人教版初三数学下册旗杆的测量

测量旗杆的高度

教学目标

1、通过测量和计算旗杆的高度的活动，实践并巩固三角形相似的判定条件和性质，培养学数学、用数学的意识和能力。

2、通过解决问题的过程，提高学生综合运用知识的能力，使学生初步学会数学建模的方法。

3、在分组合作活动以及全班交流的过程中，使学生学会相互协作，进一步积累数学活动经验和成功的体验，增强学习数学的自信心。

教学重难点：

教学重点：综合运用相似三角形的有关知识解决实际问题。

教学难点：学会如何在实际问题中构造相似三角形。

一、教学准确阶段。

本节课的主要任务是以小组为单位测量学校旗杆的高度，培养学生学数学的兴趣和用数学的意识。这就需要明确测量方法。

（1）活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆（或路灯杆）的高度。

（2）活动方式：分组活动、全班交流研讨。

（3）学生准备：有关用具（小镜子、标杆、皮尺、三角板、计算器等）；预习课本；通过咨询家长、老师或上网、查阅资料等方式获得书本以外的测量方法。

（4）教师准备：由于课内需要可将学生提前分组（确定好观测者，提前量好观测者的身高以及观测者的眼睛离地面的高度等）。

二、教学活动过程。

方法1：利用阳光下的影子（原理：这是直接运

用相似三角形的方法）。

具体操作：同学们以小组为单位部分使用道具演示

他们的做法，讲解如何构造相似三角形，教师在一

旁进行引导。另外组内学生代表到黑板上讲解：根

据△ABE ∽△CDB ，列出比例式BD BE CD AB =,可得BE

BD AB CD ⋅=,指出需要测量的数据有：直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长。代入测量数据即可求出CD 的高度。

讨论：1.观测者是否一定站在旗杆影子顶部？

2.测量中产生误差的因素有哪些？

小组讨论总结：我们把这种利用影子测量的方法称为用影子测量物高的方法。人是不是一定要站在旗杆影子顶端的地方?学生会提出，可以站在影子的内部或者外部两种情况，并且进行在黑板上进行讲解，老师做点评。最后引导同学们总结利用影子长计算物高的规律：

（注意问题：在说明两个直角三角形相似的理由时，要用到“太阳光是平行光线”的知识。对此，教师可以向学生做些解释。事实上，由于太阳离我们非常遥远，而且太阳的体积比地球大得多，因此可以把太阳光近似地看成平行光线。另外在计算时还要用到站立者的身高。）

（需测量的数据——观测者的身高、观测者的影长、同一时刻旗杆的影长。） 影子的方法大家都分析得很精彩，但是这种测量方法有没有局限性呢？有学生说，可能会没有太阳光线，就无法测量。也有学生说晚上可以利用电灯制造影子完成，教师都给予肯定。但这种方法还是存在一定的局限性，因此我们能否用其他方法测量呢？学生会说有，并以小组为单位演示他们的方法。

方法2：利用标杆（原理：这是间接运用相似三角形的方法。）

具体操作：每个小组选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立

一根高度适当的标杆。观测者适当调整自己所处的

位置，当旗杆的顶部、标杆的顶端、观测者的眼睛

恰好在一条直线上时，其他同学立即测出观测者的

脚到旗杆底部的距离以及观测者的脚到标杆底部

的距离，然后测出标杆的高。

学生演示他们的做法，讲解如何构造相似三角

形。另外的学生代表会在黑板上指出当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条

直线上时，因为人所在直线AB 与标杆、旗杆都平行，过眼睛所在点A 做旗杆CD 的垂线交旗杆CD 于N ，交标杆EF 于M ，学生会根据△AME ∽△ANC ，列出比例式CN ME AN AM =,可得AM

ME AN CN ⋅=。因此会得出需要测量的数据有：他的脚与旗杆底部、他的脚与标杆底部的距离以及标杆的长度，即可求出旗杆的高度。

讨论：测量中产生误差的因素有哪些？

（注意问题：使用这种方法时，观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直。另外计算时还要用到观测者的眼睛离地面的距离。）

（需测量的数据——观测者的脚到旗杆底部的距离、观测者的脚到标杆底部的距离、标杆的高等，知道观测者的眼睛离地面的高度。）

方法3：利用镜子的反射（原理：这是直接运用相似三角形的方法）。 具体操作：每个小组选一名同学作为观测者，在观

测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上

做一个标记。观测者看着镜子来回移动，直至看到

旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合。测量

所需的数据，根据所测的结果你能求出旗杆的高度

吗？说明你的理由。学生演示此方法，利用镜面反

射原理，构造相似三角形即△ABE ∽△CDE 。学生代表会根据△ABE ∽△CDE ，列出比例式ED BE CD AB =,可得BE

DE AE CD ⋅=,从而得出需要测量的数据有：他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度。然后引导学生如何根据数据及相似三角形的知识求解。代入测量数据即可求出CD 的长度。

讨论：测量中产生误差的因素有哪些？

（注意问题：在说明两个直角三角形相似的理由时，要用到光线的“入射角等于反射角”的知识，这是物理学中“反射定律”的知识，若有必要，可向学生作些解释和说明。）

（需测量的数据——观测者到镜子的距离、镜子到旗杆底部的距离、观测者的身高。）

其他：鼓励学生以小组为单位利用相似的知识研讨新的测量方法。

第二阶段：根据第一阶段的研究，到户外分组实际测量。每组学生分工如下：一名观测者，两名测量者，一名扶标杆和移动小镜子者，一名记录者。每组至少分别采用三种方法进行测量（如果学生有其他的测量方法，可以实地测量）。全部测量完后，利用计算器分别计算出旗杆的高度，检查数据是否一样。分析讨论并比较这几种方案的优劣，形成优化意识。

集体交流讨论：上述几种测量方法各有哪些优缺点？

１．第一种方法：测量数据较少，结果较准确；但需要有阳光且要有影子．２．第二种方法：不依靠影子，结果准确；但测量数据较多．

３．第三种方法：测量数据较少，不依靠影子；但镜子角度有一点误差，结果就会误差很大。

新的测量方法：

1.用照相机

因为照相机的原理就是把物体按照一定比例缩小，所以可以先照下一位同学，根据他的身高求出相似比，再测量照完照片之后照片上的旗杆高度，根据相似比求出。注意，这里牵扯到视角问题，照相机不同的视角相似比是不同的，所以被测量的这个同学要和旗杆底部重合。

2.锐角三角函数

把一个激光笔固定在三角板的斜边上，三角板放在水平地面上（直角边挨着地面），打开激光笔照射旗杆顶端，因为教学用的三角板角度是30度或者45度（比较好计算），然后测出这个人到旗杆底部的距离，根据锐角三角函数，求出旗杆高度。如是45度，利用等腰直角三角形，两腰相等，直接旗杆底部倒测量者的长度即旗杆的高度。

学生交流进一步拓展我们可以测量山的高度，高楼的高度河的宽度等。

三、总结提高，分组实践

1、总结运用相似三角形知识解决实际问题时的解决方法：

①将实际问题转化为相似三角形问题；

②构造出一对相似三角形；

③根据相似三角形性质，建立比例式，求出相应的量。

［反思］

本堂课极大地调动了学生探索与思考的积极性，学生经历了把实际问题抽象成数学模型，利用数学知识解决问题，而且能把数学与其他学科（物理）联系，培养了学生分析问题、解决问题的能力，从而树立起数学意识.在部分学生的脑海里，数学始终是抽象的、乏味的，对数学知识在实际生活中的应用感到茫然.在这节课上，学生体会到数学知识的发生、发展与应用过程，体验到用数学知识解决实际问题的快乐，真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验.教学中我们应该转变观念，留给学生思考的时间与空间，真正的解放学生的双手和大脑，充分注重学生的实践.倡导自主探索的学习方式，让学生的能力在实践中提升，让学生的理解能力在分析各种条件中形成.正如新课标所提倡的：“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面取得进步和发展”.