基本不等式柯西不等式知识点复习
基本不等式及应用
一、考纲要求：
1. 了解基本不等式的证明过程.
2 ?会用基本不等式解决简单的最大 （小）值问题. 3?了解证明不等式的基本方法一一综合法. 、基本不等式
基本不等式 不等式成立的条件
等号成立的条件
后a ——
b
a>0, b>0
a = b
三、常用的几个重要不等式
上述四个不等式等号成立的条件都是 a = b.
四、算术平均数与几何平均数
a —L b
,
设a>0, b>0,则a , b 的算术平均数为 一厂，几何平均数为 ab ，基本不等式可叙述为：
两个正数的
算术平均数不小于它们的几何平均数
.
四个“平均数”的大小关系;
a ,
b € R+：
当且仅当a = b 时取等号.
⑵如果和x + y 是定值S,那么当x = y 时积xy 有最大值^S 2.
4
强调：1、 “积定和最小，和定积最大”这两个结论时，应把握三点： “一正、二定、三相等、四
最值” ?当条件不完全具备时，应创造条件 .
2 2
(1)a + b > 2ab(a , b € R) (2)ab
a +
b 2
w (二)(a , b € R)
a +
b a + b 2 ⑶—曰〒)(a , b € R)⑷
b
+ b > 2（a , b 同号且不为
零）
a b 2ab a b
五、利用基本不等式求最值：设
x , y 都是正数.
（1）如果积xy 是定值P,那么当
x = y 时和x + y 有最小值 2 ,P.
正：两项必须都是正数;
定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。 等：等号成立的条件必须存在
2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？(若最值取不到可考虑函数的单调 性.)
【错因分析】 错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要 验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的. 误区警示:
(1) 在利用基本不等式求最值
(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件
3
的满足，这是造成解题失误的重要原因?如函数 y = 1 + 2x +-(x<0)有最大值1 - 2 6而不是有最小值
'X. '
2 6.
(2) 当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一 致性，否则就会出错. 课堂纠错补练:
n
4
若Ovx<"2，贝V f(x) = sinx +匚的最小值为 _____________
想一想：错在哪里?
2 .已知函数f(x)
1.已知函数
最小值和此时 :f (x)
且仅当
f(x) x
X 的取值. 1
x —
x 1 1
即 x 2.
1
，求函数的
x
2 x ?1
x
3、已知两正数x , y 满足 x +y = 1, 解一：因为对 a>0,恒有 解二：z
=红xy 2 2
x y — 2xy 求函数的最小值.
x 解 : f ( x) 当 且 仅 当
的 最 小 值 大 家 把 x
什 么 发 现 最 小 值 ?
(x + 二)(y + y) a +
2,从而 z = (x +
a
；32(x 2)，
3
x 2 2
3 即 x 2
x 3时，
-/3代入看一看， 用什么方法求该函
的最小值为
1
+ -) > 4，所以z 的最小值是°
(xy +xy) -2》2 xy ?xy -2=2( '，2-1)，所以z 的最小值是
2( ..''2 1).
x
x 6
。 是 2 ?
考点1利用基本不等式证明不等式 1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手, 借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”
2 ?证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立?同时也要注意应用基本不等式的变形形式.
例1: (1)已知a,b,c均为正数，求证: a1 2b2b2c2c2a2abc(a b c)
(2)已知a,b,c为不全相等的正数，求证: ab(a b) bc(b c) ac(c a) 6abc
1 1
(3) 已知a>0, b>0, a+ b= 1,求证：一+二》4.
a b
1 1 1
练习：已知a、b、c为正实数，且a+ b + c= 1，求证：(舌一1)(￡—1)(C —1)^8.
考点2利用基本不等式求最值
(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值.
(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法.
例4:⑴设0 【分析】由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件 【解】⑴I 0 12 ，+ (2) x>0 ，求f(x) = — + 3x 的最小值； x (3)已知:x>0,y>0.且2x+5y=20,求xy的最大值. 4 一 4)已知y三+a'求y的取值范围. 3 4 y>0,且x+ y= 1,求；+ 4的最小值. 练习: 求下列各题的最值. 2 5 ⑴已知x>0, y>0, Igx + Igy = 1,求z =】+ y的最小值; 12 (2)x 0,求f(x)= ——F 3x的最大值； x 4 ⑶x<3，求f(x)=匚^ + x的最大值. x 3 (4) a 0, b 0,4a b 1，求ab 的最大值。 考点3利用基本不等式求最值的解题技巧 1.代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式。 2.拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值. 例3: (1)已知a,b R , a b 3 ab，求ab的最小值。 (2)已知y2x 11x (0 x 1)，求y的最大值。 (3)已知a,b R , 2b22 a 1，求a 1 b的最大值。 2 2 2 (3)已知x y0 , xy1，求y的最小值及相应的x, y的值 x y 考点4基本不等式的实际应用应用基本不等式解决实际问题的步骤是： (1)仔细阅读题目，透彻理解题意； (2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数； (3)应用基本不等式求出函数的最值； (4)还原实际问题，作出解答. 练习： 1、有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大桥上的车距 1 d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：d= kv2l + -l(k为正常数)，假定车身长都为4 m，当车速为60 km/h时，车距为2.66个车身长. (1) 写出车距d关于车速v的函数关系式； (2) 应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？ 归纳提升： 1.创设应用基本不等式的条件： (1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目的是使“和式”或“积式”为定值，且每项 为正值； (2)在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换 是否有误的一种方法. 2 .常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接. 1 (1) a +->2(a>0,且a€ R),当且仅当a = 1 时“=”成立. a b a (2) 一+ >2(a>0 , b>0, a, b€ R)，当且仅当a= b 时“=”成立. a b 2 1 1 1 y x 1 x + y — 2xy 2 【正确解答】 z = (x + - )(y +-) = xy + +-+-= xy + + =一+ xy — 2, 、二维形式的柯西不等式 柯西不等式 (a 2 b 2)(c 2 d 2) (ac bd)2( a,b,c,d R,当且仅当 ad be 时,等号成立.) 、二维形式的柯西不等式的变式 (1)Va 2 b 2 Jc 2 d 2 ac bd (a, b,c, d R ,当且仅当ad be 时,等号成立.) (2) a 2 b 2 .. c 2 d 2 ac bd (a, b, c, d R ,当且仅当ad be 时,等号成立.) ⑶ (a b)(c d) (..ac , bd )2 (a , b, c, d 0 ,当且仅当 ad bc 时,等号成立.) 三、二维形式的柯西不等式的向量形式 ?1 riri.(当且仅当「是零向量， 或存在实数k,使」k 「时,等号成立.) 借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对 不是不等式的形状，但变成 (1/3) * (1A 2 + 1A 2 + 1A 2) * (a A 2 + b A 2 + c A 2) a A 2 + bA2 + cA2 ，并 就可以用柯西不等式了。 例题 【5】.设x , y ，z R ，且满足x 2 y 2 z 2 5，则x 2y 3z 之最大值为 解(x 2y 3z)2 (x 2 y 2 z 2)(1 2 22 32) 70 ??? x 2y 3z 最大值为、、70 【6】设x , y , z __________ 时，(x , y , z) R ，若 x 2 y 2 z 2 4，则 x 2y 2z 之最小值为 解(x x 22] 4 . 9 z ________ 6 ____ 2 22 ( 2)2 22 36 2 3 2 练习【8】、设x, y, z R, x y 2 z 2 25，试求 x 2y 2z 的最大值与最小 值。 【9】、设x, y, z R, 2x 2z 2 2 6，试求x y 2 z 之最小值。 柯西不等式的证明及相关应用 摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式： ()2 2211n n b a b a b a +++Λ()()2 222122221n n b b b a a a ++++++≤ΛΛ()n i R b a i i Λ2,1,,=∈ 等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数 ()()()2 2 222 11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=Λ =()()() 2 222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ΛΛΛ 由构造知 ()0≥x f 恒成立 又22120n n a a a +++≥Q L ()()() 0442 2221222212 2211≤++++++-+++=?∴n n n n b b b a a a b a b a b a ΛΛΛ 即()()() 22221222212 2211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当且仅当()n i b x a i i Λ2,10==+ 即12 12n n a a a b b b ===L 时等号成立 方法2 证明:数学归纳法 （1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()2 11a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 ( )()()()2 2 22 22222212 1211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++ ()()()2 22 1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立 （2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()() 22 221222212 2211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当 i i ma b =，m 为常数，k i Λ2,1= 或120k a a a ====L 时等号成立 设A=22221k a a a +++Λ B=2 2221k b b b +++Λ 1122k k C a b a b a b =+++L 2 C AB ≥∴ 弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ §06. 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a ?>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a b b a （对称性） （2）c a c b b a >?>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+?>（加法单调性） （4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>? <（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么 .2 a b +≤（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. 课题：二维形式的柯西不等式 备课教师：沈良宏参与教师：郭晓芳、龙新荣审定教师：刘德清 1、教学重点：二维形式柯西不等式的证明思路，二维形式柯西不等式的应用. 2、教学难点：二维形式柯西不等式的应用. 3、学生必须掌握的内容： 1．二维形式的柯西不等式 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 2．柯西不等式的向量形式 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． 3．二维形式的三角不等式 设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2. 注意： 1．二维柯西不等式的三种形式及其关系 定理1是柯西不等式的代数形式，定理2是柯西不等式的向量形式，定理3是柯西不等式的三角形式． 根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示． 2．理解并记忆三种形式取“＝”的条件 (1)代数形式中当且仅当ad＝bc时取等号． (2)向量形式中当存在实数k，α＝kβ或β＝0时取等号． (3)三角形式中当P1，P2，O三点共线且P1，P2在原点O两旁时取等号． 3．掌握二维柯西不等式的常用变式 (1) a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|. (2) a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|. (3) a2＋b2·c2＋d2≥ac＋bd. (4)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2. 4．基本不等式与二维柯西不等式的对比 (1)基本不等式是两个正数之间形成的不等关系．二维柯西不等式是四个实数之间形成的不等关系，从这个意义上讲，二维柯西不等式是比基本不等式高一级的不等式． (2)基本不等式具有放缩功能，利用它可以比较大小，证明不等式，当和(或积)为定值时，可求积(或和)的最值，同样二维形式的柯西不等式也有这些功能，利用二维形式的柯西不等式求某些特殊函数的最值非常有效． 4、容易出现的问题： 在二维形式的柯西不等式相关要点中，对式子(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2取等号的条件容易忽略，由于式子过长容易弄错各个数据之间的对应关系，使用公式时容易混淆公式中数据之间的关系，数据位置易出错。 5、解决方法： 柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等 式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为， 正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：( )()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=????? 当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 三角形式 ad bc =等号成立条件： 三角形式的证明： 222111n n n k k k k k k k a b a b ===?? ≥ ??? ∑∑∑ 不等式选讲知识点归纳及近年高考真题 考点一：含绝对值不等式的解法 例1．(2011年高考辽宁卷理科24)已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|. （I ）证明：-3≤f （x ）≤3；（II ）求不等式f （x ）≥x 2-8x+15的解集. 解：（I ）3, 2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤?? =---=-<+-=a x a x x f （1）当1=a 时，求不等式23)(+≥x x f 的解集；(2)如果不等式0)(≤x f 的解集为{} 1-≤x x ，求a 的值。 基本不等式及应用 一、考纲要求： 1.了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3．了解证明不等式的基本方法——综合法． 二、基本不等式 三、常用的几个重要不等式 (1)a 2＋b 2 ≥2ab (a ，b ∈R) (2)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (3)a 2 ＋b 2 2≥(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零) 上述四个不等式等号成立的条件都是a ＝b. 四、算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的 算术平均数不小于它们的几何平均数． 四个“平均数”的大小关系； a ， b ∈R+： 当且仅当a ＝b 时取等号. 五、利用基本不等式求最值：设x ，y 都是正数． (1)如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时和x ＋y 有最小值2P. (2)如果和 x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时积xy 有最大值14 S 2 . 强调：1、 “积定和最小，和定积最大”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件. 正：两项必须都是正数； +≤≤2 a b ≤+2ab a b 定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。 等：等号成立的条件必须存在. 2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性．） 想一想:错在哪里？ 3、已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝(x ＋1x )(y ＋1 y )的最小值为________． 解一：因为对a>0，恒有a ＋1a ≥2，从而z ＝(x ＋1x )(y ＋1 y )≥4，所以z 的最小值是4. 解二：z ＝2＋x 2y 2 －2xy xy ＝(2 xy ＋xy)－2≥2 2 xy ·xy －2＝2(2－1)，所以z 的最小值是2(2－1)． 【错因分析】 错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的． 【正确解答】 z ＝(x ＋1x )(y ＋1y )＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ＝xy ＋1xy ＋x ＋y 2 －2xy xy ＝2 xy ＋xy －2， 令t ＝xy ，则0 柯西不等式的证明及其应用 赵增林 （青海民族大学，数学学院，青海，西宁，810007） 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西不等式，并 给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 关键词：柯西不等式，证明，应用 柯西不等式 定理：如果1212,,,;,,,n n a a a b b b …………为两组实数，则 2222222 11221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… （*） 当且仅当12211331110n n a b a b a b a b a b a b -=-==-=……时等号成立。 若120,0,,0n b b b ≠≠≠……，则不等式的等号成立的条件是 12 12n n a a a b b b ===……。 我们称不等式（*）为柯西不等式。 柯西不等式的证明： 一）两个实数的柯西不等式的证明： 对于实数1212,,,a a b b ，恒有22222 11221212()()()a b a b a a b b +≤++，当且仅当 12210a b a b -=时等号成立。如果120,0b b ≠≠则等式成立的条件是12 12 a a b b =。 证明：对于任意实数1212,,,a a b b ，恒有 2222 22121211221221()()()()a a b b a b a b a b a b ++=++-，而21221()0a b a b -≥， 故2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++。 当且仅当12210a b a b -=时等号成立。 不等式的几何意义如图1所示，在直角坐标系中有 异于原点O 的两点12(,)P a a ，12(,)Q b b ，由距离公式 得：|OP |=，|OQ |= 不等式知识结构及知识点总结 一．知识结构 二．知识点 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性） a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 1 10;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()2 2 2a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2 a b ab +≤ ②（基本不等式） 2 a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 3 () a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()2 2 2 a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤333 3(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦ b a n b n a m a m b a b <++<<++<1其中(000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 2 2 .x a x a a x a 课题：二维形式的柯西不等式 学科：数学年级：高三班级： 主备教师：沈良宏参与教师：郭晓芳、龙新荣、刘世杰、刘德清审定教师：刘德清 1、教学重点：二维形式柯西不等式的证明思路，二维形式柯西不等式的应用. 2、教学难点：二维形式柯西不等式的应用. 3、学生必须掌握的内容： 1．二维形式的柯西不等式 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 2．柯西不等式的向量形式 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． 3．二维形式的三角不等式 设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2. 注意： 1．二维柯西不等式的三种形式及其关系 定理1是柯西不等式的代数形式，定理2是柯西不等式的向量形式，定理3是柯西不等式的三角形式． 根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示． 2．理解并记忆三种形式取“＝”的条件 (1)代数形式中当且仅当ad＝bc时取等号． (2)向量形式中当存在实数k，α＝kβ或β＝0时取等号． (3)三角形式中当P1，P2，O三点共线且P1，P2在原点O两旁时取等号． 3．掌握二维柯西不等式的常用变式 (1) a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|. (2) a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|. (3) a2＋b2·c2＋d2≥ac＋bd. (4)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2. 4．基本不等式与二维柯西不等式的对比 (1)基本不等式是两个正数之间形成的不等关系．二维柯西不等式是四个实数之间形成的不等关系，从这个意义上讲，二维柯西不等式是比基本不等式高一级的不等式． 选修 4--5 知识点 1、不等式的基本性质 ①（对称性） a b b a 同向可加性） a b,c ⑧（倒数法则） 2、几个重要不等式 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大） 三相等” . a b c 时取到等号） ④ （可积性） a b ,c ac bc a b ,c 0 ac bc ⑤ （同向正数可乘性） a b 0,c d 0 ac bd b 0,0 cd ab （异向正数可除性） cd ⑥ （平方法则） a b n a b n (n N,且n 1) 异向可减性） a b,c d N,且 n b 1) 0 a n a n b(n ③（三个正数的算术—几何平均不等式） abc 3 3 abc (a 、b 、 c R ） （当且仅当 ②（传递性） a b,b c ac ③（可加性） a b acbc ⑦（开方法则） 11 a b ;a 22 ① a 2 b 2 2ab a ， ,（当且仅当 b 时取 " " 号） . 变形公式： ②（基本不等式） ab a ， 变形公式： a 2 ab ab a b 2 ab ,（当且仅当 a b 时取到等号） a 2 b 2 2 ，要注意满足三个条件“一正、二定、 (a 2 b 2)(c 2 d 2) (ac bd ）2 （a,b,c,d R ）.当且仅当 ad bc 时，等号 成立 2 ax ⑨绝对值三角不等式 3、几个著名不等式 ②幂平均不等式： ④ 二维形式的柯西不等式： 2 ④ a b 2 2 c ab bc ca a ， b R （当且仅当 a b c 时取到等号） . 3 ⑤ a b 3 3 c 3abc(a 0,b 0,c 0) （当且仅当 a b c 时取到等号） . 若ab ⑥ 0,则 ba 2 ab （当仅当 a=b 时取等 号） 若ab b 0,则 a a 2 b ( 当仅当 a=b 时取等号） b b m 1 an bn a ⑦a a m b ，（其中 a b 0， 规律： 小于 1 同加则变大， 大于 1 同加则变小 . ⑧ 当a 0时，x 22 a x a x a 或 x a; m 0， n 0) 1 （a 1 n ③二维形式的三角不等式： 22 a 1 a 2 2 a n a 2 a n ) 2 . 22 x 1 y 1 22 x 2 y 2 (x 1 x 2)2 (y 1 y 2)2 (x 1,y 1,x 2,y 2 R). a. b. ①平均不等式： 2 11 ab ab b a 2 b 2 ， （a,b R ，当且仅当 a b 时取 " " 号） . （即调和平均 变形公 几何平均 算术平均 平方平均） . ab a b 22 ab b 2 (a b)2 2 《柯西不等式》知识点 所谓柯西不等式是指:设ai,bi∈R,则2≤,等号当且仅当==…=时成立。 柯西不等式证法: 柯西不等式的一般证法有以下几种： 柯西不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi，则有*≥^2. 我们令f=∑^2=*x^2+2**x+ 则我们知道恒有f≥0. 用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ=4*^2-4**≤0. 于是移项得到结论。 用向量来证. m=n= mn=a1b1+a2b2+......+anbn=^乘以^乘以cosX. 因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn 小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^乘以^ 这就证明了不等式. 柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法. 柯西不等式应用: 可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用。 巧拆常数： 例：设a、b、c为正数且各不相等。 求证：2/+2/+2/>9/ 分析：∵a、b、c均为正数 ∴为证结论正确只需证：2*[1/+1/+1/]>9 而2=++ 又9= 证明：Θ2[1/+1/+1/]=[++][1/+1/+1/]≥=9 又a、b、c各不相等，故等号不能成立 ∴原不等式成立。 像这样的例子还有很多，词条里不再一一列举，大家可以在参考资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献. 柯西简介: 789年8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。 他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式...在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质量都很高，因此 柯西不等式的几何意义 1．柯西不等式的几何意义 【知识点的认识】 柯西不等式的几何意义 柯西不等式的代数形式十分简单，但却非常重要．数学当中没有巧遇，凡是重要的结果都应该有一个解释，一旦 掌握了它，就使这个结果变得不言而喻了．而一个代数结果最简单的解释，通常驻要借助于几何背景．现在就对 柯西不等式的二维、三维情况做出几何解释． （1）二维形式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2 如图，可知线段OP，OQ 及PQ 的长度分别由下面的式子给出： |??|=?2+?2，|??|=?2+?2，|??|=(?―?)2+(?―?)2， θ表示OP 与OQ 的夹角．由余弦定理，我们有 |PQ|2＝|OP|2+|OQ|2﹣2|OP|?|OQ|cosθ， 将|OP|，|Oq|，|PQ|的值代入，化简得到???? = ??+?? ?2+?2??2+ ?2， 而 0≤cos2θ≤1，故有 ???2?= (??+??)2 (?2+?2)(?2+ ?2) ≤1， 于是（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2 这就是柯西不等式的二维形式． 我们可以看到当且仅当 cos2θ＝1，即当且仅当θ是零或平角，亦即当且仅当O，P，Q 在同一条直线上是时等号成 ? 立．在这种情形，斜率之间必定存在一个等式；换句话说，除非c＝d＝0，我们们总有?= ? ? ． （2）三维形式(?21+?2+?32)(?21+?2+?32)≥(?1?1+?2?2+?3?3)2 对于三维情形，设P（a1，a2，a3），Q（b1，b2，b3）是不同于原点O（0，0，0）的两个点，则OP 与OQ 之间的夹角θ的余弦有 ????= ?1?1+?2?2+?3?3?12+?2+?32??12+?2+?23 又由 cos2θ≤1，得到柯西不等式的三维形式： (?21+?2+?23)(?21+?2+?23)≥(?1?1+?2?2+?3?3)2 ?1当且仅当三点共线时，等号成立；此时只要这里的都不是零，就有?1=?2 ?2= ?3 ?3 ． 归纳柯西不等式的典型应用 归纳柯西不等式的典型应用 【摘要】：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的 方法证明了柯西不等式，介绍了如何利用柯西不等式技巧性解题，在证明不等式或等式，解方程，解三角形相关问题，求函数最值等问题的应用方面给出几个典型例子。最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 【关键词】：柯西不等式 ；证明；应用 【引言】：本人通过老师在中教法课上学习柯西不等式时，老师给出 了一些有关的例题并讲解，由于柯西不等式是一个非常重要的不等式，如果巧妙利用它，在高考可以节省很多宝贵时间，而且得分率高。因此，本文介绍归纳了柯西不等式的典型应用，经过收集及整理资料，得到四类的典型题。 【正文】： 1.柯西不等式的一般形式为： 对任意的实数 n n b b b a a a ,,,,,,2121?????? ()( ) 222112 22212 222 1 )(n n n n b a b a b a b b b a a a ??????++≥+??????+++??????++ 其中等号当且仅当λ=== n n b a b a b a 2211时成立,其中R ∈λ 变式：()()222112121)(n n n n y x y x y x y y y x x x ??????++≥+??????+++??????++ 2. 柯西不等式的证明： 证明柯西不等式的方法总共有6 种，下面我们将给出常用的2种证明柯西不等式的方法： 1）配方法： 作差：因为22211 1 ()()()n n n i j i i i j i a b a b ===-∑∑∑ 221 1 1 1 ()()()()n n n n i j i i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑ 2211 11 n n n n i j i i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑ 2222 111111 1(2)2n n n n n n i j j i i j j i i j i j i j a b a b a b a b =======+-∑∑∑∑∑∑ 2222 11 1(2)2n n i j i j j i j i i j a b a b a b a b ===-+∑∑ 211 1()02n n i j j i i j a b a b ===-≥∑∑ 所以222 1 1 1 ()()()n n n i j i i i j i a b a b ===-∑∑∑0≥，即2221 1 1 ()()()n n n i j i i i j i a b a b ===≥∑∑∑ 即222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… 当且仅当0(,1,2,,)i j j i a b a b i j n -==…… 即(1,2,,;1,2,,;0)j i j i j a a i n j n b b b ===≠…………时等号成立。 2）用数学归纳法证明 i ）当1n =时，有2221112()a b a b =，不等式成立。 课题：一般形式的柯西不等式 备课教师：沈良宏 参与教师：郭晓芳、龙新荣 审定教师：刘德清 1、教学重点：柯西不等式的一般形式、变形以及它与一些基本不等式的关系，柯西不等式的使用方法． 2、教学难点：在具体问题中怎样使用柯西不等式． 3、学生必须掌握的内容： 1．三维形式的柯西不等式 设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3是实数，则(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2，当 且仅当b i ＝0(i ＝1，2，3)或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，3)时，等号成立． 2．一般形式的柯西不等式 设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋ b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2， 当且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立． 注意： 1．对柯西不等式一般形式的说明： 一般形式的柯西不等式是二维形式 、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．运用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式． 2．关于柯西不等式的证明： 对于函数f (x )＝(a 1x －b 1)2＋(a 2x －b 2)2 ＋…＋(a n x －b n )2，显然f (x )≥0时x ∈R 恒成立， 即f (x )＝(a 21＋a 22＋…＋a 2n )x 2－2(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )x ＋(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥0对x ∈R 恒 成立， ∴Δ＝ 4(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2－4(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≤0， 除以4得(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥ (a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2. 3．一般形式柯西不等式成立的条件： 由柯西不等式的证明过程可知Δ＝0?f (x )min ＝0?a 1x －b 1＝a 2x －b 2＝…＝a n x －b n ＝0? b 1＝b 2＝…＝b n ＝0，或a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n . 4．柯西不等式的几种常见变形： (1)设a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝b 21＋b 22＋…＋b 2n ＝1，则－1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤1； (2)设a i ∈R(i ＝1，2，3，…，n )，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≤ a 21＋a 22＋…＋a 2n n ； (3)设a i ∈R ，b i >0(i ＝1，2，3，…，n )，则a 21b 1＋a 22b 2＋…＋a 2n b n ≥（a 1＋a 2＋…＋a n ）2b 1＋b 2＋…＋b n ； (4)设a i b i >0(i ＝1，2，3，…，n )，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥（a 1＋a 2＋…＋a n ）2a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n . 4、容易出现的问题：对柯西不等式中，各个式子取等号的条件容易忽略且把握不准，对柯西不等式的灵活应用存在对应之间的易混淆之处. 5、解决方法： 针对柯西不等式的特点，结合学生的课堂反应，课堂多注重基础，多找出有代表性的典例适时强化学生理解记忆，及时纠正学生的易错之处. 高中数学知识点：柯西不等式 一、一般形式 ((ai))((bi)) aibi) 等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。一般形式的证明 ((ai^2))((bi^2)) aibi) ^2 证明： 等式左边=(aibj+ajbi)+.................... 共n2 /2项 等式右边=(aibi)(ajbj)+(ajbj)(aibi)+...................共n2 /2项 用均值不等式容易证明等式左边等式右边得证 二、向量形式 |||||，=(a1，a2，…，an)，=(b1，b2，...，bn)(nN，n2) 要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当 众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神。对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模仿。长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断提高。等号成立条件：为零向量，或=(R)。向量形式的证明 要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。 令m=(a1,a2，…，an)，n=(b1,b2，…， bn)mn=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cosb=(a1+a2+…+an) (b1+b2+…+b n) cosb∵cosb1a1b1+a2b2+…+anbn(a1+a2+…+an) (b1+b2+…+bn)注：“”表示平方根。 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士 课题：一般形式的柯西不等式 主备教师：沈良宏 参与教师：郭晓芳、龙新荣、刘世杰、刘德清 审定教师：刘德清 1、教学重点：柯西不等式的一般形式、变形以及它与一些基本不等式的关系，柯西不等式的使用方法． 2、教学难点：在具体问题中怎样使用柯西不等式． 3、学生必须掌握的内容： 1．三维形式的柯西不等式 设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3是实数，则(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2，当 且仅当b i ＝0(i ＝1，2，3)或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，3)时，等号成立． 2．一般形式的柯西不等式 设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋ b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2， 当且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立． 注意： 1．对柯西不等式一般形式的说明： 一般形式的柯西不等式是二维形式 、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．运用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式． 2．关于柯西不等式的证明： 对于函数f (x )＝(a 1x －b 1)2＋(a 2x －b 2)2 ＋…＋(a n x －b n )2，显然f (x )≥0时x ∈R 恒成立， 即f (x )＝(a 21＋a 22＋…＋a 2n )x 2－2(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )x ＋(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥0对x ∈R 恒 成立， ∴Δ＝ 4(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2－4(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≤0， 除以4得(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥ (a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2. 3．一般形式柯西不等式成立的条件： 由柯西不等式的证明过程可知Δ＝0?f (x )min ＝0?a 1x －b 1＝a 2x －b 2＝…＝a n x －b n ＝0? b 1＝b 2＝…＝b n ＝0，或a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n . 4．柯西不等式的几种常见变形： (1)设a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝b 21＋b 22＋…＋b 2n ＝1，则－1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤1； (2)设a i ∈R(i ＝1，2，3，…，n )，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≤ a 21＋a 22＋…＋a 2n n ； (3)设a i ∈R ，b i >0(i ＝1，2，3，…，n )，则a 21b 1＋a 22b 2＋…＋a 2n b n ≥（a 1＋a 2＋…＋a n ）2b 1＋b 2＋…＋b n ； (4)设a i b i >0(i ＝1，2，3，…，n )，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥（a 1＋a 2＋…＋a n ）2a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .柯西不等式的应用(整理篇)
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