直线倾斜角、斜率、斜率公式,直线方程的各种表示方法
承接上次课：
倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角
关键：①直线向上方向；②x 轴的正方向；③小于平角的正角. 注意:当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.. 斜率：一条直线的倾斜角()2
π
αα≠
的正切值叫做这条直线的斜率.记为tan k α=.
时，斜率不存在。
当时，当的增大而减小；
随的增大而增大，但随时，，当的增大而增大；
也随的增大而增大，随时，当2
;0 0,0)2
(
,0 )2
,0 (π
ααααππ
αααπ
α=
==<∈>∈k k k k k k k 斜率公式：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：21
21
y y k x x -=-. 例题1：如图，图中的直线321l l l 、、、的斜率分别为k 1, k 2 ,k 3,则( D )
A. k 1< k 2 B. k 3< k 1 C. k 3< k 2 D. k 1< k 3 例题2：若经过P （－2，m ）和Q （m ，4）的直线的斜率为1，则m=（ A ） A 、1 B 、4 C 、1或3 D 、1或4 例题3：若A （3，－2），B （－9，4），C （x ，0）三点共线，则x=（ B ） A 、1 B 、－1 C 、0 D 、7 例题4：直线 经过原点和（－1，1），则它的倾斜角为（ B ） A 、45° B 、135° C 、45°或135° D 、－45° 例题5：若经过点P （1－a ，1＋a ）和Q （3，2a ）的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围. 解：(-2,1) 学习小结： 1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是[0,180)?. 2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 的坐标来求；⑶当直线的倾斜角90οα= 时，直线的斜率是不存在的 王新敞 题型一：已知两点坐标求直线斜率 例题1：经过下列两点直线的斜率是否存在，若存在，求其斜率 （1） (1,1)，(-1,-2) （2） (1,-1)，(-2,4) （3） (-2,-3)，(-2,3) 题型二：求直线的倾斜角 例题2：设直线L 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将L 绕坐标远点按逆时针方向旋转?45，得到直线L 1那么L 1的倾斜角为 ( D ) A.?+45α B.?-135α C.α-?135 D.[?-???∈?+∈1354 3454 30αππααπα，为） ，；当）时，为，当 例题3：变式：已知直线L 1的倾斜角为α，则L 1关于x 轴对称的直线L 1的倾斜角β= 题型三：斜率与倾斜角关系 例题4：当斜率k 的范围如下时，求倾斜角α的变化范围： 1)1(-≥k 1)2(≤k 33)3(≤<-k 题型四：利用斜率判定三点共线 例题5：已知三点A （a,2），B （5,1），C （-4,2a ）在同一条直线上，求a 的值。 利用斜率相等即可 即AB 的斜率=BC 的斜率 用两点式计算斜率 (1-2)/(5-a)=(2a-1)/(-4-5) (5-a)(2a-1)=9 -2a 2+11a-5=9 2a 2-11a+14=0 (2a-7)(a-2)=0 ∴a=7/2 或a=2 不存在)3(3 5)2(2 3)1(-==k k 000==-=∈βααπβπα，当， ），，（当3(1)[0,)[,) 24(2)[0,](,)422(3)[0,](,)33 ππαπππαπππαπ∈?∈?∈?2 7 2==a a 或 题型五：平行于垂直的判定 例题6：已知A （1，-1），B （2,2），C （3,0）三点，求点D 的坐标，使直线,AB CD ⊥且CB//AD. 题型六：综合应用 例题7：变式：若三点A （3,1）,B(-2,k)，C （8,1）能够成三角形，求实数k 的取值范围。 解：能够成三角形则不能共线 AC 垂直y 轴 是y=1 则k ≠1 例题8：已知两点A （-3,4），B （3,2），过点P （2，-1）的直线L 与线段AB 有公共点，求直线L 的斜率k 的取值范围 ) 1,0(1233,2,11 1,3 ,3),D D y x y x k k k x y k k k x y k k y x BC AD BC AD CD AB CD AB ?? ?=+=+=-=-+= -=?-==得点坐标为（解：设 例题1.下列命题正确的个数是 ( C ) 1) 若a 是直线L 的倾斜角，则?<≤?1800a 2）若k 是直线的斜率，则R k ∈ 3）任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率 4）任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角 A ．1 B.2 C.3 D.4 例题2.直线L 过(,)a b , (,)b a 两点，其中0,≠≠ab b a 则 （ D ） A.L 与x 轴垂直 B. L 与y 轴垂直 C.L 过原点和一，三象限 D.L 的倾斜角为?135 例题3.已知点)1,1(),321,1(-+B A ,直线L 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，则L 的斜率为 （ B ） A.1 3 3.B 3.C D.不存在 例题4.直线L 经过二、三、四象限，L 的倾斜角为a ，斜率为k ，则 （ B ） 0sin .>a k A 0cos ..>a k B 0sin .≤a k C 0cos .≤a k D 例题5.若),0(),2,(),5,1(a C a a B a A ---三点共线，则a= 2 例题6.已知四边形ABCD 的顶点为)5,2(),3,3(),1,6(),,(D C B n m A ,求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形。 86251829 ( ,),(,)131355 A A 解：有两种情况 1、AB//CD 角A=90=角D （5-3）/（2-3）=(n-1)/(m-6) 2m+n=13 (n-5)/(m-2)=1/2 m=18/5 n=29/5 2、AD//BC 角A=90=角B (n-5)/(m-2)=(3-1)/(3-6)=-2/3 2m+3n=19 (n-1)/(m-6)=3/2 3m-2n=16 m=86/13 n=25/13 两直线平行与垂直的判定 ： 平行：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即12//l l ?1k =2k 垂直：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直. 即12l l ⊥? 121k k =- ?121k k =- 学习小结： 1．1212//l l k k ?=或12,l l 的斜率都不存在且不重合. 2．12121l l k k ⊥?=-或10k =且2l 的斜率不存在，或20k =且1l 的斜率不存在. 王新敞 直线的点斜式方程： 直线的点斜式方程：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程. 直线的斜截式方程：直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程. 例题1、过点(5，2)且在两坐标轴截距相等的直线方程是__2x-5y=0或y-2=-(x-5)__． 例题2、经过点(1,2)A 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程。 直线的两点式方程： 直线的两点式方程：已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程为 11 12122121 (,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程 直线的截距式方程.：已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与 y 轴的交点为(0,)B b ，其中 0,0a b ≠≠，则直线l 的方程 1=+b y a x 叫做直线的截距式方程. 例题1、已知直线l 经过两点)5,3(),2,1(21P P ,求直线l 的方程. 例题2、已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，求通过这两点的直线 方程。 例题3、 已知三角形的三个顶点A （-5，0），B （3，-3），C （0，2），求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。 解： 直线BC ： (y ＋3)/(y －2)＝(x －3)/(x －0) 即5x ＋3y －6＝0 直线BC 的中点坐标： x ＝(3＋0)/2＝3/2 y ＝(－3＋2)/2＝－1/2 即点(3/2,－1/2) 直线BC 边中线所在的直线方程： (y －0)/(y ＋1/2)＝(x ＋5)/(x －3/2) 即x ＋13y ＋5＝0 ) 1(2 3 2-=-x y ) (11 21 21x x x x y y y y ---=-0 513,0635=++=-+y x y x 19139 6.2()13 y x - =-- 学习小结： 直线方程的各种形式总结为如下表格： 2.中点坐标公式:已知1122(,),(,)A x y B x y ,则AB 的中点(,)M x y ,则2121 ,22 x x y y x y ++==. 例题1、过点P (2，1）作直线l 交,x y 正半轴于AB 两点，当||||PA PB ?取到最小值时，求直线l 的方程. 直线的一般式方程： 直线的一般式方程：关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式 例题1、在方程0=++ C By Ax 中，A ，B ，C 为何值时，方程表示的直线 （1）平行于x 轴；（2）平行于y 轴；（3）与x 轴重合；（4）与y 重合。 解：（1）A=0且B ≠0且C ≠0（2）B=0且A ≠0且C ≠0 （3）A=0且B ≠0且C=0 （4）B=0且A ≠0且C=0 例题2、根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： ⑴ 斜率是1 2 -，经过点(8,2)A -； ⑵ 经过点(4,2)B ，平行于x 轴； ⑶ 在x 轴和y 轴上的截距分别是3 ,32 -； ⑷ 经过两点12(3,2),(5,4)P P --. 解：（1）042;22 1 =-++- =y x x y （2）02;2=-=y y （3） 032;13 1 32=--=-y x y x （4）012 322=-+-=-+y x x y ； 两条直线的交点坐标： 已知方程组 A 1x ＋B 1y ＋C 1=0 （1） A 2x ＋B 2y ＋C 2= 0 （2） 当A 1，A 2，B 1，B 2全不为零时，方程组的解的各种情况分别对应的两条直线的位置关系 解：在直线上 另（1）×B 2－（2）×B 1得（A 1B 2－A 2B 1）x=B 1C 2－B 2C 1 1、当A 1B 2－A 2B 1≠0时，方程组有唯一解，相交:且当2121B B A A =时，两直线垂直 2、当A 1B 2－A 2B 1=0，B 1C 2－B 2C 1≠0 时，方程组无解，平行 3、当A 1B 2－A 2B 1=0，B 1C 2－B 2C 1=0时，方程组有无穷多解，重合 例题1、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标： （1）l 1：x －y ＝0， l 2：3x ＋3y －10＝0 （2）l 1：3x －y ＋4＝0， l 2：6x －2y ＝0 （3）l 1：3x ＋4y －5＝0， l 2：6x ＋8y －10＝0 解：（1）相交交点坐标?? ? ??35,35； （2）平行，无交点 （3）同一条直线，无穷多解 例题2、求经过两条直线x+2y －1=0和2x －y －7=0的交点，且垂直于直线x+3y －5=0的直线方程 解：解法一：解方程组? ? ?-==?? ?=-+=--13 012072y x y x y x 得 ∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）又∵直线x+2y －5=0的斜率是－1/3 ∴所求直线的斜率是3，所求直线方程为y+1=3（x －3）即 3x －y －10=0 解法二：所求直线在直线系2x －y －7+λ（x+2y －1）=0中 经整理，可得（2+λ）x+（2λ－1）y －λ－7=0 31 22=-+- ∴λλ 解得 λ= 1/7因此，所求直线方程为3x －y －10=0 两点间的距离： 两点之间距离公式：已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则12PP . 特殊地：(,)P x y 与原点的距离为OP 点到直线的距离:已知点00(,)P x y 和直线:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l 的距离为：d = . 注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离； ⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式 平行线间的距离：已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l 20Ax By C ++=，则1l 与2l 的距离为 d = 注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使,x y 的系数相等. 例题1、已知点P(x 0，y 0)，直线l ：A x +C=0，求点P 到直线的距离．)(0A C x -- 例题2、已知点P(x 0，y 0)，直线l ：B y +C=0，求点P 到直线的距离．)(0B C y -- 例题3、已知点P(x 0，y 0)，直线l ：Ax+By+C=0，求点P 到直线的距离． 例题4、点P(3,-2)到直线 的距离为 例题5、两条平行线 与 间的距离是 例题6、求平行线2x －7y ＋8=0和2x －7y －6=0的距离． 解：在直线2x －7y －6=0上任取点P(x 0，y 0)，则2 x 0－7 y 0－6=0，点P(x 0，y 0)到直线2x －7y ＋8=0的距离是 546-=-y x x y 23 =02543:=-+y x l 2 200B A C By Ax d +++=524 26135 例题7、直线经过原点，且点M(5,0)到直线l 的距离等于3，求l 的方程 解： 3x±4y=0 例题8、直线l 过点（1，2）且两点（2，-3）,（4，-5）到l 的距离相等，求l 的方程解：x+y-3=0或3x+y-5=0 例题9、△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B, ∠C的内角平分线所在的直线方程分别为x=0和y=x,求顶点B、C坐标·。 解：A点关于x=0的对称点为(-3,-1), A点关于y=x的对称点为(-1,3)都在BC上BC的方程为x-2y+1=0所以B(0,0.5)、C(1,1) 例题10、已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求△ABC的面积 解： 2014年全国中职学校“创新杯”教师信息化教学设计和说课大赛 8.2.1 直线的倾斜角与斜率 教学设计方案 2014年11月 《8.2.1 直线的倾斜角与斜率》教学设计方案 【授课对象】计算机网络专业二年级学生 【教材】《数学》（基础模块）下册（主编：李广全李尚志高等教育出版社出版）【教学内容】直线的方程——直线的倾斜角与斜率 【授课类型】课堂教学 【授课时间】1课时 【教材分析】 直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是以坐标化（解析化）的方式来研究直线的相关性质的重要基础。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要的作用。因此，正确理解直线斜率的概念，熟练掌握直线的斜率公式是学好这一章的关键。 【学情分析】 教学对象是计算机网络专业二年级的学生。他们思维活跃，勇于挑战，且具有一定的网络知识，但数学基础相对薄弱。在教学中，我力求将数学与专业相结合，充分利用《几何画板》等信息化手段去帮助学生理解、掌握本节课内容。 【教学目标】 根据中职数学新大纲的要求，结合学生的实际情况，确立了如下的教学目标： （一）知识目标 1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念。 2. 掌握直线的斜率公式及应用。 （二）能力目标 通过经历从具体实例抽象出数学概念的过程，培养学生观察、分析和概括的能力。 （三）情感目标 通过合作探索，互相交流，增强团队意识，培养协作能力。 【教学重难点】 重点：直线的倾斜角和斜率的概念， 直线斜率公式及其应用； 难点：斜率公式的推导。 突破难点的关键：充分利用数形结合，并引导学生分类讨论问题。 【教学策略】 1．教学方法：问题探究法 课前下发导学提纲，学生预习提出问题，课上通过任务展示、问题交流、小组竞赛的形式引导学生自主学习。 2．学习方法：小组合作、自主探究 按照强弱搭配的原则将学生分为5个小组，通过讨论交流共同完成学习任务。 3．评价方法：综合评价 尊重学生个体差异，关注学习过程中学生的表现和变化，通过自评、互评和师评对学生进行全面动态的评价，使合作学习更加富有成效。 【教学设备】 多媒体投影仪，电脑，素描纸，展示板，自制教具。 【设计思路】 首先，通过生活实例，把数学植根于生活。教具的制作，锻炼了学生的动手能力和学习热情。通过课前导学及微课引导学生自主探究是完成教学任务的主要环节，课上再通过ppt、《几何画板》等信息化手段化解难点。 课件1 直线的倾斜角与斜率的关系 课件编号：ABⅡ－3－1－1． 课件名称：直线的倾斜角与斜率的关系． 课件运行环境：几何画板4.0以上版本． 课件主要功能：配合教科书“3.1.1倾斜角与斜率”的教学，探究倾斜角的范围以及直线的倾斜角与斜率的关系． 课件制作过程： （1）新建画板窗口．单击【Graph】（图表）菜单中的【Define Coordinate System】（建立直角坐标系），建立直角坐标系．选中原点，按Ctrl＋K，给原点加注标签，并用【Text Tool】（文本工具）把标签改为O． （2）单击【Graph】菜单的【Plot Points…】（绘制点），弹出“Plot Points”对话框，如图1，绘制固定点A（3，0），B（0，3），C（－3，0）． 图1 （3）依次选中点A，B，C，单击【Construct】（作图）菜单中的【Arc Though 3 Points】（过三点的弧），绘制半圆（图2）． 图2 （4）选中半圆，单击【Construct】菜单中的【Point on Arc】(弧上的点)在半圆上取一点，按Ctrl＋K，加注标签，并用【Text Tool】把标签改为P. （5）选中半圆，单击【Display】（显示）菜单中的【Hide Art】（隐藏弧）隐藏半圆. （6）依次选中点O，A，P，单击【Construct】菜单中的【Arc On Circle】（圆上的弧），绘制圆弧，并单击【Display】菜单中的【Line Width】（线型）菜单中的【Thick】（粗线），单击【Display】菜单中的【Color】（颜色）菜单中的蓝色（图3）． 图3 （7）选中点O，P，单击【Construct】菜单中的【Line】(直线)绘制直线OP，并单击【Display】菜单中的【Line Width】菜单中的【Thick】，单击【Display】菜单中的【Color】菜单中的蓝色． （8）选中点P，单击【Edit】（编辑）菜单的【Action Buttons】（操作类按钮）中的【Animation】（动画），弹出对话框，如图4，单击【确定】，出现一个控制按钮，将按钮标签改为“移动点P”． 图4 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 [考纲传真] 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系． 【知识通关】 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式 (1)直线l 的倾斜角为α≠90°，则斜率k ＝tan_α. (2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1 x 2－x 1 . 3．直线方程的五种形式 1．直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系： 2.当α∈??????0，π2时，α越大，l 的斜率越大；当α∈? ???? π2，π时，α越大，l 的斜率越 大． 【基础自测】 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) (3)过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( ) (4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是( ) A .3 B ．－ 3 C . 33 D ．－ 33 D 3．过点(－1,2)且倾斜角为30°的直线方程为( ) A .3x －3y ＋6＋3＝0 B .3x －3y －6＋3＝0 C .3x ＋3y ＋6＋3＝0 D .3x ＋3y －6＋3＝0 A 4．如果A ·C ＜0且B ·C ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 C 5．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 【题型突破】 直线的倾斜角与斜率的应用 【例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0? ???? α∈??????π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A .???? ?? π6，π3 B .???? ?? π4，π3 直线的倾斜角和斜率 3.1倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有L 1∥L 2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 基础卷 一．选择题： 1．下列命题中，正确的命题是 （A ）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α （B ）直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α （C ）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率 （D ）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π 2．直线l 1的倾斜角为30°，直线l 2⊥l 1，则直线l 2的斜率为 （A ）3 （B ）－3 （C ）33 （D ）－3 3 3．直线y =x cos α+1 (α∈R )的倾斜角的取值范围是 （A ）[0, 2π] （B ）[0, π) （C ）[－4π, 6π] （D ）[0, 4π]∪[4 3π,π) 4．若直线l 经过原点和点(－3, －3)，则直线l 的倾斜角为 （A ）4π （B ）54π （C ）4π或54 π （D ）－4π 5．已知直线l 的倾斜角为α，若cos α=－5 4，则直线l 的斜率为 《直线的倾斜角和斜率》教案 教学目的： 1.了解“坐标法” 2.理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线的斜率 公式并牢记斜率公式的特点及适用范围； 3.已知直线的倾斜角，求直线的斜率 4.已知直线的斜率，求直线的倾斜角 5.培养学生“数形结合”的数学思想. 教学重点：斜率概念，用代数方法刻画直线斜率的过程. 教学难点：1直线的斜率与它的倾斜角之间的关系. 2运用两点坐标计算直线的斜率 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体 教学过程： 一.知识背景与课题的引入 1.从本章起,我们研究什么?怎样研究? 解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的,解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑,数学从此由常量数学进入变量数学时期.解析几何由此成为近代数学的基础之一. 在解析几何学中,我们常常用一种方法:坐标法. 研究几何图形的性质。 坐标法是以坐标系为基础,把几何问题转化成代数问题,通过代数运算研究几何图形性质的方法,它是解析几何中最基本的研究方法. 本章首先在平面直角坐标系中,建立直线的方程.然后通过方程,研究直线的交点、点到直线的距离等. 2．课题的引入 下面就让我们就一起踏着前人的足迹去学习和体会这一门科学的思想方法，用坐标法研究几何问题时,我们首先研究最简单的几何对象——直线，学习直线的倾斜角和斜率. 二.新课 1问题1 对于平面直角坐标系内的一条直线它的位置由哪些条件可以确定呢？一个点可以确定一条直线的位置吗? 分析:对,两点可以确定一条直线,过一个点可以画出无数条直线,这些直线都与轴正向成一定的角度,我们把直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,于是可以这样确定一条直线,过个定点,确定一个倾斜角便可以确定一条直线;这种方法与两点确定一条直线的方法是一致的.先固定个点,再确定另外一点相当于确定这条直线的方向,确定了方向也就等同于确定了该直线的倾斜角. 注:平行于轴或于轴重合的直线的倾斜角为0° 问题2 直线的倾斜角、斜率与直线的方程 A 级——夯基保分练 1．(2019·河北衡水十三中质检)直线2x ·sin 210°－y －2＝0的倾斜角是( ) A ．45° B ．135° C ．30° D ．150° 解析：选B 由题意得直线的斜率k ＝2sin 210°＝－2sin 30°＝－1，故倾斜角为135°.故选B. 2．在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( ) 解析：选B 由题意l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a ，当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0.选项B 符合． 3．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1 b ＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )???? 1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2 b a ·a b ＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立． ∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4. 4．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与A (－1,0)，B (1,0)两点连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－6， 6 ] B.????－∞，－ 66∪????66，＋∞ C.? ???－∞，－66∪??? ?66，＋∞ D.? ?? ?－ 22， 22 第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程 授课提示：对应学生用书第150页 [基础梳理] 1．直线的倾斜角 (1)定义： (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是：[0，π)． 2． 条件公式 直线的倾斜角θ，且θ≠90°k＝tan__θ 直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2) 且x1≠x2k＝y1－y2 x1－x2 3. 条件两直线位置 关系 斜率的关系 两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行 k1＝k2 k1与k2都不存在 垂直 k1k2＝－1 k1与k2一个为零、另一个不 存在 4. 名称已知条件方程适用范围 点斜式斜率k与点(x1，y1)y－y1＝k(x－ x1) 不含直线x＝x1 斜截式斜率k与直线在y轴上的 截距b y＝kx＋b 不含垂直于x轴的 直线 两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)y－y1 y2－y1 ＝ x－x1 x2－x1 不含直线x＝x1(x1＝ x2)和直线y＝y1(y1 (x 1≠x 2，y 1≠y 2) ＝y 2) 截距式 直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b x a ＋y b ＝1(a ≠0，b ≠0) 不含垂直于坐标轴 和过原点的直线 一般式 Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0) 平面直角坐标系内 的直线都适用 5.若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1，P 2的中点M 的坐标为(x ， y )，则?????x ＝x 1＋x 2 2，y ＝y 1＋y 2 2， 此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． 1．斜率与倾斜角的两个关注点 (1)倾斜角α的范围是[0，π)，斜率与倾斜角的函数关系为k ＝tan α，图像为： (2)当倾斜角为90? 时，直线垂直于x 轴，斜率不存在． 2．直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件为A 1A 2＋B 1B 2＝0. [四基自测] 1．(基础点：根据两点求斜率)过点M (－2，m )，N (m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D.1或4 答案：A 2．(基础点：直线的倾斜角与斜率的关系)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B ．π3 C.2π3 D.5π6 答案：D 3．(基础点：直线的点斜式方程)已知直线l 经过点P (－2，5)，且斜率为－3 4，则直线l 的方程为________． 答案：3x ＋4y －14＝0 4．(易错点：直线的截距概念)过点(5，0)，且在两轴上的截距之差为2的直线方程为________． 答案：3x ＋5y －15＝0或7x ＋5y －35＝0 浅议直线斜率公式的应用 贵州省岑巩县第一中学 蒋世军 摘要：直线是一种简单的几何图形，而斜率是直线的本质属性，它直观反映了一条直线的倾斜程度。直线的斜率公式是平面解析几何中的重要公式，也是高中数学的一个重要知识点。在新课标和考试说明中都有较高的要求，由于斜率公式与代数中的分式在结构上有密切的联系。所以它除了直接用来求直线方程，求直线的斜率外，还可以用来解决其他一些问题。如求分式函数的值域（最值），解决数列有关问题，以及不等式的有关问题等-----都可借助斜率的几何意义，巧妙的解决。 关键词：直线 斜率公式 应用 下面就问题举例说明： 一、求直线的倾斜角 例1：已知直线l 1经过两点A(－23，1)、B (6，－3)，直线l 2的斜率为直线l 1的斜率的一半，求直线l 2的倾斜角θ. 分析：先利用过两点的斜率公式求l 1的斜率，再求得l 2的斜率，从而求得θ. 解：设直线l 1、l 2的斜率斜率分别为k 1、k 2，则 由已知可求得) 3(16321----=k 3-2=， ∴k 2＝3- 即ta n θ＝－3， ∵θ∈[0，＋∞) ∴θ＝ 3 2π 点评：经过两点的直线的斜率公式在解题中有广泛的应用，必须熟记并灵活应用.根据斜率求倾斜角时，在tan θ＝k 中，θ的取值与k 的正负有关，当k ≥0时，θ??????∈2,0π，当k ＜0时，θ?? ? ??∈ππ,2，另外要注意斜率不存在时，直线的倾斜角为2 π。 二、证三点共线 例2：求证：A(1，3) 、B （5，7）、C （10，12）三点在同一条直线上。 分析：要证A 、B 、C 三点共线，只需证直线AB,AC 的斜率相等。 证明：∵11537=--=AB K 11 10312=--=AC K ∴AC AB K K = 又∵直线AB,AC 有共同的端点A 。 ∴A 、B 、C 三点在同一条直线上。 例3：过抛物线焦点的一条直线与抛物线交于P 、Q 两点，自Q 点向抛物线的准线作垂线，垂足为'Q ，求证：P 'Q 过抛物线的顶点。 课题：直线的倾斜角和斜率 教材：普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学第3章第1节 一、教学目标： 1、知识与能力： (1)理解直线的倾斜角和斜率的概念. (2)掌握过两点的直线的斜率公式，会求直线的斜率和倾斜角. (3)理解直线的倾斜角和斜率之间的相互关系. 2、过程与方法： (1)经历直线倾斜角概念的形成过程，理解直线倾斜角和斜率之间的关系. (2)从数与形两方面让学生明白，倾斜角和斜率都是刻画直线相对于x轴的倾斜程度.渗透数形结合思想. (3)通过问题，层层设疑，提高学生分析、比较、概括、化归的数学思维能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路. 3、情感态度与价值观： 1．从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，让学生感受数学来源于生活，渗透辩证唯物主义世界观. 2．帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体现数、形的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、勇于创新的精神. 二、教学重点： 直线的倾斜角和斜率的概念，直线的斜率公式推导和应用. 三、教学难点： 倾斜角概念的形成，斜率公式的推导 四、教学方法与手段： 计算机辅助教学与发现法相结合.即在多媒体课件支持下，创设情境问题，层层设疑，制造认知冲突，引发争论，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构. 【教学过程】 一、知识导入 在初中，我们学过了函数的图象，知道在直角坐标系中，点可以用有 序实数对) x来表示和确定.那么直线呢？在平面直角坐标系中， (y , 问题：经过一点P的直线L的位置能确定吗? 预案：不能.如图, 过一点P就可以作无数多条直线.那么， 问题：这些直线之间又有什么联系和区别呢? 短暂思考和讨论后，学生可以回答 预案：(1)它们都经过点P.(2)它们的“倾斜程度”不同. 那么，我们应该怎样描述这种不同直线的“倾斜程度”呢？ 〖设计意图〗学生刚刚学完立体几何，对解析几何已经有些陌生.所以从简单问题入手，便于 激发学生学习热情，同时又能引入倾斜角的概念，起到承上启下的作用. 二、知识探索 课题：《直线的斜率公式》 授课人：朱庆乡 一．教材分析： 本课主要介绍直线的斜率公式及应用．本节课是在学习直线的倾斜角和斜率之后，为了方便研究直线的方程而设置的一个过渡内容．另外，本课内容对于后面导数的学习起到铺垫的作用． 二．教学目标： 1．认知目标： (1)掌握经过两点的直线的斜率公式； (2)进一步理解倾斜角和斜率的相互联系； 2．能力目标： (1)了解用坐标研究直线的解析几何的基本思想和其中的数形结合、转化的思想方法； (2)通过公式形成过程的教学，培养学生联想、概括与抽象的思维能力，类比推理、归纳和演绎推理的能力； 3．德育目标： 通过本节课的教学，对学生进行事物的联系与转化和运动变化的辩证唯物主义观点教育． 4．情感目标： 通过生动的课堂教学，激发学生的学习兴趣；体验探索学习的过程，从而感受学习的成功和喜悦． 三．重点难点： 1．教学重点： 过两点的直线的斜率公式及公式的应用 2．教学难点： 斜率公式的推导 3．难点突破： 通过构造R t 引出直线的斜率与两点坐标的关系，并对两点不同顺序以及直线不同位置情况进行分析，以问题诱导学生进行探究发现，最终得出公式，再通过习题进行巩固达标． 四．教学方法： 启发式、导学式 五. 教学工具： 多媒体课件 六．教学过程： （1）直线l 的向上方向； （2）x 轴的正方向； （3）最小的正角 2.直线的斜率： （1）αtan =k ； （2）α的取值范围； （3）斜率k 的取值范围 （二）新课讲解： 1.问题引入：我们知道两点可以确定一条直线，已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？ 2．过两点的直线的斜率公式： 已知点111(,)P x y 、222(,)P x y ，且12P P 、与x 轴不垂直 用12P P 、的坐标来表示12P P 的斜率k ． 如图1，设直线21P P 的倾斜角为α（? ≠90α ），当 直线21P P 的方向（即从1P 指向2P 的方向）向上时， 过点1P 作x 轴的平行线，过点2P 作y 轴的平行线， 两线相交于点Q ，于是点Q 的坐标为21(,)x y . 当α为锐角时，21P QP ∠=α，2 1x x <，2 1 y y <． 在12R t P P Q ?中， 22112121 ||ta n ta n || Q P y y Q P P P Q x x α-=∠= = -． 师生互动 回顾直线的倾斜角和斜率，对上节课巩固和反馈． 图1 承接上次课： 倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角 关键：①直线向上方向；②x 轴的正方向；③小于平角的正角. 注意:当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.. 斜率：一条直线的倾斜角()2 π αα≠ 的正切值叫做这条直线的斜率.记为tan k α=. 时，斜率不存在。 当时，当的增大而减小； 随的增大而增大，但随时，，当的增大而增大； 也随的增大而增大，随时，当2 ;0 0,0)2 ( ,0 )2 ,0 (π ααααππ αααπ α= ==<∈>∈k k k k k k k 斜率公式：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：21 21 y y k x x -= -. 例题1：如图，图中的直线321l l l 、、、的斜率分别为k 1, k 2 ,k 3,则( D ) A. k 1< k 2 普通高中课程标准实验教科书（北师大版） 数学必修2第二章第二节 直 线 的 倾 斜 角 和 斜 率 尝 试 探 究 形 成 概 念 问题：怎样才能确定直线的问置？ 一点＋倾斜角（直线的方向）确定一条直线（两都缺一不可） 思考:在日常生活中，有没有表示倾斜程度的量？ （让学生举例） 如图:在日常生活中，我们常用坡面的铅直高度与水平长度（升高量与前进量）的比，表示倾斜面的坡度（倾斜程度）。 坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在 变化，那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟 是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的 关系？ 前进量 坡度比＝前进量 升高量 例如:进2升3与进2升2比较 2、 直线斜率的概念 一条直线倾斜角 的正切值叫这条直线的斜率（slope ）,通常用小写字母k 表示。 090tan k 给出生活中的实例,给学生感性认识，点燃学生的思维火花，观察分析并抽象概括出直线位置如何确定. 确定直线位置几何要素转化为代数化 升 高 量 尝 试探究形成概念对 取不同的范围进行分析k的取值情况。 3、直线的倾斜角与斜率之间的关系 直线情况 平行于 情况 由左向 右上升 垂直于x 轴 由右向左 上升 的大小 k的情况 k的增减性 4、两点确定直线的斜率 已知两点), )( , ( ), , ( 2 1 2 2 2 1 1 1 x x y x p y x p 则由这两点确定直 线的线率? k 课本上是用坐标法推导的，分两种情况: 让学生课前预习，这里用向量法推导 ① 2 1 p p方向向上② 1 2 p p方向向上 1 2 1 2 x x y y k 让学生掌握公式记忆 注意：①当直线与x轴平行或重合时，0 k ②当直线与y轴平行或重合时，k不存在 为有利于调动学 生学习的积极 性，加深对两者 关系理解，通过 用几何画板演示 倾斜角与斜率之 间关系，给学生 直观认识，降低 学习的难度 课本中是用坐标 法去推导两点直 线的斜率,学生课 前预习易掌握,在 证明过程中用向 量法来推导两点 确定直线的斜率, 比较两种方法解 题思路不同. 0 x y ----直线的斜率? 一、案例背景 《高中数学课程标准》指出“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。”，“高中数学课程应该反璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。”上述精神表达了数学教学的新理念，即坚持以学生为主体，教师为主导。在这种理念下，数学的课堂教学应该是丰富多彩的学生创造性的活动。可是，却有很多学生对数学不大感兴趣，觉得数学很难学，很枯燥。我觉得其中的一个原因是：在课堂教学中，教师没有创设适当的问题情境，来激发学生的求知欲。“问题教学法”正是以问题为主线，引导学生主动探究，体验数学发现和构建的过程，完全符合新课程标准的理念。因此，“问题教学法”在高中数学新课程的教学中尤显重要。下面，我结合直线的斜率的内容就新课标下高中数学问题教学法谈一些个人体会。 二、案例过程 （一）、创设情境，引入课题 师：同学们骑自行车上坡时很吃力，这与坡的什么有关? 课件： 生：与坡的平缓和陡有关。 师：我们分析一下坡的平缓和陡问题。 先请同学们来观察下面两幅图片： 课件： 如图是两张不同的楼梯图。 问题1：其中的楼梯有什么不同？ 生：楼梯的平缓和陡程度不同。 问题2：用什么量来刻画楼梯的平缓和陡呢？ （提示：观察楼梯下面两个三角形） 生：用高度和宽度的比值来反映。 师：一般地：高度和宽度的比值就叫坡度。 所以楼梯的倾斜程度是由坡度来刻画的，坡度越大，楼梯越陡。 （二）、归纳探索，形成概念 1、借助模型，直观感知 课件：给出一个楼梯模型 楼梯上面有一条直线，直线就反映坡度。 〖设计意图〗从模型直观感知直线的斜率，完成直线的斜率的感性认识。 问题3：楼梯的倾斜程度用坡度来刻画，那么直线的倾斜程度用什么量来刻画呢？ （对第三个问题，学生议论纷纷，部分学生不知道如何准确回答） 3.1.1倾斜角和斜率 一、教学目标： ⒈知识与技能目标： (1)正确理解直线的倾斜角的概念与它的取值范围及直线的倾斜角的唯一性； (2)理解直线的斜率的概念与倾斜角与斜率的关系； (3)理解直线的斜率的存在性； ⒉过程与能力目标： ⑴经历倾斜角与斜率的形成过程，感受分类讨论的思想； ⑵经历代数的方法刻画直线斜率的过程，感受解析几何的基本方法； ⑶初步体验坐标法，感受数形结合的思想。 通过直线倾斜角概念的引入和直线的倾斜角与斜率的关系的揭示，培养学生的观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力。 ⒊情感、态度与价值观目标： (1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生 观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力； (2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想， 培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精 神． 二、教学重难点： 教学重点：直线的倾斜角与斜率的概念； 教学难点：斜率概念的学习。 三、教学用具：多媒体教学设备、黑板． 四、教学方法：启发、引导、讨论.教学过程中，在教师的引导与组织下，鼓励学生自主探索与合作交流，通过教师创设适当的问题情境，使学生发现教学的规律和问题解决的途径，让他们经历知识形成的过程。 五、教学过程： （一）导入新课： 我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线．那么, 经过一点P作直线能作出多少条直线? 如图, 过一点P可以作无数多条直线，显而易见,答案是否定的.这些直线区别 在哪呢? x （二）讲授新课： 引导学生观察得到它们的“倾斜程度”不同．那么怎样描述这种“倾斜程度”的不同?从而引入直线的倾斜角的概念. ⒈直线的倾斜角： 当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的 角α叫做直线l的倾斜角 ．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定 = 0°. 直线的倾斜角与斜率讲义 一引入直线的倾斜角的概念: 当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 ．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. 问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. 如图, 直线a∥b∥c, 那么它们 的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点 ．．．．．．．. ．．．P．和一个倾斜角α (二)直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 例如, α=45°时, k = tan45°= 1; α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三) 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导.(略) 斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点： 直线的倾斜角与斜率 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知直线，则该直线的倾斜角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直线的倾斜角 2.已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线平行，则m的值为( ) A.0 B.-8 C.2 D.10 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：斜率的计算公式 3.已知过点M(2m+3，m)和点N(m-2，1)的直线MN的倾斜角为钝角，则m的范围是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：斜率的计算公式 4.若直线沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移1个单位，回到了原来的位置，则直线( ) A.斜率不存在 B.斜率为 C.斜率为 D.斜率为-3 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直线的斜截式方程 5.设直线的倾斜角为，且，则满足( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直线的斜率 6.若点在以，，为顶点的△ABC的内部（不包括边界），则的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直线的斜率 7.已知点M(2，-3)，N(-3，-2)，直线与线段MN相交，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：恒过定点的直线 8.若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 直线方程 例1. 已知点B在坐标轴上，点A的坐标为(3,4)直线AB的斜率k AB＝2，求点B的坐标。 例2. 求过点A(0,2)和点B(m,－2)的直线的斜率。 例3. 已知直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围。 例4. 求证A(0,2)，B(1,3)，C(－2,0)三点共线。 例5. 已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，求 3 2 y x ＋ ＋ 的最大值与最小值。 例6. 求满足下列条件的直线方程： (1)斜率为3，经过点(5,－4)； (2)斜率为－2，经过点(0，2)； (3)经过两点(2，1)和(3，－4) (4)经过两点(2，0)和(0，－3) (5)斜率为2，经过点(2，0)。 例7. 已知直线l经过点A(2，3)，其倾斜角是直线y＝ 3 x＋1的倾斜角的2倍，求直线l的方程。 例8. 已知△ABC三个顶点的坐标为A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在直线的方程。 例9. 若2015x1－y1＋1＝0，2015x2－y2＋1＝0，求经过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的直线方程。 例10. 若直线l：Ax＋By＋C＝0经过第一、二、三象限，则（） A、AB＜0，BC＜0 B、AB＞0，BC＜0 C、A＝0，BC＜0 D、C＝0，AB＞0 例11. 已知直线l的方程为(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0。 (1)当m为何值时，直线l的倾斜角为45?？ (2)当m为何值时，直线l在x轴上的截距为1？ (3)当m为何值时，直线l与x轴平行？ 例12. 求证方程3x2－10xy＋3y2＋9x＋5－12＝0表示两条直线。 例13. 已知方程(m＋2)x＋(m－3)y＋4＝0(m∈R)所表示的直线恒过定点，求该定点的坐标。 例14. 过点M(2，1)作直线l，分别交x轴和y轴的正半轴于点A，B，若△ABO的面积S最小，试求直线l的方程。 例15. 一条光线从点A(3，2)出发，经x轴反射，通过点B(－1，6)，求入射光线和反射光线所在直线的方程。 易错点 易错1. 求过直线l：y与x轴的交点，且与直线l的夹角为30?的直线的方程。 易错2. 若直线l消费品点P(2，3)，且在x轴，y轴上的截距相等，试求直线l的方程。 直线斜率的求法 直线的斜率是反映直线倾斜程度的特征量，在解决有关直线的方程问题中占据着重要的地位.下面例析直线斜率的几种常见求法，以期帮助同学们掌握斜率这一重要知识点. 一、 已知倾斜角定义求 例1 如图，菱形ABCD 中，0120ADC ∠=，分别求出BC 、CD 、AC 、BD 所在直线的斜率. 分析：准确的找出（或求出）所求直线的倾斜角是关键. 每一条直线都有唯一的倾斜角，直线与横坐标轴正半轴方向的夹角即为该直线的倾斜角. 解：因为在菱形ABCD 中，0120ADC ∠=， 所以，060BAD ∠=，0120ABC ∠=， 故00tan(180120)BC k =-=0 tan60=； 因为CD AB x P P 轴，所以直线CD 倾斜角为00，故0tan00CD k ==; 又因为菱形的对角线是相应角的角平分线， 所以030BAC ∠=，060DBA ∠=， 所以00180120DBx DBA ∠=-∠=， 所以，0tan 30AC k ==0tan120BD k ==点评：由直线的倾斜角求斜率，必须正确利用直线的倾斜角与斜率的 关系：tan k α=（其中)000,180α?∈?且090α≠）.要注意斜率k 随着倾斜角α 的变化而变化的趋势：当00α=时，0k =；当00090α<<时，k 为正且随着α的增大而增大；当090α=时，k 不存在；当00 90180α<<时，k 为负且随着α的 增大而增大. 二、已知两点坐标公式求 例 2 已知ABC V 的三个顶点为(1,1)A ，(1,1)B -- ，C ，求它的三条边所在直线的斜率. 分析：已知两点，可直接由斜率公式1212 y y k x x -= -，（其中12x x ≠）求解. 解：由斜率公式，可得 11111AB k --==-- ，2AC k == ，2BC k ==， 因此，三边AB ，BC ，AC 所在直线的斜率分别是1 2 ，2. 点评：利用斜率公式求斜率，关键是记清公式，分子分母不能记反.同时注意，当12x x ≠时，才能用斜率公式1212 y y k x x -=-求斜率，当12x x =时，斜率不存在. 三、 讨论参数分类求 例3 已知直线l 经过点(2,1)A m ，2(1,)B m （m R ∈），求直线l 的斜率，并求倾斜角α的取值范围. 解：（1）当21m =，即12 m =时，(1,1)A ，1(1,)4B ，此时直线l 与x 轴垂直，倾斜角α= 090，l 的斜率不存在. （2）当21m ≠，即12m ≠时，斜率为2112m k m -=-. 由210120m m ?->?->?或210120 m m ?-，此时()000,90α∈； 由210120m m ?->?-?得，1m >或112m -<<， 所以当1m >或112 m -<<时，0k <，此时()0090,180α∈； 当1m =时，(2,1)A ，(1,1)B ，当1m =-时，(2,1)A -，(1,1)B ， 所以当1m =±时，直线l 与x 轴平行，倾斜角0 0α=. 3.1.1直线的倾斜角和斜率教案 教学目标: 知识与技能：正确理解直线的倾斜角和斜率的概念；理解直线的倾斜角的唯一性；理解直线的斜率的存在性；斜率公式的推导过程；掌握过两点的直线的斜率公式。 情感态度与价值观： (1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力． (2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神． 重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学用具：计算机 教学方法：启发、引导、讨论. 教学过程： 一、直线的倾斜角的概念 1.我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢? (1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 2.引入直线的倾斜角的概念: 当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°；当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°. 坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角；而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向。因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. 二、直线的斜率 前进量 升高量度比（倾斜程度），即：坡表示倾斜面的“坡度”比” 用“升高量与前进量的日常生活中，我们经常直线的倾斜角与斜率(教学设计)
直线的倾斜角与斜率的关系
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
人教A版高中数学必修2第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率习题(3)
直线的倾斜角和斜率教案
直线的倾斜角、斜率与直线的方程
2022高三统考数学文北师大版一轮：第八章第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
直线斜率公式的应用
高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案
直线的斜率公式
直线倾斜角、斜率、斜率公式-直线方程的各种表示方法
(完整版)直线的倾斜角与斜率教学设计
直线的斜率教学案例
直线的倾斜角与斜率教学设计)
直线的倾斜角与斜率经典例题(学生版
直线的倾斜角与斜率测试题(含答案)
专题：直线的斜率和直线方程
直线斜率的求法]
高中数学-直线的倾斜角和斜率教案