平行四边形综合练习题
平行四边形综合练习题
1.如果ABCD的周长为28cm,且AB:BC=2∶5,那么AB= cm,BC= cm,
2.在ABCD中,∠A=?
50,则∠B= 度,∠C= 度,∠D= 度.
3.在ABCD中,AC与BD交于点O,△AOB的面积是8,则ABCD的面积是_______.
4. 在ABCD中,AB=4,BC=8,∠A=1?
50,则ABCD的面积是_______.
5.
ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,且AE=6,AF=8,则BC:CD=_________.
A D
6.在ABCD中AC⊥AB,AC=6,BD=10,则则ABCD的面积是_______.
7.ABCD中,一个角的平分线把一边分成长分别是4和5的两条线段, B C
则ABCD的周长是______
8.两个全等的不等边三角形按不同方法拼成平行四边形,最多能拼出__________个.
9.以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形,最多能作_________个. A B
10.顺次连结任意四边形各边中点,所得到的四边形是__________.
11.平行四边形一组邻角的平分线所成的角是________度. C D
12.ABCD中,对角线AC与BD交于点O,则图中共有______对全等三角形A
13.D、E、F分别是△ABC中边AB、BC、AC的中点,图中共有_____个
平行四边形,若△DEF的周长为10,则△ABC的周长为_________,若△DEF D F
的面积为15,则△ABC的面积为________.
14.四边形两条对角线的长分别是10和12,顺次连结各边中点所 B E C
得的四边形周长为_________.
15.已知等腰△ABC的腰AB长为9,过底边上一点P作两腰的平 10 ?
行线分别交AB于M,交AC于N,则AM+PM=_________. 14 35
16.农业技术术员在一块平行四边形的试验田里种植四种不同的农作物,
现需将该试验田划成四个平行四边形地块,已知其中三块田的面积分别为14,10,35平方米,则第四块地的面积为_______.
17.从平行四边形的一个锐角的顶点做两条高线,如果这两条高线的夹角是135°,这个平行四边形的锐角的度数是.
18.如图,ABCD中,AE⊥BD,∠EAD=60°,AE=2cm,AC+BD=14cm,则△OBC的周长是____ ___cm.
二.选择题
1.在ABCD中,∠A:∠B:∠C:∠D的值可以是( )
A 1:2:3:4
B 3:4:4:3
C 3:3:4:4
D 3:4:3:4
2.以给定的条件中,能画出平行四边形的是()
A 以60cm为一条对角线,20cm,34cm为两条邻边
B 以6 cm ,10cm 为对角线,8cm为一边
C 以20cm,36cm为对角线,22cm为一边
D 以6cm为一对角线,3cm,10cm为两边
3.判定一个四边形是平行四边形的条件正确的是()
A 一组对边平行,另一组对边相等
B 一组对角相等,一组对边相等
C 一条对角线平分另一条对角线,一组对边相等
D 一条对角线平分另一条对角线
E 一组对边平行,一组对角相等。
4.四边形ABCD中,∠B=∠D=120°,若∠A=∠C,AB=BC=4cm,那么四边形ABCD的面积是_____.
A 4
B 3
2 C 5
2 D 以上都不对
5.下列图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( )
(A)平行四边形 (B)等边三角形 (C)矩形 (D)等腰梯形
6.A、B、C、D在同一平面内,从(1)A B∥CD(2)AB=CD(3)B C∥AD(4)BC=AD这四个条件中任意选两能使四边形ABCD是平行四边形的选法有()
A 3种
B 4种
C 5种
D 6种
7.在平面直角坐标系中,以点A(0,0)、B(0,-5)、C(-2,-2)为平行四边形的三顶点,则第四顶点不可能在()
A 第一象限
B 第二象限
C 第三象限
D 第四象限
8.在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若AC=6,BD=8则AB的取值范围为()
A 、1 B 、2 C 、6 D 、3 ABCD 中,E,F 分别是边BC,CD 的中点,则图中与△ABE 面积相等的三角形的个数为( ) A 1 B 2 C 3 D 4 A D 10.在平面直角坐标系中, ABCD 的顶点A ,B ,D 的坐标 分别是(0,0)(5,0)(2,3),则顶点C 的坐标是( ) F A (5,0)B (5,3)C (7,3)D (8,2) B E C 11. □ABCD 中过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ,GH ∥AB ,图中面积相等的平行四边形有( )对。 A 1 B 2 C 3 D 4 A H D E P F B G C 三.解答题 1.如图,在 ABCD 中,O 是对角线AC 和BD 的交点,过点O 的任意一条直线交AD 于E 交BC 于F 。 求证:OE =OF . 2.如图,在□ABCD 中中,点E 是AD 的中点,BE 的延长线与CD 的延长线相交于点F (1)求证:△ABE ≌△DFE ; (2)试连结BD 、AF ,判断四边形ABDF 的形状,并证明你的结论. 3、如图AD 是⊿ABC 的中线,EF 为⊿ABC 的中位线, A 求证:EF 和AD 互相平分 E F B D C 4.已知 ABCD 中E 为DA 延长线上一点,AE=AD ,连结EC 交AB 于F ,求证:AF=FB E A F B D C 5.已知平行四边形ABCD 中,对角线AC 和BD 相交于点O ,过点M ,N 分别作AC 的垂线,垂足分别为M ,N ,求证:BM=DN A B F C D E O B N Q D C A P M 6.已知四边形ABCD 和四边形CDEF 都是平行四边形,求证:四边形AEFB 是平行四边形 A B C D E F 7.如图,在平形四边形ABCD 中,点E 、F 在对角线AC 上,且AE=CF, 求证:四边形EDBF 是平行四边形 8.如图所示,已知□ABCD 中,AC 的平行线MN 分别交DA ,DC 的延长线于M ,N ,交AB ,BC 于P ,Q ,求证:QM=NP . 9. 平行四边形ABCD 中,E 、F 分别在AD 、BC 上,AE=CF ,AF 与BE 交于点G ,CE 与DF 交于点H ,求证:EF 与GH 互相平分。 10. △ABC 中,BD 平分∠ABC ,D E ∥BC ,EF ∥AC ,求证:BE=CF A E D C 11.已知E 为平行四边形ABCD 中CD 边的延长线上的一点,且CE=DC ,连结AE ,分别交BC ,BD 于F ,G 点,连结AC 交BD 于O ,连结OF ,求证:AB=2OF A D O B F C E 12.□ABCD 中,E 、F 是对角线BD 上的两点,BE =DF ,点G 、H 分别在BA 和DC 的延长线上,且AG =CH ,连接GE 、EH 、HF 、FG . 求证:四边形GEHF 是平行四边形. 13.CD 为Rt △ABC 斜边AB 上的高,AE 平分∠BAC 交CD 于E ,EF ∥AB 交BC 于点F 。 求证:CE=BF C E F A D B 14.P 是□ABCD 内一点(1)求证:S △PAB +S △PBC = S △PCD +S △P AB (2)如图,当点P 在□ABCD 外部时,四者之间又存在什么关系?说明理由? A D P B C P A B C 16.四边形ABCD 中,E 、F 分别是AD ,BC 的中点,AB 与CD 不平行,求证2EF A E D B F C 17、已知:如图,,ABE EBC AE BF ∠=∠⊥,F 是BC 的中点。 求证:1 ()2 EF BC AB = - 第12题 图 F E C B A 平行四边形典型例题 1 如图,□ABCD的对角线AC、BD 相交于点O,则图中全等三角形有() A .2 对 B .3对 C .4 对 D .5对 17如图,□ABCD中,∠ B、∠ C的平分线交于点O ,BO 和CD 的延长线交于求证:BO=OE. 例3】如图,在ABCD中,AE⊥ BC于E ,AF⊥DC 于F ,∠ ADC=60°,BE=2,CF=1, 求△ DEC 的面积. 解】在中,,、 在Rt △ABE 中,, 在△ 中, 例 4】已知:如图, D 是等腰△ ABC 的底边 BC 上一点, DE//AC , DF//AB 求证: DE+DF=A .B , ,从而可以利用平行四边形的定义和性质,等腰 三角 形的判定和性质来证. 解】∵ , ∴四边形 是平行四边形. ∴. ∵ ,∴ . ∵ ,∴ 说明:证明一条线段等于另外两条线段的和常采用的方法是: 分为两段,证明这两段分别等于另两条线段. 于 ,求证: 分析】 分析】由于 把三条线段中较长的线段 例 5】如图, 已知: 中, 相交于 点, 于 , 解】因为四边形是平行四边形,所以,又因为、交于点, 所以. 又因为, 所以 从而例6】已知:如图,AB//DC ,AC、BD交于O,且 AC=BD。 求证:OD=OC. 证明:过B 作交DC延长线于E,则 于是△≌△ ∵ ,, E ∵, ∴∴ 说明:本题条件中有“夹在两条平行线之间的相等且相交的线 段 时用不上,为此通过作平行线,由“夹在两条平行线间的平行线B BE ,得到等腰△ BDE ,使问题得解. 例 7】如图, □ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD 、BC 分别交于 E 、F , 例 8】如图所示, □ABCD 中,各内角的平分线分别相交于点 E 、 F 、 G 、 H , 证明:四边形 EFGH 是矩形。 例 9】如图所示,已知矩形 ABCD 的对角线 AC 、BD 交于点 O ,过顶点 C ,作 BD 的垂线与∠ BAD 的平分线相交于点 E ,交 BD 于 G ,证明: AC=CE 。 求证:四边形 AFCE 是菱形. 解:略。 置交错而 A 由 AC 平移到 E 中心对称与平行四边形的判定 知识归纳 1.中心对称图形的定义:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与 原图形重合,那么就说这个图形是中心对称图形,这个点就是它的对称中心. 分析:一个图形;围绕一点旋转1800;重合. 2.思考:中心对称与中心对称图形有什么区别和联系? 1)区别: 中心对称是指两个全等图形之间的位置关系,成中心对称的两个图形中,其中一个图形上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上,反之,另一个图形上所有点关于对称中心的对称点都在这;而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称,中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上. 2)联系: 如果将中心对称的两个图形看成一个整体(一个图形),那么这个图形就是中心对称图形;一个中心对称图形也可以看成是关于中心对称的两个图形. 3.中心对称图性质 1)中心对称图形的对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分. 2)中心对称图形的两个部分是全等的. 注:常见的中心对称图形有:矩形,菱形,正方形,平行四边形,圆,边数为偶数的正多边形,某些规则图形等. 正偶边形是中心对称图形 正奇边形不是中心对称图形如:正三角形不是中心对称图形、等腰梯形不是中心对称图形 4.平行四边形的性质: ①平行四边形两组对边相等。 ②平行四边形两组对角相等。 ③平行四边形对角线互分平分。 5.平行四边形判定: 定理1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 定理2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 定理3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。 定理4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 6.三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。 7.逆定理1:在三角形内,与三角形的两边相交,平行且等于三角形第三边一半的线段是 三角形的中位线。 逆定理2:在三角形内,经过三角形一边的中点,且与另一边平行的线段,是三角形的中位线。 一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A,B的坐标分别为(4,0),(4,3),动点M,N分别从O,B同时出发.以每秒1个单位的速度运动.其中,点M 沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动.过点M作MP⊥OA,交AC于P,连接NP,已知动点运动了x秒. (1)P点的坐标为多少(用含x的代数式表示); (2)试求△NPC面积S的表达式,并求出面积S的最大值及相应的x值; (3)当x为何值时,△NPC是一个等腰三角形?简要说明理由. 【答案】(1)P点坐标为(x,3﹣x). (2)S的最大值为,此时x=2. (3)x=,或x=,或x=. 【解析】 试题分析:(1)求P点的坐标,也就是求OM和PM的长,已知了OM的长为x,关键是求出PM的长,方法不唯一,①可通过PM∥OC得出的对应成比例线段来求; ②也可延长MP交BC于Q,先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和∠ACB的正切值求出PQ的长,然后根据PM=AB﹣PQ来求出PM的长.得出OM和PM的长,即可求出P点的坐标. (2)可按(1)②中的方法经求出PQ的长,而CN的长可根据CN=BC﹣BN来求得,因此根据三角形的面积计算公式即可得出S,x的函数关系式. (3)本题要分类讨论: ①当CP=CN时,可在直角三角形CPQ中,用CQ的长即x和∠ABC的余弦值求出CP的表达式,然后联立CN的表达式即可求出x的值; ②当CP=PN时,那么CQ=QN,先在直角三角形CPQ中求出CQ的长,然后根据QN=CN﹣CQ求出QN的表达式,根据题设的等量条件即可得出x的值. ③当CN=PN时,先求出QP和QN的长,然后在直角三角形PNQ中,用勾股定理求出PN 的长,联立CN的表达式即可求出x的值. 试题解析:(1)过点P作PQ⊥BC于点Q, 有题意可得:PQ∥AB, 第十八章《平行四边形》检测题 考试时间:120分钟 满分:120分 一.选择题(每小题3分,共30分) 1.已知四边形ABCD 是平行四边形,下列结论中,错误的是( ) A. AB=CD B. AC=BD C.当A C ⊥BD 时,它是菱形 D.当∠ABC=90°时,它是矩形 2.如图所示,用两个完全相同的直角三角板,不能拼成下列图形的是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.等腰三角形 D.梯形 3.如图,在平行四边形ABCD 中,AB=3㎝,BC=5㎝,对角线AC,BD 相交于点O,则OA 的取值范围是( ) A.2㎝<OA <5㎝ B. 2㎝<OA <8㎝ C. 1㎝<OA <4㎝ D. 3㎝<OA <8㎝ 4.四边形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O,给出下列四个条件:①AD ∥BC ②AD=BC ③OA=OC ④OB=OD.从中任选两个条件,能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有( ) A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 5.如图,在平行四边形ABCD 中,AB=4,∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ,与DC 交于点F ,且点F 为边DC 的中点,DG ⊥AE ,垂足为G,若DG=1,则AE 的长为( ) A.32 B.34 C.4 D.8 6.一个正方形的对角线长为2㎝,则它的面积是( ) A.2cm 2 B.4cm 2 C.6cm 2 D.8cm 2 7.矩形各内角平分线围成的四边形是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 8.将一张矩形对折(如图),然后沿着图中的虚线剪下,得到①②两部分,将①展开后得到的平面图形是( ) A.三角形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 9.如图,P,R 分别是长方形ABCD 的边BC,CD 上的点,E,F 分别是PA,PR 的中点,点P 在BC 上从B 向C 移动,点R 不动,那么下列结论成立的是( ) A.线段EF 逐渐增大 B.线段EF 逐渐减小 C. 线段EF 的长不变 D.无法确定 10.如图,把矩形ABCD 沿EF 翻折, B 恰好落 在AD 边的B ′处,若 AE=2,DE=6,∠ EFB=60°,则矩形ABCD 的面积是( ) A.12 B.24 C.123 D. 163 二.填空题(每小题3分,共24分) 11.如果四边形ABCD 是一个平行四边形,那么再加上条件 就可以变成矩形。(只需填一个条件) 12.矩形的两邻边长分别为3㎝和6㎝,则顺次连接各边中点,所得四边形的面积是 13.如图所示,其中阴影部分(即ABCD )的面积 是 。 第2题图 图1 A B 初二数学平行四边形专题练习 1.如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等,那么这个正方形的边长为______cm . 2.(08贵阳市)如图1,正方形ABCD 的边长为4cm ,则图中阴影部分的面积为 cm 2 . 3.若四边形ABCD 是平行四边形,请补充条件 (写一个即可),使四边形ABCD 是菱形. 4.在平行四边形ABCD 中,已知对角线AC 和BD 相交于点O ,△ABO 的周长为17,AB =6,那么对角线AC +BD = ⒎以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE ,则∠AED 的度数为 . 5.已知菱形ABCD 的边长为6,∠A =60°,如果点P 是菱形内一点,且PB =PD =2那么AP 的长为 . 6.在平面直角坐标系中,点A 、B 、C 的坐标分别是A(-2,5), B(-3,-1),C(1,-1),在第一象限内找一点D ,使四边形 ABCD 是平行四边形,那么点D 的坐标是 . 二、选择题(每题3分,共30分) 7.如图2在平行四边形ABCD 中,∠B=110°,延长AD 至F ,延长CD 至E ,连结EF ,则∠E +∠F =( ) A .110° B .30° C .50° D .70° 图2 图3 图4 8.菱形具有而矩形不具有的性质是 ( ) A .对角相等 B .四边相等 C .对角线互相平分 D .四角相等 9.如图3所示,平行四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,点E 是BC 的中点.若OE=3 cm ,则AB 的长为 ( ) A .3 cm B .6 cm C .9 cm D .12 cm 10.已知:如图4,在矩形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别为边 AB 、BC 、CD 、DA 的中点.若AB =2,AD =4, E A F D C B H G 平行四边形 一、 基础知识平行四边形 二、1、三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三遍的一半。 2、由矩形的性质得到直角三角形的一个性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 三、例题 例1、如图1,平行四边形ABCD 中,AE ⊥BD ,CF ⊥BD ,垂足分别为E 、F. 求证:∠BAE =∠DCF. 例2、如图2,矩形ABCD 中,AC 与BD 交于O 点,BE ⊥AC 于E ,CF ⊥BD 于F. 求证:BE = CF. 例3、已知:如图3,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB = DC ,点E 、F 分别在AB 、CD 上,且BE = 2EA , CF = 2FD. 求证:∠BEC =∠CFB. (图1) B O A B C D E F (图2) 例4、如图6,E 、F 分别是 ABCD 的AD 、BC 边上的点,且AE = CF. (1 △ ABE ≌△CDF ; (2)若 、N 分别是BE 、DF 的中点,连结MF 、EN ,试判断四边形MFNE 是怎样的四 边形,并证明你的结论. 例5、如图7 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ,BC 分别相交于点E ,F.,求证:四边形AFCE 是菱形. 例6、如图8,四边形ABCD 是平行四边形,O 是它的中心,E 、F 是对角线AC 上的点. (1)如果 ,则△DEC ≌△BFA (请你填上一个能使结论成立的一个条件); (2)证明你的结论. 例7、如图9,已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB = DC ,对角线AC 和BD 相交于点O ,E 是BC 边上一个动点(点E 不与B 、C 两点重合),EF ∥BD 交AC 于点F ,EG ∥AC 交BD 于点C. (1)求证:四边形EFOG 的周长等于2OB ; (2)请你将上述题目的条件“梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB = DC”改为另一种四边形,其他条件不变,使得结论,“四边形EFOG 的周长等于2OB”仍成立,并将改编后的题目画出图形,写出已知、求证、不必证明. 例8、有一块梯形形状的土地,现要平均分给两个农户种植(即将梯形的面积两等分),试设计两种方案(平分方案画在备用图13(1)、(2)上),并给予合理的解释. A D B C E F (图6) M N 备用图(1) 备用图(2) B C B 一对一个性化辅导教案 平行四边形的性质与判定 平行四边形及其性质(一) 一、 教学目标: 1. 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质. 2. 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题,并会进行有关的论证. 3. 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力. 二、 重点、难点 1. 重点:平行四边形的定义,平行四边形对角、对边相等的性质,以及性质的应用. 2. 难点:运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算. 三、 课堂引入 1.我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链,想一想它们是什么几何图形的形象 平行四边形是我们常见的图形,你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗 你能总结出平行四边形的定义吗 (1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形. (2)表示:平行四边形用符号“ ”来表示. 如图,在四边形ABCD 中,AB∥DC,AD∥BC,那么四边形ABCD 是平行四边形.平行四边形ABCD 记作“ ABCD”,读作“平行四边形ABCD”. ①∵AB ?50?360?360?180行 四边形的面积计算 六、随堂练习 1.在平行四边形中,周长等于48, ① 已知一边长12,求各边的长 ② 已知AB=2BC ,求各边的长 ③ 已知对角线AC 、BD 交于点O ,△AOD 与△AOB 的周长的差是10,求各边的长 2.如图,ABCD 中,AE⊥BD,∠EAD=60°,AE=2cm ,AC+BD=14cm ,则△OBC 的周长是____ ___cm . 3.ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5,cm 7的两条线段,则ABCD 的周长是__ ___cm . 七、课后练习 1.判断对错 (1)在ABCD 中,AC 交BD 于O ,则AO=OB=OC=OD . ( ) (2)平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等. ( ) (3)平行四边形的两组对边分别平行且相等. ( ) (4)平行四边形是轴对称图形. ( ) 2.在 ABCD 中,AC =6、BD =4,则AB 的范围是_ ____ __. 3.在平行四边形ABCD 中,已知AB 、BC 、CD 三条边的长度分别为(x+3),(x-4)和16,则这个四边形的周长是 . 4.公园有一片绿地,它的形状是平行四边形,绿地上要修几条笔直的小路,如图,AB =15cm ,AD =12cm ,AC ⊥BC ,求小路BC ,CD ,OC 的长,并算出绿地的面积. (一) 平行四边形的判定 一、教学目标: 1.在探索平行四边形的判别条件中,理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法. 2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题. 3.培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题. 二、重点、难点 重点:平行四边形的判定方法及应用. 难点:平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用. 四、课堂引入 1.欣赏图片、提出问题. 展示图片,提出问题,在刚才演示的图片中,有哪些是平行四边形你是怎样判断的 2.【探究】:小明的父亲手中有一些木条,他想通过适当的测量、割剪,钉制一个平行四边形框架,你能帮他想出一些办法来吗 (一)平行四边形的判定 一、教学目的: 1.在探索平行四边形的判别条件中,理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法. 2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题. 3.培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题. 二、重点、难点 1.重点:平行四边形的判定方法及应用. 2.难点:平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用. 平行四边形的判定方法 平行四边形判定方法1(与边相关) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 平行四边形判定方法2 (与边相关) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 平行四边形判定方法3 (与边相关) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定方法4 (与角相关) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定方法5 (与对角线相关) 对角线互相平分的四边形是平行四边形。三、练习题 1.如图,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点O, (1)若AD=8cm,AB=4cm,那么当BC=___ _cm,CD=___ _cm时,四边形ABCD 为平行四边形; (2)若AC=10cm,BD=8cm,那么当AO=__ _cm,DO=__ _cm时,四边形ABCD为平行四边形. (3).(选择)下列条件中能判断四边形是平行四边形的是(). (A)对角线互相垂直(B)对角线相等 (C)对角线互相垂直且相等(D)对角线互相平分 2.判断题: (1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形; ( ) (2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形; ( ) (3)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形; ( ) (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; ( ) (5)对角线相等的四边形是平行四边形; ( ) (6)对角线互相平分的四边形是平行四边形. ( ) 3.(选择)在下列给出的条件中,能判定四边形ABCD为平行四边形的是(). (A)AB∥CD,AD=BC (B)∠A=∠B,∠C=∠D (C)AB=CD,AD=BC (D)AB=AD,CB=CD 2020-2021 中考数学平行四边形-经典压轴题及答案 、平行四边形 运动. 2)如图2,当b>2a时,点M 在运动的过程中,是否存在∠BMC=9°0 ,若存在,请给与证明;若不存在,请说明理由; 3)如图3,当b<2a时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.答案】(1)见解析; 2)存在,理由见解析; 3)不成立.理由如下见解析 解析】试题分析:(1)由b=2a,点M 是AD 的中点,可得AB=AM=MD=DC=a,又由四边形ABCD 是矩形,即可求得∠AMB=∠ DMC=4°5 ,则可求得∠BMC=9°0 ;(2)由∠BMC=9°0,易证得△ABM∽△DMC,设AM=x,根据相似三角形的对应边成比例,即可得方程:x2﹣ bx+a2=0,由b>2a,a>0,b>0,即可判定△> 0,即可确定方程有两个不相等的实数根,且两根均大于零,符合题意; (3)由(2),当b<2a,a>0,b>0,判定方程x2﹣bx+a2=0 的根的情况,即可求得答案. 试题解析:(1)∵b=2a,点M 是AD 的中点,∴AB=AM=MD=DC=a, 又∵在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,∴∠ AMB=∠ DMC=45 °,∴∠ BMC=90 °. (2)存在,理由:若∠BMC=9°0 ,则∠ AMB+∠ DMC=9°0 ,又∵ ∠AMB+∠ABM=9°0 ,∴∠ ABM=∠ DMC,又∵ ∠A=∠D=90°,∴△ ABM∽△DMC,AM AB ∴CD DM , x 设AM=x ,则 a a bx 1.已知,在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,动点M 从点 A 出发沿边AD向点D 1)如图1,当b=2a,点M 运动到边AD 的中点时,请证明 ∠BMC=9°0 ; 挑战自我: 1、 (2010年眉山市).如图,每个小正方形的边长为1,A 、B 、C 是小正方形的顶点,则∠ ABC 的度数为( ) A .90° B .60° C .45° D .30° 2、(2010福建龙岩中考)下列图形中,单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是( ) A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 3.(2010年北京顺义)若一个正多边形的一个内角是120°,则这个正多边形的边数是( ) A .9 B .8 C .6 D .4 4、(2010年福建福州中考)如图4,在□ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,若AC=14,BD=8,AB=10,则△OAB 的周长为 。 5、(2010年宁德市)如图,在□ABCD 中,AE =EB ,AF =2,则FC 等于_____. 6题 6、 (2010年滨州)如图,平行四边形ABCD 中, ∠ABC=60°,E 、F 分别在CD 、BC 的延长线上,AE ∥BD,EF ⊥BC,DF=2,则EF 的长为 7、 (2010年福建晋江)如图,请在下列四个关系中,选出两个恰当....的关系作为条件,推出四边形是平行四边形,并予以证明.(写出一种即可)关系:①∥,②,③,④. 已知:在四边形中, , ;求证:四边形是平行四边形. 8、(2010年宁波市)如图1,有一张菱形纸片ABCD ,8=AC ,6=BD 。 (1)请沿着AC 剪一刀,把它分成两部分,把剪开的两部分拼成一个平行四 边形,在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD 剪开, F E D C B A ABCD AD BC CD AB =C A ∠=∠?=∠+∠180C B ABCD ABCD D A B C A B C D 第5题图 F A E B C D 平行四边形综合题型分类 概念回顾: 1.平行四边形 (1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.定义中的“两组对边平行”是它的特征,抓住了这一特征,记忆理解也就不困难了.平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性,它既是平行四边形的一条性质,又是一个判定方法.同学们要在理解的基础上熟记定义. (2)表示方法:用“口”表示平行四边形,例如:平行四边形ABCD记作口ABCD,读作“平行四边形ABCD”. 2.平行四边形性质:平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角对称性四个方面的特征进行(1)角:平行四边形的邻角互补,对角相等; (2)边:平行四边形两组对边分别平行且相等; (3)对角线:平行四边形的对角线互相平分; (4)对称性:平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心; (5)面积:①S=底×高=ah;②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形. 3.平行四边形的判定(1)平行四边形的判别方法: ①定义:两组对边分别平行的四边形②方法1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ③方法2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3:对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4:一组平行且相等的四边形是平行四边形 (2)平行四边形的判别方法的选择: AP ,那么平行四边形ABCD CD上的一点,DE:EC=2:3,连接 =___________________ . 、如图, ,则图中的阴影部分两个三角形的面积和为、如图,在ABCD ABCD ABCD ABCD CE=CF,点P是射线GC 是 ABCD 第8题图 F D ’ D C B A 平行四边形 一、填空. 1、用硬纸片剪一个长为16cm ,宽为12cm 的长方形,再沿对角线把它分成两个三角形,用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形,其中周长最大的是________cm ,周长最小的是________cm ; 2、如图,在矩形ABCD 中,已知AD=12,AB=5,P 是AD 边上任意一点,PE ⊥BD 于点E ,PF ⊥AC 于点F ,那么PE+PF=_____________; 3、如图,□ABCD 的对角线相交于点O ,且AD≠CD ,过点O 作OM ⊥AC ,交AD 于点M ,若△CDM 周长为a ,则□ABCD 的周长为_________; 4、如图,已知矩形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,AE ⊥BD 于点E ,若∠DAE :∠BAE=3:1,则∠EAC=_____; 5、如图,以△ABC 的三边在BC 的同一侧,分别作三个等边三角形,即△ABD 、△BCE 、△ACF. (1)四边形ADEF 是_________ (2)当△ABC 满足条件________________时,四边形ADEF 为矩形. (3)当△ABC 满足条件________________时,四边形ADEF 不存在; 6、如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,△AOB 的周长为33+,∠ABC=60o ,则菱形ABCD 的面积为__________; 7、已知一个三角形的一边长为2,这边上的中线为1,另外两边之和为31+, 则这两边之积为_______; 8、如图,矩形ABCD 中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC 折叠,点D 落在点E 处, 则重叠部分△AFC 的面积为____________; 二、选择题 9、四边形的四条边长分别是a 、b 、c 、d ,其中a 、c 为对边,且满足a 2+b 2+c 2+d 2=2ab +2cd ,则这个四边形一定是( ) C B A C B A 12cm O 16cm E F P 第2题图 M O D 第1题图 第3题图 D B A O E D C A B O C B A F E D C 第6题图 第5题图 第4题图 D 平行四边形典型例题 【例1】如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则图中全等三角形有() A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 【分析】由平行四边形的对边平行、对角线互相平分,可得全等三角形有:△ABD和△CDE, △ADC和△CBA ,△AOD 和△BOC 、△AOB 和△COD . 【答案】C 【例2】如图,□ABCD中,∠B、∠C的平分线交于点O ,BO 和CD 的延长线交于E ,求证:BO=OE . 【分析】证线段相等,可证线段所在三角形全等.可证△COE ≌△COB .已知OC 为公共边,∠OCE=∠OCB,又易证∠E=∠EBC.问题得证. 【证明】在□ABCD中,∵AB//CD, ∴, 又∵(角平分线定义). ∴, 又∵, ∴△≌△ ∴. 说明:证线段相等通常有两种方法:(1)在同一三角形中证三角形等腰;(2)不在同一三角形则证两三角形全等.本题也可根据等腰三角形“三线合一”性质证明结论. 【例3】如图,在ABCD中,AE⊥BC于E ,AF⊥DC 于F ,∠ADC=60°,BE=2,CF=1,求△DEC 的面积. 【解】在中,,、. 在Rt △ABE 中,,. ∴,. ∴. 在△中,. ∴. 故. 【例4】已知:如图,D 是等腰△ABC 的底边BC 上一点,DE//AC ,DF//AB .求证:DE+DF=AB. 【分析】由于,,从而可以利用平行四边形的定义和性质,等腰三角形的判定和性质来证. 【解】∵, ∴四边形是平行四边形. ∴. ∵,∴. ∵,∴. ∴. ∴. 说明:证明一条线段等于另外两条线段的和常采用的方法是:把三条线段中较长的线段分为两段,证明这两段分别等于另两条线段. 【例5】如图,已知:中,、相交于点,于, 于,求证:. 【分析】 【解】因为四边形是平行四边形, 所以,. 又因为、交于点, 所以. 又因为,, 所以.平行四边形典型例题精编版
平行四边形经典题型(培优提高)
中考数学——平行四边形的综合压轴题专题复习及答案解析
平行四边形综合测试题(供参考)
平行四边形试题集含答案
平行四边形 经典例题
平行四边形综合性质及经典例题
平行四边形的判定练习题汇编
2020-2021中考数学平行四边形-经典压轴题及答案
(完整版)平行四边形经典练习题
平行四边形综合题型分类(较难)
(完整版)平行四边形练习题(培优训练)
平行四边形典型例题
平行四边形判定,题型归纳