概率复习测试题(含答案)(DOC)

1. 计算机中心有三台打字机A,B,C ，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为多少？

解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M ，“程序在A,B,C 三台打字机上打字”分别记为事件321,,N N N 。则根据全概率公式有 025.004.01.005.03.001.06.0)|()()(3

1=?+?+?==∑=i i i N M P N P M P ，

根据Bayes 公式，该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为

24.0025.001

.06.0)()|()()|(111=?==

M P N M P N P M N P ，

60.0025.005

.03.0)()|()()|(222=?==

M P N M P N P M N P ，

16.0025

.004

.01.0)()|()()|(333=?==

M P N M P N P M N P 。

2. 用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4，0.6。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes 公式）

解：设“一产品真含有杂质”记为事件A ，“对一产品进行3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事

件B 。则要求的概率为)|(B A P ，根据Bayes 公式可得

)

|()()|()()

|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=

又设“产品被检出含有杂质”记为事件C ，根据题意有4.0)(=A P ，而且8.0)|(=A C P ，9.0)|(=A C P ，所以

384.0)8.01(8.0)|(223=-??=C A B P ；027.09.0)9.01()|(223=?-?=C A B P

故，

9046

.01698

.01536

.0027.06.0384.04.0384.04.0)|()()|()()|()()|(==?+??=+=

A B P A P A B P A P A B P A P B A P 3，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X 表示铃响至结束讲解的时间。设X 的概

率密度为??

?≤≤=他

其100

)(2

x kx x f ， （1）确定k ；（2）求}3

1{≤X P ；（3）

求}2

14

1{≤≤X P ；（4）求}3

2{>X P 。

解：（1）根据3

)(11

02k

dx kx dx x f =

==

??+∞

∞-，得到3=k ； （2）271

313}31{3

3

/10

2=

??? ??==≤?dx x X P ； （3）647

41213}2141{3

3

2

/14/12=

??? ??-??? ??==≤≤?dx x X P ； （4）2719

3213}32{3

1

3

/22=

??? ??-==>?dx x X P 。 4. 设产品的寿命X （以周计）服从瑞利分布，其概率密度为

??

???≥=-他

其00100

)(200

/2x e x x f x

（1） 求寿命不到一周的概率；

（2） 求寿命超过一年的概率；

（3） 已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率。

解：（1）00498.01100}1{200/11

200

/2≈-==<--?

e dx e x X P x ； （2）000001.0100}52{200/270452

200/2≈==

>-+∞

-?e dx e x X P x ； （3）25158.0100100}

20{}

26{}2026{200/27620

200/26

200

/22≈==

>>=

>>-∞

+-+∞

-??e dx e x dx e x X P X P X X P x x 。

5. 设随机变量X 的概率密度为

??

?

??≤≤<<=他其422

008/8/1)(x x x x f

求分布函数)(x F ，并求}31{≤≤x P ，}3|1{≤≥X X P 。

解：（1）442200881881

81

0)()(2042202

0≥<≤<≤

x

442200116/8/02≥<≤<≤

3()

1()3(}3{}31{}3|1{=-=≤≤≤=

≤≥F F F X P X P X X P 。

6, 设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为

?

??>>=+-他其，，0,00),()42(y x Ce y x f y x

试确定常数C ，并求}2{>X P ，}{Y X P >，}1{<+Y X P 。

解：根据

1),(0

,0=??>>y x dxdy y x f ，可得

8

),(10

40

20

)

42(0

,0C dy e dx e

C dy Ce

dx dxdy y x f y x

y x y x =

===

??????+∞

-+∞

-+∞

+-+∞

>>， 所以8=C 。

404220)

42(2

2

428),(}2{-+∞

-+∞

-+∞

+-+∞

>====

>??????e dy e dx e

dy e

dx dxdy y x f X P y x

y x x ；

3

2)1(2428),(}{0

42040

20)

42(0

=

-====

>???????+∞

---+∞

-+-+∞

>dx e e dy e

dx e

dy e

dx dxdy y x f Y X P x x x

y

x

x

y x y

x 2210

410

210

)

42(1

1

)1(428),(}1{-----+-<+-====

<+??????e dy e dx e

dy e

dx dxdy y x f Y X P x

y x

x

y x y x 。

7， 设Y X ,是两个随机变量，它们的联合概率密度为

??

???>>=+-他其，，0

,002),()1(3y x e x y x f y x ，

（1） 求),(Y X 关于X 的边缘概率密度)(x f X ；

（2） 求条件概率密度)|(|x y f X Y ，写出当5.0=x 时的条件概率密度； （3） 求条件概率}5.0|1{=≥X Y P 。

解：（1）??

???>===??+∞-+-∞

+∞-其他,00,2

2),()(02)1(3x e x dy e x dy y x f x f x

y x X 。 （2）当0>x 时，

???>==-其他

,00,)(),()|(|y xe x f y x f x y f xy X X Y 。

特别地，当5.0=x 时

?

??>==-其他,00

,5.0)5.0|(5.0|y e x y f y X Y 。

（3）5.01

5.01

|5.0)5.0|(}5.0|1{-+∞

-+∞

====

=≥??

e dy e dy x y

f X Y P y X Y 。

8，设),(Y X 是二维随机变量，X 的概率密度为

?????<<+=他其，,

02

062)(x x x f X

且当)20(<<=x x X 时Y 的条件概率密度为

?????<<++=其他,

01

0,2/11)|(|y x xy x y f X Y ，

（1） 求),(Y X 联合概率密度； （2） 求),(Y X 关于Y 的边缘概率密度；

（3） 求在y Y =的条件下X 的条件概率密度)|(|y x f Y X 。

解：（1）他

其1

0,200

3

1)|()(),(|<<<

x y f x f y x f X Y X ；

（2）??

???<<+=+==??∞

+∞-其他010)1(3

2

31),()(20y y dx xy dx y x f y f Y ；

（3）当10<

??

??<<++==其他,

020,)1(21)(),()|(|x y xy

y f y x f y x f Y Y X 。 9设随机变量X 具有分布律

求12+=X Y 的分布律,并求DY 与

DX 。 解：根据定义立刻得到分布律为

10（1）设随机变量X 的概率密度为

??

?>=-其他

0)(x e x f x

求X Y =的概率密度。

（2）设随机变量)1,1(~-U X ，求2/)1(+=X Y 的概率密度。 （3）设随机变量)1,0(~N X ，求2X Y =的概率密度。

解：设Y X ,的概率密度分别为)(),(y f x f Y X ，分布函数分别为

)(),(y F x F Y X 。则

（1）当0≤y 时，0}{}{)(=≤=≤=y X P y Y P y F Y ，0)(=y f Y ； 当0>y 时，)(}{}{}{)(22y F y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤=， []2

2)(2)()(2'y X Y Y ye y yf y F y f -===。

所以，0

00

2)(2

≤>????

?=-y y ye y f y

Y 。

（2）此时??

?<<-=其他0

1

12/1)(x x f X 。

因为)12(}12{}2/)1{(}{)(-=-≤=≤+=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y ， 故， []1121,1)12(2)()('<-<-=-==y y f y F y f X Y Y ， 所以，其他1001)(<

?

?=y y f Y 。

（3）当0>y 时，}{}{}{)(2y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤=

1)(2)()(-Φ=-Φ-Φ=y y y ，

故， []2/'2121)

(2)()(y X Y Y e y

y

y f y F y f -=

==π。

所以，其他

0021

)(2/>??

?

??=-y e y

y f y Y π。

11.设随机变量)1,1(~-U X ，随机变量Y 具有概率密度)

1(1

)(2

y y f Y +=

π，+∞<<∞-y ，设X,Y 相互独立，求Y X Z +=的概率密度。

解：因为??

?<<-=其他0

1

12/1)(x x f X ，所以Y X Z +=的概率密度为

[])1arctan()1arctan(21

)

1(21)()()(1

12--+=+=

-=

??

+-+∞

∞

-z z dy y dy y z f y f z f z z X Y Z ππ。 12.随机变量X 和Y 的概率密度分别为

??

?>=-其他0

)(x e x f x X λλ，??

?>=-其他0

)(2y ye y f y Y λλ

0>λ，X,Y 相互独立。求Y X Z +=的概率密度。

解： 根据卷积公式，得

z z

z

X Y Z e z dy ye

dy y z f y f z f λλλλ--+∞

∞

-=

=-=

??23

32

)()()(，0>z 。

所以Y X Z +=的概率密度为

?????>=-其他0

02)(23z e z y f z

Y λλ。

13，设随机变量X,Y 都在(0,1)上服从均匀分布，且X,Y 相互独立，求Y X Z +=的概率密度。

解：因为X,Y 都在(0,1)上服从均匀分布，所以

??

?<<=其他0

1

01)(x x f X ，??

?<<=其他0

1

01)(x y f Y

根据卷积公式，得

dy y z f y f z f X Y Z )()()(-=?+∞∞-????

????????

??<≤<≤-=<≤≥=??-其他

其他,010,21,2,

010,11,

101

1z z z z z dy z dy z z 。

14，设随机变量X 和Y 的联合分布律为 （1） 求),max(Y X U =的分布律。 （2） 求),min(Y X V =的分布律。 （3） 求Y X W +=的分布律。

解：（1）),max(Y X U =的分布律为

3,2,1,0},,{},{}),{max(}{=<=+≤=====k k X k Y P k Y k X P k Y X P k U P

如，}2,2{}2,2{}2{<=+≤===X Y P Y X P U P

120/2940/124/1020/18/1=++++=，

其余类似。结果写成表格形式为

（2）),min(Y X V =的分布律为