高一数学教案：4.1 角的概念推广(二)

课 题：4.1

角的概念推广（二）

教学目的： 1．巩固角的形成，正角、负角、零角等概念，熟练掌握掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角的表示方法；

2．掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）、象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法；

3．体会运动变化观点，逐渐学会用动态观点分析解决问题；

教学重点：象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法；

教学难点：终边在坐标轴上的角的集合表示；

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

通过复习回顾，使学生进一步理解角的概念，象限角的概念.通过具体的例子，使学生掌握终边在坐标轴上的角和终边不在坐标轴上的角的集合表示以及符号语言的运用. 教学过程：

一、复习引入：

1．角的概念的推广

⑴“旋转”形成角

一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ，就形成角α．旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点．

⑵．“正角”与“负角”“0角”

我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负

特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角α或α∠ 可以简记成α

⑶意义

A

B

αO 2100

-1500

6600

用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了

3? 还有零角 一条射线，没有旋转

角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．

2．“象限角”

角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，

这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）

3．终边相同的角

结论：所有与

α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合：

{}

Z k k S ∈?+==,360| αββ

即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 ⑷注意以下四点：

(1)Z k ∈

(2) α是任意角；

(3)0360?k 与α之间是“+”号，

如0360?k -30°，应看成0360?k +(-30°)；

(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．

二、讲解新课：

例1写出终边在y 轴上的角的集合（用0到360度的角表示）.

解：∵ 在0°～360°间，终边在y 轴的正半轴上的角为90°，终边在y 轴的负半轴上的角为270°，

∴终边在y 正半轴、负半轴上所有角分别是：

S1={α|α=k ?360?+90?,k ∈Z}；S2={α|α=k ?360?+270?,k ∈Z}

探究：怎么将二者写成统一表达式？

∵S1={α|α=k ?360?+90?,k ∈Z}={α|α=2k ?180?+90?,k ∈Z}；

S2={α|α=k ?360?+270?,k ∈Z}={α|α=2k ?180?+180?+90?,k ∈Z}

={α|α=(2k+1)?180?+90?,k ∈Z}；

∴终边在y 轴上的角的集合是：

S=S1 S2={α|α=2k ?180?+90?,k ∈Z} {α|α=(2k+1)?180?+90?,k ∈Z}

={α|α=180?的偶数倍+90?,k ∈Z} {α|α=180?的奇数倍+90?,k ∈Z}

={α|α=180?的整数倍+90?,k ∈Z}

={α|α=n ?180?+90?,n ∈Z}

引申：写出所有轴上角的集合

{α|α=k ?360?, k ∈Z} {α|α=k ?360?+180?,k ∈Z} {α|α=k ?180?,k ∈Z}

{α|α=k ?360?+90?,k ∈Z} {α|α=k ?360?+270?,k ∈Z} {α|α=k ?180?+90?,k ∈Z}

{α|α=k ?90?, k ∈Z} {α|α=k ?90?+45?, k ∈Z} {α|α=k ?45?, k ∈Z}

(最后两个可以根据实际情况处理)

例2．用集合的形式表示象限角

第一象限的角表示为{α|k ?360?<α

第二象限的角表示为{α|k ?360?+90?<α

第三象限的角表示为{α|k ?360?+180?<α

第四象限的角表示为{α|k ?360?+270?<α

或{α|k ?360?-90?<α

}

例

3

写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界)

解：.(1)｛α｜60°＋k ·360°＜α＜255°＋k ·360°，k ∈Z }

(2)｛α｜－120°＋k ·360°＜α＜45°＋k ·360°，k ∈Z }

例4 已知α是第二象限角，问2

α是第几象限角？2α是第几象限角？分别加以说明 解：∵α在第二象限，∴k ?360?+90?＜α＜k ?360?+180?，k ∈Z

于是， k ?180?+45?＜

2

α＜k ?180?+90?, ∵k ∈Z, ∴k=2n 或k=2n+1 当k=2n 时，n ?360?+45?＜2α＜n ?360?+90?, ∴2

α在第一象限； 当k=2n+1时，n ?360?+225?＜2α＜n ?360?+270?, ∴2α在第三象限； ∴当α在第二象限时，∴2

α可能在第一象限，也可能在第三象限 类似地，2α可能在第三、四象限或y 轴负半轴上

三、课堂练习：

1.若Ａ＝｛α｜α＝ｋ·360°，ｋ∈Ｚ｝；

B ＝｛α｜α＝ｋ·180°，ｋ∈Ｚ｝；

C ＝｛α｜α＝ｋ·90°，ｋ∈Ｚ｝，则下列关系中正确的是( )

A.Ａ＝Ｂ＝Ｃ

B.Ａ＝Ｂ Ｃ

C.Ａ Ｂ＝Ｃ

D.ＡＢＣ 2.若α是第四象限角，则180°－α是( )

A.第一象限角

B.第二象限角

C.第三象限角

D.第四象限角

3.若α与β的终边互为反向延长线，则有( )

A.α＝β＋180°

B.α＝β－180°

C.α＝－β

D.α＝β＋（2ｋ＋1）180°，ｋ∈Ｚ

4.终边在第一或第三象限角的集合是 .

5.α为第四象限角，则2α在 .

6.角α＝45°＋ｋ·90°的终边在第 象限.

参考答案：

1.D

2.C

3.D

4.｛α｜k ·180°＜α＜90°＋k ·180°，k ∈Z ｝

5.第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上

6.一 二 三 四

四、小结

用集合的形式表示象限角以及轴线角（终边在坐标轴上的角）

（1）象限角：

第一象限的角表示为{α|k ?360?＜α＜k ?360?+90?，（k ∈Z ）}；

第二象限的角表示为{α|k ?360?+90?＜α＜k ?360?+180?，（k ∈Z ）}；

第三象限的角表示为{α|k ?360?+180?＜α＜k ?360?+270?，（k ∈Z ）}；

第四象限的角表示为{α|k ?360?+270?＜α＜k ?360?+360?，（k ∈Z ）}；

或{α|k ?360?-90?＜α＜k ?360?，（k ∈Z ）}

（2）轴线角：

终边在x 轴正半轴上的角的集合：{α|α=k ?360?， k ∈Z}；

终边在x 轴负半轴上的角的集合：{α|α=k ?360?+180?，k ∈Z}；

终边在x 轴上的角的集合：{α|α=k ?180?，k ∈Z}；

终边在y 轴正半轴上的角的集合：{α|α=k ?360?+90?，k ∈Z}；

终边在y 轴负半轴上的角的集合：{α|α=k ?360?+270?，k ∈Z}；

终边在y 轴上的角的集合：{α|α=k ?180?+90?，k ∈Z}；

终边在坐标轴上的角的集合：{α|α=k ?90?，k ∈Z}

5．区间角：锐角：(0?,90?)，钝角：(90?,180?)，注意区间(α,β)与(k ?360?+α, k ?360?+β)的区别

五、课后作业：

1.写出与370°23′终边相同角的集合S ，并把S 中在－720°～360°间的角写出来.

2.在直角坐标系中作出角Z k 60180∈?+??=，k α，

Z k 6090∈?+??=，k β角的终边.

3.写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界)

参考答案：

1.Ｓ＝｛α｜α＝10°23′＋k·360°，k∈Z｝

在－720°～360°之间的角分别是

10°23′－349°37′－709°37′.

2.

3.(1)｛α｜45°＋k·180°＜α＜90°＋k·180°，k∈Z}

(2)｛α｜－150°＋k·360°＜α＜150°＋k·360°，k∈Z}

六、板书设计（略）

七、课后记：

1.在［360°，1440°］中与－21°16′终边相同的角有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2.在［360°，1620°］中与21°16′终边相同的角有( )

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

3.角α＝45°＋ｋ·180°，ｋ∈Ｚ的终边落在( )

A.第一或第三象限

B.第一或第二象限

C.第二或第四象限

D.第三或第四象限

4.第二象限角的集合可表示为.

5.角α的终边落在一、三象限角平分线上，则角α的集合是

6.角α是第二象限角，则180°＋α是第象限角；－α是第象限角；180°－α是第________象限角．

参考答案：1.C 2.C 3.A

4.｛α｜90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°，k∈Z｝

5.｛α｜α＝45°＋k·180°，k∈Z｝

6. 四三一