圆内定理

2016年春季初三数学学案

圆

一、学习目标

1、熟记并运用圆内定理

2、学会圆内等角的表示或者找角的关系

3、学会运用圆内定理与三角形、四边形等性质一起结合使用。

二、知识点总结 知识点一 圆内定理

1、一个基本思路：圆→等腰三角形→等腰、等角、三线合一

2、三个基本概念：（同圆或者等圆中）弦、弧、圆心角【一等即三等】 【★注意：弦等不能得到圆周角相等】

3、四大定理：

（1）圆周角定理：在同圆或等圆中：①同弧或等弧所对的圆周角相等②都等于这条弧所对圆心角的一半

【六字真言→_→隐藏条件：角 找 弧，弧 找 角】

（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。【直 径 → 90°】 （3）圆内接四边形的对角互补【→_→隐藏条件：外 角 等 于 内 对 角】

例1、（2014年质检）如图9，⊙O 是△ABC 的外接圆，D 是︵ACB 的中点，DE ∥BC 交AC 的延长线于点E ，若

AE=10，∠ACB=60°，求BC 的长．

基础练习（★）：

1．（一中第一次月考）如图，BC CD DE ==，已知AB 是圆O 的直径，40BOC ∠=，那么AOE ∠=( ) A ．40? B ．60? C ．80? D ．120? 2．（一模）如图，O 是ABC ?的外接圆，100BOC ∠=?，则A ∠的度数为

第3题

图9

O

E

D

C B

A

C O

图2B A

E D O

图8C

B

A

3．（双十月考、外国语期中）如图，O 是ABC ?的外接圆，若40OCB ∠=?，则A ∠= 。

4．（莲花月考）如图，四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是小正方形顶点，O 的半径为2，P 是O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠等于（ ）

A ．30?

B ．45?

C ．60?

D ．90?

5．（湖滨期中）如图，ABC ?为O 内接三角形，AB 为O 的直径，点D 在O 上，68ADC ?∠=，

则BAC ∠的度数为 ．

6．（莲花月考）圆的弦长与它的半径相等，则该弦所对的圆周角的度数是（ ）

A ．30?

B ．150?

C ．30?或150?

D ．60?

7、（厦门中考）如图2，在⊙O 中，︵AB ＝︵

AC ，∠A ＝30°，则∠B ＝_________

A ．150°

B ．75°

C ．60°

D ．15°

8、（九上质检）如图，在⊙O 中，弦AC 和BD 相交于点E ，︵AB ＝︵BC ＝︵CD .若∠BEC ＝110°，则∠BDC 的度数是

A . 35°

B . 45°

C .55°

D . 70° 9、（同安一模）如图P ，在圆内接四边形ABCD 中，若∠C =80°，则∠A 等于( )

A ．120°

B ．100°

C ．80°

D ．90°

10、（2014年厦门质检） 如图2，A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，若∠AOC ＝110°，则∠ABC ＝ °.

11、（厦门中考）如图8，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，延长DC ，AB 相交于点E ．若BC ＝BE ．求证：△ADE 是等腰三角形.

图1

O

E D

C

B

A 图2O C

B

A

图P

12、如图，等边△ABC 内接于⊙O ，P 是弧AB 上任一点（点P 不与点A 、B 重合），连AP 、BP ，过点C 作CM ∥BP 交PA 的延长线于点M ．求证：△ACM ≌△BCP ；

中等练习（★★）：

1、（★★）如图，0

90AOB ∠=，C 、D 是AB 的三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F ，求证AE=BF=CD

2、（一中一模）（★★）如图7，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 四点，E 是AD 上，连接BE 交AD 于Q ，若∠AQE=

∠EDC ，∠CQD=∠E ，求证：AQ=BC 。

3、（2015年湖里区一模）（★★）如图11，点A ，B ，C ，D 均在O 上，AD ∥BC ，AC 和BD 相交于

点E ，AF 平分BAC ∠交BC 于点F ，点D 是AC 的中点．若AE =2．4，BE =3，BF =1．8，求AD 的

值．

4、（观音山月考）（★★）如图1，已知ABC ?，AB AC =，以边AB 为直径的O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，连接DE .

（1）求证：DE DC =. （2）如图2，连接OE ，将E D C ∠绕点D 逆时针旋转，

使EDC ∠的两边分别交OE 的延长线于点F 、交AC 的延长线于点G .试探究线段DF 、DG 的数量关系.

提升练习（★★★）：

1、（双十、湖滨、大同一模）（★★★）如图10，⊙O 为△ABC 的外接圆，H 为边AC 、AB 上高BD 、CE 的交点，

∠BHC=120°，在BD 上取点M ，使BM ＝CH ． （1）若半径OC=4，求︵BC l ； （2）若OH=2，求MH 的长度．

2、（思明区一模）（★★★）如图7，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB =BC ，点E 、F 分别是弦AD 、

DC 上的点．

(1) 若∠ABE =∠CBF ,BE =BF ．求证：BD 是⊙O 的直径． (2) 若AD =BC ，∠D =2∠EBF =90°，AE =ED =2．求DF 的长．

O

E A D

B

C

M

H 图7

A

B

C

D O E

F

3、（2015年质检）（★★★）已知四边形ABCD 内接于O ，对角线AC 与BD 相交于点P 。

（1）如图9，设

O 的半径是r ，若l

l

AB CD r π+=，求证：AC ⊥BD ；

（2）如图10，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为G ，AE 交BD 于点M ，交O 于点E ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为

H ，DF 交AC 于点N ，交O 于点F ，若AC ⊥BD ，求证：MN=EF

4、（新店月考）（★★★）已知∠ACG=90°，AC=2，点B 为CG 上的一个动点，连接AB ，将△ACB 沿AB 边

所在的直线翻折得到△ADB ，过点D 作DF ⊥CG 于点F 。点B 在CG 上向点C 运动，直线FD 与以AB 为直径的O 交于D 、H 两点，连接AH ，当∠CAB=∠BAD=∠DAH 时，

求BC 的长。

三、题型归纳 题型一 求半径

例1、（厦门中考）已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点．如图，若AC ⊥BD ，垂足为E ，AB ＝2 ，DC ＝4，求⊙O 的半径．

1、（松柏一模）（★★）在O中，AB⊥CD，OE⊥BC，垂足为E，AD=4，求OE的长。

2、（外国语一模）（★★★）如图，在⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，弦AG⊥弦BC于F点，CD与AG相交于M点。

（1）求证：BD BG

（2）如果AB=12，CM=4，求⊙O的半径。

题型二圆与旋转

例1、（十一中一模）（★★）圆O的直径AB为10cm，∠ACB的平分线交圆O于D，（1）求AD的长（2）若AC=6，求CD的长。

1、（★★）已知：⊙O是△ABC的外接圆，点M为⊙O上一点．

（1）如图，若△ABC为等边三角形，BM=1，CM=2，求AM的长；

（2）若△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BM=a，CM=b（其中b＞a），写出AM的长（用含有a，b 的代数式表示）．

2、（一中期中）（★★★）（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC；

（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：PA＝PC+2PB；

（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明。