函数的的单调性及奇偶性单元练习

函数的的单调性及奇偶性单元练习

一、选择题

1．若)(x f y =为偶函数，则下列点的坐标在函数图像上的是 （ ）

A.))(,(a f a --

B. ))(,(a f a -

C. ))(,(a f a -

D. ))(,(a f a ---

2．下列函数中,在区间（0,1）上是增函数的是 （ ） A. x y = B. x y -=3 C. x

y 1= 42+-=x y 3．下列判断中正确的是 （ ）

A ．2)()(x x f =是偶函数

B 。2)()(x x f =是奇函数

C ．1)(2-=x x f 在[-5，3]上是偶函数

D 。23)(x x f -=

是偶函数 4．若函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 是偶函数，则cx bx ax x g ++=23)(是 （ ）

A ．奇函数

B 。偶函数

C 。非奇非偶函数

D 。既是奇函数又是偶函数

5．已知函数f(x)是R 上的增函数,A(0,－1)、B((3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1)| <1的解集的补集 （ ）

A ．(－1,2)

B ．(1,4)

C ．(－∞,－1]∪[4,+ ∞)

D ．(－∞,－1]∪[2,+ ∞)

6.已知函数)(x f y =为奇函数，且当0>x 时32)(2

+-=x x x f ，则当0

A. 32)(2-+-=x x x f

B. 32)(2---=x x x f

C. 32)(2+-=x x x f

D. 32)(2+--=x x x f

7．定义在R 上的偶函数)(x f 在（－∞，0]上单调递增，若21x x >，021>+x x ，则 （ ）

（A ）)()(21x f x f > （B ）)()(21x f x f >-

（C ）)()(21x f x f -< （D ）)(1x f ，)(2x f 的大小与1x ，2x 的取值有关

8.下列判断正确的是 （ ）

A.定义在R 上的函数f(x)，若f(-1)=f(1),且f(-2)=f(2)，则f(x)是偶函数

B.定义在R 上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则f(x)在R 上不是减函数

C.定义在R 上的函数f(x)在区间(,0]-∞上是减函数，在区间(0,)+∞上也是减函数，

则f(x)在R 上是减函数

D.既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一个

9、奇函数()f x 在区间[,]a b 上是减函数且有最小值m ，那么()f x 在[,]b a --上是（ ）

A 、减函数且有最大值m -

B 、减函数且有最小值m -

C 、增函数且有最大值m -

D 、增函数且有最小值m -

10．设)(x f 、)(x g 都是单调函数，有如下四个命题：

①若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递增；

②若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增；

③若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减；

④若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减；

其中正确的命题是 （ ）

A ．① ③

B 。① ④

C 。② ③

D 。② ④

选做题

11、定义在R 上的偶函数y=f(x)满足f(x+1)=－f(x),且在[－1,0]上单调递增,设a=f （3）, b=f(2), c=f （2）,则a 、b 、c 的大小关系是 （ ）

A ．a>b>c

B ．a>c>b

C ．b>c>a

D ．c>b>a

12．定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数)(x f 为增函数，偶函数)(x g 在［０，＋∞)上图像与)(x f 的图像重合.设ａ＞ｂ＞０，给出下列不等式：

①)()()()(b g a g a f b f -->--

②)()()()(b g a g a f b f --<--

③)()()()(a g b g b f a f -->--

④)()()()(a g b g b f a f --<--

其中成立的是 ( )

Ａ.①④ Ｂ.②③ Ｃ.①③ Ｄ.②④

二、填空题

13．已知函数y=f (x )是R 上奇函数，且当x >0时，f (x )=1，则函数y=f (x )的表达式是 ▲

14.函数y=2

x -2ax+1,若它的增区间是[2，+)∞，则a 的取值是__▲_____;若它在区间[2，+)∞ 上递增，则a 的取值范围是_▲ __

15.已知f(x)是奇函数，定义域为{x|x ∈R 且x ≠0},又f(x)在（0，+∞）上是增函数，且f(-1)=0,则满足f(x)>0的x 取值范围是_▲ __

16．.若f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时为增函数，那么使f(π)

17．有下列下列命题：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定经过原点；③定义在R 上的奇函数)(x f 必满足0)0(=f ；④当且仅当0)(=x f （定义域关于原点对称）

时，)(x f 既是奇函数又是偶函数。其中正确的命题有 ▲

18．已知)(x f 与)(x g 是定义在R 上的非奇非偶函数，且)()(x g x f ?是定义在R 上的偶函数，试写出满足条件的一组函数：)(x f = ▲ ，)(x g = ▲ 选做题：

19．若二次函数)(1x f 、)(2x f 满足条件：

①)()()(21x f x f x f +=在),(+∞-∞上单调递增；

②)()()(21x f x f x g -=对任意实数1x 、)(212x x x ≠都有)2(2)()(2121x x g x g x g +<+，则)(1x f = ▲ ，)(2x f = ▲ （只须填上你认为正确的一组即可，不必考虑所有情况）

20．已知)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，且32)()(2++=-x x x g x f ，则=+)()(x g x f ▲

三、解答题

21．已知f (x )是一个定义在R 上的函数，求证：

（1）g(x )= f (x )+ f (－x )是偶函数；

（2）h (x )= f (x )－f (－x )是奇函数.

22．已知函数2()2||f x x x =-．

（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；

（Ⅱ）判断函数()f x 在(1,0)-上的单调性并加以证明．

23、设函数()f x 对于任意,,x y R ∈都有()()(),f x y f x f y +=+且0x >时()0,f x <(1)2f =-。

（1）求(0)f ；

（2）证明()f x 是奇函数；

（3）试问在[3,3]x ∈-时()f x 是否有最大、最小值？如果有，请求出来，如果没有，说明理由；

24. 设函数()f x 在),0()0,(+∞-∞ 上是奇函数，又()f x 在（０，＋∞）上是减函数，并

且0)(

(1)(x f x F =在（－∞，０）上的增减性?并证明. 25．. 试判断函数x

x x f 2)(+

=在[2，+∞)上的单调性． 选做题： 26．已知函数23,[1,2]()3,(2,5].x x f x x x ?-∈-=?-∈?

， （1）在图5给定的直角坐标系内画出()f x 的图象；

（2）写出()f x 的单调递增区间．

27、已知()f x 是定义在[-1，1]上的奇函数，当,[1,1]a b ∈-，且0a b +≠时有()()0f a f b a b

+>+. （1）判断函数()f x 的单调性，并给予证明；

（2）若2(1)1,()21f f x m bm =≤-+对所有[1,1],[1,1]x b ∈-∈-恒成立，求实数m 的取

值范围.

参考答案

一、选择题

1．C ．解析：∵)(x f y =为偶函数，∴)()(a f a f =-，∴点))(,(a f a -在函数图像上，故选C 。

2．A ．解析：结合函数图象易知选A

3．D ．解析：若函数是奇函数或偶函数，则其定义域必关于原点对称，据此选D 。

4．A ．解析：函数)0()(2

≠++=a c bx ax x f 是偶函数，则)()(x f x f =-在其定义域R 上恒成立，由此可得0=b ，从而易知cx bx ax x g ++=23)(为奇函数，因为0≠a ，所以)(x g 不可能为偶函数，故选A 。

5．D ．解析：因为函数f(x)是R 上的增函数,且A(0,－1)、B((3,1)是其图象上的两点，所以不等式1)(≥x f 的解集为3,0≥≤x x 或，从而|f(x+1)| <1的解集的补集为(－∞,－1]∪[2,+ ∞)，故选D 。

6．B ．解析；因为函数)(x f y =为奇函数，且当0>x 时32)(2

+-=x x x f ，则当0-x x x x x f x ，即32)(,322)(2---=∴++=-x x x f x x x f ，故选B 。

7．C ．解析：∵21x x >，021>+x x ，∴211,0x x x >>且，又∵)(x f 是定义在R 上的偶函数，∴)()()(x f x f x f ==-。又∵)(x f 在（－∞，0]上单调递增，∴)(x f 在),0[+∞上单调递减，∴)()(),()(2121x f x f x f x f -<∴<，故选C 。

8．B ．解析；定义在R 上的函数f(x)，当且仅当)()(x f x f =-在R 上恒成立时，才能断言函数f(x)是R 上的偶函数，故A 不正确；定义在R 上的函数f(x)在区间(,0]-∞上是减函数，在区间(0,)+∞上也是减函数，则f(x)在R 上是减函数不正确，反例如下：

?

??>+-≤--=0,10,1)(x x x x x f 。 对于函数0)(=x f ，只要其定义域关于原点对称，它就既是奇函数又是偶函数，故既是奇函数又是偶函数的函数不是有且只有一个，而是有无数个，故D 不正确。对于选项B ，可用反证法证明其正确性。故选B 。

9．C ．解析：奇函数在对称区间上的单调性相同，故选C 。

10．C ．解析：注意到：两个单调性相同的和函数的单调性不变，)(x f 与)(x f -的单调性相反。故选C 。

选做题

11．D ．解析：因为定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+1)=－f(x),所以

)()1()2(x f x f x f =+-=+。又因为函数y=f(x)是定义在R 上的偶函数，所以

)22()2(),1()23()3()3(+-==-=+-=-==f f b f f f f a ，)0()2(f f c == 而函数)(x f 在[－1,0]上单调递增,设a,b,c 的大小关系是c>b>a ， 故选D 。

12．C ．解析：采用特殊值法。根据题意，可设x x g x x f ==)(,)( ，又设1,2==b a ，易验证②与③成立，故选C

二、填空题

13．?????<-=>=)0(1)0(0)0(1)(x x x x f 。