2019届江苏省南京市中华中学等四校高三第一次联考数学试题(文)Word版

2019届江苏省南京市中华中学等四校高三第一次联考

数学试题（文）

数 学 Ⅰ

（满分160分，考试时间120分钟）

一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．请将答案写在答题卡相应位置. ) 1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}1,2,4B =，则()U C A B ?= ． 2.复数

2i

i

-的虚部是 ． 3．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为_________．

4．如图是某算法的流程图，其输出值a 是_________．

5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 .

6． 已知实数x ，y 满足?????x -y +2≥0，

x +y ≥0，x ≤1，

则z ＝2x ＋y 的最小值是_________．

7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，一条渐近线方程为 x －2y ＝0，则它的离心率为__________．

8．在等差数列{}n a 中，若392712a a a ++=，则13a = ．

9．函数)2

||,0,0)(sin()(π

φωφω<

>>+=A x A x f 的

第4题

(元)

第3题

B

A

D

C

F

E

（第16题）

部分图像如图所示，则将()y f x =的图象向右平移

6

π

个单位后，得到的图像解析式为____ ____． 10．已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此三棱锥的体积为_________． 11．过点P （4，0）的直线l 与半圆C ：(x －1)2＋y 2＝4（y >0）交于A ，B 两点，当△ACB 面

积最大时，直线l 的斜率为_________________．

12．已知△ABC 为等边三角形，=2AB ，设点P ，Q 满足=AP AB λ，=(1)AQ AC λ-，R λ∈，若3

=2

BQ CP ?-

，则=λ 13．已知正实数,a b 满足435a b +=，则

13

12a b

+

++的最小值为 ． 14. 若不等式3ln 1mx x -≥对(]0,1x ?∈恒成立,则实数m 的取值范围是_______. 二、解答题：(本大题共6

小题，共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15．（本小题满分14分）已知函数()sin()2cos()cos 22

f x x x x x π

π=?--+?+.

（1）求)(x f 的最小正周期；

（2）在ABC ?中，c b a ,,分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若4)(=A f ，1=b ，ABC ?的面积为2

3

，求a 的值.

16．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，BE ＝BC ，F

为CE 上的一点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ； （2）求证：AE ∥平面BFD ．

17．（本小题满分14分）如图所示，某市政府决定在以政府大楼

O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域

内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要

A

B

C

D

M

O

P

Q F

在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM R = ，45MOP ∠=，OB 与

OM 之间的夹角为θ.

（1）将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数.

（2）求当θ为何值时，矩形ABCD 的面积S 有最大值？其最大值是多少？(用含R 的式子表示)

18. (本小题满分16分)已知椭圆E ：x 2

4＋y 2＝1的左、右顶点分别为A 、B ，圆x 2＋y 2＝4上有一

动点P ，P 在x 轴上方，C(1，0)，直线PA 交椭圆E 于点D ，连结DC 、PB.

(1) 若∠ADC ＝90°，求△ADC 的面积S ；

(2) 设直线PB 、DC 的斜率存在且分别为k 1、k 2，若k 1＝λk 2，求λ的取值范围．

19. (本小题满分16分)已知数列{}n a 中,12a =,23a =,其前n 项和n S 满足

1121n n n S S S +-+=+,其中2n ≥,*n ∈N .

(1)求证;数列{}n a 为等差数列,并求其通项公式; (2)设n

n n a b -?=2, n T 为数列{}n b 的前n 项和,求使n T >2的n 的取值范围.

20．(本小题满分16分)设函数f (x)＝e x－ax－2，其中e是自然对数的底数．

（1）若a＝e，求f (x)的极小值；

（2）求f (x)的单调区间；

（3）已知a＝1，若对所有的x∈(0，＋∞)，都有(x－k)f′(x)＋x＋1＞0成立，求正整数k的取值集合．

2019届高三年级四校联考试题答案

一、填空题

1.{3,5}

2.

3. 700

4. 31

5.

6. —1

7.

8. 4 9.10. 3 11. 12.

13. 14.

二、解答题

15.解：（1）

4分

6分

（2）由，，

又的内角，，

，8分

，，，11分

，14分16．（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，AD⊥AB，∴AD⊥平面ABE，AE平面ABE，∴AD⊥AE．

∵AD∥BC，则BC⊥AE．………………3分

又BF⊥平面ACE，AE平面ACE,∴BF⊥AE．

∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，又BE平面BCE∴

AE⊥BE．…………………… 7分

（2）设AC∩BD=G，连接FG，易知G是AC的中点，

∵BF⊥平面ACE，CE平面ACE,则BF⊥CE．

而BC=BE，∴F是EC中点．…………………10分

在△ACE中，FG∥AE，

∵AE平面BFD，FG平面BFD，

∴AE∥平面BFD．………………………14分

17.解（Ⅰ）由题意可知，点M为的中点，所以

.

设OM于BC的交点为F，则，

.

.