高数下册试题库 (1)

整理高等数学下册

试题库

一、填空题

1. 平面01=+++kz y x 与直线

1

1

2

z y x =

-=

平行的直线方程是

___________ 2. 过点)

0,1,4(-M 且与向量

)1,2,1(=a 平行的直线方程是

________________

3. 设k i b k j i a λ+

=-+=2,4，

且b a ⊥，则=λ__________ 4. 设1)(,2||,3||

-===a b b a ，则

=∧

),(b a ____________

5. 设平面0=+++D z By Ax 通过

原点，且与平面0526=+-z x 平行

，

则

___

____

_

_____===D B A 6. 设直线

)

1(2

21-=+=

-z y m

x λ与平面025363=+++-z y x 垂

直

，

则

_

________

_

____

_

__,==λm

7. 直线???==0

1

y x ，绕z 轴旋转一周所形成

的旋转曲面的方程是_______________ 8. 过点)1,0,2(-M 且平行于向量

)1,1,2(-=a 及)4,0,3(b 的平面方

程是__________ 9. 曲面

2

22y x z +=与平面5=z 的

交线在

x o y 面上的投影方程为

__________

10. 幂级数

1

2

n

n

n n x

∞

=∑

的收敛半径是

____________ 11. 过直线

1 3222x z y --=+=-且平行于直线

1

1 3 0

2

3

x y z +-+=

=

的平面方

程是_________________ 12. 设

),

2ln(),(x

y x y x f +

=则

__________

)0,1('

=y f

13. 设

),arctan(xy z =则

____________,__________=??=??y

z

x z 14. 设

,

),(2

2

y x y x xy f +=+则

=),('

y x f x ____________________

15. 设,y x

z

=则=dz _____________

16. 设

,

),(3

2y x y x f =则

=-)2,1(|dz ______________

17. 曲

线

t t z t y t x c o s i n

,s i n ,c o s

+===，在对应的0=t 处的切线与平面

=-+z By x 平行，则

=B __________

18. 曲面

2

2y x z +=在点)2,1,1(处的

法线与平面01=+++z By Ax 垂直

，

则

==B A _

__

___

______________

19. 设}2,0,1{-=a ，}1,1,3{-=b ，则

b a ?=________， b a ?=____________

20. 求通过点)4,1,2(0-M 和z 轴的平面方

程为________________

21. 求过点)0,1,0(0M 且垂直于平面

23=+-y x 的直线方程为

_______________

22. 向量d 垂直于向量]1,3,2[-=a

和

]3,2,1[-=b ，且与]1,1,2[-=c

的数量

积为6-，则向量

d

=___________________

23. 向量b a

57-分别与b a

27-垂直于向

量b a 3+与b a

4-，则向量a 与b 的夹

角为_______________

24. 球面9222=++z y x 与平面1

=+z x 的交线在x O y 面上投影的方程为

______________

25. 点

)1,`1,2(0-M

到直线l

：??

?=+-+=-+-0

32012z y x z y x 的距离d 是

_________________

26. 一直线l 过点)0,2,1(0M 且平行于平面

π：042=-+-z y x ，又与直线l ：

1

22

11

2-=-=-x y x 相交，则直线l

的方程是__________________

27. 设

__________

b 3a 2则

,3πb a 2,b 5,

a =-=???

? ???==∧

28. 设

知

量

b

,a 满足{}

1

,1

1,b a 3,b a -=?=?

，则

____________b ,a =???

? ??∧

29. 已

知

两

直

线方程13

z 02y 11x :L 1--=-=-，

1

z 1

1y 2

2x L :

2=

-=

+，则过1L 且平行

2L 的平面方程是__________________

30. 若2=

b a ，π

()2

= a ,b ，则=?b a

2 ，=?b a ____________

31. =??=x

z ,x z y

则

______________.

y

z ??=_________________

32. 设

()()()____________2,1z ,

x y x,sin x 11y z x 3

2

='++-=则

33. 设 ()1ylnx xlny y x,u -+= 则

______________________du =

34. 由方程2z

y x xyz 2

22=+++确

定()y x,z z =在点()1,0,1-全微分

=dz ______

35. ()222y x f y z -+= ，其中()u f 可微，

则 ___________

y

z x

z y

=??+??

36. 曲线?

??=+=1,

22

2

z y x z 在xOy 平面上的

投影曲线方程为 _________________ 37. 过原点且垂直于平面022=+-z y 的

直线为__________________

38. 过点)2,1,3(--和)5,0,3(且平行于x 轴

的平面方程为 _________________ 39. 与平面062=-+-z y x 垂直的单位

向量为______________ 40. )y

x (

x z 2

?=,(u)?可微，则

____________y

z y

x

z 2

=??+??

41. 已知2

2ln y

x z +=，则在点)1,2(处

的全微分_________________=dz

42. 曲面32=+-xy e z z 在点)0,2,1(处的

切平面方程

为

____

_

____

____

43. 设()

y x z z .= 由方

程0

2=+--z

xy

e z e

，

求

x

z ??=________________

44. 设()()xy x g y x f z ,2+-=，

其中()t f 二阶可导，()v u g ,具有二阶

连

续

偏导数 有

y

x z 2

???=___________________

45. 已知方程

y

z ln

z

x = 定义了

()y x z z .=，求2

2

x

z ??=_____________

46. 设

()

z y x f u ..=，

()0..2=Φz e x y

，x y sin =，其

中f ，Φ都具有一阶连续偏导数，且

z

≠???，求

dx

dz =______________________ 47. 交

换

积分次序=

?

?-2

21

),(y y

dx y x f dy

_______________________________ 48. 交

换

积

分

次

序

dx

y x f dy dx y x f dy y

y

??

??-+

2

1

20

1

00

),(),(

=___________________ 49. _________

==

??dxdy xe

I D

xy

其中}

10,10),({≤≤≤≤=y x y x D 50. =I

________

)23(=+??dxdy

y x D

，

其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围 51. =I

________

112

2

=++

??

dxdy y

x D

，其中D 是由42

2

≤+y x 所确定的圆

域 52. =

I

_

__________

2

2

2

=--??

dxdy y x a D

，其中D ：2

2

2

a y x ≤+

53. =I

________

)6(=+??dxdy

y x D

，其

中D 是由1,5,===x x y x y 所围成的区域 54. ??-2

2

2

x

y

dy e

dx ＝

_____________________

55. _

__________

)

(2

2

12

210

=+??-

x

x

dy y x dx 56. 设

L 为9

2

2=+y

x ，则

→

→

→

-+-=j x x i y xy F )4()22(2

按L 的

逆时针方向运动一周所作的功为.___________

57. 曲线()???

+==1,2,7y

3x z 2x y 2

2在

点处

切线方程为______________________

58. 曲面2

2

y 2

x

z +=

在（2，1，3）处的法

线方程为_____________________

59. ∑

∞

=1

1n p

n

，当p 满足条件 时

收敛

60. 级数

()

∑

∞

=---1

2

2

1n n

n n 的敛散性是

__________

61. n n n x a ∑∞

=1

在x=-3时收敛，则n

n n x a ∑∞

=1

在

3

62. 若()∑∞

=1

ln n n

a 收敛，则a 的取值范围是

_________

63. 级数)2

1)

1(1(

1

n

n n n -

+∑∞

=的和为

64. 求

出级数的和

()()

∑∞

=+-1

12121

n n n =___________

65. 级数∑

∞

=0

2

)3(ln n n

n

的和为 _____

66. 已知级数

∑∞

=1

n n

u

的前n 项和

1

+=

n n s n ，则该级数为____________

67. 幂级数n

n n

x n

∑

∞

=1

2

的收敛区间为

68. ∑

∞

=--1

1

21

2n n n x

的收敛区间为 ，

和函数)(x s 为

69. 幂级数∑

∞

=≤<0

)10(n p

n p n

x 的收敛区间

为

70. 级数

∑∞

=+0

11

n n

a

当a

满足条

件

时收敛

71. 级数

()

21

24

n

n

n x n ∞

=-∑

的收敛域为

______

72. 设幂级数0n n n a x ∞

=∑的收敛半径为3，则幂

级数

1

1

(

1)

n n

n n a x ∞

+=-∑的收敛区间为

_____ 73. 2

31)(2

++=

x x x f 展开成x+4的幂级

数为 ，收敛域为 74. 设函数)21ln ()(2x x x f --=关于x

的幂级数展开式为 __________，该幂级数的收敛区间为 ________

75. 已知

1ln ln ln =++x z z y y x ，则

=????????z

y y x x z ______ 76. 设

xy y x z )

1(2

2++= y

,那么

=

??x

z _____________

，

=??y

z _____________

77. 设

D 是由2=xy 及3=+y x 所围

成

的

闭

区

域

，

则

=??D

dxdy _______________

78. 设

D

是由

1

||=+y x 及

1||=-y x 所围成的闭区域，则

=??D

dxdy _______________ 79. =+?C

ds y x )(2

2________________,

其中

C

为圆周

)

20(s i n ,c

o s π≤≤==t t a y t a x

80. =-?L

dx y x )(2

2

________________,

其中L 是抛物线

2

x y =上从点()

0,0到点()4,2的一段弧。

二、选择题

1. 已知a 与b 都是非零向量，且满足b a b a +=-，则必有（ ）

(A)0=-b a ； (B)0=+b a ； (C)0=?b a (D)0=?b a

2. 当a 与b 满足（ ）时，有

b a b a +=+；

(A )⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D )?=a b a b ．

3. 下列平面方程中，方程( )过y 轴； (A) 1=++z y x ； (B) 0=++z y x ； (C) 0=+z x ； (D) 1=+z x ．

4. 在空间直角坐标系中，方程

2

2

21y

x z --=所表示的曲面是

( )；

(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面

5. 直线

1

11

2

1-+=

=

-z y x 与平面

1=+-z y x 的位置关系是( )．

(A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为

π4

； (D) 夹角为π4

-

．

6. 若直线(2a +5)x +(a -2)y +4=0与直

线(2-a )x +(a +3) y -1=0互相垂直，

则（ ）：

(A). a =2 (B). a =-2 (C). a =2或a =-2 (D). a =±2或a =0 7. 空间曲线???=-+=5

,

222z y x z 在xOy 面

上的投影方程为( ) (A)72

2=+y x ； (B)??

?==+5722z y x ； (C)

??

?==+0

722z y x ；(D)???=-+=0

2

22z y x z

8. 设()21cos ,0

1,0

2

x

x x

f x x -?≠??=?

?=??，则关

于()f x 在0点的6阶导数()

()60f 是

（ ）

(A)．不存在 (B)．16!

- (C)．156

- (D)．

156

9. 设

)

,(y x z z =由

方

程

0),(=--bz y az x F 所确定，其中),(v u F 可微，b a ,为常数，则必有

（ ） (A)

1=??+??y z

b

x z a (B) 1=??+??y

z a

x

z b

(C)

1=??-??y

z b

x

z a

(D) 1=??-??y

z a

x

z b

10. 设

函

数

()()()()()

????

?

=≠+=0,0,0

0,0,1s

i

n ,2

2

y x y x y

x xy y x f ，则函()y x f ,在()0,0处（ ）(A)．不连续 (B)．连续但不可微 (C)．可微 (D)．偏导数不存在 11. 设函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数

存在，则()y x f ,在点()00,y x 处 ( )

(A).有极限 (B).连续 (C).可微 (D).以上都不成立

12. 设 ()dt e x y x t

?-=2

2

?，则

=??x

? ( )

(A).e -x 4

y 2

(B).e -x 4

y 2

2xy (C).e -x 4

y 2

(-2t) (D).e -x 4

y 2

(-2x 2y)

13. 已知()y x f ,在()b a ,处偏导数存在，则

()()

()=

--+→h

b h a f b h a f h ,,lim

(A).0 (B).()b a f x ,2' (C).()b a f x ,' (D).()b a f x ,2' 14. 设

??

???=+≠++=0,00,),(222

22

2y x y x y

x xy y x f ，

则在)0,0(点关于),(y x f 叙述正确的

是（ ） (A) 连续但偏导也存在

(B) 不连续但偏导存在

(C) 连续但偏导不存在

(D) 不连续偏导也不存在 15. 函

数()()

()0,

y

x 0y x 0x y y 4x y x,f 2

222

2

2

442在=+≠+??

?

??+=极限( )

(A).0 (B).不存在 (C).无法确定 (D).以上都不成立 16. 设

?

?? ?

?

+=4arctan πxy z ，则

()=

??x

z

(A)

)

4

(1π

+

+xy xy

(B)

2

)

4

(11π

+

++xy x

(C)

2

2

)

4

(1)

4(sec ππ

+++

xy xy xy

(D)

2

)

4

(1π

+

+xy y

17. 关于x 的方程2

1x

k x -=+有两个

相异实根的充要条件是( ) (A).-2

<

k

<

2 (B). -2≤k ≤2 (C).1

<

k

≤

2 (D). 1≤k <2

18. 函

数

()()()()()

????

?

=≠+=0,0,00,0,1s

i

,2

2

y x y x y

x xy y x f ，则函()y x f ,在()0,0处（ ）

(A).不连续 (B)．连续但不可微

(C).可微 (D).偏导数不存在

19. 设??

? ??x y x f ,= 2

2sin y x xy x + ，则 ?f(x,y)

?x = ( ) (A).

2

2

sin

y

x xy ++2

2

cos

y

x xy x +(

)()

2

2

2

2

2y

x

x

y y +-?

(B)．2

1sin

y

y x +

(C).

2

1sin

y

y +

(D).2

1cos

y

y x +

20. 函数 2

2y x z +=在点()0,0处

( ) (A).不连续 (B)．连续且偏导数存在 (C).取极小值 (D).无极值

21. 设 ???

? ??+=y x xy z ln ,则 y x z

???2

= ( )

(A).0 (B)． 1

(C).x 1 (D).1

2+y y 22. 设 ()2

2

z

x yf z x -=+则

z

?z ?x

+ y ?z ?y

= ( ) (A).x (B)．y

(C).z (D).()22z x yf - 23. 若函数()y x f ,在点()00,y x 处取极大

值，则 ( )

(A).()0,00='y x f x ,()0,00='y x f y (B)．若()00,y x 是D 内唯一极值点，则必为最大值点 (C).

()

[]

()()()0,,0,,,0

000002

00

<''<''?''-''y x f y x f y x f y x

f xx yy xx xy

且

D 、以上结论都不正确 24. 判断极限()=

+→→y

x x y x 0

0lim

(A).0 (B)．1

(C).不存在 (D).无法确定 25. 判断极限()=

+→→22

2

lim

y

x y x y x

(A).0 (B)．1 (C).不存在 (D).无法确定

26. 设()y x f ,可微，()43,x x x f =，则

()()=

'3,1x f

(A).1 (B)．-1 (C).2 (D).-2

27. 设()x

e yz z y x

f 2

,,=，其中()

y x g z ,=是由方程0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则

()()=

-'1,1,0x f

(A).0 (B)．-1 (C).1 (D).-2

28. 设()z y x f ,,是k 次齐次函数，即

()()z y x f t tz ty tx f k

,,,,=，其中k 为某

常数，则下列结论正确的是（ ）

(A)

()z y x f k z

f z

y

f y

x f x t

,,=??+??+??

(B)．()z y x f t z

f z

y

f y

x

f x

k

,,=??+??+??

(C).

()z y x kf z

f z

y

f y

x

f x

,,=??+??+??

(D).()z y x f z f

z y f y x f x ,,=??+??+??

29. 已知()

σd x y I D

??+=

2

2sin cos

，其中

D 是正方形域：10,10≤≤≤≤y x ，

则( )

(A).2

1≤≤I B ．21≤

≤I

(C).20≤≤I (D).20≤

≤I

30. 设()()dudv v u yf xy y x f D ??+=,4,2

，

其中D 是由,0,==x x y 以及1y =围成在，则()()=''y x f xy

,

(A).x 4 (B)．y 4

(C).x 8 (D).y 8 31. 设(){}

0,|,2

2

2

≥≤+=

y a y

x

y x D ，

(){}

,0,|,2

2

2

1≥≥≤+=

x y a y x

y x D ，则下列命题不对的是：（ ）

(A).????

=1

2

22D D

yd x yd x σσ

(B)．????=1

2

22D D

d xy yd x σσ

(C).

????=1

2

2

2D D

d xy d xy

σσ

(D).02

=??D

d xy σ

32. 设()y x f ,是连续函数，当0→t 时，

()()

2

2

2

2

,t

o dxdy

y x f t

y x =??≤+，

则

()()=0,0f

(A).2 (B)．1 (C).0 (D).

2

1

33. 累

次

积

分

()r

d r r r f d ?

?

θ

π

θθθc o

s

20

s

i n

,c

o s 可写成（ ）

(A).

()dx y x f dy y y ?

?

-2

10

,

(B)．()dx y x f dy y ?

?-2

10

1

,

(C).()dy y x f dx ??1

01

0, (D).()dy y x f dx x x ?

?-2

1

0,

34. 函数()()224,y x y x y x f ---=的极

值为（ ） (A).极大值为8 (B)．极小值为0

(C).极小值为8 (D).极大值为0 35. 函数xy z =在附加条件1=+y x 下的

极大值为（ ） (A).

2

1 (B)．

2

1- (C).

41

D ．1 36. ()=

??+σd e

D

y

x ，其中D 由

1

≤+y x 所确定的闭区域。 (A).1

-+e e (B)．1

--e e

(C).2

--e

e (D).0

37. ??

??

+=

+=

D

D

dxdy

y x I dxdy y x I 2

23

1)()(与，其中2)1()2(2

2≤-+-y x D ：的大小

关系为:（ ）。

(A). 21I I = (B). 21I I > (C). 21I I < (D). 无法判断

38. 设)

,(y x f 连续,且

??

+

=D

dudv v u f xy y x f ),(),(,其中D

由1,,02===x x y y 所围成,则

)(

),(=y x f

(A). xy (B). xy 2 (C). 1+xy (D). 8

1+

xy

39. σd y x y x ??

≤++1

5222

2

的值是( ) (A)

3

5π (B)

6

5π (C)

710π

(D)

1110π

40. 设D 是 1≤+y x 所围成区域, 1D 是

由直线1=+y x 和x 轴, y 轴所围成的区域，则 ()()=

++??dxdy y x D

1

(A) ()dxdy

y x D ??++1

14 (B) 0

(C)()dxdy y x D ??++1

12 (D) 2

41. 半径为a 均匀球壳)1(=ρ对于球心的

转动惯量为（ ）

(A) 0 (B)4

2a π (C)

4

4a π (D) 4

6a π

42. 设椭圆L ：

13

4

22

=+

y

x

的周长为l ，

则?

=+L

ds y x 2

)23(（ ）

(A) l (B) l 3 (C)

l 4 (D) l 12

43. 下列级数中收敛的是（ ） （A ）

∑

∞

=+1

8

84n n

n

n （B ）∑

∞

=-1

8

48n n

n

n （C ）

∑

∞

=+1

8

42n n

n

n (D)∑

∞

=?1

8

42n n

n

n

44. 下列级数中不收敛的是（ ） （A ）)11(ln 1

n

n +

∑∞

=

（B ）∑∞

=1

3

1

n n

（C ）

∑

∞

=+1

)

2(1n n n （D ）∑

∞

=-+1

4

)

1(3n n

n

n

45. 下列级数中收敛的是（ ）

（A ）

∑

∞

=1

1n n

n

n （B ）

∑

∞

=++1

)2(1n n n n

（C ）∑

∞

=?12

3

n n

n n （D ）∑

∞

=+-1

)

3)(1(4

n n n 46. ∑∞

=1

n n u 为正项级数，下列命题中错误的

是（ ） (A)如果1lim

1<=+∞

→ρn

n n u u ，则∑∞

=1

n n u 收敛。 (B) 1lim

1>=+∞

→ρn

n n u u ，则∑∞

=1

n n u 发散

(C) 如果

11<+n

n u u ，则

∑∞

=1

n n u

收敛。

(D)如果

11>+n

n u u ，则∑∞

=1

n n u 发散

47. 下列级数中条件收敛的是（ ）

（A ）n

n n 1)

1(11

∑∞

=+- （B ）2

1

1)1(n

n n

∑∞

=-

(C ）1

)

1(1

+-∑∞

=n n n n

（D ）)

1(1)1(1

+-∑∞

=n n n n

48. 下列级数中绝对收敛的是（ ）

（A ）n

n n

1)

1(1

∑∞

=- （B ）∑

∞

=+-21

ln )

1(n n n

（C ）

∑

∞

=+-1

1

)

1(n n n

n （D ）∑

∞

=+-2

1

ln )

1(n n n

n

49. 当)(1

∑∞

=+n n n b a 收敛时，∑∞

=1

n n a 与∑∞

=1

n n

b （ ）

（A ）必同时收敛 （B ）必同时发散 （C ）可能不同时收敛 (D)不可能同时收敛

50. 级数∑∞

=1

2

n n a 收敛是级数∑∞

=1

4

n n

a 收敛的

（ ）

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件

（D ）既非充分也非必要条件

51. ∑∞

=1

n n a 为任意项级数，若

0lim =∞

→n n a ，则该级数（ ）

（A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）

发散 （D ）敛散性不确定

52. 下列结论中，正确的为（ ）

（A ）若

∑

∞

=1

n n u 发散，则

∑∞

=1

1

n n

u

发散

)0(≠n u ； （B ）若∑∞=1

n n u 收敛，则∑

∞

=1

1n n

u 发散)0(≠n u

（C ）若∑∞=1

n n u 收敛，则∑∞

=+

1

100

)10

1(n n u 收

敛；

（D ）若

∑∞

=1

n n

u

与

∑∞

=1

n n

v

发散，则

∑∞

=+1

)(n n n

v u

发散

53. 函数x

x f +=

11

)(的麦克劳林展开式

前三项的和为（ ）

（A ）2

4

321x x +

-；

（B ）2

4

321x x ++； （C ）

2

8321x x +-

； （D ）28

3

21x x

+

+

54. 设

||

2

n n n a a p +=

，

||

,1,2,3,2

n n n a a q n -=

=???，则下列命

题正确的是（ ）．

（A ）若1

n n a ∞

=∑条件收敛，则1

n n p ∞

=∑与1

n

n q ∞

=∑都收敛；

（B ）若1

n n a ∞

=∑绝对收敛，则1

n n p ∞

=∑与1

n

n q ∞

=∑都收敛；

（C ）若1

n n a ∞

=∑条件收敛，则1

n n p ∞

=∑与1

n

n q ∞

=∑的敛散性都不定；

（D ）若1

n n a ∞

=∑绝对收敛，则1

n n p ∞

=∑与1

n

n q ∞

=∑的敛散性都不定.

55.

设 , 则（ ）

(A)

与

都收

敛.

(B) 与

都

发散.

(C)

收敛,

而

发

散.

(D)

发散, 收

敛

56. 75、

若

在

处收

敛,

则此级数在

处（ ）

(A) 条件收敛, (B) 绝对收敛, (C) 发散, (D) 收敛性不确定

57.

设幂级数

的收敛半径为3, 则

幂级数

的必定收敛的

区间为 （ ）

(A) (－2, 4) (B) [－2, 4] (C) (－3, 3) (D) (－4, 2)

58. 若幂级数n n n x a ∑∞

=1

的收敛半径为R ，则

幂级数

()

n

n n

x a 21

-∑∞

=的收敛开区间为

（ ）（A ）()R R ,

- （B ）()R R +-1,1 （C ）()∞+∞-, （D ）

()R R +-2,

2

59. 级数

∑

∞

=--1

)

5(n n

n

x 的收敛区间

（ ）

（A ）（4，6） （B ）[)6,4 （C ）

(]6,4 （D ）[4，6]

60. 若级数∑

∞

=--11

2)2(n n

n a x 的收敛域为[)4,3，则

常数a =（ ）

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）以上都不对 61. 若幂级数

()

n

n n

x a 11

-∑∞

=在1-=x 处收

敛，则该级数在2=x 处（ ）

（A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不能确定 62. 函数2

)(x e x f -=展开成x 的幂级数为

（ ）

（A ）

∑

∞

=0

2!

n n

n x

（B ）

∑

∞

=?-0

2!

)1(n n

n n x

（C ）∑

∞

=0

!

n n

n x

（D ）∑

∞

=?-0

!

)1(n n

n

n x

63. 函数()2

41x

x

x f -=

展开成x 的幂级数

是（ ）

（A ）

n

n x

21∑

∞

= （B ）n n n x 21

)1(∑∞

=-

（C ）n

n x

22

∑∞

= （D ）n n n x 22

)1(∑∞

=-

64．下列各组角中，可以作为向量的方向角的是（ ） （

A ）3

π

，4

π

，

3

2π

（B ）3

π

-，4

π

，3

π

（

C

）6

π

，

π，

6

π

（D ）

3

2π，

3

π

，

3

π

65．向量()z y x a a a a ,,=与x 轴垂直，则（ ）

（A ）0=x a （B ） 0=y a （C ）

0=z a （D ） 0==x y a a

66．设()()1,1,1,1,1,1--=-=b a ，则有（ ）

（A ）b a // （B ）b a ⊥ （C ）

3,π=???? ??∧b a （D ）32,π=???? ??∧b a 67．直线

??

?=+=+1

21

2z y y x 与直线

1

1

01

1--=

-=

z y x

关系是( )．

(A) 垂直； (B) 平行； (C) 重合； (D) 既不平行也不垂直．

68．柱面02=+z x 的母线平行于（ ） （A ）y 轴 （B ）x 轴 （C ） z 轴

（D ）zox 面

69．设c b a c a b a ,,,?=?均为非零向量，

则（ ）

（A ） c b = （B ）)//(c b a - （C ） )(c b a -⊥ （D ）c b = 70．函数()xy ln =z 的定义域为（ ） （A ）0,0≥≥y x （B ）

0,00,0≤≤≥≥y x y x 或

（C ） 0,0<>y x 或0,0<

71．()2

2

,y

x xy y x f +=

，则()=

??

?

??1,x y f

（A ）

2

2

y

x xy + （B ）

xy

y x 2

2+ （C ）

1

2

+x x （D ）

4

21x

x

+

72．下列各点中，是二元函数

()x y x y x y x f 933,2

3

3

-+--=的极值

点的是（ ）

（A ） ()1,3-- （B ） ()1,3 （C ）()1,1-． （D ）()1,1-- 73．=--?

?-dy y x dx x 2

10

2

21

01（ ）

（A ） 23π （B ） 32π

（C ）

3

4π （D ）6π

74．设D 是由2=x ，1=y 所围成的闭区域，则=??

dxdy xy D

2

（ ）

（A ） 3

4

（B ） 3

8

（C ）

3

16 （D ）0

75．设D 是由π≤≤≤≤y x 0,10所确定的

闭区域，则()=??dxdy xy y D

cos （ ）

（A ） 2 （B ） π2 （C ） 1+π （D ）0

三、计算题

1、下列函数的偏导数

（1）6

2456y y x x z +-=；

（2）)ln(2

2

2

y x x z +=；

（3）y

x xy z +

=；

（4）)(cos )sin(2xy xy z +=；

（5）)sin (cos e y x y z x +=；

（6）????

??=y x z 2tan ； （7）x

y

y x z cos sin ?=；

（8）y xy z )1(+=；

（9）)ln ln(y x z +=；

（10）xy

y x z -+=1arctan

； （

11）)

(2

2

2

e z y x x u ++=； （12）z y

x u =

(13)2

2

2

1

z

y x u ++=

；

（14）z

y

x u =；

（15）∑==n i i i x a u 1（i a 为常数）；

（16）ji ij n

j i j i ij a a y x a u ==∑=,1

,且为

常数。

（17）t y t x e z y x ===-,sin ,

2

t y t x e

z y

x ===-,

sin ,2；求

t

z d d

2．设2

2

),(y

x y x y x f +-

+=，求

)4,3(x f 及)4,3(y f 。

3．设2

e

y

x

z =，验证02=??+??y

z y

x

z x

。

4．求下列函数在指定点的全微分：

（1）2

2

3),(xy y x y x f -=，在点

)2,1(； （2）)1ln(),(2

2

y x y x f ++=，在点)4,2(； （3）2

sin ),(y

x y x f =

，在点)1,0(和

??

? ??2,4π。 5．求下列函数的全微分：

（1）x y z =；

（2）xy

xy z e =； （3）y

x y x z -+=；

（4）2

2

y

x y z +=；

（5）2

22

z

y x u ++=

；

（6）)ln(222z y x u ++=。 6．验证函数

?

?

?

??=+≠++=0,0,0,),(222

222y x y x y x xy y x f

在原点)0,0(连续且可偏导，但它在该点不可微。

7．验证函数

??

???=+≠+++=0,0,0,1

sin )(),(222

22

2

22y x y x y

x y x y x f 的偏导函数),(),,(y x f y x f y x 在原点（0，

0）不连续，但它在该点可微。

8．计算下列函数的高阶导数：

（1）

x

y z arctan

=，求

22

2

22

,,

y

z

y x z

x

z ???????；

（

2

）)

cos()sin(y x y y x x z +++=，

求

22

2

22

,

,

y

z

y x z

x

z ???????；

（3）xy

x z e =，求

2

3

23

,y x z

y x z

??????； （4）)ln(cz by ax u ++=，求22

4

44

,

y

x z x

u ?????；

（5）q

p

b y a x z )()(--=，求

q

p

q

p y

x z

???

+； （

6

）

t

y t x y x

t z =

=

-+=,

1),

23tan(2

2

，求r

q

p

r q p z

y x u

????

++。

（7）x a y sin =，求u 3d ；

9. 计算下列重积分: （1）

,其中

是矩形闭

区域

:

,

（2

） ,其中

是

矩形闭区域

:

,

（3

） ,其中

是顶点分

别为 (0,0),

和

的三角形闭区

域. （4）

,其中

是由两条抛物

线

,

所围成的闭区域.

（5）,其中是由

所确定的闭区域.

（6） 改换下列二次积分的积分次序 ①

②

③

（7）

（8）

（9

）,其中

是由圆周

所围成的区域.

（10）,其中是由圆周

及坐标轴所围成的在第一象限

的闭区域.

（11）,

其中是由直线

,

及曲线所围成的闭区域

（12

）,

其中是由圆

周及坐标轴所围成的在第一象

限内的闭区域.

（13

）,其中

是由直线

,

,,

所围成的闭区域.

（14）,

其中是圆环形闭

区域:

（15）,

其中

是平行四边形闭区域,它的四个顶点是

,

,

和.

（16

）,

其中是由两条双曲

线

和,直线

和

所围成的在第一象限内的闭区域.

（17

）,

其中是由轴

,

轴和直线

所围成的闭区域

（18

）,

其中为椭圆形

闭区域

（19）化三重积分

为三次积分,其中

积分区域分别是

(1)由曲面及平面

所围

成的闭区域在一卦限内的闭区域。

(2)

由曲面(c>0),

,

所围成的在第一卦限内的闭区域.

（20

）计算,

其中为

平面

,

,

,

所围成的四面体.

（21

）计算,

其中是由平

面

,

,,以及抛物柱面

所围成的闭区域.

（22

）计算,

其中

是由锥面

与平面

所围成的闭区域.

（23）利用柱面坐标计算下列三重积分

(1)

,

其中是由曲面

及

所围成的闭区域

(2),其中

是由曲面

及平面

所围成的闭区域

（24）利用球面坐标计算下列三重积分

(1)

,其中

是由球面

所围成的闭区域.

(2)

,其中闭区域

由不等式

, 所

确定.

25.选用适当的坐标计算下列三重积分

(1),其中

为柱面

及平面

,

,

所围成的在第一卦

限内的闭区域

(2)

,其中

是由球

面

所围成的闭区域

(3)

,其中

是由曲面

及平面

所围成

的闭区域.

(4)

,其中闭区域

由不等

式

,

所确

定.

26.利用三重积分计算下列由曲面所围成的

立体的体积

(1)

及

(含有轴的部分).

(2)

及

二.曲线积分

1．计算下列对弧长的曲线积分

(1)

,其中

为圆周

,

(2),其中

为连接(1,0)及

(0,1)两点的直线段

(3)

,其中

为由直线

及抛物

线

所围成的区域的整个边界.

(4)

,其中

为圆周

,直线

及轴在第一象

限内所围成的扇形的整个边界.

(5)

,其中

为曲线

,,

上相应于

从0变到2的这段弧.

(6)

,其中

为折线

,这

里

,

,

,依次为点

(0,0,0),(0,0,2),

(1,0,2),(1,3,2).

(7)

,其中

为摆线的一拱

,

(8)

,其中

为曲线

,

2．计算下列对坐标的曲线积分

(1)

,其中

是抛物线

上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧

(2)

,其中

为圆

周

及轴所围成

的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行).

(3)

,其中

为圆

周(按逆时针方向绕行).

(4)

,其中

为曲线

,,

上对应

从0到的一段弧.

(5),其中

是

从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线

(6)

,其中

是抛物线

上从点

到点(1,1)

的一段弧.

3.计算

,其中

是

(1)抛物线

上从点(1,1)到点(4,2)

的一段弧.

(2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段

(3)先沿直线从点(1,1)到点(1,2),然后再

沿直线到点(4,2)的折线.

(4)曲线

,上从

点(1,1)到点(4,2)的一段弧.

4.把对坐标的曲线积分

划成对弧长的曲

线积分,其中

为

(1)在

面内沿直线从点(0,0)到点

(1,1)

(2)沿抛物线

从点(0,0)到点(1,1)

(3)沿上半圆周

从点(0,0)到

点(1,1)

5.计算下列曲线积分,并验证格林公式的正

确性.

(1)

,其中

是由抛物面和

所围成的区

域的正向边界曲线.

(2),其中

是四

个顶点分别为(0,0),(2,0),(0,2)和(2,2)

的正方形区域的正向

边界.

6.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形

的面积

(1)星形线

,

(2)椭圆

7.证明下列曲线积分在整个

面内与路

径无关,并计算积分值

(1)

(2)

8.利用格林公式,计算下列曲线积分

(1),其中为三顶点分别为(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界

(2)

,

其中为正向星形线

(3)

,

其中为在抛物

面上由点(0,0)

到的一段弧

(4),其

中

是在圆周上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧

9.

验证下列

在整个

平面内是某一函数的全微分,

并求这样的一个

(1)

(2)

(3)

第三部分级数

1. 判别下列级数的收敛性

(1)

(2)

(3)

(4)

2. 用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛性

(1)

(2)

(3)

(4)

3. 用比值审敛法判别下列级数的收敛性（1

）

（2）

（3）

4．用根值审敛法判别下列级数的收敛性

(1)

(2)

(3),其

中,

,,均为

正数.

5.判别下列级数的收敛性

(1)

(2)

(3)

(4)

6.判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,

是绝对收敛还是条件收敛?

(1)

(2)

(3)

(4)

7.求下列幂级数的收敛区间

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

8.利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的

和函数.

(1)

(2)

(3)

9.

将下列函数展开成的幂级数,并求展

开式成立的区间.

(1)

(2)

(3)

(4)

10.将

展开成的幂级数,并求

展开式成立的区间.

11.

将函数

展开成的

幂级数.

12.

将函数

展开成的幂级数.

13.将函

数展开

成

的幂级数.

14.利用函数的幂级数展开式求下列各数的

近似值.

(1)(误差不超过0.0001);

(2)(误差不超过0.00001)

(3)(误差不超过0.0001)

15.利用被积函数的幂级数展开式求下列定

积分的近似值.

(1)(误差不超过0.0001)

16.

将函数

展开成的幂级数

17.下列周期函数

的周期为,

试将

展开成傅里叶级数,

如果

在上的表达式为

(1)

(2)

(3)

(为常

数,且

)

18.将下列函数展开成傅里叶级数

(1)

(2)

19.将函数

展

开成傅里叶级数.

20.

设是周期为

的周期函数,

它在

上的表达式为

将展开成傅里叶级数.

21.

将函数

展开

成正弦函数

22.将函数分别

展开成正弦技术和余弦级数

23.将下列各周期函数展开成傅里叶级数

(下面给出函数在一个周期内的表达式)

(1)

(2)

(3)

24.将下列函数分别展开成正弦级数和余弦

级数