柯西不等式的应用篇

柯西不等式的应用篇 The following text is amended on 12 November 2020.

柯西不等式的证明及相关应用

摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式：

等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数

=()()()22221221122

22

212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ 由构造知 ()0≥x f 恒成立

又22

12

0n

n a a a +++≥

即()()()

2

2221222212

2211n

n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ 当且仅当()n i b x a i i 2,10==+ 即12

12

n

n

a a a

b b b ===

时等号成立 方法2 证明:数学归纳法

（1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()2

11a b 显然 左式=右式

当2=n 时 右式 ()()()()2

2

22

222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++

()()()222

1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立

（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立

即 ()()()

22221222212

2211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++

当 i i ma b =，m 为常数，k i 2,1= 或120k a a a ====时等号成立

设A=2

2221k a a a +++ B=22221k b b b +++ 1122k k C a b a b a b =++

+

则()()2

12121212121+++++++++=++k k k k k k b a Ba Ab AB b B a A

当 i i ma b =，m 为常数，12,1+=k i 或121+===k a a a 时等号成立 即 1n k =+时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立

二、柯西不等式的简单应用

柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，常通过适当配凑，直接套用柯西不等式解题，常见的有两大类型： 1、证明相关数学命题

（1）证明不等式

例1 已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 222

3

3

3

3

a b c a b c ++++≥

证明：利用柯西不等式

又因为 222a b c ab bc ca ++≥++ 在此不等式两边同乘以2，再加上222a b c ++得：

()

()2

222222c b a 222c b a c b a 3++=+++++≥++ac bc ab

故222

3

3

3

3

a b c a b c ++++≥

（2）三角形的相关问题

例2 设p 是ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半径，

≤

证明：由柯西不等式得： 记S 为ABC 的面积，则 故不等式成立。

2、求解有关数学问题 常用于求最值

例3 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=试求a 的最值 解：由柯西不等式得，有 即由条件可得， ()2

253a a -≥-

解得，12a ≤≤

== 时等号成立， 代入11

1,,36b c d ===时， max 2a =

21

1,,33b c d ===时 min 1a =

例4 空间中一向量a

与x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为，，（，， 均非象限角），

求

γ

βα222sin 9

sin 4sin 1++的最小值。

解 : 由柯西不等式得： )sin sin ](sin )sin 3()sin 2()sin 1[(

2222

22γβαγβα++++ ≥ 2)sin sin 3

sin sin 2sin sin 1(

γγ

ββαα?+?+? 22222

22)321()sin sin )](sin sin 9

()sin 4()sin 1(

++≥++++?γβαγ

βα ∵ sin 2 sin 2 sin 2 2 ∴ 236)sin 9sin 4sin 1(

222≥++γβα 18)sin 9

sin 4sin 1(2

22≥++?γ

βα ∴

γ

βα222sin 9

sin 4sin 1++的最小值为18 三、巧用柯西不等式的变形解题

很多高考数学问题的解决，如果仅从基础知识、基本公式的正面人手，就很难取得知识性的突破，而如果对基础知识、基本公式稍作变形，就会大大降低问题的难度，达到化难为易、化繁为简、化陌生为熟悉的目的．而学习柯西不等式，仅了解柯西不等式的基本公式还是不够的，学生还必须掌握下面这个柯西不等式的变形公式，此公式也是权方和不等式的一种特殊情况，这样我们就可以在解题过程中更快更准地解决问题．

柯西不等式的变形公式： 约定n i R b i 2,1,=∈+

有 ()n

n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≥+++ 212

2

1222

2

121 当且仅当n n b a b a b a === 2211等号成立 分析：由柯西不等式可得 ()()2

2121222

21

21n n n n a a a b b b b a b a b a +++≥+++???? ??+++ 例1 设1,,,,2121=+++∈+n n x x x R x x x 且，

证明2

112121

322

22121≥++++++++--x x x x x x x x x x x x n n n n n

证明：由变形公式得：1

2121

322

22121x x x x x x x x x x x x n n n n n ++

++++++-- 例2 (2007年广州市一模理科) 已知a ，b>0，且a+b=1，求1／2a+1／b 的最小值

解析： a ，b>0，且a+b=1，由柯西不等知:(

)

(

)

22

3

12/212/21

212

2

2

+=++≥+=

+b a b

a b a

当且仅当

b a 12/2=即22,12-=-=b a 时等号成立 22

3121min +=???

??+∴b a

练习 设且各不相同*∈N a a a n ,,,21 ，证明n

n a a a a n 1

31211322

23221++++≥++++

证明：将n a a a ,,,21 从新排序设为''2'1n a a a <<<

则有n a a a n

≥≥≥''2

'

1

,,2,1 ∴∑∑==≥n k k

n

k a k 111

1

而所需证目标：∑∑==≥n

k n

k k k k a 1121 2

111211??

?

??≥??? ????? ???∑∑∑===n k n k n k k k k k a

结合柯西不等式得：

得结论∑∑==≥n

k n

k k k

k a 1121

柯西不等式在解题中的几点应用

一、 引言

柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。本文仅就使用柯西不等式的技巧做一粗略归纳。主要就是使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式证明有关的不等式

人民教育出版社高中《代数》下册“不等式”一章的习题中有这样一道题（P 、15练习第2题）：

求证：ac+bd ≤22b a +*22d c +这题用比较法是很容易证明的，这里用比值的方法来证明。 证明：当a=b=c(或c=d=0)时，显然成立； 假设2a +2b ≠0 且2c +2d ≠0,则 =

2

2

2

2

2

2

2

2

**d

c b a bd

d

c b a ac

+++

++

=22

2

222222222**d c d b a b d c c b a a +++++ =1

故ac+bd ≤2222*d c b a bd ac bd ac ++≤+≤+ (1)式就是着名的柯西不等式的一个简单特例。 柯西不等式的一般形式为：

对任意的实数有及n n b b b a a a ,,,,,,2121

(2) 或,*

1

21

21∑∑∑===≤

n

i i

n

i i

n

i i i b

a

b a (3)

其中等号当且仅当

n

n b a b a b a === 22

11时成立（当0=k b 时，认为).1,0n k a k <≤= 柯西不等式有许多证明方法，这里就不作证明，仅就如何利用柯西不等式解题作一些介绍。

二、 柯西不等式在解题中的应用

a) 利用柯西不等式证明恒等式

利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法获证。

例、已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。 证明：由柯西不等式，得

当且仅当a b a

b

2211-=-时，上式取等号， 于是 122=+b a 。

b) 利用柯西不等式解无理方程（或方程组）

用柯西不等式解无理方程，是先把方程的（含有无理式的）运用柯西不等式化为不等式，然后结合原方程把不等式又化成等式，在判定为等式后再利用柯西不等式取等号的特性，得到与原方程同解的且比原方程简单的无理方程，进而得到简单的整式方程，从而求得原方程的解。

例：解方程

()()()

11

211

112

22

2++=++

+?+

x x x x x x 。

解： ()()

2

22211

11++

+?+

x x x

x

= ()()2

2

2

2111

1+++?+

x x x x

由柯西不等式知 即+

x

当上式取等号时有)

1(1

)1(+=

+x x x x 成立，即

012=++x x （无实根） 或012=-+x x ，即 2

5

1±-=

x ，经检验，原方程的根为 用柯西不等式解方程组，也同样是利用柯西不等式取等号的条件，从而求得方程组的解。 例：解方程组

解：原方程组可化为 运用柯西不等式得

27

3

9)(2

2

2

2

=≥++z y x , 182

62

2

2

=≥+w x 两式相乘，得

当且仅当x=y=z=w=3时取等号。 故原方程组的解为x=y=z=w=3.

c) 柯西不等式证明不等式。

很多重要的不等式都可以由柯西不等式导出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，下面略举一、二说明怎样利用柯西不等式证明不等式。

有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，认清其内在的结构特征，就可以达到利用柯西不等式解题的目的。下面略举一例加以说明。

例：设,121+>>>>n n a a a a 求证：

分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证： 证明：为了运用柯西不等式，我们将11+-n a a 写成

()()()1322111++-++-+-=-n n n a a a a a a a a 于是

即(),111111

111

11322113221

11++++->-++-+-∴>????

??

-++-+-?-n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a

故

.01

1111

113221>-+-++-+-++a a a a a a a a n n n

我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。

例：求证：()().2222112

2212221y x y x y y x x +++≥

+++

证明：()()()()()

22212221222122212

22

2122

2

1

2y y x x y y x x

y

y x x

+?+++++=++

+

由柯西不等式得

其中等号当且仅当11ky x = ，22ky x = 时成立。 其中等号当且仅当11ky x = ，22ky x = 时成立。 巧拆常数：

例：设a 、b 、c 为正数且各不相等。

求证：c

b a a

c c b b a ++>

+++++9

222 分析：∵a 、b 、c 均为正

∴为证结论正确只需证：9]1

11)[

(2>+++++++a

c c b b a c b a 而)()()()(2a c c b b a

d b a +++++=++ 又2)111(9++=

9)111(2=++≥又a 、b 、c 各不相等，故等号不能成立 ∴原不等式成立。 重新安排某些项的次序：

例：a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21, 求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++

分析：不等号左边为两个二项式积，+-∈∈R x x R b a 21,,,，每个两项式可以使柯西

不等式，直接做得不到预想结论，当把节二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。

（∵a +b =1）

结构的改变从而达到使用柯西不等式：

例若a >b >c

求证：c

a c

b b a -≥

-+-4

11 分析：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了

)()(c b b a c a -+-=- c a > ∴ 0>-c a

∴结论改为4)1

1)((≥-+--c

b b a

c a ∴ c

a c

b b a -≥

-+-4

11 添项：

例：+∈R c b a ,,

求证：

2

3≥+++++b a c a c b c b a 分析：左端变形111++++++++b

a c

a c

b

c b a

∴只需证此式29

≥即可

注：柯西不等式：a 、+∈R b ，则ab b a 2≥+

推论：2)11(4)1

1)((+=≥++b a b a 其中a 、+∈R b

2)111(9)1

11)((++=≥++++c b a c b a 其中a 、b 、+∈R c

例.已知a 1,a 2,a 3,…,a n ，b 1,b 2,…,b n 为正数，求证： 证明：左边=

例.对实数a 1,a 2,…,a n ,求证： 证明：左边=

例.设a ,b ,c 为正数，且a +b +c =1,求证： 证明：左边=

= = =

例.若n 是不小于2的正整数，试证：

证明：

所以求证式等价于 由柯西不等式有 于是：

又由柯西不等式有

<

例.设x 1,x 2,…,x n 都是正数(n 32)且，

求证：

证明：不等式左端即 (1) ∵ ，取 则 (2)

由柯西不等式有 (3) 即

综合(1)、(2)、(3)、(4)式得：

d) 用柯西不等式证明条件不等式

柯西不等式中有三个因式∑=n i i

a 1

2 ，∑=n i i

b 1

2 ，∑=n

i i i b a 1

而一般题目中只有一个或两个因式，为了

运用柯西不等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），这也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中诸量i a ，i b 具有广泛的选择余地，任意两个元素 i a ，j a （或i b ，j b ） 的交换，可以得到不同的不等式，因此在证题时根据需要重新安排各量的位置，这种形式上的变更往往会给解题带来意想不到的方便。这种变换也是运用柯西不等式的一种技巧，下面我们简单举例说明怎样利用上述技巧运用柯西不等式来证明条件不等式。

例：已知a,b +∈R ，a+b=1,,,21+∈R x x 求证：()()212121x x ax bx bx ax ≥+?+

分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论。若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了。

证明：()()2121ax bx bx ax +?+ =()()1221bx ax bx ax +?+ =()21212

x x x x b a =+ 。

例、设,,,,21+∈R x x x n 求证：

（1984年全国高中数学联赛题）

证明：在不等式的左端嵌乘以因式()132x x x x n ++++ ，也即嵌以因式

()n x x x +++ 21，由柯西不等式，得

于是n n

n x x x x x x x x x x x +++≥++++ 211

2

3221 .

e) 利用柯西不等式求函数的极值

有些极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误。这多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一。下面略举例加以说明怎样利用柯西不等式来求解一些极值问题。 例 设非负实数n ααα???21,满足,121=+???++n ααα求

1

213`12

21

11_1-++++???++++

+???++n n n n

ααααααααααα的最小值。（1982年西德数学奥林匹克度

题）

解：易验证

n

ααα+???++21

1+1=

1

12122

2)(1ααααα-=-???+++n

同理可得

n αααα+???+++3111+1=222α-,,???121-+???++n n ααα+1=n α-22

令1

213`12

21

11_1-++++???++++

+???++=

n n n n

y ααααααααααα

故+-=

+122αn y 222α-++???n

α-22

为了利用柯西不等式，注意到

∴ )12(-n +-121(

α221α-++???)21

n

α- =[]?-+???+-+-)2()2()2(21n a a a +-121(

α221α-++???)21

n

α- .

1

2122,12221

2212212222

2

2211-=--≥-=≥+∴=???????

?-?

-+???+-?-+-?-≥n n

n n n y n n n y n a a a a a a n n

等号当且仅当n a a a n 121=

=???==时成立，从而y 有最小值1

2-n n

例 设n x x x ,,,21???都是正数，,2≥n 且,11

=∑=n

i i x 求证：

.1

11

1

-≥

-∑∑

==n x

x x n

i i

n

i i

i （1989年全国数学冬令营试题）

证明：令),,2,1(1n i x y i i ???=-=由柯西不等式，得

,)(1

2

1

n x n x n

i i n

i i =?≤∑∑== 即 .1

n x n

i i ≤∑=

同理，得),1()1()(1

1

2

1

-=-?=?≤∑∑∑===n n x n y n y n

i i n i i n i i

即 .)1(1

-≤∑=n n y n

i i

又由柯西不等式，得 故,)

1(1

121

2

1-≥

?

≥∑∑

==n n n y

n y n

i i

n

i i

从而

6，利用柯西不等式解三角问题。

三角问题包括三角不等式，三角方程。三角极值等到，对于一些三角问题，我们为了给运用柯西不等式创造条件，经常引进一些待定的参数，其值的确定由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决。

例 在ABC ?中 ，求证： 证明：C B A sin 5sin sin ++

当且仅当A=B 时等号成立。 令)2

0)(sin 51(cos π

<

<+=x x x y ，于是引进参,0>t 求

222)sin 51(cos x x y +的最值。

由柯西不等式，

=2

2

2sin 51cos 25??

?

??+?x t t x 又由平均值不等式(),4

2

b a ab +≤

得 =

()()

.41

1252

2

22

t

t t

++ （1） 当且仅当2cos x =22sin t x +时等号成立。

例、已知a,b 为正常数，且0

π

,求x b x a y cos sin +

=的最小值。 解：利用柯西不等式，得

等号成立的当且仅当3

3

cos sin b

x a x

=时；

即 3b

a

arctg x = 时，于是 再由柯西不等式，得

等号成立也是当且仅当3

b

a

arctg x =时。 从而x b

x a y cos sin +=

.2

33

23

2

???

? ?

?+≥b a 于是x b

x a y cos sin +=的最小值是.2

33

23

2???

?

??+b a 在许多问题中，如果我们能够利用柯西不等式去解决，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新.

三、排序不等式

设a 1￡a 2￡…￡a n ,b 1￡b 2￡…￡b n ;r 1,r 2,…,r n 是1,2,…,n 的任一排列，则有：

a 1

b n + a 2b n -1+…+ a n b 1￡a 1b r 1+ a 2b r 2+…+ a n b rn ￡ a 1b 1+ a 2b 2+…+ a n b n 反序和￡乱序和￡同序和

例1.对a ,b ,c R +,比较a 3+b 3+c 3与a 2b +b 2c +c 2a 的大小 解：取两组数a ,b ,c ；a 2,b 2,c 2，则有a 3+b 3+c 33a 2b +b 2c +c 2a 例2.正实数a 1,a 2,…,a n 的任一排列为a 1/,a 2/,…a n /，则有

证明：取两组数a 1,a 2,…,a n ；

其反序和为，原不等式的左边为乱序和，有

例3.已知

a ,

b ,

c R +求证：

证明：不妨设a 3b 3c >0,则 >0且a 123b 123c 12>0 则

例4.设a 1,a 2,…,a n 是1,2,…,n 的一个排列，求证：

证明：设b 1,b 2,…,b n -1是a 1,a 2,…,a n -1的一个排列，且b 1

c

1

,c2,…,c n-1是a2,a3,…,a n的一个排列,且c1

则且b131,b232,…,b n-13n-1；c1￡2,c2￡3,…,c n-1￡n 利用排序不等式有：

例5.切比雪不等式：若a1￡a2￡…￡a n且b1￡b2￡…￡b n,则

a

1

￡a2￡…￡a n且b13b23…3b n,则

证明：由排序不等式有：

a 1b

1

+a2b2+…+a n b n= a1b1+a2b2+…+a n b n

a 1b

1

+a2b2+…+a n b n3 a1b2+a2b3+…+a n b1

a 1b

1

+a2b2+…+a n b n3 a1b3+a2b4+…+a n b2

…………………………………………

a 1b

1

+a2b2+…+a n b n3 a1b n+a2b1+…+a n b n-1

将以上式子相加得：

n(a

1b

1

+a2b2+…+a n b n)3 a1(b1+b2+…+b n)+ a2(b1+b2+…+b n)+…+ a n(b1+b2+…+b n)

∴