这种方法不能确定cos2α的符号. 下面从另一个角度来确定cos2α的符号：根据二倍角公式cos2α=cos2α－sin2α=cosα+sinα·cosα－sinα，因为α为第二象限角，所以cosα0,sinα0，从而cosα－sinα0，另外sinα+cosα=330，因此cos2α0，从而cos2α=－53，选A. 分析四：解法思路同解法三相同，区别在于判断cos2α的符号取决于cosα与sinα的大小. 解法四：同解法三实质一样，求得cos2α=±53，下面来判断cos2α的符号，因为α为第二象限角，所以cosα0,sinα0，且sinα+cosα=330，从而sinαcosα，因此cos2α=cosα2－sinα20，从而cos2α=－53，选A. 分析五：由已知sinα+cosα的值，利用恒等式去求解cosα－sinα的值，进而求得cos2α的值. 解法五：由于题目已知sinα+cosα=33,为避免求sin2α的值，直接利用恒等式cosα+sinα2+cosα－sinα2=2得cosα－sinα2=53，又由解法三cosα－sinα0，因此cosα－sinα=－153，从而cos2α=cosα+sinα·cosα－sinα=33×－153=－53,选A. 作者简介：高成龙，首都师范大学数学科学学院，2012级研究生，研究方向：