(完整版)基本不等式链

均值不等式链

基本不等式链：若b a 、都是正数，则22112

2

2b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立。 注：算术平均数---2b a +；几何平均数---ab ；调和平均数---b a ab b

a +=+2112；平方平均数---22

2b a +。 证明1

（1 （2 （3 证明2如图，图1：图2：图3：综上，2211222b a b a ab b

a +≤+≤≤+，当且仅当

b a =时”“=成立。 证明3：（几何法）

作梯形ABCD ，使CD BC AD B BC AD =+?=∠，，90//，令)(a b b BC a AD >==，

，，F E 、分别是CD AB 、的中点，过E 作CD EG ⊥于G ，过G 作AB GH ⊥于H ，在EB 上截取2a b EN -=

，则F E 、分别是CD AB 、的中点，2

a b EF +=?，

ED 平分ADC ∠ab AB EA EG ===?21， b a DG BC CG AD GH b a GC DG BC GC DA DG +?+?=?=?==，，即b a ab GH +=2， 2a b EN -=2

2

2b a NF +=?， 显然，FN EF EG GH <<<，∴2

222

2b a b a ab b a ab +≤+≤≤+ 当“b a =”时，2

222

2b a b a ab b a ab +=+==+。 证明4：（几何法）

作梯形ABCD ，使AB BC AD B BC AD =+?=∠，，90//，令

)(a b b BC a AD >==，，，

在AB 上截取b BC AF a AD AE ====，，则a BF b BE ==，

H ， 过E 作AB EG ⊥交CD 于G ，过F 作CD FO ⊥于O ，过O 作AB OH ⊥于

在GO EH 、上分别取点N M 、，使梯形EGNM 与梯形MNOH 相似，

则BC AF BF AD ==，，2

212

222b a CD OF DO CO b a CF DF +====?+==?， 22b a BC AD OH OD OC +=+=

?=，

b

a a

b b a AE BC BE AD EG b BE a AE +=+?+?=?==2，， 梯形EGNM 与梯形MNOH 相似ab OH EG MN OH MN MN EG =?=?=? 显然，OF OH MN EG <<<，∴2

222

2b a b a ab b a ab +≤+≤≤+ 当“b a =”时，2222

2b a b a ab b a ab +=+==+。