Geomagic Studio 11 点和三角面的基本编辑处理
Geomagic Studio11点和三角面的基本编辑处理
本文档主要学习编辑点云. 采用各种采样方式减少点的数量同时保持点云的几何形状，三角网格化点云、初步使用三角网格功能。
打开实例文件
Files: \…\Geomagic Studio 11\TutorialData\latch-scan.wrp
1. （打开）Open latch-scan.wrp. 只是一个金属外壳的扫描点云大约900,000点. 有一些数据丢失,我们将修复这些数据（2个洞和1个矩形部分）
2.为了快速高效,旋转模型,切换到Dynamic Display 标签下,在Display Panel 栏右侧输入25. 这意味旋转移动的时候只有25%点被显示。
.
3. 通过旋转移动观察确定哪些是杂点，那些点需要保留！.
4．选择Top View 在右侧工具栏r.
5．放大局部视图
6．选择Lasso Tool 选择杂点. 取消选择按住Ctrl 再选一次或. Ctrl+C(取消选择)
7．用Erase命令删除选中的点。Ctrl+D 使视图充满屏幕
8．另外，还可以自动选择去除点。菜单Edit----Select --- DisconnectedComponents. 改变Separation 下拉菜单为Low, 设置Size值为5%. 点击OK. 一部分点就从大多数点中分离出来了. Separation显示距离主要部分多远的点群被选择, Size 设定被选择数量的百分比..
9.用Erase删除被选择的点.
10.“noise”噪声点，geomagic有一个Reduce Noise（减少噪声点功能），将噪声点尽量降低，以保证物体的外形，下图是降噪的前后对比
11.选择从菜单Points ---Reduce Noise（降噪）选择Free-form Shapes
(锐化边界、保持细小特征用Prismatic Shapes 模式). 设置Smoothness Level（平化程度）为Med.点击Apply. 粗糙的数据平均成了一个光滑的数据面平均的距离和偏差值显示在状态栏.
12.点击ok结束操作。
13.选择菜单Points---- Uniform Sample（均匀取样）.设置Spacing（间距）值为0.35 mm 点击OK. 这将会去除一些点，剩下的点的点距近似为0.35 mm.点云的数量由900,000 降低到大约
400,000.
14. 现在试验一下通过别的方法取样, 选择菜单Points---Curvature Sample（基于曲率取样）. 这种取样方式是基于模型的曲率，保留边界等曲率变化大的地方的点，去除平坦地方的点
15.通过简短的计算，你能通过移动滑轮来改变点的百分比看看如何影响结果。注意，向半径、弯曲等特征是怎样在点云中变得可见的。最后, 设置Sample Percentage（取样率）为60.0 点击OK. 这时我们减少点的数量体同时保持了曲率变化部分的形状.
16.选择菜单Points --Wrap. 选择Surface wrap操作后点击OK.
点云通过三角面片化的方法称为多边形面（三角面）。
注意Volume Wrap操作针对稀疏不规则的点，会耗费较长的计算时间和较高的内存，建议先使用Surface wrap如果不满意再用Volume Wrap
17.我们现在得到有大约400,000个三角面构成模型，通过旋转我们可以看到完整的模型。
18. 在Primitives Panel面板上点选Holes选项. 则边界和空洞的周围有高亮的绿色线显示l.
19. 请注意三角面模型的两面显示为不同的颜色. 蓝色默认显示法向的正方向（物体的正面），黄色相反. 如果要翻转方向请使用菜单Polygons－Flip Normals命令.如下图，点击filp
翻转结果为下图
点击ok确认，或者点击cancel取消。
20.接下来在三角网格模型上建立一些特征为以后建立面模型做准备。特征是曲线模型上的表示，例如圆、矩形。利用特征会方便快捷的形成优化的曲面模型。
21.选择菜单Features－－Tools－Create Features. This dialog is used to
identify the features we are going to save.
22.在Feature Type 区域选择Hole操作，点击拾取孔的边界．以绿色的圆显示出实际尺寸和位置显示，在Parameters项输入你想调整到的值，例如为13, 绿色的边界会跟着自动调整。
23. 点击Next 按钮依次创建下一个特征.另一个圆孔直径13mm, 一个方孔倒角直径7mm,边长42mm,，然后点击apply, 然后ok.
（可能是版本或者软件的BUG,按上述操作不一定能更改成你想要的值！）
本例如果孔的直径12.918mm按上述操作不能改成13mm，请按如下步骤操作：
A:不去改动默认计算出来的值，直接apply,然后next ，全部特征建立后，点击ok 完成所有特征建立。
B:打开菜单Tools---Features---feature info 命令
C:点击特征，出现特征参数
D:修改参数12.918mm为13mm. 如下图所示！
?????
好像所有直接输入都无效，必须通过按钮调整一下才行！怪事！！??24.定义矩形特征选择Feature Type 的Rounded Rectangle项.
点击矩形边界. 一个绿色边界在特征出显示出来. 设定Length（长）和Width（宽）为42.0 mm and 四角的半径Radius 为7.0 mm.（操作与孔的一样）就不罗嗦了！?
25.完成后点击OK 退出对话框. 特征完成，如下图
26. 在Model Manager 窗口 的三角面模型树下会多出 Features 项
. 以及我们建立的特征
. 这些特征要存起来，以便在以后的操作中修剪 NURBS 曲面.
现在,定义完特征，我们开始修补模型上的孔洞 首先, 我们必须删除特征边界处的一些点的数据。 因为这是一个冲压件，冲孔的时候边缘有些向内侧凹进，凹进的数据要删除。
27. 右键点击 Features 选择Hide All 来隐藏特征
28.选择菜单 Edit －Select － Boundaries .自动选要去除的边界点，取代手动选择点
29.点击选择一个孔或者矩形的边界，则边界的一些三角面就被选择了. 点击Expand（扩张）钮３次扩大所选的三角面使之包含所要删除的部分. 如下图.
30. 点击Delete Polygons 删除红色区域.
31.选择菜单Polygons――Fill Holes 命令. 这是一个常用的修补工具，无论是修补平面孔还是曲面的孔洞.
32.点击洞的边缘，程序会按照曲率修补孔洞.
33. 重复此步骤，修复所有环形闭合的孔洞.
34.改变Fill Options 项为Partial Holes （非闭合洞）点击两个角点及红色边界上任意一点则洞被补上
35.点击OK 结束
36. 提示: 清除所有选择部分用Ctrl+C或者菜单Edit Clear All. The filled regions
stay highlighted after leaving the dialog, so to prevent accidentally deleting these
regions, it is a good idea to Clear All after filling holes.
37. 选择菜单Boundaries －Edit命令点击图中绿色边界.
38. 设置Control Points （控制点）为200，按回车观察一下效果.
然后点击Execute（执行）钮，边界就重新定义为由２００个点组成的比以前光滑了不少。.
注意：比较好的方式是从原来控制点的１／３开始调整
39.点击OK确定.
40.用Ellipse （椭圆选择工具）选择模型上的小凹窝，selection tool to select the small dimple near the center of the part.
41. 选择菜单Polygons －Defeature（模糊）. 小凹窝被快速修复. 。Defeature（模糊）工具能有效去除瑕疵噪声点
42.点击Ctrl+C 或者Edit－Clear All 清除选择区域
43.选择Polygons－Decimate（分样，减少数量）. 键入25.0在Reduce to
Percentage 栏点击Apply. 这个过程将三角面数量由400,000 减少到100,000 并能精确保留形状点击OK 结束. 按Ctrl+C清除选择.
44. 现在三角面模型已经完成做面前的准备.
已经建立的特征和模型一起保留下来以便后续进行修剪NURBS 曲面
第十一章三角形知识点归纳
第十一章三角形知识点归纳 考点一:三角形的三边关系 1、三角形两边的和 第三边 2、三角形两边的差 第三边 3、判断三边能组成三角形的方法：最小两数之和大于第三边 4、已知三角形两边的长度为a 和b ，则第三边的取值范围是 两边之差＜第三边＜两边之和 例：下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A.5,6,10 B.5,6,11 C.3,4,8 D.4,4,8 例：已知三角形的两边分别是7和12，则第三边长得取值范围为（ ） 考点二：5、三角形具有 性，四边形具有 性 例：下列图形具有稳定性的是（ ） A.正方形 B.矩形 C.平行四边形 D.直角三角形 考点三： 1. 三角形的高 从△ABC 的顶点向它的对边BC 所在的直线画垂线，垂足为D ， 那么线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高。 注：三角形面积=底×底边上的高 例：AD 是△ABC 的高，∠ADB=∠ADC= 例：AD 是△ABC 的高，AD=3，BC=5,则△ABC 的面积是 2. 三角形的中线 连接△ABC 的顶点A 和它所对的对边BC 的中点D ， 所得的线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线。 几何语言： AD 是△ABC 的中线 BD=CD=2 1BC 注：三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形
D 例：AD 是△ABC 的中线 ，BD=3，则CD= ，BC= ， 若△ABC 的面积是18，则△ABD 的面积等于 。 3. 三角形的角平分线 ∠A 的平分线与对边BC 交于点D ，那么线段AD 叫做三角形的角平分线。 几何语言： AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD=2 1∠BAC 例：AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC=70度，则∠BAD= ,∠CAD= 考点四：三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 几何语言：∠A+∠B+∠C= 例：在△ABC 中，∠B=45度，∠C=55度，则∠A= 考点五：三角形的外角 1、定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 2. 性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 几何语言： ∠ACD 是△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B 例：如图，已知∠ACD=120度，∠B=50度，则∠A= 考点六：n 边形的内角和公式等于 例：计算五边形的内角和是 例：一个多边形的内角和是720度，则这个多边形的边数是 考点七：多边形的外角和等于 例：十二边形的外角和等于 例：正多边形的每个外角的度数都是40度，则这个正多边形的边数是
Geomagic studio软件操作指南
G e o m a g i c s t u d i o软件操作 指南 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
Geomagic studio 软件操作指南
目录 AA004XNCEY 软件介绍 (1) Geomagic公司及其主要产品 (1) Geomagic Studio软件的使用范围 (1) Geomagic Studio软件的主要功能 (1) Geomagic Studio软件的优势 (1) 计算机要求 (2) 2. 软件安装 (3) 3. 软件功能介绍 (10) Geomagic studio软件及流程简介 (10) Geomagic Studio 中鼠标控制和主要快捷键 (11) Geomagic Studio 软件的基本模块 (11) 4.点阶段 (15) 点阶段主要操作命令列表 (15) 实验 (15) 5.多边形阶段 (25) 多边形阶段主要操作命令列表 (25) 实验 (26) 实验一：毛泽东塑像建模 (26)
实验二：建筑物单面墙体建模 (39) 6.精确曲面阶段 (46) 精确曲面阶段主要命令列表 (46) 实验 (47)
1软件介绍 Geomagic公司及其主要产品 Geomagic是一家世界级的软件及服务公司，在众多工业领域如汽车、航空、医疗设备和消费产品得到广泛应用。公司旗下主要产品为Geomagic Studio、Geomagic Qualify和Geomagic Piano。其中Geomagic Studio是被广泛应用的逆向工程软件，可以帮助用户从点云数据中创建优化的多边形网格、表面或CAD模型。Geomagic Qualify 则建立了CAD和CAM之间所缺乏的重要联系纽带，允许在CAD 模型与实际构造部件之间进行快速、明了的图形比较，并可自动生成报告；而Geomagic Piano是专门针对牙科应用的逆向软件。本项目所使用的主要是Geomagic Studio软件。 Geomagic Studio软件的使用范围： (1)零部件的设计； (2)文物及艺术品的修复； (3)人体骨骼及义肢的制造； (4)特种设备的制造； (5)体积及面积的计算，特别是不规则物体。 Geomagic Studio软件的主要功能： (1) 点云数据预处理，包括去噪、采样等； (2) 自动将点云数据转换为多边形(Polygons)； (3) 多边形阶段处理，主要有删除钉状物、补洞、边界修补、重叠三角形清理等； (4) 把多边形转换为NURBS曲面； (5) 纹理贴图 (6) 输出与CAD/CAM/CAE匹配的文件格式(IGES, STL, DXF等)。 Geomagic Studio软件的优势： (1)支持格式多，可以导入导出各种主流格式； (2)兼容性强，支持所有主流三维激光扫描仪，可与CAD、常规制图软件及快速设备制造系统配合使用； (3)智能化程度高，对模型半成品曲线拟合更准确； (4) 处理复杂形状或自由曲面形状时，生产率比传统 CAD 软件效率更高；
第十一章三角形(知识点+题型分类练习)
三角形必背知识点 一、三角形基本概念 1. 三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 3. 三角形三边的关系（重点） 三角形的任意两边之和大于第三边。 三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可） 用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。 已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b 解题方法： ①数三角形的个数方法：分类，不要重复或者多余。 ②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形 方法：最小边＋较小边＞最大边不用比较三遍，只需比较一遍即可 ③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形 方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。 ④已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围 方法：第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b
⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长 方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。 二、三角形的高、中线与角平分线 1. 三角形的高 从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC的边BC上的高。三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。 2. 三角形的中线 连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。 三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。 3. 三角形的角平分线 ∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。 要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。 三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。 要求会的题型： ①已知三角形中两条高和其所对的底边中的三个长度，求其中未知的高或者底边的长度 方法：利用“等积法”，将三角形的面积用两种方式表达，求出未知量。 三、三角形的稳定性 1. 三角形具有稳定性 2. 四边形及多边形不具有稳定性 要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。 四、与三角形有关的角
八年级数学上册 第十一章 三角形知识点总结 (新版)新人教版
第十一章 三角形 一、知识框架： 二、知识清单： 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形. 三角形用符号“△”加顶点字母表示，如“△ABC ”（读作“三角形ABC ”）. 2.三角形（按边）分类 ?? ??????等边三角形三角形腰与底边不相等的等腰等腰三角形三边都不相等的三角形三角形 3. 三角形三边关系（定理）：三角形任意两边的和大于第三边； （推论）三角形任意两边的差小于第三边. 4.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的连线段叫做三角形的高.（三角形三条高或高所在直线相交于一点，交点称为三角形的垂心） （锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角三角形的直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外） 5.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.
（三角形的三条中线交于一点，交点叫三角形的重心） 6.三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的连线段叫做三角形的角平分线. （三角形三条角平分线的交点称为三角形的内心） 7.三角形的稳定性：三边长度固定的三角形的形状、大小固定不变，这个性质叫三角形的稳定性. （在所有的多边形中，只有三角形具有稳定性） 8. 三角形的内角：三角形中，相邻两边组成的角称为三角形的内角，也称为三角形的角. 三角形内角和（定理）：三角形的三个内角和为180°. （推论）：直角三角形的两个锐角互余. 9. 三角形的外角：由三角形的一条边和相邻边的延长线组成的角称为三角形的外角. 三角形外角和（定理）：三角形三个外角的和为360°. 三角形外角性质（定理）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和. （推论）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 10. 多边形：在平面内，由不在同一条直线上的n 条线段首尾顺次连接组成的图形叫做n 边形. 正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 11.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形内角和定理：n 边形的内角和为.1802n ??-）（
人教版初中数学第十一章三角形知识点
第十一章三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.1 三角形的边 1．关于三角形的概念及其按角的分类 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2．三角形的分类： ①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. ②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形. 3．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短） 根据公理“两点之间，线段最短”可得： 三角形任意两边之和大于第三边. 三角形任意两边之差小于第三边. 例1．小芳有两根长度为4cm和9cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（）的木条． A．5cm B．3 cm C．17cm D．12 cm 【答案】D 【解析】 试题分析：根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，可知： 对A，∵4+5=9，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误； 对B，∵4+3＜9，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误； 对C，∵4+9＜17，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误； 对D，∵4+9＞12，12-9＜4，符合两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，故正确； 故选D． 考点：三角形的三边关系 例2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（） A．2，3，5 B．3，3，6 C．2，5，8 D．4，5，6 【答案】D． 【解析】 试题分析：A．2+3=5，故不能构成三角形，故选项错误； B．3+3=6，故不能构成三角形，故选项错误； C．2+5＜8，故不能构成三角形，故选项错误； D．4+5＞6，故，能构成三角形，故选项正确． 故选D． 考点：三角形三边关系． 例3．现有四根木棒，长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm．从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（） A．1个B．2个C．3个D．4个 【答案】C 【解析】 试题分析：根据三角形三边关系可知能组成三角形的木棒长度分别为：4cm、8cm、10cm；4cm、6cm、8cm 和4cm、8cm、10cm三种情况． 考点：三角形三边关系 例4．在下列长度的四根木棒中，能与两根长度分别为4cm和9cm的木棒构成一个三角形的是（）
第十一章 三角形知识点总结
第十一章三角形 一．三角形知识要点梳理 1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。 4、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 5、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 6、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 二．多边形知识要点梳理 定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封 闭图形叫做多边形。 凸多边形 多边形分类1： 凹多边形 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形分类2：叫做正多边形。 非正多边形： 1、边形的内角和等于180°（n-2）。 多边形的定理2、任意多形多边形的外角和等于360°。 3、n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3） 三．典型例题讲解 类型一：多边形内角和及外角和定理应用 1．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？ 总结升华：本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合
人教版初中数学第十一章三角形知识点复习过程
人教版初中数学第十一章三角形知识点
第十一章三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.1 三角形的边 1．关于三角形的概念及其按角的分类 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2．三角形的分类： ①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. ②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形. 3．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短） 根据公理“两点之间，线段最短”可得： 三角形任意两边之和大于第三边. 三角形任意两边之差小于第三边. 例1．小芳有两根长度为4cm和9cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（）的木条． A．5cm B．3 cm C．17cm D．12 cm 【答案】D 【解析】 试题分析：根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，可知： 对A，∵4+5=9，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误； 对B，∵4+3＜9，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误； 对C，∵4+9＜17，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误； 对D，∵4+9＞12，12-9＜4，符合两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，故正确；
考点：三角形的三边关系 例2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（） A．2，3，5 B．3，3，6 C．2，5，8 D．4，5，6 【答案】D． 【解析】 试题分析： A．2+3=5，故不能构成三角形，故选项错误； B．3+3=6，故不能构成三角形，故选项错误； C．2+5＜8，故不能构成三角形，故选项错误； D．4+5＞6，故，能构成三角形，故选项正确． 故选D． 考点：三角形三边关系． 例3．现有四根木棒，长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm．从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】 试题分析：根据三角形三边关系可知能组成三角形的木棒长度分别为：4cm、8cm、10cm；4cm、6cm、8cm和4cm、8cm、10cm三种情况． 考点：三角形三边关系 例4．在下列长度的四根木棒中，能与两根长度分别为4cm和9cm的木棒构成一个三角形的是（） A.4cm B.5cm C.9cm D.13cm
十一章《全等三角形》知识要点归纳
第十一章《全等三角形》知识要点归纳 一、知识网络 ???? ?? ????→???? ??? ?? ?? ???? ? ?对应角相等 性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 （一）基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 ! （1）全等三角形对应边相等； （2）全等三角形对应角相等； （3）全等三角形周长、面积相等。 3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等。 （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 [ （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 （二）灵活运用定理 证明两个三角形全等，必须根据已知条件与结论，认真分析图形，准确无误的确定对应边及对应角；去分析已具有的条件和还缺少的条件，并会将其他一些条件转化为所需的条件，从而使问题得到解决。运用定理证明三角形全等时要注意以下几点。 ； 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA ）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) $ （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 ①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) （三）疑点、易错点 1、对全等三角形书写的错误 在书写全等三角形时一定要把表示对应顶点的字母写在对应 的位置上。切记不要弄错。 2、对全等三角形判定方法理解错误； 3、利用角平分线的性质证题时，要克服多数同学习惯于用全等证明的思维定势的消极影响。 & 三、证明全等三角形的常见思路 一、已知一边与其一邻角对应相等 1.证已知角的另一边对应相等，再用SAS 证全等。 例1 已知：如图1，点E 、F 在BC 上，BE=CF ，AB=DC ，∠B=∠C .求证：AF=DE. 证明 ∵BE=CF （已知），∴BE+ EF=CF+EF ，即 BF=CE. 在△ABF 和△DCE 中， | ∴ △ABF ≌△DCE （SAS ）。 ∴ AF=DE （全等三角形对应边相等）。 2.证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA 证全等。 例2 已知：如图2，D 是△ABC 的边AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE=FE ，FC ∥AB.求证：AE=CE
逆向工程软件Geomagic Studio基础
二、Geomagic Studio11.0拼接 通过多次测量一个物体得到几块外形点云。这几块独立点云需要拼接才能体显物体的完整形貌。在拼接之前需要对单个点云进行一些处理，以保证后面的拼接顺利完成。 1.将测量获取的点云全部导入geomagic studio11.0 指令：文件>导入 图2-1导入塑料件点云 这是一个塑型工件，一共扫描了四幅，导入后如图所示。 2.删除点云的噪声点 1）指令：左键选中第一幅点云，按快捷键“ATL+1”，只显示第一幅点云； 2）指令:点>Repair>减少噪音 结果如下所示：
图2-2删除噪点3.手动拼接 指令：选中全部点云，工具>注册>手动注册； 结果如下所示： 图2-3手动拼接4.精细拼接
指令：选中全部点云，工具>注册>全局注册； 图2-4全局注册 图2-5拼接完成
三、Geomagic Qualify11.0色谱比对 以减震器质量检测为例，步骤如下： 1．导入测试对象和参考对象。如图3-1示 指令：文件>导入 图3-1加载数据图3-2对齐 2．将测试对象和参考对象对齐。如图3-2所示 指令：选中测试对象，单击右键>设置为测试；选中参考对象，单击右键>设置为参考 3．色谱误差分析 指令：分析>3D比较 图3-4色谱分析
4．创建注释 指令：结果>创建注释 图3-5注释 通过注释的创建可以看出在规定的公差范围内不合格的区域。该实例中规定公差的范围为0.5mm～-0.5mm，注释中两个红色的区域偏差大于0.5mm，所以状态栏中显示“失败”。 5．GD&T标注 指令：分析>GD&T>创建GD&T标注
八年级数学上册第11章三角形知识点总结教学文案
_ C _B _ A 八年级数学上册第 11章三角形知识点总结 一．认识三角形 1. 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边 ;相邻两边所组成的 角叫做三角形的内角 ; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC 用符号表 示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母 c 表示， AC 可用b 表示，BC 可用a 表示.注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形 是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的 △没有意义． 2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。 3. 三角形三边的关系（（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短））（1）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形的任意两边之和大于第三边。三角形的 任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可）。用数学表达式表达就是：记 三角形三边长分别是 a ， b ， c ，则a ＋b ＞c 或c －b ＜a 。 （2）已知三角形两边的长度分别为a ，b ，求第三边长度的范围： |a －b|＜c ＜a ＋b ①数三角形的个数 方法：分类，不要重复或者多余 ②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形方法：最小边＋较小边＞最大边（最小两边之和＞第三边），不用比较三遍，只需比较一遍 即可 ③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边； 直到找完为止，注意不要找重， 也不要漏掉。 ④已知三角形两边的长度分别为a ，b ，求第三边长度 c 的范围 方法：第三边长度c 的范围：|a －b|＜c ＜a ＋b ；即已知的两边之差＜三角形的第三边＜已 知的两边之和。 ⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长 方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综 上”，将上面讨论的结果做个总结。二、三角形的高、中线与角平分线 1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段,这条垂线段叫做三角形的高。三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。三角线的高的表示法：如图根据具体情况，使用以下任意一种方式表示：①AM 是ABC 的高； ②AM 是ABC 中BC 边上的高；③如果AM 是ABC 中BC 边上高，那么AM BC ，垂足是E ；④如果AM 是ABC 中BC 边上的高，那么 AMB =AMC =90. 注意：三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上 .
新人教版八年级数学第十一章三角形总复习教学设计
新人教版八年级数学第十一章三角形总复习教学设计 教学目标知识与 技能 使学生进一步掌握三角形各部分名称与意义、三角形内角和 三角形分类的有关知识。 过程与 方法 引导学生开展自主整理复习，初步掌握复习方法，形成 基本复习技能。 情感态 度与价 值观 提高复习课学习兴趣，培养积极的学习态度，使学生获得成功的情感体验。 教学重点 总复习三角形相关基础知识，初步掌握复习的基本方法。 教学难点 通过复习活动，提高学生上复习课的学习兴趣，培养学生积极的学习态度，并使学生获得成功的情感体验。 教学资源教育网 教学过程： 一、谈话导入，检查反馈 师：《论语》里面有这样一句话：学而时习之不亦说乎。就是 说学习时经常复习是一件快乐的事。今天，这节课老师就和 同学们一起再次走进“三角形”，去体验复习的快乐。 １、学生交流，汇报。 师：昨天老师让同学们回家复习学过的有关三角形的知识， 下面谁将自己的复习情况向大家汇报一下？（学生汇报） 二、梳理知识，整理复习 1、知识呈现 ①三角形有三条边、三个角、三个顶点。 师：你的三个角多少度？这是三角形的起点知识，也是最重 要的知识。贴出知识卡片 ②三角形两条边的长度的和大于第三边。 师：你三角形三条边的长度分别是多少？能再说出一组可以 备注
围成三角形的三条线段吗？3cm、5cm和9cm的三条线段可以围成三角形吗？） ③三角形中顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。 师：一个三角形有多少条高？高一般用什么线来画？你的高和底分别是多少？［三条］贴出知识卡片 ④三角形具有稳定性。 师：你会联想到哪个图形正好和他有相反的特性吗？ ⑤三角形按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。师：什么样的三角形是锐角三角形呢？……你的三角形属于哪一类？为什么？判断的简单方法：以最大角判断） ⑥三角形的内角和是180度。 师：已经知道两个角的度数，如何求第三个角的度数呢？ ⑦三角形按边分：等腰三角形、等边三角形。 师：老师的三角形属于哪一类？你的呢？为什么很多人的三角形既不是等腰三角形也不是等边三角形呢？揭示第10号知识卡片（非等腰三角形：三边不等），明确像这样的三角形居多。 2、介绍课前准备的三角形。 联系刚刚回顾的所有知识，介绍手中的三角形。（学生于课前完成作高、量边长度、量角的度数）同桌互相介绍后，全班汇报。 两生汇报，看谁汇报的有条理而且准确。 3、对比联系，系统整理。 复习还需要我们对知识进行系统的整理，使所有的知识形成一个整体，使我们头脑中能清晰的建立起知识的联系。为了便于大家整理，老师将所有的知识点印制成了这样的知识卡片，并分发到了各个学习小组，下面我们以游戏的形式来对知识进行整理。 游戏：请14位同学上黑板简单介绍自己手中的知识卡片的含义，并将知识卡片贴到合适的位置，最后介绍一下所贴位置的理由。 学生代表上黑板操作，教师与其他学生进行评价。 预设效果如下： 《三角形总复习》 三角形的组成：三个顶点三个角三条边（围成）三条高（虚线） 三角形的性质：具有稳定性内角和180度两条边的长
Geomagic studio软件操作指南设计
Geomagic studio 软件操作指南
目录 AA004XNCEY 软件介绍 (1) 1.1 Geomagic公司及其主要产品 (1) 1.2 Geomagic Studio软件的使用范围 (1) 1.3 Geomagic Studio软件的主要功能 (1) 1.4 Geomagic Studio软件的优势 (1) 1.5 计算机要求 (2) 2. 软件安装 (3) 3. 软件功能介绍 (10) 3.1 Geomagic studio软件及流程简介 (10) 3.2 Geomagic Studio 中鼠标控制和主要快捷键 (11) 3.3 Geomagic Studio 软件的基本模块 (11) 4.点阶段 (15)
4.1 点阶段主要操作命令列表 (15) 4.2 实验 (15) 5.多边形阶段 (25) 5.1多边形阶段主要操作命令列表 (25) 5.2实验 (26) 5.2.1实验一：毛泽东塑像建模 (26) 5.2.2 实验二：建筑物单面墙体建模 (39) 6.精确曲面阶段 (46) 6.1 精确曲面阶段主要命令列表 (46) 6.2 实验 (47)
1软件介绍 1.1 Geomagic公司及其主要产品 Geomagic是一家世界级的软件及服务公司，在众多工业领域如汽车、航空、医疗设备和消费产品得到广泛应用。公司旗下主要产品为Geomagic Studio、Geomagic Qualify和Geomagic Piano。其中Geomagic Studio是被广泛应用的逆向工程软件，可以帮助用户从点云数据中创建优化的多边形网格、表面或CAD模型。Geomagic Qualify 则建立了CAD 和CAM之间所缺乏的重要联系纽带，允许在CAD 模型与实际构造部件之间进行快速、明了的图形比较，并可自动生成报告；而Geomagic Piano是专门针对牙科应用的逆向软件。本项目所使用的主要是Geomagic Studio软件。 1.2 Geomagic Studio软件的使用范围： (1)零部件的设计； (2)文物及艺术品的修复； (3)人体骨骼及义肢的制造； (4)特种设备的制造； (5)体积及面积的计算，特别是不规则物体。 1.3 Geomagic Studio软件的主要功能： (1) 点云数据预处理，包括去噪、采样等； (2) 自动将点云数据转换为多边形(Polygons)； (3) 多边形阶段处理，主要有删除钉状物、补洞、边界修补、重叠三角形清理等； (4) 把多边形转换为NURBS曲面； (5) 纹理贴图 (6) 输出与CAD/CAM/CAE匹配的文件格式(IGES, STL, DXF等)。 1.4 Geomagic Studio软件的优势： (1)支持格式多，可以导入导出各种主流格式； (2)兼容性强，支持所有主流三维激光扫描仪，可与CAD、常规制图软件及快速设备制造系统配合使用； (3)智能化程度高，对模型半成品曲线拟合更准确； (4) 处理复杂形状或自由曲面形状时，生产率比传统CAD 软件效率更高； (5)自动化特征和简化的工作流程可缩短培训时间，并使用户可以免于执行单调乏味、劳
第十一章 三角形知识点 - 填空
e d s t 第十一章 三角形 知识点一：三角形 1. 三角形的概念 1、由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做＿＿＿＿＿＿，相邻两边的公共端点叫做_____________，相邻两边所组成的角叫做___________，简称___________.如图 以A 、B 、C 为顶点的三角形ABC ，可以记作＿＿＿＿＿＿＿，读作_____________.△ABC 的三边，有时也用_____________表示，顶点A 所对的边BC 用____表示，顶点B 所对的边CA 用____表示，顶点C 所对的边AB 用____表示.2.三角形按边分类 三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 ＿＿＿＿＿. 三角形 不等边三角形 等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形 ＿＿＿＿＿＿＿.3.在等腰三角形中，相等的两边都叫做 ，另一边叫做 ，两腰的夹角叫做＿＿＿，腰和底的夹角叫做＿＿＿＿.如右图，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，那么腰是＿＿＿，底是＿＿＿＿，顶角是＿＿＿＿，底角是＿＿＿＿＿.4. 三角形三边的关系（重点） 三角形的任意两边之和 。 三角形的任意两边之差 。（这两个条件满足其中一个即可） 用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a ，b ，c ，则 。 已知三角形两边的长度分别为a ，b ，求第三边长度的范围： 5. 三角形的高 从△ABC 的顶点A 向它 所对的边BC 所在直线画垂线，垂足为D ，所得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的_____ .如图⑴，AD 是△ABC 的高，则AD⊥_____. 三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“ ”。6. 三角形的中线 连接△ABC 的顶点A 和它所对的边BC 的中点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的_____ .如图⑵，AD 是△ABC 的中线，则BD ＝______= 三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“ ”。三角形的中线可以将三角形分为 相等的两个小三角形。7. 三角形的角平分线 ∠BAC 的平分线AD ，交∠BAC 的对边BC 于点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的___________.如图⑶，AD 是△ABC 的角平分线，则∠BAD ＝∠_______. 要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条 ；角的平分线是条 。 三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“ ”。 ? ????? ??????
Geomagic studio 11教程连载一：软件命令熟悉
第一章 Geomagic studio 11 简介 一、本章重点 1．了解软件界面 2. 熟悉studio的鼠标及快捷键操作 3．掌握studio的选项设置 4．熟练掌握点云处理的流程 二、本章内容 1、软件界面 1）启动软件，方法一：点击“开始”-“程序”-“geomagic”-geomagic studio 11 方法二：双击桌面图标 2）软件界面 图1-1 软件界面 视窗：显示当前工作对象，在视窗里可做选取工作 菜单栏：菜单栏里提供了软件的所有命令
工具栏：不同于菜单栏，工具栏提供的是常用命令的快捷按钮 管理器面板：包含了管理器的按钮，允许你控制用户界面的不同项目 图1-2 管理器面板分类 状态栏：提供给你信息：系统正在做什么和你能执行什么任务 计时器：显示操作的进程 坐标系：显示坐标轴相对于模型的当前位置 2、软件操作 1）鼠标操作：中键：旋转 按住中键拖动：旋转 滑动中键滚轮：放大或缩小 按住中键滑动+ ALT：移动 2）常用快捷键： 新建：Ctrl+N 打开： Ctrl+O 保存： Ctrl+S 撤销：Ctrl+Z 全屏显示： Ctrl+D 选项设置：Ctrl+X 选择一个显示： Alt+1 全部显示：Alt+8 封闭多折线：空格 全部选择：Ctrl+A 取消选择：Ctrl+C 取消选择的部分：Ctrl+左键 Ctrl 不间断的选择 shift 连续的选择 3、选项设置 菜单“工具”-“选项”，快捷键：Ctrl+X 进入选项设置。需设置的参数有封装（曲面
封装的最大圆周孔设为0）、语言设置为中国大陆。 4、点云处理流程 图1-3 逆向设计流程
初二数学第十一章知识点归纳
初二数学第十一章知识 点归纳 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
初二数学第十一章三角形 知识点归纳 一、与三角形有关的线段 1.三角形的定义：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的 图形叫做三角，三角形有三个顶点，三个角，三条边。 2.等边三角形：三边都相等的三角形。 3.等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两边叫做腰，另一边 叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角，两个底角相 等。 4.不等边三角形：三边都不相等的三角形。 5.三角形分类： （1）按边分：不等边三角形 等腰三角形：底边和腰不等的等腰三角形 等边三角形 （2）按角分：锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 6.三角形三边的性质：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第 三边 注：1）在实际运用中，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说 明能组成三角形 2）在实际运用中，已知两边，则第三边的取值范围为：两边之差＜第 三边＜两边之和 3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，注意检查每 个答案能否组成三角形 7.三角形的高：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂 线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高 8.三角形的中线：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所 得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线 注：两个三角形周长之差为x，则存在两种可能：即可能是第一个△ 周长大，也有可能是第一个△周长小 9.三角形的角平分线：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于D， 所得线段AD叫做△ABC的角平分线 10.三角形的稳定性，四边形没有稳定性
Geomagic studio软件操作指南
. Geomagic studio 软件操作指南
目录 AA004XNCEY 软件介绍 (1) 1.1 Geomagic公司及其主要产品 (1) 1.2 Geomagic Studio软件的使用范围 (1) 1.3 Geomagic Studio软件的主要功能 (1) 1.4 Geomagic Studio软件的优势 (1) 1.5 计算机要求 (2) 2. 软件安装 (3) 3. 软件功能介绍 (10) 3.1 Geomagic studio软件及流程简介 (10) 3.2 Geomagic Studio 中鼠标控制和主要快捷键 (11) 3.3 Geomagic Studio 软件的基本模块 (11) 4.点阶段 (15) 4.1 点阶段主要操作命令列表 (15) 4.2 实验 (15) 5.多边形阶段 (25) 5.1多边形阶段主要操作命令列表 (25) 5.2实验 (26) 5.2.1实验一：毛泽东塑像建模 (26)
5.2.2 实验二：建筑物单面墙体建模 (39) 6.精确曲面阶段 (46) 6.1 精确曲面阶段主要命令列表 (46) 6.2 实验 (47)
1软件介绍 1.1 Geomagic公司及其主要产品 Geomagic是一家世界级的软件及服务公司，在众多工业领域如汽车、航空、医疗设备和消费产品得到广泛应用。公司旗下主要产品为Geomagic Studio、Geomagic Qualify和Geomagic Piano。其中Geomagic Studio是被广泛应用的逆向工程软件，可以帮助用户从点云数据中创建优化的多边形网格、表面或CAD模型。Geomagic Qualify 则建立了CAD和CAM 之间所缺乏的重要联系纽带，允许在CAD 模型与实际构造部件之间进行快速、明了的图形比较，并可自动生成报告；而Geomagic Piano是专门针对牙科应用的逆向软件。本项目所使用的主要是Geomagic Studio软件。 1.2 Geomagic Studio软件的使用范围： (1)零部件的设计； (2)文物及艺术品的修复； (3)人体骨骼及义肢的制造； (4)特种设备的制造； (5)体积及面积的计算，特别是不规则物体。 1.3 Geomagic Studio软件的主要功能： (1) 点云数据预处理，包括去噪、采样等； (2) 自动将点云数据转换为多边形(Polygons)； (3) 多边形阶段处理，主要有删除钉状物、补洞、边界修补、重叠三角形清理等； (4) 把多边形转换为NURBS曲面； (5) 纹理贴图 (6) 输出与CAD/CAM/CAE匹配的文件格式(IGES, STL, DXF等)。 1.4 Geomagic Studio软件的优势： (1)支持格式多，可以导入导出各种主流格式； (2)兼容性强，支持所有主流三维激光扫描仪，可与CAD、常规制图软件及快速设备制造系统配合使用； (3)智能化程度高，对模型半成品曲线拟合更准确； (4) 处理复杂形状或自由曲面形状时，生产率比传统CAD 软件效率更高； (5)自动化特征和简化的工作流程可缩短培训时间，并使用户可以免于执行单调乏味、劳
人教版八年级上册第十一章三角形知识点总结归纳
三角形 几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明） 1．三角形的角平分线定义： 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（如图） A B C D 几何表达式举例： (1) ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD (2) ∵∠BAD=∠CAD ∴AD是角平分线 2．三角形的中线定义： 在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.（如图） A B C D 几何表达式举例： (1) ∵AD是三角形的中线 ∴ BD = CD (2) ∵ BD = CD ∴AD是三角形的中线 3．三角形的高线定义： 从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线. （如图） A B C D 几何表达式举例： (1) ∵AD是ΔABC的高 ∴∠ADB=90° (2) ∵∠ADB=90° ∴AD是ΔABC的高 ※4．三角形的三边关系定理： 三角形的两边之和大于第三边，三角形 的两边之差小于第三边.（如图） A B C 几何表达式举例：(1) ∵AB+BC＞AC ∴……………(2) ∵ AB-BC＜AC ∴…………… 5．等腰三角形的定义：几何表达式举例：
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. （如图） A B C (1) ∵ΔABC 是等腰三角形 ∴ AB = AC (2) ∵AB = AC ∴ΔABC 是等腰三角形 6．等边三角形的定义： 有三条边相等的三角形叫做等边三角形. （如图） A B C 几何表达式举例： (1)∵ΔABC 是等边三角形 ∴AB=BC=AC (2) ∵AB=BC=AC ∴ΔABC 是等边三角形 7．三角形的内角和定理及推论： （1）三角形的内角和180°；（如图） （2）直角三角形的两个锐角互余；（如图） （3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（如图） ※（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. （1） （2） （3）（4） 几何表达式举例： (1) ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴………………… (2) ∵∠C=90° ∴∠A+∠B=90° (3) ∵∠ACD=∠A+∠B ∴………………… (4) ∵∠ACD ＞∠A ∴………………… 8．直角三角形的定义： 有一个角是直角的三角形叫直角三角形.（如图） A B C 几何表达式举例： (1) ∵∠C=90° ∴ΔABC 是直角三角形 (2) ∵ΔABC 是直角三角形 ∴∠C=90° D A B C A B C A B C