最新北师大版八年级数学上册(全套)数学 获奖导学案全集汇总

（共45套127页）最新北师大版八年级数学上册（全册）数学获奖导学案全集汇总

第一章勾股定理

1.1 探索勾股定理

第1课时认识勾股定理

学习目标

1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程, 进一步发展学生的合情推理意识, 主动探究的习惯, 进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

2 、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系, 进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。

重点、难点

重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。

难点：勾股定理的发现。

学习过程（此过程中, 教师可以将顺序进行适时调换）

一、创设问题的情境, 激发学生的学习热情：

我们知道, 任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。对于等腰三角形和等边三角形的边, 除满足三边关系定理外, 它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系。那么对于直角三角形的边, 除满足三边关系定理外, 它们之间也存在着特殊的关系, 这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。出示投影1（章前的图文 P1 ）我国是最早了解勾股定理的国家之一介绍商高（三千多年前周朝数学家）。

出示投影2。（书中P2 图1一2）并回答：

1、观察图1一2, 正方形A中有个小方格, 即A的面积为个面积单位。

正方形B 中有个小方格．即B的面积为个面积单位。

正方形C 中有个小方格, 即C的面积为个面积单位。

2、你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问。

3、图l一2 中, A、B、C之间的面积之间有什么关系？

在学生交流后形成共识老师板书。A + B＝C , 接着提出图1一1中A、B、C的关系呢？二、做一做

出示投影3（书中P3 图1一3, 图1一4 )

提问：1、图1一3中, A 、B、C之间有什么关系？

2、图1 一4中, A 、B 、C 之间有什么关系？

3、从图1一l 、1一2 、1一3 、l一4中你发现了什么？

在学生讨论、交流形成共识后, 老师总结：

以直角三角形两直角边为边的正方形面积和, 等于以斜边为边的正方形面积。

三、议一议

1、图1一1、1一

2、1一

3、1一4中, 你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？

2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在同学的交流基础上, 老师板书：

直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理”。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b, 斜边为c。那么

2

2

2c

b

a=

+

我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾, 较长的直角边为股, 斜边为弦, 这就是勾股定理的由来．

3、分别以5厘米和12厘米为直角边作出一个直角三角形, 并测量斜边的长度（学生测量后回答斜边为13）请大家想一想（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？（回答是肯定的：成立。）4, （想一想）：这里的29英寸（74厘米）的电视机, 指的是屏幕的长吗？指的屏幕的宽吗？那它指的是什么呢？

四、巩固练习精选练习, 掌握应用：

勾股定理的应用是本节教学的重点, 一定要让学生熟练地掌握在直角三角形中已知两边求第三边的方法, 为此, 可设计下列三组具有梯度性的练习：

练习1(填空题)

已知在Rt△ABC中, ∠C=90°。

①若a=3, b=4, 则c=________；

②若a=40, b=9, 则c=________；

③若a=6, c=10, 则b=_______；

④若c=25, b=15, 则a=________。 练习2(填空题)

已知在Rt △ABC 中, ∠C=90°, AB=10。

①若∠A=30°, 则BC=______, AC=_______； ②若∠A=45°, 则BC=______, AC=_______。 练习3

已知等边三角形ABC 的边长是6cm 。求： (1)高AD 的长； (2)△ABC 的面积ABC S ?。

1.1 探索勾股定理

第2课时 验证勾股定理

学习目标

1、经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程, 在数学活动发展学生的探究意识和合作交流的习惯

2、掌握勾股定理和它的简单应用。 重点难点

重点：能熟练应用拼图法证明勾股定理． 难点：用面积证勾股定理．

学习过程（此过程中, 教师可以将顺序进行适时调换） 一、创设问题情境, 激发学生学习热情, 导入课题

我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系, 究竟是几个实例, 是否具有普遍的意义, 还需要加以论证, 下面就是今天所要研究的内容, 下边请大家画四个全等的直角三角形, 并把它剪下来, 用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆, 看看能否得到一个含有以斜边c 为边长的正方形, 并与同学们交流。在同学操作的过程中, 教师展示投影1（书中P7图1—7）接着提问：大正方形的面积可表示为什么？同学们回答有两种可能：（1）(a +b )2（2）

2421

c ab +?

在同学交流形成共识后教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。

22421

)(c ab b a +?=

+

请同学们对上式进行化简, 得到：

22222c ab b ab a +=++即 222c b a =+

这就可以从理论上说明了勾股定理存在。 请同学们回去用别的拼图方法说明勾股定理。 二、讲解例题 例1、飞机在空中水平飞行, 某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处, 过了 20 秒, 飞机距离这个男孩头顶5000米, 飞机每时飞行多少千米？

分析：根据题意, 可以先画出符合题意的图形。如右图, 图中△ABC 的∠C ＝90°, AC = 4000米, AB=5000 米欲求飞机每时飞行多少千米, 就要知道20 秒时间里飞行的路程, 即图中的CB 的长, 由于△ ABC 的斜边AB =5000米, AC= 4000 米, 这样BC 就可以通过勾股定理得出, 这里一定要注意单位的换算。

解：由勾股定理得

)(945222222千米=-=-=AC AB BC 即 BC=3千米

飞机 20秒飞行3 千米．那么它 l 小时飞行的距离为：

5403203600

=?（千米／时）

答：飞机每小时飞行 540千米。

三、议一议：展示投影 2（书中图1—9)观察上图应用数格子方法判断图中的三角形的三边长是否满足2

2

2

c b a =+

同学在议论交流形成共识后, 老师总结。

勾股定理存在于直角三角形中, 不是直角三角形就不能使用勾股定理。 四、作业（此作业可进行适当删减或增加）1、课文 P1 习题1.2 1、2。

1.2 一定是直角三角形吗

学习目标：

1． 经历运用试验的方法说明勾股定理逆定理是正确的过程, 在数学活动中发展学生的探究

意识和合作交流的习惯。

2． 掌握勾股定理逆定理和他的简单应用 重点难点：

重点： 能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题

难点：用面积证勾股定理能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题 1．把握勾股定理的逆定理；

2, 用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。

学习过程（此过程中, 教师可以将顺序进行适时调换）

1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 有下面关系：

a 2

+b 2

= c 2

, 那么这个三角形是直角三角形。

注意：勾股定理是直角三角形的性质定理, 而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定

理。

1．用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的步骤：

（1）首先求出最大边（如c ）；

（2）验证a 2

+b 2

与c 2

是否具有相等关系；

若c 2=a 2+b 2

, 则△ABC 是以∠C=90°的直角三角形。 若c 2 ≠a 2+b 2, 则△ABC 不是直角三角形。 2．直角三角形的判定方法小结： （1）三角形中有两个角互余； （2）勾股定理的逆定理；

3．紧记一些常用的勾股数, 将为我们应用勾股定理逆定理带来方便, 如3、4、5；5、

12、13；6、8、10；12、16、20等。 四、典型例题

例1. 在Rt ABC ?中, ∠=C 90ο

, CD AB ⊥于D, 求证：

（1）AB AD DB CD 2

2

2

2

2=++ （2）CD AD DB 2

=?

分析：在图中有??ABC ADC 、与?BCD 三个直角三角形, 利用勾股定理可以求证。 证明：

（1）ΘAB AC BC AC AD CD BC BD CD 2

2

2

2

2

2

2

2

2

=+=+=+，，

∴=+=+++=++AB AC BC AD CD BD CD AD DB CD 222

2222222

2 （2）又ΘAB AD DB =+

∴=+=++?AB AD DB AD DB AD DB 2

2

2

2

2()

∴++=++?∴=?AD DB CD AD DB AD DB CD AD DB

222222

2222

即CD AD DB 2

=?

例2、 已知?ABC 中,

51213AB cm BC cm AC cm ===，，, 求AC 边上的高线的长。

分析：首先通过所给的三角形的三边长, 判断出所求高线长的三角形为直角三角形, 并

且要求的为斜边上的高线, 通过勾股定理可解, 未知量可用方程的思想求得。

解：ΘAB BC AC 2

2

2

2514416925144169===∴+=，，， ∴+=AB BC AC 222

C

A D B

B

12 5

C 13

D A

∴?ABC 为Rt ?, 且∠=B 90ο

作BD AC ⊥于D

设AD x =, 则CD x =-13

ΘBD BC CD AB AD x x

x 22222

2

2

2

1213252513

=-=-∴--=-∴=

()

∴=-=-=BD AB AD 222

2

252513

6013

() 答：AC 边上的高线长为60

13

cm 。

例3.已知：如图, △ABC 中, AB =AC , D 为BC 上任一点,

求证：AB 2－AD 2=BD ·DC

思路分析：通常遇到等腰三角形问题, 都是作底边上的高转化为直角三角形, 再按解直角三角形的思路探索。本例首先作AE ⊥BC 于E , 便出现两个全等的直角三角形。

由AB =AC ?BE =EC

结论又以平方差“面目”出现, 也就告知我们应用勾股定理是打开思路的好方法, 那么在Rt △ABE , Rt △ADE 中, 由勾股定理, 得 AB 2=AE 2+BE 2 AD 2=AE 2+DE 2

由于BE 、DE 均在一条直线BC 上, 通常是平方差公式进行因式分解, 转化为求同一条线段的和差问题, 使结论明朗化, 于是 AB 2－AD 2=(BE +DE )(BE －DE ) 结合图形知：BE +DE =BD BE －DE =CE －DE =CD

例4.如图, 已知四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 和DA 的长分别为3、4、13、12, ∠CBA =90°,求S 四边形ABCD

思路分析：遇到四边形, 通常是连对角线转化为三

?AB 2－AD 2=BE 2－DE 2 ?AB 2－AD 2=BD ·CD

角形问题, 对本例连对角线AC 为佳, 因∠CBA =90°, 便出现了直角三角形ABC , 由勾股定理可求

AC 2=AB 2+BC 2=32+42=25

在△CAD 中, 我们又可发现： AC 2+AD 2=25+122=169 DC 2=132=169

∴AC 2+AD 2=CD 2, 由勾股定理逆定理知 ∴△ACD 为Rt △, 且∠DAC =90°

此时, 已清晰可知, 这个四边形由两个直角三角形构成,

求其面积便容易了。

S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD

=

?+?=??+??=+=121

212341

2

51263036AB BC AC AD ()平方单位

例5、在正方形ABCD 中, F 为DC 的中点, E 为BC 上一点, 且EC =

1

4

BC , 求证: ∠EFA = 90? 分析: 通过图形结构和求证本题思路十分明显, 就是要找Rt ?, 那就是要通过勾股定理逆定理来完成。 证明: 设正方形ABCD 的边长为4a 则EC = a , BE = 3a , CF = DF = 2a 在Rt ?ABE 中()()AE AB BE a a a 2222

2

24325=+=+= 在Rt ?ADF 中()()AF AD DF a a a 2222

2

24220=+=+= 在Rt ?ECF 中()EF FC EC a a a 22222225=+=+=

由上述结果可得AE AF EF 222=+

由勾股定理逆定理可知?AEF 为Rt ?, 且AE 是最大边, 即∠AFE = 90?

例6、 已知：如图, 在正方形ABCD 中, E , F 分别AB , AD 上的点, 又AB =12, EF =10,

△AEF 的面积等于五边形EBCDF 面积的1

5

, 求AE , AF 的长。

思路分析：依题意知△AEF 为Rt △用勾股定理, 立马而定, 于是有 EF 2=AE 2+AF 2

设AE =x ,AF =y ,又EF 2=100,则x 2+y 2=100 ①

又即②

①②或①②或解得或即或五边形正方形

S S S S xy xy x xy y x y x y x xy y x y x y x y x y AE AF AE AEF EBCDF

AEF ??=∴=∴=?=+++=?+=?

+=---+=?-=?-=-=======1

51

6

121

612296

2196

1961414

24

422

8668

8662

222222:():():,,,,AF =8 本例未告知AF ,AE 谁大,所以应取两解.

1.3 勾股定理的应用

一、自主预习（感知）

1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于 。如果用a,b 和c 表示直角三角形的两直角边和斜边, 那么a 2

+ b 2

= c

2

2、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b, c 满足 那么这个三角形是直角三角形。

3、判断题(1).如果三角形的三边长分别为a,b,c, 则 a 2

+ b 2

= c 2

（ ） (2)如果直角三角形的三边长分别为a,b,c, 则a 2

+ b 2

= c 2（ ）

（3）由于0.3, 0.4, 0.5不是勾股数, 所以以0.3, 0.4, 0.5为边长的三角形不是直角三

角形 （ ） 4、填空:

(1).在△ABC 中, ∠C=90°, c=25,b=15,则a=＿＿＿＿.

(2). 三角形的三个内角之比为：１：２：３, 则此三角形是＿＿＿．若此三角形的三边长分别为a,b,c,则它们的关系是＿＿＿＿．

3

2

20B

A

（3）三条线段 m,n,p满足m2-n2=p2, 以这三条线段为边组成的三角形为（）。

二、合作探究（理解）

1、课本P13页蚂蚁爬行最短路线问题

2、课本P13页做一做

3、课本P13页例1

三、轻松尝试（运用）

1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险, 某日早晨8：00甲先出发, 他以6 km/h 的速度向正东行走, 1时后乙出发, 他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00, 甲、乙两人相距多远？

2．如图, 台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物, 它怎么走最近？并求出最近距离．

3．有一个高为1.5 m, 半径是1m的圆柱形油桶, 在靠近边的地方有一小孔, 从孔中插入一铁棒, 已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m, 问这根铁棒有多长？

四、拓展延伸（提高）

4如图, 带阴影的矩形面积是多少？

6如图, 长方体的长为15, 宽为10, 高为20, 点B离点C的距离是5, 一只蚂蚁

如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是多少？

五、收获盘点（升华）

六、当堂检测（达标）

1、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发, 他以6千米/时的速度向东行走.1时后乙出发, 他以5千米/时的速度向北行进.上午10∶00, 甲、乙两人相距多远？

2、如图, 有一个高1.5米, 半径是1米的圆柱形油桶, 在靠近边的地方有一小孔, 从孔中插入一铁棒, 已知铁棒在油桶外的部分是0.5米, 问这根铁棒应有多长？

3、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题, 这个问题的意思是：有一个水池, 水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇, 它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边, 它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？

七、课外作业（此作业可进行适当删减或增加）（巩固）

1、必做题：①整理导学案并完成下一节课导学案中的预习案。

②完成《学练优》中的本节内容。

2、思考题：

第二章实数

2.1 认识无理数

第一环节：质疑

【想一想】

⑴一个整数的平方一定是整数吗？

⑵一个分数的平方一定是分数吗？

第二环节：课题引入

【算一算】

已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2, 算一算斜边长x的平方, 问题：x是整数（或分数）吗？

【剪剪拼拼】

把边长为1的两个小正方形通过剪、拼, 设法拼成一个大正方形, 你会吗？

第三环节：获取新知

a=, 请问：①a可能是整数吗？②a可能是分数吗？

【议一议】：已知22

a=的a为什么不是整数？

【释一释】：释1．满足22

a=的a为什么不是分数？

释2．满足22

【忆一忆】：回顾“有理数”概念, 既然a不是整数也不是分数, 那么a一

定不是有理数, 这表明：有理数不够用了, 为“新数”（无理

数）的学习奠定了基础

【找一找】：在下列正方形网格中, 先找出长度为有理数的线段, 再找出长

度不是有理数的线段

第四环节：应用与巩固

【画一画1】：在右1的正方形网格中, 画出两条线段： 1．长度是有理数的线段

2．长度不是有理数的线段 （右1）

【画一画2】：在右2的正方形网格中画出四个三角形 2．三边长都是有理数 2．只有两边长是有理数 3．只有一边长是有理数 4．三边长都不是有理数 【仿一仿】：例：在数轴上表示满足()220x x =>的x

解： （右2）

仿：在数轴上表示满足()250x x =>的x

【赛一赛】：右3是由五个单位正方形组成的纸片, 请你把

它剪成三块, 然后拼成一个正方形, 你会吗？试试看！ （右3）

第五环节：课堂小结

内容：

1．通过本课学习, 感受有理数又不够用了, 请问你有什么收获与体会？ 2．

2．客观世界中, 的确存在不是有理数的数, 你能列举几个吗？

3．除了本课所认识的非有理数的数以外, 你还能找到吗？

2.2 平方根

第1课时算术平方根

学习目标

知识与技能目标

1．了解算术平方根的概念, 会用根号表示一个数的算术平方根．

2．了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算, 会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．

3．了解算术平方根的性质．

过程与方法目标

1．在概念形成过程中, 让学生体会知识的来源与发展, 提高学生的思维能力．

2．在合作交流等活动中, 培养他们的合作精神和创新意识．

学习重点：

了解算术平方根的概念、性质, 会用根号表示一个正数的算术平方根．

学习难点：

对算术平方根的概念和性质的理解．

学习过程（此过程中, 教师可以将顺序进行适时调换）：

第一环节：问题情境（3分钟, 学生理解思考）

内容：上节课学习了无理数, 了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性, 掌握了无理数的概念, 知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数, 无理数是无限不循环小数．比如上一节课我们做过的：由两个边长为1的小正方形, 通过剪一剪, 拼一拼, 得到一个边长为a的大的正方形, 那么有a2=2, a= , 2是有理数, 而a是无理数．在前面我们学过若x2=a, 则a叫x的平方, 反过来x叫a的什么呢？本节课我们

一起来学习．

第二环节：初步探究（15分钟, 学生理解掌握）

内容1：情境引入

x2=2, y2=3, z2=4, w2=5, 已知幂和指数, 求底数x, 你能求出来吗？11

1

1

A

C

E

x

y

z

w

内容2：在上面思考的基础上, 明晰概念：

一般地, 如果一个正数x 的平方等于a , 即x 2

=a , 那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根, 记为“a ”, 读作“根号a ”．特别地, 我们规定0的算术平方根是0, 即00 ． 内容3：简单运用 巩固概念

例1 求下列各数的算术平方根： （1）900； （2）1

； （3）64

49

； （4）14．

内容4：回解课堂引入问题

x 2=2, y 2=3, w 2=5, 那么x =2, y =3, w =5．

第三环节：深入探究（7分钟, 学生首先尝试自己解决, 后全班交流） 内容1：例2 自由下落物体的高度h （米）与下落时间t （秒）的关系为h =4.9t 2

．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落, 到达地面需要多长时间？

内容2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点． 第四环节：反馈练习（10分钟, 学生小组合作完成） 一、填空题：

1．若一个数的算术平方根是7, 那么这个数是 ； 2．9的算术平方根是 ； 3．2)3

2(的算术平方根是 ；

4．若22=+m , 则2)2(+m = ．

二、求下列各数的算术平方根：

36,

144121, 15, 0.64, 410-, 225, 0)6

5

(． 三、如图, 从帐篷支撑竿AB 的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷．若绳子的长度为5.5米, 地面固定点C 到帐篷支撑竿底部B 的距离是4.5米, 则帐篷支撑竿的高是多少米？

第五环节：学习小结

内容：这节课学习的算术平方根是本章的基本概念, 是为以后的学习做铺垫的．通过这节课的学习, 我们要掌握以下的内容： （1） （2） （3）

学习反思：

2.2 平方根 第2课时 平方根

学习目标

1.了解平方根、 开平方的概念.

2.明确算术平方根与平方根的区别和联系.

3.进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系.

学习重点:

1.了解平方根开、平方根的概念.

2.了解开方与乘方是互逆的运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平

方根和平方根.

3.了解平方根与算术平方根的区别与联系. 学习难点:

1平方根与算术平方根的区别和联系.

2负数没有平方根,即负数不能进行平方根的运算. 学习过程（此过程中, 教师可以将顺序进行适时调换）

第一环节：复习旧知 引入新知 1．什么叫算术平方根?

3的平方等于9, 那么9的算术平方根就是_______.

52的平方等于 254 , 那么25

4 的算术平方根就是__________.

展厅的地面为正方形, 其面积49平方米, 则边长________米. 2.到目前为止,我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何？ 乘方有没有逆运算?

平方与算术平方根之间的关系？

已知折叠着的正方形ABCD 面积为1, 则边长为____.将它扩展, 面 积变为原来的2倍, 那么它的边长为_____；若面积变为原来的3倍, 则边长为_________；若面积变为原来的n 倍, 则边长为______.

（二）复习引入

问题：平方等于9, 25

4,49的数还有吗？

第二环节 : 新课学习（15分钟, 学生理解内化, 掌握知识点） （一）探究新知

填空：

32

=(9 )

(-3)2

=(9 ) ( )2

=9 02

=0 (

12

)2

=(

14

)

()2

1

4=

(不存在)2=-4

(12

-)2

=(1

4) （二）形成概念

一般地, 如果一个数的平方等于a , 那么这个数叫做a 的平方根或二次方根.而把正的平方根叫算术平方根。

表达式为:若x 2

=a , 那么x 叫做a 的平方根. 记作： a ±

（三）探索平方与开平方的关系:

找出几组具体的数据, 由平方探知开平方与平方的互逆关系.

（四）概念辨析

平方根与算术平方根的联系与区别： 联系：1

2. 3. 区别：1 2.

第三环节 例题和新知巩固（15分钟, 讲练结合, 训练学生应用知识点）

（一）例题示范 求下列各数的平方根: (1)64；(2)49121

；(3) 0.0004；(4)()2

25-；(5) 11 （

（二）思考提升

()25-的平方根是 , ()2

64=

()25=- , 64±=

=2a 。

()2

0a ≥=当a 时， ,

（三）巩固练习

1 ．下列说法正确的是

①381-是的平方根；②25的平方根是5；③-36的平方根是-6；④平方根等于0的数是0；⑤64的平方根是8．

2．下列说法不正确的是( ) ．

(A)0的平方根是0 (B)2

2-的平方根是2±

(C)非负数的平方根是互为相反数 (D)一个正数的算术平方根一定大于这个