二次函数的应用练习题及答案

二次函数的应用练习题及答案

一：知识点

利润问题：总利润=总售价–总成本

总利润=每件商品的利润×销售数量

二：例题

1、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．

2、某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是________________

3、用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门,问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?

4、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，经调查发现，若每件衬衫每降价1元，商场平均每天可以多售出2件．若每件降价x 元，每天盈利y 元，求y 与x 的关系式．若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？盈利多少元？

5、某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：

房间每天的入住量y关于x的函数关系式．

该宾馆每天的房间收费z关于x的函数关系式．

该宾馆客房部每天的利润w关于x的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？

6、某商店经营一批进价每件为2元的小商品，在市场营销的过程中发现：如果该商品按每件最低价3元销售，日销售量为18件，如果单价每提高1元，日销售量就减少2件．设销售单价为x，日销售量为y．

写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；设日销售的毛利润为P，求出毛利润P与销售单价x之间的函数关系式；

在下图所示的坐标系中画出Ｐ关于x的函数图象的草图，并标出顶点的坐标；观察图象，说出当销售单价为多少元时，日销售的毛利润最高？是多少？

7、我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格20元/千克收购了这种野生菌1000千克存放

入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160元，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．

设x到后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y 与x之间的函数关系式．

O

若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试写出P与x之间的函数关系式．李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元？

8、为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y与销售单价x之间的函数关系如图所示．求月销售量y与销售单价x之间的函数关系式；

当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元，该公司可安排员工多少人？

若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？

9、大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店．该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元／件．销售结束后，得知日销售量P与销售时间x之间有如下关系：P=-2x+80；又知前20天的销售价格Q1 与销售时间x之间有如下关系：Q1?

1

x?30 ，后10天的销售价格Q与2

销售时间x之间有如下关系：Q2=45．

试写出该商店前20天的日销售利润R1和后l0天的日销售利润R2分别与销售时间x之间的函数关系式；

请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大?并求出这个最大利润．注：销售利润＝销售收入一购进成本．

10、红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m 与时间t的关系如下表：

未来40天内，前20天每天的价格y1与时间t的函数关系式为y1?

t?25，后20天每天的价格y2与时间t的函数关系式为y2??

1

t?40。下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m与t之间的关系式；

请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？

在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润给希望工程。公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围。

11、今年我国多个省市遭受严重干旱．受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，

进入52.元/千克下降至第2周的2.元/千克,且y与周数x的变化情况满足二次函数y??

12

x?bx?c．0

1

x?1.2，5月份的进4

请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y与x所满足的函数关系式，并求出5月份y与x所满足的二次函数关系式；若4月份此种蔬菜的进价m与周数x所满足的函数关系为m?

价m与周数x所满足的函数关系为m??

1

x?2．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种5 蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？

若5月的第2周共销售100吨此种蔬菜．从5月的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可销售量将在第2周销量的基础上每周减少a%，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第２周仅上涨0.8a%．若在这一举措下，此种蔬菜在第３周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a的整数值．

．解：4月份y与x满足的函数关系式为y?0.2x?1.8. 把x?1,y?2.8和x?2,y?2.4分别代入y??

12

x?bx?c，得0

?1

??20?b?c?2.8,?b??0.25,

解得??1

?c?3.1.???4?2b?c?2.4

?20

2

∴五月份y与x满足的函数关系式为

y??0.05x?0.25x?3.1.

设4月份第x周销售此种蔬菜一千克的利润为W1元，5月份第x周销售此种蔬菜一千克的利润为W2元.

1

W1????0.05x?0.6.

4

∵-0.05＜0，∴W1随x的增大而减小. ∴当x?1时，W1最大=-0.05+0.6=0.55.

1

W2=???0.05x2?0.05x?1.1.

5

∵对称轴为x?

?0.05

??0.5,且-0.05＜0，

2?

∴x＞-0.5时，y随x的增大而减小. ∴当x=1时，W2最大=1.

所以4月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为0.55元；5月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为1元.

由题意知：?100?1?a%??2??2.4?1?0.8a%??2.4?100.

整理，得a2?23a?250?0.解得a?

?23?.

2

∵392?1521，402?1600，而1529更接近1521，∴?39. ∴a??31或a?8. 答：a的整数值为8.

12、春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售。

九班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天的捕捞与销售的相关信息如下：

⑴在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？

⑵假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x天的收入y与x之间的函数关系式？

试说明⑵中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大值是多少？

二次函数综合练习题

一、选择题 1．已知二次函数y＝x2－3x＋m的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是．A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝B．

∵二次函数y＝x2－3x＋m的图象与x轴的一个交点为，∴0＝12－3＋m，解得m＝2，∴二次函数为y＝x2－3x ＋2．设y＝0，则x2－3x＋2＝0．解得x2＝1，x2＝2，这就是一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根．所以应选B．考查一元二次方程的根、二次函数图象与x轴交点的关系．当b2－4a c≥0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x 轴的两个交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根．

因审题不严，容易错选；或因解方程出错而错选．

2．方程x?3x?1?0的根可视为函数y?x?3的图象与函数

2

13

的图象交点的横坐标，则方程x?2x?1?0的实根x0所在的范围是． x

111111

A．0?x0? B．?x0? C．?x0? D．?x0?1

443322y?

要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．不会得出函数解析式，不会观察图象而出错．. 一次函数y＝ax＋b、二次函数y＝ax2＋bx和反比例函数y ＝

k

在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为．则下列结x

论中，正确的是

A．b＝2a＋k B．a＝b＋k C．a＞b＞0D．a＞k＞0 D．∵一次函数与二次函数的图象交点A的坐标为，∴－2a＋b＝0，∴b＝2a．

又∵抛物线开口向上，∴a＞0，则b＞0．而反比例函数图象经过第一、三象限，∴k＞0．∴2a＋k＞2a，即b＜2a＋k．故A选项错误．

假设B选项正确，则将b＝2a代入a＝b＋k，得a＝2a ＋k，a＝－k．又∵a＞0，∴－k＞0，即k＜0，这与k＞0相矛盾，∴a＝b＋k不成立．故B选项错误．

再由a＞0，b＝2a，知a，b两数均是正数，且a＜b，∴b＞a＞0．故C选项错误．这样，就只有D选项正确．本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的图象，属于图象共存型问题．解决这类问题的关键是熟练掌握这三类函数的图象及性质，能根据图象所在象限的位置准确判断出各系数的符号．上面解法运用的是排除法，至于D为何正确，可由二次函数y＝ax2＋

b2kb2a

bx与反比例函数y＝的图象，知当x＝－＝－＝－1时，

y＝－k＞－＝－

4ax2a2a4a2

＝－a，即k＜a．又因为a＞0，k＞0，所以a＞k＞0．a 二次函数a、b、c的符号的确定与函数图象的关系混淆不清．

4. 抛物线y?22?1的顶点坐标是 A．：A

B．

2

C． D．

抛物线y?a?k的顶点是

求一个抛物线的顶点可以先把二次函数配方，再得到顶点坐标；也可以利用顶

b4ac?b2

点公式求顶点坐标。

2a4a

4．如图，二次函数y＝x＋bx－的图象与x轴交于点A 和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．请直接写出点D的坐标：；

当点P在线段AO上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正

方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

2

考点：二次函数综合题．

分析：将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长，从而求得点D的纵坐标；

PA＝t，OE＝l，利用△DAP∽△POE得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可；

分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积．解答：解：；

设PA＝t，OE＝l，

由∠DAP＝∠POE＝∠DPE＝90°得△DAP∽△POE，

∴

，

∴l＝－＋＝－＋

2

∴当t＝时，l有最大值

，

；

即P为AO中点时，OE的最大值为

存在．

①点P点在y轴左侧时，P点的坐标为

由△PAD∽△OEG得OE＝PA＝1，∴OP＝OA＋PA＝4。∵△ADG∽△OEG，∴AG：GO＝AD：OE＝4：1

∴AG＝

＝

∴重叠部分的面积＝＝

②当P点在y轴右侧时，P点的坐标为，此时重叠部分的面积为

点评：本题考查了二次函数的综合知识，与二次函数的最值结合起来，题目的难度较大．

5．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y与价格x之间满足一次函数关系．试求y与x之间的函数关系式；

当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？考点：二次函数的应用．分析：利用待定系数法求得y与x之间的一次函数关系式；

根据“利润＝×售出件数”，可得利润W与销售价格x 之间的二次函数关系式，然后求出其最大值．解答：解：由题意，可设y＝kx+b，

把，代入得：，解得：，

所以y与x之间的关系式为：y＝－10000x+80000；设利润为W，则W＝

22

＝－10000＝－10000＝－10000[－4]

2

＝－10000+40000

所以当x＝6时，W取得最大值，最大值为40000元．

答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元．

点评：本题主要考查利用函数模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题关键是要分析题意根据实际意义求解．注意：数学应用题实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识．

6．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A，与y轴的交点为 B．

求抛物线的解析式；

在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A．并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标．

在的基础上，设直线x=t与抛物线交于点N，当t为何值时，△BCN的面积最大，并求出最大值．

分析：已知抛物线的顶点坐标，可直接设抛物线的解

析式为顶点式进行求解．设C点坐标为，由题意可知?BAC?90．过点C作CD?x轴于点D，连接AB，AC．易证?AOB??CDA，根据对应线段成比例得出x,y的关系式y??2x?4，再根据点C在抛物线上得y??

12

x?x?1，联立两个关系式组成方程组，求出x,y的值，4

再根据点C所在的象限确定点C的坐标。P为BC的中点，取OD中点H，连PH，则PH

二次函数应用练习题

一、解答题 1. 已知下表：

求a、b、c的值，并在表内空格处填入正确的数；请你根据上面的结果判断：

①是否存在实数x，使二次三项式ax2＋bx＋c的值为0？若存在，求出这个实数值；若不存在，请说明理由．

②画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象示意图，由图象确定，当x取什么实数时，ax2＋bx＋c＞0．. 如图，有长为2m的篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为

2

S m．

求S与x的函数关系式；

2

如果要围成面积为4m的花圃，AB的长是多少米？

能围成面积比4m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，点D在斜边AB 上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE＝x，DF＝y．

用含y的代数式表示AE；

求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．

某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB5.

＝m，顶部C离地面高度为4.m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.m，装货宽度为2.m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．

6. 某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y与销售单价x之间存在着如图1所示的一次函数关系．求y关于x的函数关系式；

试写出该公司销售该种产品的年获利z关于销售单价x

的函数关系式．当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这个最大值；

若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助图2中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？

7. OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6．如下图，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，

记作点，求点的坐标；

求折痕CM所在直线的解析式；

G∥AB交CM于点G，若抛物线y＝x2＋m过点G，求抛物线的解析式，

作

并判断以原点O为圆心，OG为半径的圆与抛物线除交点G外，是否还有交点．若

有，请直接写出交点坐标．. 某校九年级的一场篮球比赛中，如图所示，队员甲正在投篮，已知

球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为m，当球出手后水平距离

为m时到达最大高度m．设篮球的运动轨迹为抛物线，

篮圈距地面m．

请你建立适当的平面直角坐标系，并判定此球能否准确投中？

此时，若对方队员乙在甲面前1 m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为2.m，那么他能否获得成功？

某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验9.

后可知：成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y ＝ax＋bx＋c相吻合，并测得服用时每毫升血液中含药量为0微克；服用2小时后每毫升血液中含药量为6微克；服用后3小时每毫升血液中含药量为7.5微克．

试求出含药量y与服药时间x的函数解析式；画出0≤x≤8的函数简单示意图；

服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出这个最大药量；结合图示说明一次服药后的有效时间是多少小时？ 10. 运用二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的关系．画出函

数的草图，并根据草图，回答下列问题：

当x取何值时，y小于零？当x取何值时，y大于零？能否用含x的不等式来描述中的问题？ 11. 已知三角形的两边和为20 cm，这两边的夹角为120°，如图所示，

求三角形的面积的最大值；当面积最大时，这两边的长各是多少？

12.

如图所示，是某防空部队进行射击时在平面直角坐标系中的示意图，在地面O，A两个观测点测得空中固定目标C 的仰角分别为α，β，OA

＝1 km，tanα＝

，tanβ＝，位于O点正上方 km的D处的直升机向

目标C发射防空导弹，该导弹运行达到距地面最大高度km时，相应的水平距离为km即图中E点．

若导弹运行轨道为一抛物线，求该抛物线的关系式；按中轨道运行的导弹能否击中目标C？ 13. 在体育测试时，初三的一名高个子男同学掷铅球，已知铅球所经

过的路线是某个二次函数图象一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标为，铅球路线的最高处B 点的坐标．

求这个二次函数的关系式；

该男同学把铅球掷出去多远？

14. 有一抛物线型的立交桥，这个桥拱的最大高度为1m，跨度为40

m．现把它的图形放在平面直角坐标系里，如图所示，若在离跨度中点M m处垂直竖立一铁柱支撑拱顶，该铁柱应

取多长？

15.

某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.m加设不锈钢管做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图b所示的坐标系进行计算．