南京工业大学浦江学院高等数学(A)试题(A)卷

南京工业大学浦江学院高等数学（A ）试题（A ）卷（闭）

班级 学号 姓名

一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）

1. 2!

lim n n n n n

→∞= 2. 设x

z y

=

，则z 在点(1,1)处得全微分dz = 3. 设2

2

:2,D x y x +≤由二重积分的几何意义知

D

=

4. 设向量[3,2,1],[,4,5]a b p =-=--,已知a b ⊥，则a b ?=

5. 幂级数2

01(2)n n

x n

∞

=-∑的收敛域为

二、单项选择题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）

1. 函数(,)z f x

y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导数存在的[ ]

)(A

必要而非充分条件 )(B 充分而非必要条件 )(

C 充分必要条件 )(

D 既非充分又非必要条件

2. 设2

,

z x y =它在点(1,1)P 处沿从点(1,1)P 至点(2,0)Q 的方向导数

z

l ??为[ ] )

(A

)

(B )(C )(D

3. 设(,)f x y 是连续函数，交换二次积分1220

0dy x y dx ?

的积分次序后的结果为[ ]

)

(A 1

220

dx x y dy ?

)

(B 1

220

3x y dy ?

)(C 2

1

12

2

3x dx x y dy -??

)(D 2

1

1220

3x dx x y dy +??

4. 设L 为22

1x y += 则

2()L

x y ds +=?

[ ]

)(A 0 )(B 2π )(C 1 )(D 24π

三、（本题8分）

1.求曲线x e y t z e t t ===--232,,在对应于t =0点处的切线及法平面方程. 四、（本题共3小题，每小题7分，满分21分） 1．设)sin(22xy e z y x +=，求

????z x z

y

,在点(0,1)处的值.

2．设()y x f z ,=是由方程2

2z

x y z e +-=所确定的隐函数，求

,z z x y

????.

3. 求函数xyz

u e

=在条件0,0,0,1>>>=++z y x z y x 的极值

五、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）

1.计算22()D

I x y dxdy =+??，其中D 是由三条直线2,1,x y y x ===所围成的区域。

2.计算三重积分

???Ω

zdxdydz ，其中Ω是圆柱面2

21x

y +=介于0z =与2z =的部分。

六、（本题7分）

1．计算224(2)()L

I x xy dx x y dy =

+++?

其中：L 为从点(0,0)O 到点(1,1)B 的曲线弧2y x =

七、（本题7分）计算xdydz ydzdx zdxdy ++∑

??，其中∑

为上半球面z =的

上侧，R 为实数.

八、（本题8分）已知幂级数11

(1)n n

n x n -∞

=-∑ (1)求收敛半径R 及收敛域

(2)求和函数()S x ，并且求级数1

1

(1)2n n

n n -∞

=-∑的和

九、（本题6分）设()f x x x x x x =+-≤<=<≤???

?

?2000ππππ,,

,,

,,，()1cos d ,(0,1,2)n a f x nx x n ππ

π-==?L 利用函数的Fourier 级数展开式，求数项级数0

n

n a

+∞

=∑的和.

南京工业大学浦江学院高等数学（A ）试题（A ）卷（闭）

解答

2009-2010学年第二学期

一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）

1.0

2.dx dy -

3.23

π

4.141414i j k +-r r r

5.[1,3]

二、单项选择题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）

1. ()B

2. )(C

3. )(C

4. )(B

三、（本题8分）

1.解：t =0对应点(,,)101-，对应的切线方向向量

{}3,2,2=s ρ

切线方程

x y z -==

+1221

3

法平面方程为 212310()()x y z -+++=

或 22310x y z +++=

四、（本题共3小题，每小题7分，满分21分）

1.解： 22222sin()cos()x y x y z

e xy e xy y x

++?=+??

2222(sin()cos())x y

e xy y xy +=+

2(0,1)

z

e x ?=?

22222sin()cos()2x y x y z

e xy e xy xy x

++?=??+?? 2222(sin()cos())x y e xy xy xy +=+

(0,1)

0z

y ?=?

2．解：设2(,,)2z

F x y z x y z e =+--

(,,)2x F x y z x =，(,,)2y F x y z =，(,,)1z

z F x y z e =--

21x z z F z x x F e ?=-=?+ ，2

1y z

z F z y F e ?=-=?+

3.

解：令(1)xyz F e x y z λ=+++-由F yze F xze F xye F x y z x xyz y

xyz z xyz =+==+==+==++-=??

?????λλλλ

00010

，得驻点M (,,)131313

。

且u M e

()=127

，因正值连续函数u e

xyz

=在平面x Y Z ++=1位于第一卦限部分的边界上为零，

故u 在第一卦限内取最大值，从而是极大值，因此函数u 在点M 取极大值u e (,,)13131

3

1

27=

五、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）

1.解：2

221

1

()x

I dx x y dy =+?

?

32

2

1

1

()3x

y x y dx =+?

2

321

41()33

x x dx =

--?

2

4

3

17(

)3333

x x x =--= 2.解法一：（平行截面法）

2

z

D zdxdydz zdz dxdy Ω

=??????

{}

22(,)1z D x y x y =+≤

z

D dxdy π=??

20

2I z dz ππ=?=? 解法二：（利用柱坐标）

???Ω

zdxdydz 21

2

2d rdr zdz π

θπ==???

六、（本题7分）

1． 解法一：

2,P Q

x y x

??==??原积分与路径无关 故1

1240

23

(1)15

I x dx y dy =

++=

?

?

解法二：1

222420

23(2)()15

I x xx dx x x dx =

+++=

?

七、（本题7分）解：xdydz ydzdx zdxdy ++∑

??

xdydz ydzdx zdxdy =

++-∑

??ò1

xdydz ydzdx zdxdy ++∑??

(1∑为xoy 坐标面上222x y R +≤所围成的区域，法向量方向指向下

xdydz ydzdx zdxdy =++∑

??ò33

43343dxdydz R R ππΩ===??? 八、（本题8分）

解：（1）1

1

lim lim 1n n n n a n R a n →+∞→+∞++===

当1x =-时，原级数变为111(1)1(1)n n

n n n n

-∞

∞

==--=-∑∑ 发散 当1x =时，原级数变为1

1

(1)n n n -∞

=-∑ 收敛

所以收敛域为(1,1]-

（2）设11(1)()n n n s x x n -∞

=-=∑，则11

1

()()1n n s x x x +∞

-='=-=+∑ 两边积分

()()(0)ln(1)x

s x dx s x s x '=-=+?

可得 11

(1)ln(1)n n

n x x n -∞

=-=+∑ (3) 11

(1)13ln(1)ln 222n n

n n -∞

=-=+=∑

九、（本题8分）

解：()f x 满足Fourier 级数收敛于()f x 的充分条件，故当[]x ∈-ππ,时，

()()()S x a a nx b nx f x n n n =++==∞

∑0

12cos sin ，

其中()Λ,3,2,1,d sin 1==?-n x nx x f b n π

π

π

。

特别()()S a a f n n 0200

1

=+===∞

∑π

而()()a f x x x x x x 0001121==++--???ππππππππ

d d d = 2π。

故 ()a S a

n n =+=+==∞

∑0220

0πππ。