培优9 一次函数综合类问题四大类
一次函数与几何综合（讲义）
一、知识点睛
1. 一次函数表达式：y =kx +b （k ，b 为常数，k ≠0）
①k 是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释．坡面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM 即为竖直高度，BM 即为水平宽度，则
=
AM k BM
，②b 是截距，表示直线与y 轴交点的纵坐标．
2. 设直线l 1：y 1=k 1x +b 1，直线l 2：y 2=k 2x +b 2，其中k 1，k 2≠0．
①若k 1=k 2，且b 1≠b 2，则直线l 1∥l 2； ②若k 1·k 2=-1，则直线l 1⊥l 2． 3. 一次函数与几何综合解题思路
从关键点出发，关键点是信息汇聚点，通常是函数图象与几何图形的交点．通过点的坐标和横平竖直的线段长的互相转化将函数特征与几何特征结合起来进行研究，最后利用函数特征或几何特征解决问题．
二、精讲精练
1. 如图，点B ，C 分别在直线y =2x 和y =kx 上，点A ，D 是x 轴上的两点，已知四边形
ABCD 是正方形，则k 的值为______．
y=kx
y=2x
A C B
D O
x
y
A O C
D E
B l 1
l 2
x y
D
y x O B
C A
第1题图 第2题图 第3题图
2. 如图，直线l 1交x 轴、y 轴于A ，B 两点，OA =m ，OB =n ，将△AOB 绕点O 逆时针旋转
90°得到△COD ．CD 所在直线l 2与直线l 1交于点E ，则l 1____l 2；若直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2=_______．
3. 如图，直线4
83
y x =-+交x 轴、y 轴于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，
交AB 于点D ，则点C 的坐标为____________．
M
A
B
4. 如图，在平面直角坐标系中，函数y =x 的图象l 是第一、三象限的角平分线．
探索：若点A 的坐标为(3，1)，则它关于直线l 的对称点A'的坐标为____________； 猜想：若坐标平面内任一点P 的坐标为(m ，n )，则它关于直线l 的对称点P ′的坐标为____________；
应用：已知两点B (-2，-5)，C (-1，-3)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到B ，C 两点的距离之和最小，则此时点Q 的坐标为____________．
l A'
A
y
O
x
5. 如图，已知直线l ：3
33
y x =-
+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB 沿直线l 折叠，点O 落在点C 处，则直线CA 的表达式为__________________．
l A
C
B O
x
y
F
E A C
B
D
(O )x
y Q
P A
C
B
D
O
x
y
第5题图 第6题图 第7题图
6. 如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片，E 是AB 上的一点，且BE :EA =5:3，EC =155，
把△BCE 沿折痕EC 向上翻折，点B 恰好落在AD 边上的点F 处．若以点A 为原点，以直线AD 为x 轴，以直线BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则直线FC 的表达式为__________________．
7. 如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点与原点O 重合，AB =2，AD =1，过定
点Q (0，2)和动点P (a ，0)的直线与矩形ABCD 的边有公共点． （1）a 的取值范围是________________；
（2）若设直线PQ 为y =kx +2（k ≠0），则此时k 的取值范 围是________________．
8. 如图，已知正方形ABCD 的顶点A (1，1)，B (3，1)，直线y =2x +b 交边AB 于点E ，交边
CD 于点F ，则直线y =2x +b 在y 轴上的截距b 的变化范围是____________．
1234y=2x+b 4
321b
E
F A C
B
D
O x
y l 2l 1
(G )
E
F A C
B D
O x
y
第8题图 第9题图
9. 如图，已知直线l 1：28
33
y x =+与直线l 2：y =-2x +16相交于点C ，直线l 1，l 2分别交x
轴于A ，B 两点，矩形DEFG 的顶点D ，E 分别在l 1，l 2上，顶点F ，G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合，那么S 矩形DEFG :S △ABC =_________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A (4，0)，
B (0，-4)，P 为y 轴上B 点下方一点，PB =m （m >0），以点P 为直角顶点，AP 为腰在第四象限内作等腰Rt △APM ． （1）求直线AB 的解析式；
（2）用含m 的代数式表示点M 的坐标；
（3）若直线MB 与x 轴交于点Q ，求点Q 的坐标．
Q
P
M
B
x
A
O y
一次函数之存在性问题（讲义）
一、知识点睛
存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果.
一次函数背景下解决存在性问题的思考方向： 1. 把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息； 2. 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；
3. 结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来解决问题．
二、精讲精练
1. 如图，直线33
3
y x =-
+与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，已知点P 是第一象限内的点，由点P ，O ，B 组成了一个含60°角的直角三角形，则点P 的坐标为_____________．
y
x
O
B
A
C
B O
y
A
x
2. 如图，直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且
4
3
OC OB =. （1）求点B 的坐标和k 的值．
（2）若点A 是第一象限内直线y =kx -4上的一个动点，则当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？
（3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在一点P ，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
3. 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的边OC ，OA 分别与x 轴、y 轴重合，AB
∥OC ，∠AOC =90°，∠BCO =45°，BC =62，点C 的坐标为(-9，0)． （1）求点B 的坐标．
（2）若直线BD 交y 轴于点D ，且OD =3，求直线BD 的表达式．
（3）若点P 是（2）中直线BD 上的一个动点，是否存在点P ，使以O ，D ，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
D
C B
O y A x D
C B
O y A x
4. 如图，直线y =kx +3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，
3
4
OB OA ，点C 是直线y =kx +3上与A ，B 不重合的动点．过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于点D ，是否存在点C 使△BCD
与△AOB 全等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
B O
y
A
x
C
B
O
y A x
5. 如图，直线1
22
y x =
+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点C 的坐标为(-3，0)，P (x ，y )是直线1
22
y x =
+上的一个动点 （点P 不与点A 重合）．
（1）在点P 的运动过程中，试写出△OPC 的面积S 与x 之 间的函数关系式．
（2）当点P 运动到什么位置时，△OPC 的面积为27
8
？求出 此时点P 的坐标．
（3）过P 作AB 的垂线与x 轴、y 轴分别交于E ，F 两点，是 否存在这样的点P ，使△EOF ≌△BOA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
一次函数之动点问题（讲义）
一、知识点睛
动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程． 1. 一次函数背景下研究动点问题的思考方向：
①把函数信息（坐标或表达式）转化为基本图形的信息； ②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围； ③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案． 2. 解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：
①路程即线段长，可根据s =vt 直接表达已走路程或未走路程；
②根据研究几何特征需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息．
二、精讲精练
1. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线3
34
y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，
B 两点．点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 的运动时间为 t 秒．
（1）求OA ，OB 的长．
（2）过点P 与直线AB 垂直的直线与y 轴交于点E ，在点P 的运动过程中，是否存在这样的点P ，使△EOP ≌△AOB ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．
y x
O
B
A
2. 如图，直线=3+43y x 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，直线BC 与x 轴交于点C ，
∠ABC =60°．
（1）求直线BC 的解析式．
（2）若动点P 从点A 出发沿AC 方向向点C 运动（点P 不与点A ，C 重合），同时动点Q 从点C 出发沿折线CB —BA 向点A 运动（点Q 不与点A ，C 重合），动点P 的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q 的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ 的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． （3）当t =4时，y 轴上是否存在一点M ，使得以A ，Q ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
C A
B
O
x
y C
A
B
O
x
y
3. 如图，在直角梯形COAB 中，OC ∥AB ，以O 为原点建立平面直角坐标系，A ，B ，C
三点的坐标分别为A (8，0)，B (8，11)，C (0，5)，点D 为线段BC 的中点．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OA —AB —BD 的路线运动，至点D 停止，设运动时间为t 秒．
（1）求直线BC 的解析式．
（2）若动点P 在线段OA 上运动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的14
？
（3）在动点P 的运动过程中，设△OPD 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．
P D
C
x
A O
B
y
y
B
O A x
C
D
4. 如图，直线334y x =-+与x 轴交于点A ，与直线3
3
y x =
交于点P ． （1）求点P 的坐标． （2）求△OP A 的面积．
（3）动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿OA 方向向终点A 运动，过点E 作EF ⊥x 轴交线段OP 或线段P A 于点F ，FB ⊥y 轴于点B ．设运动时间为t 秒，矩形OEFB 与△OP A 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．
P
F
E x
A O
B y
5. 如图，直线l 的解析式为y =-x +4，它与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，平行于直线l
的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点，设运动时间为t 秒（0< t <4）． （1）求A ，B 两点的坐标；
（2）用含t 的代数式表示△MON 的面积S 1；
（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记△MPN 和△OAB 重 叠部分的面积为S 2，试探究S 2与t 之间的函数关系式．
x
y O
A
B
m l P
M N
一次函数之面积问题（讲义）
一、知识点睛
1. 坐标系中处理面积问题，要寻找并利用横平竖直的线，
通常有以下三种思路： ①公式法（规则图形）；
②割补法（分割求和、补形作差）； ③转化法（例：同底等高）． 2. 坐标系中面积问题的处理方法举例
①割补求面积（铅垂法）：
B
A
h
M a
P P a
M
h
A
B
12△APB S ah =
12△APB S ah =
②转化求面积：
h
h l 1
l 2
A
B
C
如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上．
二、精讲精练
1. 如图，在平面直角坐标系中，已知A (-1，3)，B (3，-2)，则
△AOB 的面积为___________．
x
A
y B
O
2. 如图，直线y =-x +4与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，点P 的坐标为(-2，2)，则 S △P AB =___________．
O
B
y A
P
x
P
D O B y
A C
x
第2题图 第3题图
3. 如图，直线AB ：y =x +1与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，直线CD ：y =kx -2与x 轴、y 轴分别
交于点C ，点D ，直线AB 与直线CD 交于点P ．若S △APD =4.5，则k =__________． 4. 如图，直线1
12
y x =
+经过点A (1，m )，B (4，n )，点C 的坐标为(2，5)，求△ABC 的面积．
C
O
A
B
x y
5. 如图，在平面直角坐标系中，已知A (2，4)，B (6，6)，
C (8，2)，求四边形OABC 的面积．
B
O
y
A
C
x
6. 如图，直线1
12
y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，C (1，2)，坐标轴上是否存在
点P ，使S △ABP =S △ABC ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
x
O
A
B C y
7. 如图，已知直线m 的解析式为1
12
y x =-+，与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以线段
AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt △ABC ，且∠BAC =90°，点P 为直线x =1上的动点，
且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等． （1）求△ABC 的面积； （2）求点P 的坐标．
m
O
A
x
C
B y
8. 如图，直线P A ：y =x +2与x 轴、y 轴分别交于A ，Q 两点，直线PB ：y =-2x +8与x 轴交
于点B ．
（1）求四边形PQOB 的面积．
（2）直线P A 上是否存在点M ，使得△PBM 的面积等于四边形PQOB 的面积？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
Q x A
O
B
P
y
一、知识点睛 二、精讲精练 1．
23
2．⊥，-1 3．7(0)3
-
， 4．(1，3)；(n ，m )；1313()55
--， 5．333y x =-+ 6．
4
163
y x =-+
7．（1）-2≤a ≤2；（2）k ≥1或k ≤-1 8．-3≤b ≤-1 9．8:9
10．（1）y =x -4；（2）M (m +4，-m -8)；（3）Q (-4，0) 【参考答案】 一、知识点睛 二、精讲精练
1．33333
(13)33()4444
，或(，)或，或(，) 2．（1）B (3，0)，43
k =
（2）A (6，4) （3）123413
(2
130)2130(120)03
P P P P ，或(-，)或，或(
，) 3．（1）B (-3，6) （2）y =-x +3
（3）1234333333
(3
0)232(232)222222
P P P P --+，或(，)或，或(，) 4．1261224
()(46)5555-
-，或(，)或， 5．（1）3
3(4)4
33(4)4x x S x x ?--<-??=??+>-??
（2）12
17919()2424P P --，或(，) （3）12412124()5555
P P ，或(-，)
1．（1）OA =4，OB =3； （2）t =1或t =7 2．（1）
343y x =-+
（2）2
23(04)
2
343(48)
2
t t S t t t ?
?-+<
（3）123(04
38)(0438)(043)M M M -+-，或，或，
443(0)3M 或，
3．（1）354y x =+（2）3
2
t =
（3）4(08)248(819)248(1924)t t S t t t t
=-+
≤≤
4．（1）(33)P ， （2）2
3
（3）2
23(03)6
53163243(34)2
t
t S t t t ?
5．（1）(40)(04)A B ，,，
（2）2
1
12
S t =
（3）2
221(02)2
388(24)2
t t S t t t ?
【参考答案】 二、精讲精练 1．
7
2
2．83．
52
4．
92
5．24
6．12345
1
(0)(50)(0)(10)22
P P P P --，或，
或，或， 7．（1）
52
；（2）12(13)(12)P P -，
或， 8．（1）10；（2）12162242
(
)()3333
M M -，或，
20180130函数及一次函数培优专题
一次函数培优专题 一、选择： 1．（莆田）如图1，在矩形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，MNR △的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则当9x =时，点R 应运动到（ ） A ．N 处 B ．P 处 C ．Q 处 D ．M 处 2．（重庆綦江）如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为x ，△ A BP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△BCD 的面积是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3.（黔东南州）如图，在凯里一中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程s （米）与时间t （秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC 和线段OD ，下列说法正确的是（ ） A 、乙比甲先到终点 B 、乙测试的速度随时间增加而增大 C 、比赛进行到29.4秒时，两人出发后第一次相遇 D 、比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快 4．（兰州）函数y ＝x -2＋ 3 1 -x 中自变量x 的取值范围是 A ．x ≤2 B ．x ＝3 C ． x ＜2且x ≠3 D ．x ≤2且x ≠3 5．（遂宁）已知整数x 满足-5≤x ≤5，y 1=x+1，y 2=-2x+4对任意一个x ，m 都取y 1，y 2中的较小值，则m 的最大值是 （图1） 图 1 D 图2
A.1 B.2 C.24 D.-9 6．（凉山州）若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数b y x = 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） 6．（牡丹江）如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD 的边上有一动点P 沿 A B C D A →→→→运动一周，则P 的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数关系用图象表示大致 是（ ） 7．（安徽）已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是【 】 8．（日照）如图，点A 的坐标为(－1，0)，点B 在直线y =x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为 ( ) A.（0，0） B.（22，2 2 -） C.（－ 21，－2 1 ） D.（－22，－22） 9．（重庆）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，1BC =，动点P 从点B 沿路线B C D →→作匀速运动，那么ABP △的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ） D C P B A x x x x B ． A . B . C . D . A B C D
人教版九年级上学期《二次函数》培优卷
第22章《二次函数》练习卷① 1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是（） A．abc＞0B．b＝2a C．9a+3b+c＜0D．8a+c＝0 2．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下面结论中不正确的是（）A．ac＜0B．2a+b＝0C．b2＜4ac D．方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3 3．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax﹣bc的图象大致是（） A．B．C．D． 4．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝bx+a的图象可能是（） A．B．C．D． 5．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表 x﹣3﹣2﹣1012 y﹣12﹣50343利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是（） A．0＜x＜2B．x＜0或x＞2C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或x＞3 6．将抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为．
7．若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点为（5，0）、（1，0），则抛物线的对称轴直线x＝．8．若函数y＝﹣x2+（m﹣4）x+4m的图象与x轴有且只有一个交点，则m＝．9．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是．10．如图，在平?直?坐标系中，菱形ABCD的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线y＝ax2﹣5ax+4（a＞0）经过点C、D，则点B的坐标为．11．若把一根长200cm的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，则这两个正方形的面积的和最小值为． 12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0②b2﹣4ac＜0 ③c＜4b④a+b＞0，则其中正确结论的是． 13．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h（单位：m）与水流喷出时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是s． 14．如图，抛物线y=?3 8x 2+3 4x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），交y轴于 点C，点P为抛物线对称轴上一点．则△APC的周长最小值是． 15．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，则水管AB
一次函数培优训练经典题型
第十讲一次函数（1） 一【一次函数解析式】 1．画图，并求出与x轴、y轴交点 （1）y=x+2 （2）y=-3x+4 2．求一次函数解析式： （1）直线l过（-1,2）和（3,4）；（2）直线l与直线y=2x-1平行且过（0,4）（3）直线l与直线y=3x-6交于x轴上同一点，且过（-1,4） （4）y与x成正比，且当x=9时，y=16． 3．如图，一次函数y=kx+b的图像经过A、B两点，与x轴交于点C，求： （1）一次函数的解析式；（2）△AOC的面积． 二【一次函数图象及性质】 4．作函数y=2x-4的图象，根据图象填空：（1）当-2≤x≤4,则y的取值范围是_____________，（2）当x_________时，y＜0；当x_________时，y＞0；当x_________时，y=0． 5．已知直线y=(4m+1)x-(m+1)，m________时，y随x的增大而减小；m________时，直线与y轴的交点在x轴下方；m________时，此一次函数也是正比例函数；若m=2时，图象与x 轴的交点坐标是_______，与y轴的交点坐标是________． 6．不画函数 1 4 3 y x =-+的图象，回答下列问题： （1）点 7 (3,3),(5,) 3 P Q-是否在这个图象上？（2）若点A（a，1），B（0，b）在这个函数 图象上，求a、b的值；（3）若函数y=x+m的图象与已知图象交于点（n，2）求m、n的值．
7．已知一次函数y=(2k+4)x+(3-b)： （1）k、b是什么数时，y随x的增大而增大； （2）k、b是什么数时，函数图象与y轴的交点在x轴下方； （3）k、b是什么数时，函数图象过原点； （4）若k=-1，b=2时，求一次函数图象与两个坐标轴交点坐标，并画出图象； （5）若图象经过一、二、三象限，则k__________，b___________． 三【利用函数图象解决实际问题】 8．为了缓解用电紧张的矛盾，电力公司制订了新的用电收费标准，每月用电量x（千瓦时）与应付电费y（元）的关系如图 （1）根据图象求出y与x的函数关系式； （2）请回答该电力公司的收费标准是什么？ 9．客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需购买行李票，行李费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图象如图所示，则按规定旅客免费携带的行李为多少千克？ 四【一次函数与几何结合】 10．如图，直线 1 1 3 y x =+与坐标轴交于A、B两点，直线24 y x =+与坐标轴交于C、 （1）求A、B、C、D的坐标；（2）求两直线交点M的坐标；（3）求S四OCMB的大小．
二次函数培优专项练习
学习必备 欢迎下载 1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是 2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为 ２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与 抛物线y= - 2x 2 相同，这个函数解析式为________。 ３.如果函数1)3(2 32 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数, 则k 的值是______ ４.已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线2 1y x =-上，下列说法中正确的是（ ） A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y > ５. 抛物线 c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为 322--=x x y ，则b 、c 的值为 A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 ★６.抛物线5)43()1(2 2+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M ＝ ７.二次函数52 -+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值，则m 的取值范围是 8.函数245 (5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数. 9.抛物线2 )13(-=x y 当x 时，Y 随X 的增大而增 大 10.抛物线42 ++=ax x y 的顶点在X 轴上，则a 值为 ★11.已知二次函数2 )3(2--=x y ，当X 取1x 和2x 时函数值相等，当X 取1x +2x 时函数值为 12.若二次函数k ax y +=2 ，当X 取X1和X2（21x x ≠） 时函数值相等,则当X 取X1+X2时，函数值为 13.若函数2)3(-=x a y 过（２.９）点，则当X ＝４ 时函数值Y ＝ ★14.若函数k h x y ---=2 )(的顶点在第二象限则， h 0 ，k 0 15.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是１.且过（３.０）点求解析式？ 16.将121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的 形式，则n m ?=_____。 ★17. 已知抛物线在X 轴上截得的线段长为６.且顶点 的顶点到x 轴的距离是3, 那么c 的值等于（ ） （A ）8 （B ）14 （C ）8或14 （D ）-8或-14 19.二次函数y=x 2 -(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x<1时，y 随着x 的增大而减小，则k 的值应取（ ） （A ）12 （B ）11 （C ）10 （D ）9 20.若0 Ｂ．1a < Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤ 30.抛物线y= (k 2-2)x 2 +m-4kx 的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= - 2 1 +2上，求函数解析式。 31.已知二次函数图象与x 轴交点（2,0）(-1,0)与y 轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。 32.y= ax 2 +bx+c 图象与x 轴交于A 、B 与y 轴交于C ，OA=2，OB=1 ，OC=1，求函数解析式 32.抛物线562 -+-=x x y 与x 轴交点为A ，B ，（A 在B 左侧）顶点为C.与Y 轴交于点D (1)求△ABC 的面积。 (2)若在抛物线上有一点M ，使△ABM 的面积是△ABC 的面积的２倍。求M 点坐标(得分点的把握) （3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得 △QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. 4)在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBAC 是等腰 梯形，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由
苏科版九年级数学培优第：与二次函数有关的综合问题【答案】
第5讲 与二次函数有关的综合问题 【思维入门】 1． 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为D (－1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图1－5－1所示，则以下结论：① b 2－4ac <0；②a ＋b ＋c <0；③c －a ＝2；④方程ax 2＋bx ＋c －2＝0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．已知二次函数y ＝a (x －1)2－c 的图象如图1－5－2所示，则一次函数y ＝ax ＋c 的大致图象可能是 ( ) 图1－5－2 3．如图1－5－3，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x ＝1，点B 的坐标为(－1，0)．则下面的四个结论：①2a ＋b ＝0；②4a －2b ＋c ＜0；③ac ＞0；④当y ＜0时，x ＜－1或x ＞2.其中正确的个数是 ( ) 图1－5－3 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数y ＝??? ? ? -2b a x 2－cx －a －b 2在x ＝1时取最小 值－8 5b ，则△ABC 是 ( ) A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 图1－5－1
【思维拓展】 5．二次函数y＝2 3x 2的图象如图1－5－4，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A n 在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B n在二次函数位于第一象限的图象上．四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3，…，四边形A n－1B n A n C n都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3＝…＝∠A n－1B n A n＝60°，菱形A n－1B n A n C n的周长为________． 图1－5－4 6．已知二次函数y＝a(x－m)2－a(x－m)(a，m为常数，且a≠0)． （1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D. ①当△ABC的面积等于1时，求a的值； ②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．
一次函数专题培优(一)
一次函数专题培优（一） 【知识提要】 一.函数 1.定义：在某一变化过程中有两个变量ｘ、ｙ,如 果 ，那么我们称y是ｘ的函数，ｘ是自变量。 2.函数的表示法:函数有三种表示方法： (1) ,(2）, (３) . 3. 函数的图像:在一个函数中，如果将x、y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,都可以在坐标平面内描出一个点,所有这样的点便形成一个图形，那么这个图形就叫做这个函数的图像。 画函数图象三步骤：（1) ， （2) ， (3）. 二．一次函数 1.定义：在某一变化过程中有两个变量ｘ、y，如果y与ｘ的关系可以表示为,则称ｙ是x的一次函数。 注意：⑴ ⑵ 特别地,如果ｂ＝0，则一次函数y=kx＋b 就成为y=ｋｘ，此时又称ｙ是x 的。 可见是的特殊情况。 2．图像 (1)正比例函数y=kx的图像：正比例函数ｙ＝ｋx 的图像是一条经过(０, ）、(１，)的直线。我们称之为直线y=kx。 当k>0时，直线y＝ｋｘ经过第象限，y随着x的增大而; 当k<0时，直线y＝kx经过第象限,y随着x的增大而; (2）一次函数ｙ=kx+b的图像:函数y=kx+b的图像是一条经过(０，）且平行于直线的直线,我们称之为直线。其中ｂ叫做直线y=ｋｘ+b在y轴上的。 直线ｙ=kｘ＋b通常有两种画法： ①; ②。３. 性质:对于一次函数y=ｋx+b(k≠0） 当k>0时,y随x的增大而， 当k< ０时,ｙ随x的增大而。 注意:①对于一次函数ｙ＝ｋx+b(k≠0),x每增加1，y的值就增加。 ②正比例函数中有正比例关系，但正比例关系不一定能够确定正比例函数。如ｙ=3(ｘ-4), 其中有正比例关系，却不是正比例函数。 ③经过点（0，k)且平行于ｘ轴的直线叫做直线y=k，经过点（k ，0)且平行于y轴的直线叫做直线ｘ=k. ④对于直线 111 :l y k x b =+和 222 : l y k x b =+ 当 1 l∥ 2 l时， 12 k k =; 当 12 l l ⊥时， 12 1 k k=-. ⑤一次函数y=kx+b的值,在a≤ｘ≤b这一范围内既有最大值,也有最小值(要看ｋ的正负）。【基础训练】 １. 已知23 (2)2 k y k x- =--,当k 时,ｙ是x的一次函数。 ２．已知一次函数3 (3)2 k y k x- =--, y随x 的增大而减小,则k的值为 3. 已知2 (2 y k x k =-+，y是x的正比例函数,则y随x的增大而 4．已知直线ｙ＝２ｘ-3经过点（m,m+１）, 则m的值为 5.已知ｙ与ｘ＋３成正比例，且当x=２时ｙ=4，则当x＝-2是y的值为 ６. 已知一次函数ｙ=kx+5的图象经过点（-1,2)，则k＝。 7．一次函数ｙ=kｘ＋2图像与x轴交点到原点的距离为４，那么k的值为__ ___。
【数学】数学二次函数的专项培优练习题附答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线 y x m =+过顶点C 和点B ． （1）求m 的值； （2）求函数2 (0)y ax b a =+≠的解析式； （3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=?？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）﹣3；（2）y 13 =x 2 ﹣3；（3）M 的坐标为（3632）． 【解析】 【分析】 （1）把C （0，﹣3）代入直线y ＝x +m 中解答即可； （2）把y ＝0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可． 【详解】 （1）将C （0，﹣3）代入y ＝x +m ，可得： m ＝﹣3； （2）将y ＝0代入y ＝x ﹣3得： x ＝3， 所以点B 的坐标为（3，0）， 将（0，﹣3）、（3，0）代入y ＝ax 2+b 中，可得： 3 90b a b =-?? +=? ， 解得：133 a b ? =???=-?， 所以二次函数的解析式为：y 13 = x 2 ﹣3； （3）存在，分以下两种情况：
①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ， 则∠ODC ＝45°+15°＝60°， ∴OD ＝OC ?tan30°3= 设DC 为y ＝kx ﹣33，0），可得：k 3= 联立两个方程可得：2 3313 3y x y x ?=-? ?=-?? ， 解得：1212033 36x x y y ?=?=???=-=??? ， 所以M 1（36）； ②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ， 则∠OEC ＝45°-15°＝30°， ∴OE ＝OC ?tan60°＝3 设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（30）可得：k 3 = 联立两个方程可得：2333133y x y x ?=-????=-?? ， 解得：12120332 x x y y ?=?=???=-=-???， 所以M 23，﹣2）． 综上所述M 的坐标为（3，63，﹣2）． 【点睛】 此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键． 2．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y= 13x ﹣4 3 与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线
人教【数学】数学 二次函数的专项 培优练习题及详细答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值； （3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）9 4 ；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣ 3）． 【解析】 试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解； （2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答； （3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可； （4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可． 试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0）， ∴ 930 10 b c b c ++= ? ? ++= ? ，解得 4 3 b c =- ? ? = ? ，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3； （2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣ （x﹣3 2 ）2+ 9 4 ．∵a=﹣1＜0，∴当x= 3 2 时，线段PD的长度有最大值 9 4 ；
九年级二次函数拔高培优及解析
九年级二次函数拔高培优及解析 一、单选题 1．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是x=1.下列结论中： ①abc>0；②2a+b=0；③方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标为(?2,0)；⑤若点A(m,n)在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c． 其中正确的有() A．5个B．4个C．3个D．2个 【答案】B 【解析】 【分析】 结合函数图象，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可． 【详解】 ①∵对称轴是y轴的右侧， ∴ab<0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c>0， ∴abc<0，故①错误； ②∵?b =1， 2a ∴b=?2a，2a+b=0，故②正确； ③由图象得：y=3时，与抛物线有两个交点， ∴方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根，故③正确； ④∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(?2,0)，故④正确； ⑤∵抛物线的对称轴是x=1， ∴y有最大值是a+b+c， ∵点A(m,n)在该抛物线上， ∴am2+bm+c≤a+b+c，故⑤正确， 本题正确的结论有：②③④⑤，4个， 故选B． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c 决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)；也考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质． 2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论： ①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a； ②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a； ③若y2＞y1，则x2＞4； ④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和1 3 其中正确结论的个数是（） A．1B．2C．3D．4 【答案】B 【解析】 【分析】利用交点式写出抛物线解析式为y=ax2﹣2ax﹣3a，配成顶点式得y=a（x﹣1）2﹣4a，则可对①进行判断；计算x=4时，y= a×5×1=5a，则根据二次函数
二次函数培优经典题
112O x y 培优训练五（二次函数1） 1、如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（ ） A ．m ＝n ，k ＞h B ．m ＝n ，k ＜h C ．m ＞n ，k ＝h D ．m ＜n ，k ＝h 2、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b ﹣2a =0；②abc ＜0；③a ﹣2b +4c ＜0；④8a +c ＞0．其中正确的有（ ） A ． 3个 B ． 2个 C ． 1个 D ． 0个 3、如图，二次函数2y ax bx c =++的图像与y 轴正半轴相交，其顶点坐标 为（1,12 ），下列结论：①0ac ＜；②0a b +=； ③244ac b a -=；④0a b c ++＜.其中正确结论的个数是 A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 4、若二次函数c x x y +-=62的图象经过A （－1，y 1）、B （2，y 2）、C （23+，y 3）三点，则关于y 1、y 2、y 3大小关系正确的是 A .y 1>y 2>y 3 B .y 1>y 3>y 2 C .y 2>y 1>y 3 D .y 3>y 1>y 2 5、如图，一次函数)0(1≠+=k n kx y 与二次函数 )0(22≠++=a c bx ax y 的图象相交于A (1-，5)、B (9，2)两点，则关 于x 的不等式c bx ax n kx ++≥+2 的解集为 A 、91≤≤-x B 、91<≤-x C 、91≤<-x D 、1-≤x 或9≥x 6．如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、
一次函数与特殊四边形的存在性问题(培优拓展)
一次函数与特殊四边形的存在性问题 （培优专题） 1．（2015春?通州区校级期中）如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（0，3），P是x轴上一动点，在直线y=x上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2015春?北京校级期中）已知直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B． （1）求∠BAO的平分线的函数关系式；（写出自变量x的取值范围） （2）点M在已知直线上，点N在坐标平面内，是否存在以点M、N、A、O 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
3．（2010秋?吴江市校级期中）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD 边上，AE＞DE，BE=BC，点O是线段CE的中点． （1）试说明CE平分∠BED； （2）在直线AD上是否存在点F，使得以B、C、F、E为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点F的位置，并作适当说明；如果不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系xOy，直线y=x+1与y=﹣2x+4交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点，直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，点A的坐标是（2，1），点B的坐标是（5，1），过点A的直线l 的表达式为y=2x+b，点C在直线l上运动，在直线OA上是否存在一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2012春?雨花区校级期末）如图，已知等边△ABC的边长为2，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动． （1）当OA=时，求点C的坐标． （2）在（1）的条件下，求四边形AOBC的面积． （3）是否存在一点C，使线段OC的长有最大值？若存在，请求出此时点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
数学九年级上册 二次函数单元培优测试卷
数学九年级上册 二次函数单元培优测试卷 一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难） 1．对于函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），若存在实数x0，使得a 2 0x +（b+1）x 0+b ﹣2 ＝x0成立，则称x 0为函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点． （1）当a ＝2，b ＝﹣2时，求y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点； （2）若对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，且直线y ＝﹣x+2 121 a +是线段AB 的垂 直平分线，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）b 的取值范围是﹣ b ＜0． 【解析】 【分析】 （1）将a ＝2，b ＝﹣2代入函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），得y ＝2x 2﹣x ﹣4，然后令x ＝2x 2﹣x ﹣4，求出x 的值，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点； （2）对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）时，对于任何实数b 都有△＞0，然后再设t ＝△，即可求得a 的取值范围； （3）根据y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，可知点A 和点B 均在直线y ＝x 上，然后设出点A 和点B 的坐标，从而可以得到线段AB 的中点坐标，再根据直线y ＝﹣x+2121 a +是线段AB 的垂 直平分线，从而可以求得b 的取值范围． 【详解】 解：（1）当a ＝2，b ＝﹣2时， 函数y ＝2x 2﹣x ﹣4， 令x ＝2x 2﹣x ﹣4， 化简，得x 2﹣x ﹣2＝0 解得，x 1＝2，x 2＝﹣1， 即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点是﹣1或2； （2）令x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2， 整理，得 ax 2+bx+b ﹣2＝0， ∵对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点， ∴△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＞0，
二次函数专题培优(含答案)
二次函数专题复习 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。
4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．
九年级二次函数培优竞赛试题及答案
九年级二次函数培优竞赛试题及答案 1.在如图的直角坐标系中,已知点A(２，０)、B(0,－4），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转9０°至AＣ. (1）求点C的坐标; (２)若抛物线y＝-错误!x２＋ax＋4经过点C． ①求抛物线的解析式; ②在抛物线上是否存在点P（点C除外)使△AＢP是以AＢ为直角边的等腰直角三角形?若存在，求出所有点P的坐标;若不存在，请说明理由. 2.如图1,已知直线y=x＋3与x轴交于点Ａ，与y轴交于点B,抛物线ｙ=－x２＋bx+ｃ经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E,抛物
线顶点为D. (１）求抛物线的解析式; （2)在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为３，求点Ｆ的坐标； （3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为ｔ秒，当t为何值时，以P、B、Ｃ为顶点的三角形是直角三角形?直接写出所有符合条件的t值． 1.【解析】 试题分析：(1）过点Ｃ作ＣD垂直于x轴,由线段ＡB绕点A按逆时针方向旋转9
０°至ＡC，根据旋转的旋转得到AB=AC,且∠BAC为直角,可得∠ＯAB与∠CAD 互余，由∠AOB为直角，可得∠ＯＡB与∠ＡBO互余,根据同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等,利用ASA可证明三角形ACＤ与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得ＡＤ=ＯB,CD=OA,由Ａ和B的坐标及位置特点求出ＯA及OB的长,可得出OD及CD的长,根据C在第四象限得出C的坐标;（2)①由已知的抛物线经过点C，把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出抛物线的解析式； ②假设存在点P使△AＢP是以AB为直角边的等腰直角三角形,分三种情况考虑: （i）A为直角顶点,过A作AP 1垂直于AB,且AP 1 ＝AＢ,过P １ 作P 1 M垂直于x轴, 如图所示，根据一对对顶角相等,一对直角相等,ＡB=ＡP 1 ，利用AAS可证明三角 形ＡP 1M与三角形ＡCＤ全等，得出AP １ 与P 1 M的长，再由P １ 为第二象限的点,得 出此时P 1 的坐标，代入抛物线解析式中检验满足;（ｉｉ)当B为直角顶点,过Ｂ 作ＢＰ 2垂直于BA,且ＢＰ 2 =BA，过P 2 作P ２ N垂直于y轴,如图所示，同理证明三 角形ＢP 2N与三角形AOB全等,得出P ２ Ｎ与ＢＮ的长,由P 2 为第三象限的点,写出 P 2的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；(iii)当B为直角顶点，过B作BP ３ 垂直于BA,且BＰ 3=BＡ,如图所示,过P 3 作P ３ H垂直于y轴，同理可证明三角形Ｐ 3BH全等于三角形AOＢ,可得出Ｐ ３ H与BH的长,由P 3 为第四象限的点，写出P 3 的坐标,代入抛物线解析式检验,不满足,综上,得到所有满足题意的P的坐标.试题解析：（１）过C作CD⊥x轴，垂足为D， ∵ＢA⊥AＣ,∴∠ＯＡB+∠ＣＡD=９0°, 又∠AＯＢ＝90°，∴∠OAB＋∠ＯＢA=9０°， ∴∠CAD=∠OＢA,又AＢ＝ＡC，∠AＯB=∠ADＣ=９0°, ∴△AＯB≌△CDＡ，又Ａ(1，0)，B(0，﹣2）， ∴ＯＡ=CD=1，OB=AＤ=2， ∴OＤ＝ＯＡ+ＡD=3,又Ｃ为第四象限的点, ∴C的坐标为（3，﹣1); （2）①∵抛物线y=﹣1 2 ｘ2+ax+２经过点C，且C(3，﹣1）, ∴把Ｃ的坐标代入得：﹣１=﹣9 2 +3ａ＋2,解得：a＝ 1 2 ， 则抛物线的解析式为y=﹣1 2 x２＋ 1 2 x＋2； ②存在点Ｐ，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形,（i）若以AB为直角边,点A为直角顶点， 则延长CA至点P 1使得P 1 A=CA,得到等腰直角三角形ABP １ ，过点P １ 作Ｐ 1 M⊥x轴, 如图所示，
(完整版)一次函数培优经典.docx
一次函数培优 1、已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点 A （3,4），且 OA=OB （1）求两个函数的解析式；（2）求△AOB 的面积； 4 A 3 2 1 01234 B 2、已知直线 m 经过两点（ 1,6）、（-3, -2），它和 x 轴、 y 轴的交点式 B、 A ，直线 n 过点（ 2， -2）， 且与 y 轴交点的纵坐标是 -3，它和 x 轴、 y 轴的交点是 D、C； （1）分别写出两条直线解析式，并画草图； （2）计算四边形 ABCD 的面积； （3）若直线 AB 与 DC 交于点 E，求△BCE 的面积。 y 4 A B O D -26x C -3 E F 3、如图， A 、B 分别是 x 轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，p） 在第一象限，直线 PA 交 y 轴于点 C（ 0,2），直线 PB 交 y 轴于点D，△ AOP 的面积为 6； （1）求△COP 的面积； （2）求点 A 的坐标及 p 的值； （3）若△BOP 与△DOP 的面积相等，求直线 BD 的函数解析式。 y D E P (2,p) C A O F B x
4、已知： l 1:y=2x+m; 经过点（ -3，-2），它与 x 轴，y 轴分别交于点 B、A ，直线 l 2=kx+b 经过点（ 2，-2），且与 y 轴交于点 C（0，-3），它与 x 轴交于点 D （1）求直线 l1,l2的解析式； （2）若直线与 l2交于点 P，求 S ACP:S ACD的值 5、如图，已知点 A（ 2， 4）， B（-2， 2），C（ 4， 0），求△ABC 的面积。 1 6、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：y= x 与直线 l 2： y=-x+6 相交于点 M ，直线 l2与 x 轴相交于点 N． （1）求 M ，N 的坐标．（2）矩形 ABCD 中，已知 AB=1 ，BC=2，边 AB 在 x 轴上，矩形自左向右以每秒 1 个单位长度的速度移动，设矩形ABCD 与△ OMN 的重叠部分的面积为间为 t（从点 B 与点 O 重合时开始计时，到点 A 与点 N 重合时计时开始结束）．直接写出ABCD 沿 x 轴S，移动的时S 与自变量 t 之间的函数关系式． （3）在（ 2）的条件下，当t 为何值时， S 的值最大？并求出最大值．
二次函数培优专题训练
二次函数培优专题训练 一、实际应用专题 例题1某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 例题2 小华的爸爸在国际商贸城开专卖店专销某种品牌的计算器，进价12元∕只，售价20元∕只．为了促销，专卖店决定凡是买10只以上的，每多买一只，售价就降低0.10元（例如：某人买20只计算器，于是每只降价0.10×（20-10）=1元，就可以按19元∕只的价格购买），但是最低价为16元∕只．（1）顾客一次至少买多少只，才能以最低价购买？ （2）写出当一次购买x只时（x＞10），利润y（元）与购买量x（只）之间的函数关系式． （3）星期天，小华来到专卖店勤工俭学，上午做成了两笔生意，一是向顾客甲卖了46只，二是向顾客乙卖了50只，记账时小华发现卖50只反而比卖46只赚的钱少．为了使每次卖得越多赚钱越多，在其他促销条件不变的情况下，最低价16元∕只至少要提高到多少？为什么？ 例题3（2010?恩施州）恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售． （1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式． （2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润=销售总金额-收购成本-各种费用） （3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
九年级数学二次函数培优试卷及答案
二次函数 一、选择题 1． 一次函数4)2(2-+-=k x k y 的图象经过原点，则k 的值为（ ）． A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．3 2．对于二次函数y=（x-1）2 +2的图象，下列说法正确的是（ ） A 、开口向下 B 、对称轴是x=-1 C 、顶点坐标是（1，2） D 、与x 轴有两个交点 3．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2 +c 的图象大致为（ ） 4．二次函数y=ax 2 +bx ﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（ ） A ．﹣3 B ．﹣1 C ．2 D ．3 5．抛物线2)3(2-+=x y 可以由抛物线2y x =平移得到，则下列平移过程正确的是（） A ．先向左平移3个单位，再向上平移2个单位 B ．先向右平移3个单位，再向下平移2个单位 C ．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 D ．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位[来 6．对于二次函数y=-x 2 +2x ．有下列四个结论： ①它的对称轴是直线x=1； ②设y 1=-x 12 +2x 1，y 2=-x 22 +2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1； ③它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）； ④当0＜x ＜2时，y ＞0． 其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．如图，已知二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y kx m =+ 的图像相交于点A （-3,5），B （7，2），则能使12y y ≤ 成立的x 的取值范围是（ ） A ．25x ≤≤ B ．37x x ≤-≥或 C ．37x -≤≤ D ．52x x ≥≤或 8．如图，已知：无论常数k 为何值，直线l ：y=kx+2k+2总经过定点A ，若抛物线y=ax 2 过A ，B （1，b ），C （-1，c ）三点． （1）请直线写出点A 坐标及a 的值； （2）当直线l 过点B 时，求k 的值； （3）在y 轴上一点P 到A ，C 的距离和最小，求P 点坐标； （4）在（2）的条件下，x 取 值时，ax 2 ＜kx+2k+2． 二、填空题 9．在二次函数y=-2（x-3）2 +1中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是 ． 10．二次函数y=ax 2 +bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c ＞b ；③抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0）；④abc ＞0．其中正确的结论是 （填写序号）． 11．二次函数23y x =的图象如图，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B 、C 在二次函数23y x =的图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC 的面积为 ． 12．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交函数2 1y x =（x ≥0）与223 x y =（x ≥0） 的图象于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交1y 的图象于点D ，直线DE ∥AC ，交2y 的图象于点E ，则 =AB DE ． 13．已知3a <-,点 A （a,y 1 ）, B （ a+1,y 2）都在 二次函数223y x x =+图像 上,那么y 1 、y 2的大小关系是 ． 14．已知点A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）在二次函数y=(x-错误！未找到引用源。1)2 +1的图象上，若x 1>x 2>1，则y 1 y 2 .（填“>”“=”或“<”）. 三、计算题 15．已知抛物线y=ax 2 ＋bx ＋c 经过点A （－1，0），且经过直线y=x －3与x 轴的交点B 及与y 轴的交点C ． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标； （3）若点M 在第四象限内的抛物线上，且OM ⊥BC ，垂足为D ，求点M 的坐标． 四、解答题 16．水果批发市场有一种高档水果,如果每千克盈利（毛利润）10元,每天可售出500千克．经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销量将减少20千克． （1）若以每千克能盈利18元的单价出售,问每天的总毛利润为多少元? （2）现市场要保证每天总毛利润6000元,同时又要使顾客得到实惠,则每千克应涨价多少元?