学而思初二数学上册培优辅导讲义
第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译
1.了解在平面内,两条直线的两种位置关系:相交与平行.
2.掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义,并能用图形或几何符号表示它们.
3.掌握直线平行的条件,并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析
【例1】如图,三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ,一共构成哪几对对顶角?一共构成哪几对邻补角? 【解法指导】
⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
⑵对顶角:有一个公共顶点,并且一个角的两边是另一个角的两边的
反向延长线.
⑶邻补角:两个角有一条公共边,另一边互为反向延长线.
有6对对顶角. 12对邻补角.
【变式题组】
01.如右图所示,直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ,则:
⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角,几对邻补角?
02.当两条直线相交于一点时,共有2对对顶角; 当三条直线相交于一点时,共有6对对顶角; 当四条直线相交于一点时,共有12对对顶角. 问:当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.
【例2】如图所示,点O 是直线AB 上一点,OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC .
⑴求∠EOF 的度数;
⑵写出∠BOE 的余角及补角.
【解法指导】解这类求角大小的问题,要根据所涉及的角的定义,
以及各角的数量关系,把它们转化为代数式从而求解;
【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC =21
∠BOC ,
∠FOC =21∠AOC ∴∠EOF =∠EOC +∠FOC =21∠BOC +21
∠AOC =()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC +∠AOC =180° ∴∠EOF =21×180°=90°
⑵∠BOE 的余角是:∠COF 、∠AOF ;∠BOE 的补角是:∠AOE. 【变式题组】
01.如图,已知直线AB 、CD 相交于点O ,OA 平分∠EOC ,且∠EOC =100°,
则∠BOD 的度数是( ) A .20° B . 40° C .50° D .80°
02.(杭州)已知∠1=∠2=∠3=62°,则∠4= . 【例3】如图,直线l1、l2相交于点O ,A 、B 分别是l1、l2上的点,试用三角尺完成下列作图: ⑴经过点A 画直线l2的垂线.
⑵画出表示点B 到直线l1的垂线段.
【解法指导】垂线是一条直线,垂线
段是一条线段.
【变式题组】
01.P 为直线l 外一点,A 、B 、C
是直线l 上三点,且PA =4cm ,PB =5cm ,PC =6cm ,则点P 到直线l 的距离为( )
A .4cm
B . 5cm
C .不大于4cm
D .不小于6cm 02 如图,一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶,M 、
N 为位于公路两侧的村庄;
⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行
驶到AB 上点Q 的位置时,距离村庄N 最近,请在图中的公路上分别画出点P 、
A B C D E F A B C D E
F P
Q R C
E F E A A
C
D O (第1题图) 1 4 3 2 (第2题图)
l 2
Q 的位置.
⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中,在 的路上距离M 村越来越近..在
的路上距离村庄N 越来越近,而距离村庄M越来越远.
【例4】如图,直线AB 、CD 相交于点O ,OE ⊥CD ,OF ⊥AB ,∠DOF =65°,求∠BOE 和∠AOC 的度数.
【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据,也可以作为该图形具备的性质,由图可得:∠AOF =90°,OF ⊥AB . 【变式题组】 01.如图,若EO ⊥AB 于O ,直线CD 过点O ,∠EOD ︰∠EOB =1︰3,求∠AOC 、∠AOE 的度数. 02.如图,O 为直线AB 上一点,∠BOC =3∠AOC ,OC 平分∠AOD . ⑴求∠AOC 的度数; ⑵试说明OD 与AB 的位置关系. 03.如图,已知AB ⊥BC 于B ,DB ⊥EB 于B ,并且∠CBE ︰∠ABD =1︰2,请作出∠CBE 的对顶角,并求其度数.
【例5】如图,指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的,并说出它们的名称: ∠1和∠2:
∠1和∠3:
∠1和∠6:
∠2和∠6:
∠2和∠4: ∠3和∠5: ∠3和∠4:
【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是:首先
弄清所判断的是哪两个角,其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线,其余两条边所在的直线就是被截的两条直线,最后确定它们的名称.
【变式题组】
01.如图,平行直线AB 、CD 与相交直线EF ,
GH 相交,图中的同旁内角共有( )
A .4对
B . 8对
C .12对
F B A
O
C D E
C D B A E
O B A C
D
O A B A E D
C F E
B
A D 1 4 2 3 6 5 A B
D
C
H
G E F
D .16对
02.如图,找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.
03.如图,按各组角的位置判断错误的是( )
A .∠1和∠2是同旁内角
B .∠3和∠4是内错角
C .∠5和∠6是同旁内角
D .∠5和∠7是同旁内角 【例6】如图,根据下列条件,可推得哪两条直线平行?并说明理由?
⑴∠CBD =∠ADB ; ⑵∠BCD +∠ADC =180°
⑶∠ACD =∠BAC
【解法指导】图中有即即有同旁内 角,有“ ”即有内错角.
【解法指导】⑴由∠CBD =∠ADB ,可推得AD ∥BC ;根据内错角相等,两直线
平行.
⑵由∠BCD +∠ADC =180°,可推得AD ∥BC ;根据同旁内角互补,两直线平
行. ⑶由∠ACD =∠BAC 可推得AB ∥DC ;根据内错
角相等,两直线平行.
【变式题组】 01.如图,推理填空.
⑴∵∠A =∠ (已知) ∴AC ∥ED ( ) ⑵∵∠C =∠ (已知)
∴AC ∥ED ( )
⑶∵∠A =∠ (已知) ∴AB ∥DF ( )
02.如图,AD 平分∠BAC ,EF 平分∠DEC ,且∠1=∠2,试说明DE 与AB 的位置关系. 解:∵AD 是∠BAC 的平分线(已知) ∴∠BAC =2∠1(角平分线定义) 又∵EF 平分∠DEC (已知) ∴ ( ) 又∵∠1=∠2(已知) ∴ ( ) ∴AB ∥DE ( ) 03.如图,已知AE 平分∠CAB ,CE 平分∠ACD .∠CAE +∠ACE =90°,求证:AB ∥CD . 04.如图,已知∠ABC =∠ACB ,BE 平分∠ABC ,CD 平分∠ACB ,∠EBF =∠EFB ,求证:CD ∥EF. 7 1 5 6 8 4 1 2 乙
丙 3 2
3 4 5
6 1 2 3 4
甲 1 A B C 2 3
4 5
6 7 A B C D O
A B
E F C A B C D E A B C E 1 2 A B
C D E
【例7】如图⑴,平面内有六条两两不平行的直线,试证:在所有的交角中,至少有一个角小
于31°.
【解法指导】如图⑵,我们可以将所有的直线移动后,使它们相交于同一点,此时的图形为图⑵.
证明:假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°
则12×31°=372°>360°
这与一周角等于360°矛盾
所以这12个角中至少有一个角小于31°
【变式题组】
01.平面内有18条两两不平行的直线,试证:在所有的交角中至少有一个角小于11°.
02.在同一平面内有2010条直线a1,a2,…,a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是.
03.已知n(n>2)个点P1,P2,P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上,设Sn表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数,显然:S2=1,S3=3,S4=6,∴S5=10…则Sn=.
演练巩固·反馈提高01.如图,∠EAC=∠ADB=90°.下列说法正确的是()
A.α的余角只有∠B B.α的邻补角是∠DAC
C.∠ACF是α的余角D.α与∠ACF互补
02.如图,已知直线AB、CD被直线EF所截,则∠EMB的同位角为()A.∠AMF B.∠BMF C.∠ENC D.∠END
03.下列语句中正确的是()
A.在同一平面内,一条直线只有一条垂线
B.过直线上一点的直线只有一条
C.过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
D.垂线段就是点到直线的距离
04.如图,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,则下列结论中,正确的个数有()①AB⊥AC ②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD>BD A.0 B. 2 C.4 D.6
05.点A、B、C是直线l上的三点,点P是直线l外一点,且PA=4cm,PB=5cm,PC=6cm,则点P到直线l的距离是()
A.4cm B.5cm C.小于4cm D.不大于4cm
06.将一副直角三角板按图所示的方法旋转(直角顶点重合),则∠AOB+∠DOC =.
l1l2
l3
l4
l5
l6
图⑴
l1
l2
l3
l4
l5
l6
图⑵
A
E
B C F
D
A
B
C D
F
E
M
N
α
第1题图第2题图
A
B D C
第4题图
07.如图,矩形ABCD沿EF对折,且∠DEF=72°,则∠AEG=. 08.在同一平面内,若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1 a10.(a1与a10不重合)
09.如图所示,直线a、b被直线c所截,现给出下列四个条件:①∠1=∠5,②∠1=∠7,③∠2+∠3=180°,④∠4=∠7,其中能判断a∥b的条件的序号是.
10.在同一平面内两条直线的位置关系有.
11.如图,已知BE平分∠ABD,DE平分∠CDB,且∠E=∠ABE+∠EDC.试说明AB∥CD?
12.如图,已知BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,∠1
=∠2,那么直线AB与CD的位置关系如何?
13.如图,推理填空:
⑴∵∠A=(已知)
∴AC∥ED()
⑵∵∠2=(已知)
∴AC∥ED()
⑶∵∠A+=180°(已知)∴AB∥FD.
14.如图,请你填上一个适当的条件使AD∥BC.
培优升级·奥赛检测
01.平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是()
A.1,3 B.0,1,
3 C.0,2,3 D.0,1,2,3
02.平面上有10条直线,其中4条是互相平行的,那
么这10条直线最多能把平面分成()部分.
A.60 B.55 C.50 D.45
03.平面上有六个点,每两点都连成一条直线,问除了原来的
A
B
C
D
O
A
B C
D
E
F
G
H
a
b
c
第6题图第7题图第9题图
1
2
3 4
5
6
7 8
1
A
C D
E
B
A B
C D
E
F
1
2
A
B C
D
E
F
第14题图
6个点之外,这些直线最多还有( )个交点. A .35 B . 40 C .45 D .55 04.如图,图上有6个点,作两两连线时,圆内最多有 __________________交点. 05.如图是某施工队一张破损的图纸,已知a 、b 是一个角的两边,现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线,请你帮助这个施工队画出这条平行线,并证明你的正确性. 06.平面上三条直线相互间的交点的个数是( ) A .3 B .1或3 C .1或2或3 D .不一定是1,2,3 07.请你在平面上画出6条直线(没有三条共点)使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交,并简单说明画法? 08.平面上有10条直线,无任何三条交于一点,要使它们出现31个交点,怎么安排才能办到? 09.如图,在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ,那么两条对角线的夹角等于( )
A .60°
B . 75°
C .90°
D .135°
10.在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件?
⑴任意两条直线都有交点; ⑵总共有29个交点. 第13讲 平行线的性质及其应用 考点·方法·破译 1.掌握平行线的性质,正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系; 2.初步了解命题,命题的构成,真假命题、定理; 3.灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明,确定两直线的位置关系,感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用. 经典·考题·赏析 【例1】如图,四边形ABCD 中,AB ∥CD , BC ∥AD 求∠C 的度数.
【解法指导】 两条直线平行,同位角相等; 两条直线平行,内错角相等; 两条直线平行,同旁内角互补. 平行线的性质是推导角关系的重要依据之一,必须正确识别图形的特征,看清截线,识别角的关系式关键. 【解】:∵AB ∥CD BC ∥AD ∴∠A +∠B =180° ∠B +∠C =180°(两条直线平行,同旁内角互补) ∴∠A =∠C ∵∠A =38° ∴∠C =38° 【变式题组】 01.如图,已知AD ∥BC ,点E 在BD 的延长线上,若∠ADE =155°,则∠DBC 的度数为( ) A .155° B .50° C .45° D .25°
a b A B
C
02.(安徽)如图,直线l1 ∥ l2,∠1=55°,∠2=65°,则∠3为( ) A . 50° B . 55° C . 60° D .65°
03.如图,已知FC ∥AB ∥DE ,∠α:∠D :∠B =2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B 的度数.
【例2】如图,已知AB ∥CD ∥EF ,GC ⊥CF ,∠B =60°,∠EFC =45°,求∠BCG 的度数.
【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合,可求各种位置的角的度数,但注意看清角的位置. 【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B =∠BCD ∠F =∠FCD(两条直线平行,内错角相等)又∵∠B =60° ∠EFC =45° ∴∠BCD =60° ∠FCD =45° 又∵GC ⊥CF ∴∠GCF =90°(垂直定理) ∴∠GCD =90°-45°=45° ∴∠BCG =60°-45°=15° 【变式题组】
01.如图,已知AF ∥BC, 且AF 平分∠EAB ,∠B =48°,则∠C 的的度数=_______________
02.如图,已知∠ABC +∠ACB =120°,BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ,DE 过点
O 与BC 平行,则∠BOC =___________
03.如图,已知AB ∥ MP ∥CD, MN 平分∠AMD ,∠A =40°,∠D =50°,求∠NMP 的度数.
【例3】如图,已知∠1=∠2,∠C =∠D . 求证:∠A =∠F. 【解法指导】
因果转化,综合运用.
逆向思维:要证明∠A =∠F ,即要证明DF ∥AC . 要证明DF ∥AC, 即要证明∠D +∠DBC =180°, 即:∠C +∠DBC =180°;要证明∠C +∠DBC =180°即要证明DB ∥EC . 要证明DB ∥EC 即要 证明∠1=∠3.
证明:∵∠1=∠2,∠2=∠3(对顶角相等)所以∠1=∠3 ∴DB ∥
EC (同位角相等?两直线平行)∴∠DBC +∠C =180°(两直线平行,
同旁内角互补)∵∠C =∠D ∴∠DBC +∠D =180° ∴DF ∥AC
(同旁内角,互补两直线平行)∴∠A =∠F (两直线平行,内错角相等) 【变式题组】 01.如图,已知AC ∥FG ,∠1=∠2,求证:DE ∥FG
02.如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B . 求证:∠AED =∠ACB
A
B C
D
O
E F
A
E
B
C (第1题图) (第2题图) E A F
G
D C B B
A M
C D N P (第3题图)
C D A B
E F 1 3 2 G
3 C A 1 D 2 E (第1题图) A
2 C
F 3 E D
1
B
(第2题图)
D
A
2 E
1 B C B
F
E A C
D
03.如图,两平面镜α、β的夹角θ,入射光线AO 平行 于β入射到α上,经两次反射后的出射光线O′B 平行
于α,则角θ等于_________. 【例4】如图,已知EG ⊥BC ,AD ⊥BC ,∠1=∠3. 求证:AD 平分∠BAC . 【解法指导】抓住题中给出的条件的目的,仔细分析 条件给我们带来的结论,对于不能直接直接得出结论 的条件,要准确把握住这些条件的意图.(题目中的: ∠1=∠3)
证明:∵EG ⊥BC ,AD ⊥BC ∴∠EGC =∠ADC =90° (垂直定义)∴EG ∥AD (同位角相等,两条直线平行)
∵∠1=∠3 ∴∠3=∠BAD
(两条直线平行,内错角相等) ∴AD 平分∠BAC (角平分线定义) 【变式题组】
01.如图,若AE ⊥BC 于E ,∠1=∠2,求证:DC ⊥BC .
02.如图,在△ABC 中,CE ⊥AB 于E,DF ⊥AB 于F, AC ∥ED ,CE 平分∠ACB . 求证:∠EDF =∠BDF.
AB ∥CD ,∠B =40°,CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ,求:∠.
【例5】已知,如图,AB ∥EF ,求证:∠ABC +∠BCF +∠CFE =360° 【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想,分析类比, 联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.
过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来,这是关键.
【证明】:过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1+∠ABC
=180°
(两直线平行,同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ,∴CD ∥EF (平行
于同一条直线的两直线平行) ∴∠2+∠CFE =180°(两直线平行, 同旁内角互补) ∴∠ABC +∠1+∠2+∠CFE =180°+180°=360° 即∠ABC +∠BCF +∠CFE =360° 【变式题组】
01.如图,已知,AB ∥CD ,分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系,请你从所得四个关系中选出任意一个,说明你探究的结论的正确性.
A D M C
N E B 3 1 A B G D
C E F E
D 2 1 A B C
α β P B C D A
∠P =α+β
F
γ D
α β E
B C A F
D
E B
C
A B
C
A
A ′ l
B ′
C ′
结论:⑴____________________________ ⑵____________________________
⑶____________________________ ⑷____________________________
【例6】如图,已知,AB ∥CD ,则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α+∠γ+∠ψ-∠β=180° 【解法指导】基本图形
善于从复杂的图形中找到基本图形,运用基本图形的规律打开思路【解】过点E 作EH ∥AB . 过点F 作FG
∥AB . ∵直线平行,内错角相等)又∵FG ∥AB ∴EH
∥FG (平行于同一条直线的两直线平行)∴∠2=∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD ∴∠ψ+∠4=180°+∠3+∠4-ψ-∠1-∠2=∠4+ψ=180° 【变式题组】
01.如图, AB ∥EF ,∠C =90°,则∠α、∠β、∠γ的关系是( ) A . ∠β=∠α+∠γ B .∠β+∠α+∠γ=180° C . ∠α+∠β-∠γ=90° D .∠β+∠γ-∠α=90°
02.如图,已知,AB ∥CD ,∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ,∠E =140°,求∠BFD 的度数.
【例7】如图,平移三角形ABC ,设点A 移动到点A/,画出平移后的三角形A/B/C/. 【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定,找,移,连. ⑴定:确定平移的方向和距离. ⑵找:找出图形的关键点. ⑶移:过关键点作平行且相等的线段,得到关键点的对应点. ⑷连: 按原图形顺次连接对应点. 【解】①连接AA/ ②过点B 作AA/的平行线l ③在l 截取BB/=AA/,则点B/就是的B 对应点,用同样的方法作出点C 的对应点C/.连接A/B/,B/C/,C/A/就得到平移后的三角21cm ,作出平移后的图形. 三角形ABC 中,∠C =90°, BC =4,AC =4,现将△ABC 沿CB 方向平移到△A/B/C/的位置,若平移距离为3, 求△ABC
与△A/B/C/的重叠部分的面积.
03.原来是重叠的两个直角三角形,将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离,就得到此图形,求阴影部分的面积.(单位:厘米)
B B /
A
A /
C C / B
A
P
C
A
C C
D
A
A P
C
B
D P
B
P
D B
D ⑴
⑵
⑶
⑷
西 B 30°
A 北
东 南 演练巩固 反馈提高 01.如图,由A 测B 得方向是( ) A .南偏东30° B .南偏东60° C .北偏西30° D .北偏西60° 02.命题:①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③垂直于同一条直线的两直线平行;④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 03.一个学员在广场上练习驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,两次拐弯的角度可能是( ) A .第一次向左拐30°,第二次向右拐30° B .第一次向右拐50°,第二次向左拐130°
C .第一次向左拐50°,第二次向右拐130°
D .第一次向左拐60°,第二次向左拐120°
04.下列命题中,正确的是( ) A .对顶角相等 B . 同位角相等 C .内错角相等 D .同旁内角互补 05.学习了平行线后,小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法,是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷] 从图中可知,小敏画平行线的依据有( )
①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;③同位角相等,两直线平行;④内错角相等,两直线平行. A .①② B .②③ C .③④ D .①④
06.在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路,从A 地测得B 地的走向是南偏东52°.现A 、B 两地要同时开工,若干天后,公路准确对接,则B 地所修公
路的走向应该是( )
A .北偏东52°
B .南偏东52°
C .西偏北52°
D .北偏西38°
07.下列几种运动中属于平移的有( )
①水平运输带上的砖的运动;②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动(忽略车轮
的转动);③升降机上下做机械运动;④足球场上足球的运动. A .1种 B .2种 C .3种 D .4种 08.如图,网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案,使它正好位于左上角的位置(不能出格) 09.观察图,哪个图是由图⑴平移而得到的( )
10.如图,AD ∥BC ,AB ∥CD ,AE ⊥BC ,现将△ABE 进行平移. 平移方向为射P .
P .
P .
P .
⑴
⑵
⑶
⑷
D 5 3
8
A
F C
B E
150° 120° D B C E 湖
4
3 2 1
A
B
E F C
D
线AD 的方向. 平移距离为线段BC 的长,则平移得到的三角形是图中( )图的阴影部分.
11.判断下列命题是真命题还是假命题,如果是假命题,举出一个反例. ⑴对顶角是相等的角;⑵相等的角是对顶角;
⑶两个锐角的和是钝角;⑷同旁内角互补,两直线平行.
12.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并指出命题的真假. ⑴互补的角是邻补角; ⑵两个锐角的和是锐角; ⑶直角都相等.
13.如图,在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A =120°,第二个拐弯处∠B =150°,第三个拐弯处∠C ,这时道路CE 恰好和道路AD 平行,问∠C 是多少度?并说明理由.
E 点时,与两岸码头B 、D 成64°角. 当小船行驶到河中
F 点时,看B 点和D 点的视线FB 、FD 恰好有∠1=∠2,∠3=∠4的关系. 你能说出此时点F 与码头B 、D 所形成的角∠BFD 的度数吗?
15.如图,AB ∥CD ,∠1=∠2,试说明∠E 和∠F 的关系.
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01.如图,等边△ABC △ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有25那么在△ABC 内由△DEF
F E B A C
G D ( )个 02.如图,一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B 点沿着BO 方向匀速滚来,运动员立即从A 处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同,
请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.(运动员奔跑于足球滚动视为点的平移)
03.如图,长方体的长AB =4cm ,宽BC =3cm ,高AA1=2cm. 将AC 平移到A1C1的位置上时,平移的距离是___________,平移的方向是
___________. 04.如图是图形的操作过程(五个矩形水平方向的边长均为a ,竖直方向的边长为b );将线段A1A2向右平移1个单位得到B1B2,得到封闭图
形A1A2B2B1 [即阴影部分如图⑴];将折现A1A2 A3向右平移1个单位得到B1B2B3,得到封闭图形A1A2 A3B3B2B1 [即阴影部分如图⑵]; ⑴在图⑶中,请你类似地画出一条有两个折点的直线,同样的向右平移1个单位,从而得到1个封闭图形,并画出阴影.
⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S1=________, S2=________, S3=________.
⑶联想与探究:如图⑷,在一矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路在任何地方的水平宽度都是1个单位),请你猜想空白部分草地面积是
多少?
05.一位模型赛车手遥控一辆赛车,先前进一半,然后原地逆时针旋转α°(0°<
α°<180°),被称为一次操作,若5次后发现赛车回到出发点,则α°角为( ) A .720° B .108°或144° C .144° D .720°或144° 06.两条直线a 、b 互相平行,直线a 上顺次有10个点A1、A2、…、A10,直线b 上顺次有10个点B1、B2、…、B9,将a 上每一点与b 上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点,则这些选段的交点个数是( )
A .90
B .1620
C .6480
D .2006
07.如图,已知AB ∥CD ,∠B =100°,EF 平分∠BEC ,EG ⊥EF. 求∠BEG 和∠DEG .
08.如图,AB ∥CD ,∠BAE =30°,∠DCE =60°,EF 、EG 三等分∠AEC . 问:EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线?为什么?
09.如图,已知直线CB ∥OA ,∠C =∠OAB =100°,E 、F 在CB 上,且满足∠FOB =∠AOB ,OE 平分∠COF. ⑴求∠EOB 的度数;
⑵若平行移动AB ,那么∠OBC :∠OFC 的值是否随之发生变化?若变化,找出
F
E
B
A
C
G
D 100°
⑶ ⑷
C
B 1
A
A 1
C 1
D 1
B
D . B . O
. A
变化规律;若不变,求出这个比值.
⑶在平行移动AB 的过程中,是否存在某种情况,使∠OEC =∠OBA ?若存在,
求出其度数;若不存在,说明理由.
10.平面上有5条直线,其中任意两条都不平行,那么在这5条直线两两相交所成的角中,至少有一个角不超过36°,请说明理由. 11.如图,正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC
分成n 段,以每一小段为对角线作小正方形,这n 个小正方形的周长之和为多少?
12.如图将面积为a2的小正方形和面积为b2的大正方形放在一起,用添补法如
何求出阴影部分面积?
第06讲 实 数 考点·方法·破译 1.平方根与立方根:
若2x =a(a ≥0)则x 叫做a 的平方根,记为:a 的平方根为x ,其中a 的平方根为x a 的算术平方根. 若x3=a ,则x 叫做a 的立方根.记为:a 的立方根为x 2.无限不循环小数叫做无理数,有理数和无理数统称实数.实数与数轴上的点一一对应.任何有理数都可以表示为分数p
q (p 、q 是两个互质的整数,且q ≠0)的形式. 3非负数: 实数的绝对值,实数的偶次幂,非负数的算术平方根(或偶次方根)都是非负数.即a >0,2n a ≥0(n 为正整数)≥0(a ≥0) . 经典·考题·赏析 【例1】若2m -4与3m -1是同一个数的平方根,求m 的值. 【解法指导】一个正数的平方根有两个,并且这两个数互为相反数.∵2m ?4与3m?l 是同一个数的平方根,∴2m?4 +3m?l =0,5m =5,m =l . 【变式题组】 01.一个数的立方根与它的算术平方根相等,则这个数是____. 02.已知m m 的平方根是____. 03____. 04.如图,有一个数值转化器,当输入的x 为64时,输出的y 是____.
F E B A C O A B C D
【例2】(全国竞赛)已知非零实数a 、b 满足
24242a b a -++=,则a +b 等于( ) A .-1 B . 0 C .1 D .2
有意义,∵a 、b 为非零实数,∴b2>0∴a -3≥0 a
≥3
∵24242a b a -++=
∴
24242a b a -+++
=
,∴20
b +=.
∴()22030b a b +=???-=??,∴32a b =??=-?
,故选C .
【变式题组】
0l
3b +=0成立,则ab =____
.
02()230
b -=,则a
b 的平方根是____.
03.(天津)若x 、y
为实数,且20x +=,则2009
x y ??
???
的值为( )
A .1
B .-1
C .2
D .-2
04.已知x
1
x π-的值是( )
A .
1
1π-
B .
11π+
C .1
1
π
- D .无法确定
【例3】若
a 、b
都为有理效,且满足1a b -+=+a +b 的平方根.
【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商(除数不为0)还是有理数,但两个无理数的和、差、积、商(除数不为0)不一定是无
理数.
∵
1a b -+=+
∴
1a b -=??=
1a b -=??=,∴1312a b =??=?
, a +b =12 +13=25.
∴a
+b
的平方根为:5==±.
【变式题组】
01.(西安市竞赛题)已知
m 、n 2)m
+(3-+7=0求m 、n .
02.(希望杯试题)设x 、y 都是有理数,且满足方程(123π
+
)x +(132π+)y?4?π
=0,则x?y =____.
【例
4】若a ?2的整数部分,b?1是9的平方根,且a b b a
-=-,求a
+b 的值.
=整数部分+小
数部分.整数部分估算可得2
?2 ?2?4.∵a =2,b?1=±3 ,∴b =-2或4
∵
a b b a
-=-.∴a
【变式题组】
01.若3+5的小数部分是a ,3?5的小数部分是b ,则a +b 的值为____. 02.5的整数部分为a ,小数部分为b ,则(5+a )·b =____. 演练巩固 反馈提高
0l .下列说法正确的是( )
A .-2是(-2)2的算术平方根
B .3是-9的算术平方根
C . 16的平方根是±4
D .27的立方根是±3 02.设3a =-,b = -2,
5
2c =-
,则a 、b 、c 的大小关系是( )
A .a
B .a C . b