数学思维方法
第一章数学思想方法概述
1．数学思维方法将思维、数学思维、数学发展中的发现、发明、创新的思维过程作为自己的研究对象。
2．思维是人脑借助于语言对客观事物的本质及其规律的间接与概括的反映。3．思维的特征：方向性，概括性、间接性
4．数学思想方法的两个源头：欧几里得《几何原本》和古代中国《九章算术》5．数学思想方法的发展概述：
①从算术到代数是数学思想方法的一次重大发展。
②从综合几何到代数几何是数学思想的一次质的飞跃。
③从常量数学到变量数学是数学思想方法的一次根本变革。
④从必然数学到或然数学是数学思想方法的一次深刻变革。
⑤从明晰数学到模糊数学是数学思想方法的一次辩证演变
6．数学思维：人脑在和数学对象交互作用的过程中，运用特殊的数学符号语言以抽象和概括为特点，对客观事物按照数学自身的形式或规律做出的间接概括的反映。
数学思维是由数学对象，并且主要是由数学问题推动发展的。
数学思维的过程就是不断提出问题和解决问题的过程。
7．数学思维简单地分为：具体实践问题的数学化思维，具体数学问题的解题思维8．数学思维的特征：高度抽象性，形式化的严谨性，表现方式的多样性
9．数学思维方法是由数学的符号、概念、语言，按照数学特定的规律、法则，运用数学思维在数学领域中形成的一种方法。
10．数学思维方法分类:
①按照使用范围不同：宏观数学方法,微观数学方法
②按照逻辑形式不同：逻辑思维方法，非逻辑思维方法
③按照解决问题的方式不同：程式化思维方法，发现性思维方法（带有个人特性，
主观色彩，独立特性）
④按照阶段或数学分支领域的不同，可以分为不同的带有专业特征的思维方法11．数学思维方法的研究和发展与以下三个方面相联系——
①数学思维方法研究紧紧跟随和运用数学方法论的内容
②数学思维方法的教学，不仅强调数学方法具有的方法论的意义，还强调说明在
这些数学方法中，数学思维活动的积极意义
③数学思维方法的教育内容，更应该与非逻辑思维、创造性思维相联系
12．数学思维方法的层次性：哲学，一般方法论，数学某分支，初等数学
13．在现代数学教育中，数学思维的教学有三方面的意义：
①数学思维的教学可以培养人对数学观念、数学思想、数学理论的广泛理解。
②数学思维的教学可以使人们在处理问题是迅速抓住事物本质，从而找到解决问
题的方法。
③数学思维的教学可以使人们形成良好的思维习惯，增强人们在处理问题时的应
变能力。
14．在中小学教育中，要通过“数学常识”和“数学思维能力”的组合来培养“数学智力”
15．中小学的数学素养：懂得数学的价值，对自己的数学能力有信心，有解决数学问题的能力，学会数学交流，学会数学的思维方法。
16．从数学教育的角度分析有关数学思维方法的学习，我们应该明确一下三个方面的问题：
①数学思维方法的学习，是对一个数学专业的学习者、数学专业未来教师应有数
学能力、专业素质的培养
②数学思维方法是一个刚刚开始研究的领域，因此我们的学习过程也是一个参与
研究和讨论的过程
③数学思维方法可以使人了解数学理论发展变化中的数学家思维方式的变化，也
是对大学数学专业学习的一个反思过程。
第二章数学中几种重要的思维方法
1．算术的发展演变、符号的诞生以及算术向代数的发展表现了数学思维方式中数量形式和内容之间关系的变化与发展。
2．算术的主要内容是有关自然数、分数和小数的性质及相关的四则运算。
3．数量符号脱离了事物原有属性，是一种抽象化、数理化的符号。
4．算术解题的思维方式的关键，是把已知的数量符号运用加、减、乘、除连接起来，简历其解决问题的数学算式。
5．代数解决问题的思维方式中最关键的思想是，把未知量作为一个同已知量有相同意义的数量符号同已知量一起组成关系式，并按等量关系由符号相连列出方程，然后通过方程的恒等变换或同解变换等求出未知量的数值。
6．数学具有高度抽象性，这种抽象性以形式化为特点。
7．对于中小学的数学教育，算术向代数发展的数学思维方式的演变可以给我们提供两种启示：
①数学的形式与内容中，当我们认识到数学是一种形式的时候，更应注意这种数
学形式多反映的内容。
②数学的形式都与具体内容相关，尤其是算术与代数的学习，更应注重内容与形
式的结合。
8．在数学的思维中，最先作为思维语言符号的就是数量与几何图形，数学的发展也是以数与形作为两个最基本的研究对象
9．空间思维转变的意义：
①古希腊的思维方式，有一个从毕达哥拉斯“万物皆数”的数量思维观念向柏拉
图的“世界是由几何图形构造”的空间思维观念的转变过程
②人们的空间思维由静态转向动态发展
③空间思维与数量思维的结合，使原来空间图形具有的明显直观性和经验性的特
征开始转变，拓广了人们原有的欧几里得式的空间思维
④使代数的一些内容具有了直观的图形意义，更为重要的是使人民对代数形式所
表现的结果有了一种形象直观模型的思维追求。
10．变量数学的发展是由解析几何提供直观前提，并且由无穷小量计算方法——微积分的创立而最终完成的。
11．变量数学的研究问题大体可以分为四类：
①描述非匀速运动物体的轨迹
②求曲线在某一点的切线
③求变量（函数）的极值
④计算曲线长度、曲变形面积，曲面体体积、物体的重心及大质量物体间的引力
等。
12．变量数学思维的意义：
①变量数学的确立，使人们对世界的思考由静止物体的数学思维发展到对运动物
体的数学思维
②变量数学的发展，对数学自身的成长起到了重要的推进作用
③无限的观念、无限的数学思维在微积分中的出现，使人类认识世界的能力有了
提高
13．三大数学危机：
①无理数的出现
②无穷小的运算、论证与表述所产生的如何认识无限的问题（芝诺悖论）
③与康托集合论相关的无限问题（罗素悖论、理发师悖论）
14．三大基础学派：形式主义、逻辑主义、直觉主义
15．必然性研究的数学：人们知道某事物开始的原因后就可以明确地预知它的结果
或然性研究的数学：不能确定某些现象是否会出现
16．概率论发展的最重要的思想是如何认识在随机现象之后的统计规律性17．概率论提供的数学思维方式的意义——随着随机现象的研究，推动了原有的必然性数学理论的发展，对随机现象的数学描述，使人们对世界发展变化的客观规律有了深入的理解
18．数学明确化的理论基础是集合理论，它把数学对象的确定性、差异性准确无误地表述出来，数学各种分支都以集合论作为理论的基础。
19．对于数学的教育而言，模糊数学的创立对我们的数学教育活动有两个方面的积极作用——使人们认识到数学作为人类的理性创造是无止境的，模糊数学的思想与方法为我们进行探究性学习、参与学习提供了新的案例。
20．中国古代数学基本上遵循了一条从生产实践中提炼出数学问题，经过分析综
合，形成概念与方法，并上升到理论阶段。
21．古代数学思维对现代教育的意义：
①唯理性的追求数学的形式、结构的方式不是数学的唯一发展方式
②直观性、实用性是初等数学的重要特性
③筹算运演工具性特征的启示
第三章数学思维中的逻辑思维与非逻辑思维
1．逻辑思维的主要类型：形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑
形式逻辑的主要思维形式规律：同一律、矛盾律、排中律、充足理由论
主要思维方法：比较与分类，分析与综合，归纳与演绎
2．逻辑思维的基本规律：同一律、矛盾律、排中律、充足理由论同一律的要求：在同一思维过程中，使用概念的内容必须保持同一，不能任意改变；对正确思维的要求是必须保持判断的同一性。
充足理由论的要求：理由必须真实，理由与推断之间要有逻辑联系
3．数学逻辑思维的基本形式：数学概念、数学判断、数学推理
数学概念是数学思维最基本的形式，它是对客观事物的数量关系、空间形态或结构关系的特征的概括
数学概念的相容关系有：同一关系、从属关系、交叉关系
数学概念的不相容关系有：、对立关系、矛盾关系
数学判断的表现形式：公理、定理
数学思维的形式。其最终表现形式是形成逻辑形态的命题
最常用的数学推理包括：归纳推理、演绎推理
归纳推理分为：完全归纳推理、不完全归纳推理
不完全归纳推理分为：枚举归纳、因果关系归纳
演绎推理是由一般到特殊的思维方法
4．非逻辑思维包括：形象思维、直觉思维、灵感思维、想象思维形象思维是以直观形象和表象来思考问题的思维，它不是以概念为单元来进行思维，而是以直观形象来进行思维。
直觉思维的特征：非逻辑性、直接性、模糊性
直觉思维的作用：选择作用、创新作用
灵感思维的特征：长期思维后的突发性（偶然性、下意识性），模糊性与突逝性
数学想象的特征：形象性、概括性、直觉性、整体性
5．创造性思维的特点：
①创见性、新颖性是创造性思维的主要标志
②发散思维与收敛思维相结合是创造性思维的基本图式
③积极地创造性想象与现实统一是创造思维的重要环节
④专注于灵感是创造性思维的重要特点
6．激发创造性思维的发生，培养和鼓励学生创造性思维，我们应该注意四个方面：①在培养创造性因素方面，教师要设法引起学生的数学兴趣，并且积极地提出问
题来参与数学的教学活动
②在数学知识和方法的储备方面，使学生根据自己的理解主动地掌握数学的知识
和方法
③在数学思维方式方面，由于逻辑思维是数学知识和理论的主要表现形式，因此
应当格外注重非逻辑思维的培养
④在具体创新思维方面，由于创造性思维方法已经有很多成熟的广泛运用的方
法，所以在数学教学中应当有意识地学习或运用它们，使之与数学某些具体的问题相结合。
第四章数学的解题及发现的方法
1．观察与实验在数学中的意义：要求学生在数学教育、数学学习中，学会、掌握并运用观察和实验的能力，实际上就是要在中小学的数学教学中，培养学生数学学习的个体经验、运用数学解决问题的能力和对数学的兴趣及信心；更为重要的是通过学生自己的观察与实验，得到对数学概念、数学运算、数学理论的个体体验和个体理解。
2．观察与实验在数学中的运用：其一是解决和验证数学理论，其二是解决具体的数学问题
3．数学解题的目标是：
①通过解题加深对知识的理解，尤其是加深对基本概念、公式和理论的理解，使
抽象的数学知识具体化
②学会在解题中运用数学知识，增强自己解决实际问题的能力，尤其是把数学知
识运用到具体问题的能力
③掌握数学思维方式，培养自己数学创造性思维的能力
4．数学解题的一般程序：弄清楚问题，分析和制定解题步骤，完成解题计划并检验，解题后的研究
5．数学解题的一般思路：调动知识储备把它们组织起来，按解题要求把知识重新组合
6．合情推理：一种合乎情理的推理
合情推理强调了一种思维的主动性、情感性和试错性
7．合情推理中最常用的是类比推理和归纳推理。
类比推理是根据两个不同对象的某些方面（如特征、属性、关系等）相同或相似，推导出或猜测出它们在其他方面可能具有相同或相似的思维形式。它的思维进程是特殊到特殊的推理方式。
归纳推理：合情推理中的归纳推理指不完全归纳推理，是从个别到一般，从经验事实或实验事实到理论的一种寻找真理和发现真理的方法。
8．波利亚在论及类比合情推理的作用时，认为它可以在三个方面发挥作用：
①可以提出新问题和获得新发现
②可以在求解问题中得到应用
③可以用来对猜测进行检验
9．经验归纳法的作用一般可以分为：发现、猜测问题的答案；发现、猜测解题的方法
10．数学猜想：人们根据已知的某些数学知识和某些事实，对数学的某些理论、方法等提出一些猜测性的推断
11．数学猜想的特征：待定性（可研究性），创新型
12．数学猜想一般表现：提出新问题，预见新事物，揭示新规律，创造新方法等13．对于中小学数学教育而言，数学猜想的意义：运用数学知识、方法，鼓励学
生积极参与数学活动、增强对数学的理解和学会自己动手解决具体问题
第五章数学的公理化方法
1．数学的公理化方法是第一次完整地表现在《几何原本》中的数学方法
2．公理化方法：也称为公理方法，就是从尽可能少的无定义的概念（基本概念）去定义其他的一切概念，从一组不证自明的命题（基本公理或公社）出发，经过逻辑推理证明其他的一切命题，进而把一种学科的知识建构成为演绎系统的一种方法。
3．由原始概念（基本概念）、公理所构成的演绎系统成为公理系统（公理体系）；
公理化方法是构成公理系统的方法，公理系统是由公理化方法得到的数学理论体系。
4．基本概念：不加定义的概念。（具有必要性、独立性、完备性）定义概念：也称为派生概念、导出概念，指由初始概念定义的概念
原始命题或公理：不证明的命题
定理：经过公理推演出来的命题
5．亚里士多德提出了历史上第一个成文的三段论式的演绎方式的公理化方法。
第一次把公理化方法系统用于数学中的是古希腊的欧几里得，他把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学
1899年希尔伯特的《几何基础》问世，这是公理化方法在近代发展的代表作，它把欧几里得《几何原本》为代表的公理化方法建成了一个完备的、形式化的公理体系。
6．欧几里得列出五个公设和五个公理，公理是适用于一切科学的真理，而公设则只用于几何。
欧几里得《几何原本》中以直观几何背景为基础构成的体系，它代表的是“实质性公理体系”（也称实体性公理体系），这种公理化方法也称为实质性公理化方法。
欧几里得从上述的五个公设和五个公理出发，推出了465个命题。
五个公设为：
①由任意一点到任意一点可作直线
②一条有限直线可以继续延长
③以任意点为中心及任意的距离为半径可以画圆
④凡直角都相等
⑤同平面内一条直线和另外两直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直
角，则这二直线经无限延长后在这一侧相交
五个公理为：
①跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的
②等量加等量，总量仍相等
③等量减等量，余量仍相等
④彼此重合的东西是相等的
⑤整体大于部分
7．罗巴切夫斯基引入了一个与第五公设完全相反的公设：过平面上一个已知直线外一点至少可以引出两条直线与已知直线平行。
8．罗巴切夫斯基的新几何——锐角假设的双曲式几何
黎曼——钝角假设的椭圆式几何
从而非欧几何被人们所承认
9．非欧几何对公理化方法的发展产生了重大的影响：
①人们可以采取一个与之相反的公理并发展成为另一个新的公理体系
②为公理化的推广和建立新的理论提供了已经，大大提高了公理化方法在数学中
的地位
③非欧几何的建立标志着从实质性公理化方法向形式化公理化方法的过渡10．《几何基础》的问世意味着公理化方法进入到了形式化的阶段。
《几何基础》称为形式化公理体系，构成《几何基础》的公理化方法称为形式化公理化方法。
11．对于公理的选择的基本要求：协调性（相容性或无矛盾性）、独立性、完备性协调性：一个理论体系中无矛盾
独立性：不允许有一条公理能用其他公理推导出来
完备性：在一个公理系统中要有确保能推导出所论述的全部命题的公理12．公理化方法最重要的作用在于运用逻辑推理的方法。
13．布尔巴基学派认为数学是由三种基本结构构成：代数结构、序结构、拓扑结构
代数结构：一个集合的代数运算体系。即一个集合上规定了一种运算，并且能够使两个元素按照运算得到另外一个元素。
序结构：集合中的某些元素之间有了先后的排序关系
拓扑结构：领域、连续、极限、连通性、维数等构成一般拓扑学的研究对象14．中学教材中的公理系统——
平面几何公理：
①经过两点有一条直线，并且只有一条直线
②在所有连接两点的连线中，线段最短
③平行公理：经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和该直线平行
④两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
⑤边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
⑥角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
⑦矩形的面积等于它的长a和宽b的积
立体几何公理：
①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面
内
②如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线
③经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
④平行于同一条直线的两条直线互相平行
⑤长方体的体积等于它的长、宽、高的积
⑥夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如
果截得的两截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等
第六章数学模型方法
1．模型方法一般分为：实物模型，思想模型
2．模型方法具有可重复性、可操作性，能动地反映了客观事物的相互关系，促进了模拟、类比方法的现代化
3．数学建构：使用数学概念、数学符号、数学语言等表述出来的被研究对象的纯关系结构
4．数学模型的解释——
广义：数学中的各种基本概念都是数学模型，因为它们都是在各自相应的原型实体中抽象的数学模型
狭义：将具体属性抽象出来构成一种特定的数学关系结构，只有那些反映特定问题或待定事物系统的数学结构才叫做数学模型
5．数学模型方法：利用构造具体问题的数学模型来解决实践中遇到的问题6．数学模型的分类——
①按来源分：理论模型、经验模型
②按研究领域分：经济模型、人口模型、生态模型、交通模型等
③按使用的数学工具分：函数模型、方程模型、三角模型、几何模型、概率模型
等
④按涉及的变量状况分：离散模型、连续模型
⑤按功能分：描述性模型、解释性模型
7．描述性模型：从特殊到一般，即从分析具体的客观事物及状态中，经过数学语言（概念、符号与公式等）的描述，得到一个数学模型。
最具代表性的是“格尼斯堡七桥问题”
“七桥问题”结论：如果每点引出的线都是偶数条则可以一笔画出，如果出现两个奇数点也可以一笔画，但是如果出现两个以上的点引出的线是奇数条那就不可能一笔画。
8．描述性数学模型分类：
确定性数学模型（如代数方程、微分方程、函数方程、积分方程）
随机性数学模型（如概率论、数理统计等；布丰的投针实验）
模糊数学模型（采用模糊数学的方法）
9．解释性数学模型：由一般到特殊，即从一般的公理化系统出发，运用数学的某种结构形式对公理系统给出某种结束的一种数学模型方法。
如庞加莱给出的一个非欧几何的数学模型
10．数学模型的构造：指对现实世界中的原型进行具体地数学建构的过程11．数学模型建构的步骤：
①掌握和分析客观原型的各种关系、数量形式
②确定所研究原型的本质属性，从而抓住问题的实质
③建立数学模型
④对数学模型进行运演和检验
12．对中小学数学模型方法的教学的注意事项：
①通过对数学模型的构造能够深入地认识和理解数学的本质特征
②运用数学模型的直观、形象作用，强化学生的数学感受能力
③引导学生学会运用典型的数学模型方法，解决具体问题
第七章化归法
1．“化归”就可理解为转化、归结的意思。
数学中的化归法是指把待解决的问题归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中，从而求得原问题解决的一种方法，化归法有时也称为化归原则。
化归法的核心思想是指对问题的转换
化归法的特征是转换、转化
2．熟化：向自己熟知、熟练的问题上转化
3．外部的化归法：其一是把一个实践问题化为数学问题（建立数学模型过程），其二是解决数学问题的求解问题
4．变形法包括：等价变形，恒等变形，同解变形，参数变形
5．在中小学数学中等价变换大体有如下两个方面：
在数的方面——有等值变换，同余变换，同解变换等
在形的方面——有合同变换，相似变换，等积变换等
6．恒等变形包括：多项式的恒等变形，分式的恒等变形，有理式的恒等变形，对数式的恒等变形，三角式的恒等变形等
7．同解变形：在等价转化思想的指导下，通过等价的变换，使原来的等式与变形的等式有相同的解
8．关系映射反演方法，也称关系映射反演原则，或简称RMI方法
9．RMI方法是通过映射，定映，反演三个主要步骤来解决问题的
第八章逐次渐进方法
1．逐次渐进方法的分类：一类是对数学问题解法的逐次渐进方法，另一类是对数学问题本身的逐次渐进方法
所谓数学问题解法的逐次渐进方法，是指对数学问题先给出一个可行的或近似
的初始解，然后以这个初始解为基础，按一定的程序给出一个解的序列，这个解序列的极限就是该问题的最后解。
所谓数学问题本身的逐次渐进方法，是指我们在研究数学问题时，从较大的范围开始逐步缩小问题的范围，通过对这些缩小范围的数学问题的解决，并且通过对解决问题方法的分析、综合等获得对原来问题解决的一种方法。
2．逐次渐进方法的应用：逐次试验、选择方法；逐步逼近与无限逼近的方法；递推法；递归法
递归法：把未知对象排成一个序列，并先求得第一个未知对象的结果，然后利用已经获得的第一个未知对象的结果，求得第二个未知对象。
3．类比猜想：依据两类对象之间存在的某些相同或相似的特征、属性、形式，猜测它们可能存在其他方面相似的特征、属性或形式的一种思维方式
第九章数学中常用的几种方法
1．分析法：执果索因
2．综合法：由因导果
3．形式化
·数学形式化的教学和解决问题时应该注意两点：
①强调内在规律、规则的限制
②具体问题的数学形式化解决答案要符合实践要求
·中小学的数学是处于与实践问题密切联系的特殊的形式化阶段——
①中小学数学也是数学的形式，因此它必然是形式化的表现形式
②由于特定的年龄段学习心理的局限以及中小学数学教学目标的要求，数学的形
式化都隐其后，而以现实、生动的数学问题来表现数学的形式化
·数学中常见的形式化的问题有：数量及关系的形式化（用字母、符号表示数量及关系）、概念定义形式化（用符号表示数学概念）、命题及证明形式化（如数理逻辑语言符号）等
·数学的形式化发展，经历公理化方法的阶段：实质公理化，形式公理化，元数学的建立
·元数学的目标要论证数学的无矛盾性以及理论构成的严谨、完美
4．演绎法：从一般原理推出个别结论。由大前提、小前提、结论组成的三段论式的论证推理。
·演绎法的注意事项——
①掌握演绎法运用的形式化特点
②必须严格遵守其形式化的规则，必须清楚每一步推理、每一步运算的前提依据
是什么
③应用形式化的演绎方法时，应当注意前提条件的内涵
5．构造法
·数学是数学符号的表达式
·构造法：也称构造性方法，指数学中的概念和方法，按固定的方式经过有限个步骤能够定义的概念和能够实现的方法。
·构造法的特征：对所讨论的对象能有较为直观的描述；不仅能判明某种数学结论的存在，而且能够实现运演操作并求出具体的表达效果
6．反例法
·反例法：建立在数学证实的理论与逻辑推理基础上的并且具有一定否定作用的例子
·反例法的作用——
①有助于发现原有数学理论的局限性，从而推动数学的迅速发展
②有助于澄清数学概念和理论，从而使人们深入理解数学的内涵
③有助于数学的学习，提高数学学习的兴趣和研究、构造数学的能力
·构造反例的方法：特例选择，性质分析，类比构造等
7．数学命题的基本形式：全称肯定判断，全称否定判断，特称肯定判断，特称否定判断
第十章数学建模、数学实验中的数学思维方法
1．数学模型化方法：通过抽象、概括和一般化，把所研究的对象或问题转化为数学或数学结构，即转化为本质统一的另一对象或问题加以解决的思维方法。2．数学模型化方法的作用：对所研究的对象处理的典型化、形式化和精确化，从而在认知方法上也起到了清晰化和简洁化的作用。
3．最早的数学建模专著：《九章算术》
4．数学建模：通过对实际问题的抽象和简化，确定变量和参数，并根据某些变化规律建立起的变量与参数间的具有确定关系的数学问题或数学结构，求解该数学问题，解释验证所得到的结果，从而确定能否用于解决实际问题的多次循环和不断深化的过程。
数学建模是从特殊到一般的数学模型方法的描述性模型。
5．数学建模的一般步骤：
①模型准备（分析问题）
②模型假设
③模型建立
④模型求解
⑤模型仿真分析
⑥模型检验与应用
⑦写报告作结论
6．数学实践能力包括：观察能力，分析能力，推理能力，抽象能力，应用知识能力的综合表达
7．数学建模主要是使学生认识数学（知道数学有用），理解数学（明白数学可用），掌握数学（实践中会用），应用数学（解决实际问题）
8．数学实验方法：在一定的数学思想、数学理论指导下，经过某种预先的组织设计，借助于一定的仪器和技术手段，进行数学化实际操作，包括对客观事物的数量化特性进行观察、抽象、测试、检验、逼近、仿真等，进而解决数学和科学问题的一类科学研究方法。
9．数学实验方法的本质特征：实践性，创造性，演绎与归纳的统一性，经济实用性与应用广泛性
10．数学实验方法的方法论意义：发现和总结数学规律，验证和检验数学问题，应用和解决建模问题
11．数学实验方法偏重于方法的运用，而数学建模偏重于问题的解决。
12．数学实验教学模式创设了一种“问题、实验、交流、猜想、验证”的新模式。
小学数学思维方法有哪些
小学数学思想方法有哪些 《课标》（修订稿）把“双基”改变“四基”，即改为关于数学的：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。 “基本思想”主要是指演绎和归纳，这应当是整个数学教学的主线，是最上位的思想。演绎和归纳不是矛盾的，其教学也不是矛盾的，通过归纳来预测结果，然后通过演绎来验证结果。在具体的问题中，会涉及到数学抽象、数学模型、等量替换、数形结合等数学思想，但最上位的思想还是演绎和归纳。之所以用“基本思想”而不用基本思想方法，就是要与换元法、递归法、配方法等具体的数学方法区别。每一个具体的方法可能是重要的，但它们是个案，不具有一般性。作为一种思想来掌握是不必要的，经过一段时间，学生很可能就忘却了。这里所说的思想，是大的思想，是希望学生领会之后能够终生受益的那种思想方法。 史宁中教授认为：演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。我们缺少的是根据情况“预测结果”的能力；根据结果“探究成因”的能力。而这正是归纳推理的能力。 就方法而言，归纳推理十分庞杂，枚举法、归纳法、类比法、统计推断、因果分析，以及观察实验、比较分类、综合分析等均可被包容。与演绎推理相反，归纳推理是一种“从特殊到一般的推理”。 借助归纳推理可以培养学生“预测结果”和“探究成因”的能力，是演绎推理不可比拟的。从方法论的角度考虑，“双基教育”缺少归纳能力的培养，对学生未来走向社会不利，对培养创新性人才不利。 一、什么是小学数学思想方法 所谓的数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中普遍的规律，它直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。 所谓的数学方法，就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。 数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。但由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。如常用的分类思想和分类方法，集合思想和交集方法，在本质上都是相通的，所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。 二、小学数学思想方法有哪些？
数学思维训练的基本方法
数学思维训练的基本方法 摘要................................................................... .1 1、引言 (1) 2、观察是数学活动的开始，是数学思维训练的基础 (1) 2、1 创设多种情境培养学生的观察能力 (1) 2、2 采用观察法解决问题 (3) 3、尝试是数学活动的实验，也是思维训练的常用方法.............. . (4) 3、1 开始尝试学习 (5) 3、2 尝试解决数学问题 (7) 4、类比是数学活动的桥梁，也是思维训练的必经之路 (8) 4、1 类比思想在数学学习中的应用 (8) 4、2 数形结合思想在数学论证中的应用 (10) 5、想象是数学活动的创意，也是思维训练的有效途径 (10) 6、结束语 (11) 参考文献 (12) 数学思维训练的基本方法 --------------我要的不是答案，而是你的思维过程---------------- 摘要：心理学家与哲学家把思维定义为：人脑对客观事物的本质属性和事物之间内在联系的规律性所做出的概括与间接的反应。通过观察、尝试、推理和想象四种方法对思维进行训练，有助于我们形成一个良好的逻辑思维，把思维运用到日常学习生活中，以便于解决数学问题。 关键词：本质属性；内在联系；思维应用。 1、引言 思维是人类最基本的一种资源，也是一种复杂的心理现象。思维就是人脑内形成的一种在解决实际问题时头脑中形成的一系列反应，以便于我们解决面对的实际问题。爱因斯坦就曾说过：“思维世界的发展，在某种意义上说，就是对惊奇的不断摆脱。” 在当今学校里，许多学生学习数学都有一个习惯，那就是遇到问题先找公式，找到公式，把已知条件往里一代入，剩下的步骤就是计算，计算完就完事了，根本不会动脑去思考这其中的原因是什么，也不会进行总结和归纳。所以现在的学生学习数学就变成了记公式、记公理，谁记得公式和公理多，记得熟练，谁的数学成绩就可以名列前茅。而这样的学习方式，导致学生对公式不会表达，不理解。在头脑中没有所有的知识点都是一盘散沙，没有形成一个连贯的数学知识体系，没有形成相对应的数学思维。所以当他们只要一遇到拓展性的题型、老师没有讲过的题型就会变得束手无策，无从下手。那么怎样训练学生的思
初中数学思维方法
初中数学思维方法 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。 6、构造法
浅谈数学教学中的思维训练
浅谈数学教学中的思维训练 有人说“数学是思维的体操”，通过学习数学，不仅可以训练人的思维，还可以增强分析问题和解决问题的能力；因而在数学中揭示数学思维过程，培养学生的思维能力，使学生从小善于独立思考，具有创新意识，是数学教学中极为重要的任务。只有有目的地挖掘教材中的思维因素，引导学生积极地开展思维活动，才能提高学生学习数学的效果，培养和提高学生的思维能力。课堂教学是对学生进行思维训练的主阵地，所以，要把思维训练贯穿于数学教学的各个方面。激发学生思维动机，理清学生思维脉络，培养学生思维方法，是提高学生思维能力的重要方面。 一、激发学生思维动机 “兴趣是最好的老师”。因为兴趣是主动学习的动力，是思维的动力。教育心理学家皮亚杰说，所有智力方面的工作都依赖于兴趣。可见兴趣对智力的开发是重中之重。因此，激发学生思维的动机，是培养其思维能力的关键因素。 教师如何才能激发学生思维动机呢？这就要求教师必须在教学中充分发挥主导作用，根据学生心理特点，教师有意识地挖掘教材中的知识因素，从学生自身生活需要出发，使其明确知识的价值，从而产生思维的动机首先课堂的引入尽量创设情境激趣，发展形象思维。对于小学生来说，故事、游戏、现实生活场景都是他们最容易接受的学习方式。通过有趣的喜闻乐见的场景引入课题，可以牢牢地吸引学生的注意力，学生仿佛自己进入了故事情景中，不由自主地产生了强烈的探究欲望，给以下的思维以强动力。例如教学“用8的乘法口诀求商”这节课时，我是这样设计的：（多媒体展示）在愉快的音乐声中，快乐的动物旅游团一行32个人来到了森林饭店。森林饭店的主人猫咪笑呵呵地告诉导游：“我们饭店里还有5张空桌子，请随便坐。”导游猴儿一听急了：“才5张桌子，我们这么多人坐得下吗？”猫咪一听也不知该怎么办好了，它转向屏幕，向小朋友求救：“聪明的小朋友，我这里每张桌子坐8个人，他们32个人能不能坐得下呢？你能帮我解决这个问题吗？”。学生展开讨论，教师巡视指导。然后交流解题思路，最后指出：可以先算一算32人要坐几张桌子？算式是：32÷8。这节课，通过有趣的卡通故事引入课题，很好的吸引了学生兴趣。在讨论中学生初步地感受到了要解决的问题。这个学生暂时还不能马上解决的问题给学生设置了一道障碍，在求知心理与问题之间制造了一种“不协调”，把学生引入一种与问题有关的情境中，使学生产生了强烈的探究欲望，思维的源泉被打开，滚滚的泉水尽情地流淌。 这样设计教学既渗透了“知识来源于生活”的数学思想，又使学生意识到学习知识的目的是为了解决生活和生产中的实际问题。学生的学习动机被激发起来了，自然会全身心地投入到后面的教学活动之中。 二、突破定势，转换思维 逆向思维就是突破一般思维定势，从对立、颠倒、相反的角度去思考问题。我们常用司马光砸缸的故事来教育学生学习司马光的机智
数学思维训练的学习方法
数学思维训练的学习方法 数学思维训练的学习方法(小学) 1.转化型 这是解决问题遇到障碍受阻时把问题由一种形式转换成另一种形式，使问题变得更简单、更清楚，以利解决的思维形式。在教学中，通过该项训练，可以大幅度地提高学生解题能力。如：某一卖鱼者 规定，凡买鱼的人必须买筐中鱼的一半再加半条。照这样卖法，4 人买了后，筐中鱼尽，问筐中原有鱼多少条?该题对一些没有受过转 化思维训练的学生来说，会感到一筹莫展。即使基础较好的学生也 只能复杂的方程。 但经过转化思维训练后，学生就变得聪明起来了，他们知道把买鱼人转换成1人，显然鱼1条;然后转换成2人，则鱼有3条;再3人，则7条;再4人，则15条。 2.系统型 这是把事物或问题作为一个系统从不同的层次或不同的角度去考虑的高级整体思维形式。在高年级除结合综合应用题以外还可编制 许多智力训练题来培养学生系统思维能力。如：123456789在不改 变顺序前提下(即可以将几个相邻的数合在一起成为一个数，但不可 以颠倒)，在它们之间划加减号，使运算结果等于1OO。象这道题就 牵涉到系统思维的训练。教师可引导学生把10个数看成一个系统， 从不同的层次去考虑、第一层次：找100的最接近数，即89比100 仅少11。第二个层次：找11的最接近数，很明显是前面的12。第 三个层次：解决多l的问题。整个程序如下：12+3+4+5-6-7+89=100 3.激化型 这是一种跳跃性、活泼性、转移性很强的思维形式。教师可通过速问速答来训练练学生。如问：3个5相加是多少?学生答： 5+5+5=15或5×3=15。教师又问：3个5相乘是多少?学生答：
5×5×5=125。紧接着问：3与5相乘是多少?学上答：3×5=15，或5×3=15。通过这样的速问速答的训练，发现学生思维越来越活跃，越来越灵活，越来越准确。 4类比型 这是一种对并列事物相似性的个同实质进行识别的思维形式。这项训练可以培养学生思维的准确性。如： ①金湖粮店运来大米6吨。比运来的面粉少1/4吨、运来面粉多少吨? ②金湖粮店运来大米6吨，比运来的面粉少1/4，运来面粉多少吨? 以上两题，虽然相似，实质不同，一字之差，解法全异，可以点拨学生自己辨析。通过训练，学生今后碰到类似的问题便会仔细推敲，这样就大大地提高了解题的准确性 数学思维训练的学习方法(初中) 1、对应思想方法 对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。 2、假设思想方法 假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。 3、比较思想方法
数学思维方法有哪些
数学思维方法有哪些 一、形象思维方法 形象思维方法是指人们用形象思维来认识、解决问题的方法。它的思维基础是具 体形象，并从具体形象展开来的思维过程。 形象思维的主要手段是实物、图形、表格和典型等形象材料。它的认识特点是以 个别表现一般，始终保留着对事物的直观性。它的思维过程表现为表象、类比、联想、想象。它的思维品质表现为对直观材料进行积极想象，对表象进行加工、提炼进而提 示出本质、规律，或求出对象。它的思维目标是解决实际问题，并且在解决问题当中 提高自身的思维能力。 1.实物演示法 利用身边的实物来演示数学题目的条件和问题，及条件与条件，条件与问题之间 的关系，在此基础上进行分析思考、寻求解决问题的方法。 这种方法可以使数学内容形象化，数量关系具体化。比如：数学中的相遇问题。 通过实物演示不仅能够解决“同时、相向而行、相遇”等术语，而且为学生指明了思维 方向。再如，在一个圆形(方形)水塘周围栽树问题，如果能进行一个实际操作，效果 要好得多。 二年级数学教材中，“三个小朋友见面握手，每两人握一次，共要握几次手”与“用 三张不同的数字卡片摆成两位数，共可以摆成多少个两位数”。像这样的有关排列、组 合的知识，在小学教学中，如果实物演示的方法，是很难达到预期的教学目标的。 特别是一些数学概念，如果没有实物演示，小学生就不能真正掌握。长方形的面积、长方体的认识、圆柱的体积等的学习，都依赖于实物演示作思维的基础。 所以，小学数学教师应尽可能多地制作一些数学教(学)具，而且这些教(学)具用过 后要好好保存，可以重复使用。这样可以有效地提高课堂教学效率，提升学生的学习 成绩。 绩。 2.图示法 借助直观图形来确定思考方向，寻找思路，求得解决问题的方法。
浅析小学数学教学中的思维训练
浅析小学数学教学中的思维训练 发表时间：2011-08-22T17:23:20.153Z 来源：《现代教育教研》2011年第7期供稿作者：吴永才 [导读] 激发学生思维动机，理清学生思维脉络，培养学生思维方法，是提高学生思维能力的重要方面。 吴永才（大关县吉利镇回龙村完小云南大关657400） 【摘要】数学教学主要是数学思维活动的教学。学生初步的逻辑思维能力的发展需要有一个长期的培养和训练过程数学教学的思维训练，是根据学生的思维特点，结合教学内容在教学过程中实现的。 【关键词】数学；思维训练 数学教学主要是数学思维活动的教学。学生初步的逻辑思维能力的发展需要有一个长期的培养和训练过程数学教学的思维训练，是根据学生的思维特点，结合教学内容在教学过程中实现的。课堂教学是对学生进行思维训练的主阵地，所以，要把思维训练贯穿于数学教学的各个方面。 激发学生思维动机，理清学生思维脉络，培养学生思维方法，是提高学生思维能力的重要方面。 1．发学生思维激动机 动机是人们“因需要而产生的一种心理反映”，它是人们行为活动的内动力。因此，激发学生思维的动机，是培养其思维能力的关键因素。 教师如何才能激发学生思维动机呢？这就要求教师必须在教学中充分发挥主导作用，根据学生心理特点，教师有意识地挖掘教材中的知识因素，从学生自身生活需要出发，使其明确知识的价值，从而产生思维的动机 2．理清学生思维脉络 “学生思维能力的发展是寓于知识发展之中的。”在教学中，对于每一个问题，既要考虑它原有的知识基础，又要考虑它下联的知识内容。只有这样，才能更好地激发学生思维，并逐步形成知识脉络。我们教学的关键在于使学生的这种思维脉络清晰化，而理清思维脉络的重点就是抓住思维的起始点和转折点。 2．1 数学知识的脉络是前后衔接、环环紧扣的，并总是按照发生—发展—延伸的自然规律构成每个单元的知识体系。学生获得知识的思维过程也是如此，或从已有的经验开始，或从旧知识引入，这就是思维的开端。 2．2 引导学生抓住思维的转折点。学生的思维有时会出现“卡壳”的现象，这就是思维的障碍点。此时教学应适时地加以疏导、点拨，促使学生思维转折，并以此为契机促进学生思维发展。 总之，教师帮助学生理清思维脉络，注意思维过程中的起始点和转折点，才是小学数学教学中思维训练的重点所在。 3．培养学生思维方法 学生在解决数学问题时，常常需要把面对的问题通过转化、分析、综合、假设等变化成已知的数学问题。在这个思维过程中，要依据具体情况恰当地运用分析与综合、具体与抽象、求同与求异、一般与特殊等思维方法。 3．1 分析与综合。总起来说，思维就是通过分析、综合来进行的。所谓分析就是把已经认识到的事物之间的联系在认识中分解开来。分析的方法应用在数学教学中，就是由问题入手，逐层确定解决问题的条件。所谓综合就是把原来还没有认识到的事物之间的联系，在认识中建立起来。综合的方法应用在数学教学中，就是由条件入手，逐层确定能够解决的问题。 3．2 具体与抽象。小学生的思维特点是从具体形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡。发展学生思维的“着眼点 ”应放在逐步过渡上。教学中，结合知识内容，精心组织操作活动，可以帮助学生将抽象的事物具体化。 3．3 求同与求异。有些数学知识之间既有差别又有千丝万缕的联系。恰当地运用求同与求异的思维方法，通过对相关知识的比较，能够有效地促进学生思维发展。 显然，通过运用求同与求异的思维方法，不但使学生构建了完整的知识体系，而且也发展了学生多极化的思维方法，有利于克服思维定势。 3．4 一般与特殊。任何事物都存在着共性与个性。在教学中教师应注意引导学生观察、思考数学知识的一般性与特殊性，以促进学生思维能力的提高。 教师通过引导学生感知一般与特殊的关系，从而使学生树立起具体问题具体分析的思维方法，培养学生灵活处理实际问题的能力。 综上所述，在小学数学教学中，有目的、有计划地对学生实施思维训练，有利于提高数学教学质量，有利于发展学生思维能力，从而全面提高学生的素质。
幼儿数学思维训练方法
幼儿数学思维训练方法 本文适合幼儿园大班以上孩子的家长尤其是小学生家长阅读， 数学能力有两个方面，一个是运算能力，一个是思维能力。 运算能力是一种低级能力。强调记忆、熟练度（复杂运算需要一些技巧）， 思维能力是一种高级能力，强调借助抽象的数字符号、概念进行思考与推理。 运算能力对于小学生来说也比较重要，这个话题以后再谈，今天先谈思维能力的培养。 数学思维的基本功是数数。每个数的音、形、义要弄清楚，不是从1数到9就可以了，还要知道每个数字对应的具体数量。 数数这关过后，就可以进入加法的学习。 对成人来说，我们看到“3+5=8”这个等式，结合我们的生活经验，很容易把这个抽象的等式具体化为：三个XX加上五个XX是八个XX 而进一步具体化则会得到： 三个香蕉加上五个香蕉是八个香蕉 ?三匹马加上五匹马是八匹马 ?三只猴子加上五只猴子是八只猴子 如果把数字进行替换，如：5+6=11。便可以生成无数的具体表达。 数学符号的意义就是把无限的具体事物进行高度概括。虽然看起来抽象，来源却是具体的。 而数学思维，就是把各种具体事物及其关系，用抽象的数字符号表达出来。 锻炼孩子的思维其实并不难。孩子们平时做的数学应用题本质就是一种数学思维训练。 家长可根据上述原理，有意识的自编应用题，来训练孩子的数学思维，比如： ?三只猴子加上两只两只猴子，是多少只猴子？ ?笼里有三只猴，又来两只，共几只？（虽没提到“加”这个词，但暗含了这个思维） ?我有两支笔，张阿姨又给了我三只，我现在有几只？ ?蜘蛛有八条腿，蜈蚣有100条腿，一共有多少条腿？ ?我早上走了十分钟，晚上走了二十分钟，一共走了多长时间？
小学数学八大思维方法
小学数学八大思维方法 目录 一、逆向思维方法 二、对应思维方法 三、假设思维方法 四、转化思维方法 五、消元思维方法 六、发散思维方法 七、联想思维方法 八、量不变思维方法 一、逆向思维方法 小学教材中的题目，多数是按照条件出现的先后顺序进行顺向思维的。逆向思维是不依据题目内条件出现的先后顺序，而是从反方向（或从结果）出发而进行逆转推理的一种思维方式。 逆向思维与顺向思维是训练的最主要形式，也是思维形式上的一对矛盾，正确地进行逆向思维，对开拓应用题的解题思路，促进思维的灵活性，都会收到积极的效果，
解：这是一道典型的“还原法”问题，如果用顺向思维的方法，将难以解答。正确的解题思路就是用逆向思维的方法，从最后的结果出发，一步步地向前逆推，在逆向推理的过程中，对原来题目的算法进行逆向运算，即：加变减，减变加，乘变除，除变乘。 列式计算为： 此题如果按照顺向思维来考虑，要根据归一的思路，先找出磨1吨面粉 序是一致的。 如果从逆向思维的角度来分析，可以形成另外两种解法： ①不着眼于先求1吨面粉需要多少吨小麦，而着眼于1吨小麦可磨多少
列式计算为： 由此，可得出下列算式： 答：（同上） 掌握逆向思维的方法，遇到问题可以进行正、反两个方面的思考，在开拓思路的同时，也促进了逻辑思维能力的发展。 二、对应思维方法 对应思维是一种重要的数学思维，也是现代数学思想的主要内容之一。对应思维包含一般对应和量率对应等内容，一般对应是从一一对应开始的。 例1 小红有7个三角，小明有5个三角，小红比小明多几个三角？
这里的虚线表示的就是一一对应，即：同样多的5个三角，而没有虚线的2个，正是小红比小明多的三角。 一般对应随着知识的扩展，也表现在以下的问题上。 这是一道求平均数的应用题，要求出每小时生产化肥多少吨，必须先求出上、下午共生产化肥多少吨以及上、下午共工作多少小时。这里的共生产化肥的吨数与共工作的小时数是相对应的，否则求出的结果就不是题目中所要求的解。 在简单应用题中，培养与建立对应思维，这是解决较复杂应用题的基础。这是因为在较复杂的应用题里，间接条件较多，在推导过程中，利用对应思维所求出的数，虽然不一定是题目的最后结果，但往往是解题的关键所在。这在分数乘、除法应用题中，这种思维突出地表现在实际数量与分率（或倍数）的对应关系上，正确的解题方法的形成，就建立在清晰、明确的量率对应的基础上。 这是一道“已知一个数几分之几是多少，求这个数”的分数除法应用题，题
浅谈数学教学中思维训练
浅谈数学教学中思维训练 发表时间：2016-12-07T14:21:07.183Z 来源：《科学教育前沿》2016年11期作者：冯良云 [导读] 动机是人们"因需要而产生的一种心理反映"，他是人们行为活动的内动力。因此激发学生思维的动机，是培养其思维能力的关键因素。 （四川省华蓥职业技术学校四川广安 638600） 中图分类号：Ｇ71 文献标识码：Ａ文章编号：ISSN1004-1621（2016）11-0022-01 数学教学主要是数学思维活动的教学。学生初步的逻辑思维能力的发展需要有一个长期的培养和训练过程。数学教学的思维训练，是根据学生的思维特点，结合教学内容在教学过程中实现的。课堂教学是对学生进行思维训练的主阵地，所以，要把思维训练贯穿于数学教学的各个方面。现就在数学教学中加强思维训练从激发学生的思维动机，理清学生的思维脉络，培育学生的思维方法，谈谈自己粗浅的见解 一、激发学生思维动机 动机是人们"因需要而产生的一种心理反映"，他是人们行为活动的内动力。因此激发学生思维的动机，是培养其思维能力的关键因素。 教师如何才能激发学生的思维动机呢？这就要求教师必须在教学中发挥主导作用，根据学生心理特点，教师有意识的挖掘教材中的知识因素，从学生自身生活需要出发，使其明确知识的价值，从而产生思维动机。这样设计教学既渗透了"知识来源于生活"的数学思想，又使学生意识到学习知识的目的是为了解决生活和生产中的实际问题。可见，创设思维情景，激发学生的思维动机是对学生进行思维训练的重要环节。 二、理清学生思维脉络 认知心理学家指出"学生思维能力的发展是寓于知识发展之中的。"在教学中，对于每一个问题，既要考虑他原有的知识基础，又要考虑他下联的知识内容。只有这样，才能更好的激发学生思维，并逐步形成知识的脉络。教师教学的关键在于使学生的这种思维脉络清晰化，而理清思维脉络的重点则是抓思维的起始点和转折点。 1、引导学生抓思维的起始点。数学知识的脉络是前后衔接，环环紧扣的，并总是按照发生--发展--延伸的自然规律构成每个单元的知识体系。学生获得知识的思维过程也是如此，或从已有的经验开始，或从旧知识引入，主流是思维的开端。从学生思维的起始点入手，把握住思维发展的各个层次，逐渐深入直至终结。当然，不同知识，不同学生的思维起点，不尽相同，但不管起点如何，做为数学教学中的思维训练，必须从思维的"发生点"上起步，以旧知识为依托，并通过迁移，转化，使学生的思维流程清晰化、系统化、逻辑化。 2、引导学生抓住思维的转折点。学生的思维有时会出现"卡壳"的现象，这就是思维的障碍点。此时教师应适时的加以疏导、点拨，促使学生思维转折，并以此为契机促进学生思维发展。总之，教师帮助学生理清思维脉络，注意思维过程中的起始点和转折点，才是小学数学教学中思维训练的重点所在。 三、培养学生思维方法 学生在解决数学问题时，常常需要把面对的问题通过转折、分析、综合、假设等变化成已知的数学问题。在这个思维过程中，要依据具体情况恰当地运用分析和综合，具体与抽象，求同与求异，一般与特殊思维方法。 1、分析与综合。总起来说，思维就是通过分析，综合来进行的。所谓分析就是把已经认识到的事物之间的联系在认识中分解开来。分析的方法应用在教学中，就是由问题入手，逐层确定解决问题的条件。所谓综合就是把原来还没有认识的事物之间的联系在认识中建立起来。综合的方法应用在数学教学中，就是由条件入手，逐层确定能够解决的问题。恰当的采用分析或综合的思维方法，有利用沟通条件和问题的联系，建立起清晰的思维脉络。 2、具体与抽象。学生的思维特点是从具体的形象思维中逐步向抽象思维过度。发展学生思维的"着眼点"应放在逐步过度上。在教学中，结合知识内容，精心组织操作活动，可以帮助学生将抽象的事物具体化。 3、求同与求异。有些数学知识之间既有差别又千丝万缕的联系，恰当地运用求同与求异的思维方法，通过对相关知识的比较，能够有效的促进学生思维发展。一是对同一知识进行变式比较，即求同。二是对易混知识不同点的比较，即求异。显然，通过运用求同与求异的思维方法，不但使学生构建于完整的知识体系，而且也发展了学生多极化的思维方法，有利于克服思维趋势。 4、一般与特殊。唯物辩证法认为，任何事物都存在着共性和个性。在数学教学中教师应注意引导学生观察思考数学知识的一般性和特殊性，以促进学生思维能力的提高。教师通过引导学生感知一般与特殊的关系，从而使学生树立起具体问题具体分析的思维方法，培养灵活处理实际问题的能力。 总上所述，在数学教学中，有目的的，有计划地对学生实施思维训练，有利于教学质量的提高，有利于发展学生思维能力，从而全面提高学生的素质。
最有用的17个数学思维方法
最有用的17个数学“思想方法”比做1千道题更实用 数学基础打得好，对孩子的学习有较大帮助。但是数学的学习比较抽象，小学生在学习过程中会碰到一些“拦路虎”，掌握一些方法，这些就都不怕了。 1.对应思想方法 对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。 2.假设思想方法 假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。 3.比较思想方法 比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师要善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。
4.符号化思想方法 用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。 5.类比思想方法 类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。
6.转化思想方法 转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。 7.分类思想方法 分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。 8.集合思想方法 集合思想就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。小学采用直观手段，利用图形和实物渗透集合思想。在讲述公约数和公倍数时采
数学思维的训练方法
数学思维的训练方法 高： 1.转化型 这是解决问题遇到障碍受阻时把问题由一种形式转换成另一种形式，使问题变得更简单、更清楚，以利解决的思维形式。在教学中，通过该项训练，能够大幅度地提升学生解题水平。如：某一卖鱼者规定，凡买鱼的人必须买筐中鱼的一半再加半条。照这样卖法，4 人买了后，筐中鱼尽，问筐中原有鱼多少条？该题对一些没有受过转化思维训练的学生来说，会感到一筹莫展。即使基础较好的学生也只能复杂的方程。 但经过转化思维训练后，学生就变得聪明起来了，他们知道把买鱼人转换成1人，显然鱼1条；然后转换成2人，则鱼有3条；再3人，则7条；再4人，则15条。 2.系统型 这是把事物或问题作为一个系统从不同的层次或不同的角度去考虑的高级整体思维形式。在高年级除结合综合应用题以外还可编制很多智力训练题来培养学生系统思维水平。如：1 2 3 4 5 6 7 8 9在不改变顺序前提下（即能够将几个相邻的数合在一起成为一个数，但不能够颠倒），在它们之间划加减号，使运算结果等于1OO。象这道题就牵涉到系统思维的训练。教师可引导学生把10 个数看成一个系统，从不同的层次去考虑、第一层次：找100 的最接近数，即89 比100 仅少11。第二个层次：找11 的最接近数，很明显是前面的12。第三个层次：解决多l 的问题。整个程序如下：12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100 3.激化型 这是一种跳跃性、活泼性、转移性很强的思维形式。教师可通过速问速答来训练练学生。如问：3 个5 相加是多少？学生答：5＋5＋5=15 或5×3=15。教师又问：3 个5 相乘是多少？学生答：5×5×5=125。紧接着问：3 与5 相乘是多少？学上答：3×5=15，或5×3=15。通过这样的速问速答的训练，发现学生思维越来越活跃，越来越灵活，越来越准确。 4类比型 这是一种对并列事物相似性的个同实质实行识别的思维形式。这项训练能够培养学生思维的准确性。如： ①金湖粮店运来大米6吨。比运来的面粉少1/4吨、运来面粉多少吨？ ②金湖粮店运来大米6吨，比运来的面粉少1/4，运来面粉多少吨？ 以上两题，虽然相似，实质不同，一字之差，解法全异，能够点拨学生自己辨析。通过训练，学生今后碰到类似的问题便会仔细推敲，这样就大大地提升了解题的准确性。
六年级数学思维训练教学计划
六年级数学思维训练教 学计划 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
数学思维训练教学计划 一、指导思想： 数学的学习较其他学科来说相对较难，同时数学学习不能死记硬背，需要掌握方式方法。为此，训练学生的思维活动是重中之重。在数学教学中探求问题的思考、推理、论证的过程等一系列数学活动都是数学教学中实施思维训练的理论依据之一。因此，数学思维训练能更好的促进学生数学思维能力的发展。这学期通过数学思维训练校本课程的学习，提高同学们的学习兴趣，训练学生的数学思维、培养学生良好的学习习惯,让学生通过学习深入地理解数学知识，提高学生的思维能力和分析能力。 二、学情分析： 六年级学生已具备良好的分析问题、解决问题的能力。课堂上为孩子们提供一系列数学故事、益智问题和数学游戏。这些问题和活动为学生提供探索数学奥秘的机会，学生在参与这些数学游戏和解决数学问题的过程中，体会数学价值，锻炼数学智慧，运用所学的知识与技能，学习解决问题的方法。 三、目的要求： 1、培养学生学习数学的兴趣和爱好，让学生在探索解法的过程中亲身体验到了数学思想的博大精深和数学方法的创造力，从而激发学生学习数学的兴趣，产生了进一步学习数学的向往感。使学生在学习过程中获得成功的体验，建立自信心。 2、使学生掌握一定的学习方法、学习技能。 3、使学生获得一些初步的数学实践活动经验，能运用所学知识和方法解决简单问题 , 感受数学在生活中的作用。
4、培养学生与人合作、与人交流的意识和能力。让学生对数学产生浓厚的兴趣，愿意主动去发现生活中的数学现象，在日常学习生活中敢于质疑，乐于讨论探究生活中各种现象，喜欢和他人合作解决问题。 5、培养学生积极参与数学学习活动、敢于质疑、独立思考、不怕困难等良好的学习习惯。体验数学学习的快乐，知道有付出才会有回报，并培养吃苦耐劳的精神。 6、引导学生掌握学习数学的思想方法，培养分析、推理、判断能力，拓宽和加深所学的知识，充分地拓展学生的数学才能，激发创新思维，发展学生的创造力，让学生在数学素养上有较大的发展与提高，为学生进一步学好数学打下坚实的基础。 四、活动措施： 1.培养学生的学习兴趣。 学习兴趣是学生基于自己的学习需要而表现出来的一种认识倾向，它是学好一门课的内驱动力。学好数学，掌握数学的思维方式，是现代社会要求公民必须具备的基本素质之一。活动中，通过一些大家喜闻乐见的题目，逐步培养大家的“数感”，引导大家喜爱数学，以至于达到自觉学习数学的目的，实现从“要我学”到“我要学”的转变。 2.注重思维能力培养 数学学科是一门逻辑性极强的学科。这就要求我们教师在上课过程中采用“任务驱动”教学法，明确每节课的教学目标，设下问题，让学生自己去思考问题、探索解决问题的办法，给学生“主动发展”的空间，大力推行“发现式”教学，同时要保证学生充裕的思考时间，着重培养和锻炼学生的思维能力。 3.发挥“小老师”的作用。
数学教学中的思维训练
数学教学中的思维训练 “教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的 活动”。课堂教学中合理的提问可以使学生不断地进行思维，启发学生的心智，引导学生获得知识。因此研究课堂教学中的提问技能是发挥学生主体作用，提高课堂教学质量，激发学生学习兴趣的关键。因此就高中数学教学中如何进行提问谈谈自己的体会和做法： 一、课前准备阶段 提问技能综合性强，也较复杂。它既与教师个人的先天素质有关，也与后天的综合能力如语言表达能力、交际能力等有关，而且与教师对课程内容的熟悉程度也有直接关系。因此上课前，教师要充分了解所授内容的重点、难点、疑点，积极找出合理的对策。要准备好适当的教具，增强课堂的生动性，要让学生自己找出疑点，带着问题学知识。这样做，有利于调动学生的积极性，养成学生自学的习惯，为课堂提问的顺利进行提供保障。 二、课堂提问形式 ⒈曲问。所谓“曲问”，是运用“迂回战术”，变换提问的角度，让思维拐个弯，它问在此而意在彼，使学生开动脑筋，通过一番思索才能回答，如学习了异面直线的概念后，提问学生“分别在两个平面内的没有公共点的两条直线是异面 直线吗？”学习了双曲线的定义后，提问学生：“平面内与
两定点距离之差的绝对值是常数的轨迹会不会是一条直线？”这种拐弯的提问方法有助于学生思维能力的提高。⒉悬问。所谓“悬问”，即通过提出悬而未解决的问题，引出悬念，给学生造成一种跃跃欲试和急于求知的紧迫情境，如在研究平面的基本性质，引出公理和推论之前，可向学生提出如下问题：“把一根直尺边缘上的任意两点放在平的桌面上，可以看到直尺边缘就落在桌面上，为什么？”“为什么有的自行车的后轮旁只安装一只脚？”对两个日常生活中常见的事例，要追根究底查原因时，学生却感到茫然，因而产生了悬念，使学生处于一种急迫地希望知道结果的状态，激发了听课兴趣。 又如在“直线与双曲线的位置关系”的数学教学中，可先问学生：“直线与圆、椭圆只有一个公共点时，分别能作几条直线？”待学生回答后，教师又问：“直线与双曲线只有一个公共点时，能作几条线？也是两条线吗？激起悬念，叫学生欲答不能，欲罢不忍。 3.逆问。所谓“逆问”，即有意从相反的方面，提出假设，以制造矛盾，引发学生展开思维交锋。促使学生更深刻地理解和掌握知识。如在学习函数概念时，可提问：“有同学认为，因为y=c中只有一个变量y,与定义中‘有两个变量x和y’的条件不相符，所以y=c不是函数，这个观点正确吗？”又如在“反函数”的教学中，学习了“原函数与它的反函数
高中数学八种思维方法如何训练数学思维
高中数学八种思维方法如何训练数学思维 在数学学习中,比运算更重要的是思维方式。下面介绍几种适合大家的数学学习思维 方法以及如何训练数学思维，欢迎阅读。 如何学好高中数学高中数学解题方法与技巧怎样学好高中数学高中数学怎么学成绩提 高快 一、转化方法： 转化思维，既是一种方法，也是一种思维。转化思维，是指在解决问题的过程中遇到 障碍时，通过改变问题的方向，从不同的角度，把问题由一种形式转换成另一种形式，寻 求最佳方法，使问题变得更简单、更清晰。 二、逻辑方法： 逻辑是一切思考的基础。逻辑思维，是人们在认识过程中借助于概念、判断、推理等 思维形式对事物进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理的思维过程。逻 辑思维，在解决逻辑推理问题时使用广泛。 三、逆向方法： 逆向思维也叫求异思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的 一种思维方式。敢于“反其道而思之”，让思维向对立面的方向发展，从问题的相反面深 入地进行探索，树立新思想，创立新形象。 四、对应方法： 对应思维是在数量关系之间（包括量差、量倍、量率）建立一种直接联系的思维方法。比较常见的是一般对应（如两个量或多个量的和差倍之间的对应关系）和量率对应。 五、创新方法： 创新思维是指以新颖独创的方法解决问题的思维过程，通过这种思维能突破常规思维 的界限，以超常规甚至反常规的方法、视角去思考问题，提得出与众不同的解决方案。可 分为差异性、探索式、优化式及否定性四种。 点击查看：学好数学的核心概念与思维方法 六、系统方法： 系统思维也叫整体思维，系统思维法是指在解题时对具体题目所涉及到的知识点有一 个系统的认识，即拿到题目先分析、判断属于什么知识点，然后回忆这类问题分为哪几种 类型，以及对应的解决方法。
数学计划总结之《一年级数学教学中的思维训练》读后感
数学计划总结之《一年级数学教学中的思维训练》读后 感 《一年级数学教学中的思维训练》这一章主要是说如何通过数学来训练学生的思维能力的.说起数学,特别是解应用题,其实就是考验一个人的思维能力,为什么常常是有的学生解出来好长时间了,可有的学生却还不知道如何去做.关键在于他无法理清应用题中那些已知条件.在头脑中没有一个清晰的思路,所以不知从何入手.有时我们教师也不知道问题出在哪儿,只会把这种原因归为脑子笨,不聪明上,但怎样使脑子聪明起来呢,那就要从小训练学生的思维能力. 而苏氏却在这上面下了很大的功夫,他专门从一年级起就从周围的世界里搜集,发现一些与数学有关的、能够联系各个事物的应用题,来训练学生的脑子,激发他们脑子的内在潜能.像大家都知道的狼、羊、白菜过河的故事（像这样的故事在我们奥数学习中有很多）,让他们在紧张地思考中发展学生的智力.在这一章里,他还强调了一些概念、规则等需要记忆的东西牢固记忆的事情.他是一贯不赞成死记硬背的.但在一些需要为后续的学习打下基础的知识,他还是要求必须背诵的.把必要范围的知识牢固地保持在记忆里,这是培养创造性思维的重要手段之一. 一年级学生刚开始跨入数学之门,如果能注重培养学生思维习
惯和思维意识,发展学生思维能力,那么对学生今后“喜欢数学”、“会做数学”、“会用数学”,提高数学学习能力有巨大的推动作用.而老苏在前面的34条中也提到：多年的经验表明,有必要给学生上一种专门的“思维课”.早在学龄前期,就可以经常上这种课.从一年级开学起,思维课就成为智育的一部分.所谓思维课,这就是生动地、直接地感知周围世界中的形象、画面、现象和事物,并进行逻辑分析,获取新知识,进行思维练习,找因果关系. 然而对于一年级的学生还不知道数学是什么呢,那么怎样进行数学思维训练呢,我觉得我们可以把这些渗透到他们生活中的每一天.在实践中,我总结出了低年级学生学好数学要做到：多听、多看、多想、多做、多说,让他们操作学习中玩数学,在想象交流中去感悟数学,从中逐步训练学生的思维能力.
小学数学思维训练方法集锦
小学数学思维训练方法集锦 绩一定可以大大提高: 1.转化型 这是解决问题遇到障碍受阻时把问题由一种形式转换成另一种形式，使问题变得更简单、更清楚，以利解决的思维形式。在教学中，通过该项训练，可以大幅度地提高学生解题能力。如:某一卖鱼者规定，凡买鱼的人必须买筐中鱼的一半再加半条。照这样卖法，4 人买了后，筐中鱼尽，问筐中原有鱼多少条?该题对一些没有受过转化思维训练的学生来说，会感到一筹莫展。即使基础较好的学生也只能复杂的方程。 但经过转化思维训练后，学生就变得聪明起来了，他们知道把买鱼人转换成1人，显然鱼1条;然后转换成2人，则鱼有3条;再3人，则7条;再4人，则15条。 2.系统型 这是把事物或问题作为一个系统从不同的层次或不同的角度去考虑的高级整体思维形式。在高年级除结合综合应用题以外还可编制许多智力训练题来培养学生系统思维能力。如:1 2 3 4 5 6 7 8 9在不改变顺序前提下(即可以将几个相邻的数合在一起成为一个数，但不可以颠倒)，在它们之间划加减号，使运算结果等于1OO。象这道题就牵涉到系统思维的训练。教师可引导学生把10 个数看成一个系统，从不同的层次去考虑、第一层次:找100
的最接近数，即89 比100 仅少11。第二个层次:找11 的最接近数，很明显是前面的12。第三个层次:解决多l 的问题。整个程序如 下:12+3+4+5-6-7+89=100 3.激化型 这是一种跳跃性、活泼性、转移性很强的思维形式。教师可通过速问速答来训练练学生。如问:3 个5 相加是多少?学生答:5+5+5=15 或5×3=15。教师又问:3 个5 相乘是多少?学生答:5×5×5=125。紧接着问:3 与5 相乘是多少?学上答:3×5=15，或5×3=15。通过这样的速问速答的训练，发现学生思维越来越活跃，越来越灵活，越来越准确。 4类比型 这是一种对并列事物相似性的个同实质进行识别的思维形式。这项训练可以培养学生思维的准确性。如: ①金湖粮店运来大米6吨。比运来的面粉少1/4吨、运来面粉多少吨? ②金湖粮店运来大米6吨，比运来的面粉少1/4，运来面粉多少吨? 以上两题，虽然相似，实质不同，一字之差，解法全异，可以点拨学生自己辨析。通过训练，学生今后碰到类似的问题便会仔细推敲，这样就大大地提高了解题的准确性。