数学九年级上册 二次函数(培优篇)(Word版 含解析)
数学九年级上册
二次函数（培优篇）（Word版含解析）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）
1．已知，抛物线y＝-
1
2
x2 +bx+c交y轴于点C（0,2），经过点Q（2,2）.直线y＝x+4分别交x轴、y轴于点B、A．
（1）直接填写抛物线的解析式________；
（2）如图1，点P为抛物线上一动点（不与点C重合），PO交抛物线于M，PC交AB于N，连MN.
求证：MN∥y轴；
（3）如图,2，过点A的直线交抛物线于D、E，QD、QE分别交y轴于G、H.求证：CG ?CH 为定值.
【答案】（1）2
1
2
2
y x x
=-++；（2）见详解；（3）见详解．
【解析】
【分析】
（1）把点C、D代入y＝-
1
2
x2 +bx+c求解即可；
（2）分别设PM、PC的解析式，由于PM、PC与抛物线的交点分别为：M、N.，分别求出M、N的代数式即可求解；
（3）先设G、H的坐标，列出QG、GH的解析式，得出与抛物线的交点D、E的横坐标，再列出直线AE的解析式，算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证．【详解】
详解：（1）∵y＝-
1
2
x2 +bx+c过点C（0,2），点Q（2,2），
∴
2
1
222
2
2
b c
c
?
-?++
?
?
?=
?
＝
,
解得：1
2b c =??=?
. ∴y=-
12
x 2
+x+2； （2） 设直线PM 的解析式为：y=mx ，直线PC 的解析式为：y=kx+2
由2
2122y kx y x x =+??
?=-++??
得
12
x 2
+（k-1）x=0, 解得：120,22x x k ==-， x p =22p x k =-
由2
1=22y mx y x x =???-++??
得
12
x 2
+(m-1)x-2=0， ∴124b
x x a
?=-
=- 即x p?x m =-4，
∴x m =4p x -=21
k -.
由24y kx y x =+??=+?
得x N =
2
1
k -=x M , ∴MN ∥y 轴.
（3）设G （0，m ）,H （0，n ）. 设直线QG 的解析式为y kx m =+， 将点()2,2Q 代入y kx m =+ 得22k m =+
22
m
k -∴=
∴直线QG 的解析式为22
m
y x m -=
+ 同理可求直线QH 的解析式为22
n
y x n -=
+； 由222122m y x m y x x -?=+????=-++??
得
221
=222
m x m x x -+-++ 解得：122,2x x m ==-
2D x m ∴=-
同理，2E x n =-
设直线AE 的解析式为：y=kx+4，
由2
4122y kx y x x =+???=-++??
， 得
12
x 2
-(k-1)x+2=0 124b
x x a
∴?=-
= 即x D x E =4，
即（m-2）?（n-2）=4 ∴CG?CH=（2-m ）?（2-n ）=4.
2．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax （a >0）与x 轴正半轴交于点A ．抛物线L 的顶点为M ，对称轴与x 轴交于点D ． （1）求抛物线L 的对称轴．
（2）抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax 关于x 轴对称的抛物线记为L '，抛物线L '的顶点为M '，若以O 、M 、A 、M '为顶点的四边形是正方形，求L '的表达式．
（3）在（2）的条件下，点P 在抛物线L 上，且位于第四象限，点Q 在抛物线L '上，是否存在点P 、点Q 使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2x =；（2）2
122
y x x =-
+ ；（3）存在，P 点的坐标为()
33,3+或()33,3-
-或()13,3-或()
13,3+-或31,2?
?- ??
?
【解析】 【分析】
（1）根据抛物线的对称轴公式计算即可．
（2）利用正方形的性质求出点M ，M ′的坐标即可解决问题． （3）分OD 是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可． 【详解】
解：（1）∵抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax (a ＞0)， ∴抛物线的对称轴x ＝﹣42a
a
-＝2． （2）如图1中，
对于抛物线y ＝ax 2﹣4ax ，令y ＝0，得到ax 2﹣4ax ＝0， 解得x ＝0或4， ∴A (4，0)，
∵四边形OMAM ′是正方形， ∴OD ＝DA ＝DM ＝DM ′＝2， ∴M ((2，﹣2)，M ′(2，2) 把M (2，﹣2)代入y ＝ax 2﹣4ax ，
可得﹣2＝4a﹣8a，∴a＝1
2
，
∴抛物线L′的解析式为y＝﹣1
2(x﹣2)2+2＝﹣
1
2
x2+2x．
（3）如图3中，由题意OD＝2．
当OD为平行四边形的边时，PQ＝OD＝2，设P(m，1
2
m2﹣2m)，则Q[m﹣2，﹣
1
2
(m﹣
2)2+2(m﹣2)]或[m+2，﹣1
2
(m+2)2+2(m+2)]，
∵PQ∥OD，
∴1
2m2﹣2m＝﹣
1
2
(m﹣2)2+2(m﹣2)或
1
2
m2﹣2m＝﹣
1
2
(m+2)2+2(m+2)，
解得m＝33，
∴P33或(333或(133和33，
当OD是平行四边形的对角线时，点P的横坐标为1，此时P(1，﹣3
2 )，
综上所述，满足条件的点P的坐标为33或(333或(133)和
33)或(1，﹣3
2 )．
【点睛】
本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质，正方形的性质,平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题
3．对于函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在实数x0，使得a2
x+（b+1）x0+b﹣2＝x0成立，则称x0为函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点．
（1）当a＝2，b＝﹣2时，求y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点；
（2）若对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，且直线y ＝﹣x+2121
a +是线段AB 的垂
直平分线，求实数b 的取值范围．
【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）b 的取值范围是﹣
4
≤b ＜0． 【解析】 【分析】
（1）将a ＝2，b ＝﹣2代入函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），得y ＝2x 2﹣x ﹣4，然后令x ＝2x 2﹣x ﹣4，求出x 的值，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；
（2）对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）时，对于任何实数b 都有△＞0，然后再设t ＝△，即可求得a 的取值范围；
（3）根据y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，可知点A 和点B 均在直线y ＝x 上，然后设出点A 和点B 的坐标，从而可以得到线段AB 的中点坐标，再根据直线y ＝﹣x+2
121
a +是线段AB 的垂
直平分线，从而可以求得b 的取值范围． 【详解】
解：（1）当a ＝2，b ＝﹣2时， 函数y ＝2x 2﹣x ﹣4， 令x ＝2x 2﹣x ﹣4， 化简，得x 2﹣x ﹣2＝0 解得，x 1＝2，x 2＝﹣1，
即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点是﹣1或2； （2）令x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2， 整理，得 ax 2+bx+b ﹣2＝0，
∵对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点， ∴△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＞0，
设t ＝b 2﹣4a （b ﹣2）＝b 2﹣4ab+8a ，对于任何实数b ，t ＞0， 故（﹣4a ）2﹣4×1×8a ＜0， 解得，0＜a ＜2，
即a 的取值范围是0＜a ＜2； （3）由题意可得， 点A 和点B 在直线y ＝x 上，
设点A （x 1，x 1），点B （x 2，x 2），
∵A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点， ∴x 1，x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2＝0的两个根， ∴x 1+x 2＝﹣
b a
， ∵线段AB 中点坐标为（122x x +，122
x x
+）， ∴该中点的坐标为（2b a -，2b a
-）， ∵直线y ＝﹣x+2
121
a +是线段AB 的垂直平分线，
∴点（2b a -，2b
a -）在直线y ＝﹣x+2121
a +上， ∴2b
a -
＝21221
b a a ++
∴﹣b ＝
2
21
a a ≤
+4，（当a ＝2
时取等号）
∴0＜﹣b
≤b ＜0，
即b 的取值范围是﹣4
≤b ＜0． 【点睛】
本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．已知抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠过点(0,2)A -． （1）若点(2,0)-也在该抛物线上，请用含a 的关系式表示b ；
（2）若该抛物线上任意不同两点()11,M x y 、()22,N x y 都满足：当120x x <<时，
()()12120x x y y --<；当120x x <<时，()()12120x x y y -->；若以原点O 为圆心，
OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B 、C （点B 在点C 左侧），且ABC ?有一个内
角为60，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点P 与点O 关于点A 对称，且O 、M 、N 三点共线，求证：
PA 平分MPN ∠．
【答案】（1）21b a =-；（2）2
2y x =-；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）把点()0,2-、()2,0-代入抛物线解析式，然后整理函数式即可得到答案． （2）根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y 轴、开口向上，进而可得出0b =，由抛物线的对称性可得出ABC ?为等腰三角形，结合其有一个60?的内角可得出ABC ?为等边三角形，设线段BC 与y 轴交于点D ，根据等边三角形的性质可得出点C 的坐标，再利用待定系数法可求出a 值，此题得解；
（3）由（1）的结论可得出点M 的坐标为1(x ，2
12)x -+、点N 的坐标为2(x ，
22
2)x -+，由O 、M 、N 三点共线可得出21
2
x x =-
，进而可得出点N 及点'N 的坐标，由点A 、M 的坐标利用待定系数法可求出直线AM 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点'N 在直线PM 上，进而即可证出PA 平分MPN ∠． 【详解】
解：（1）把点()0,2-、()2,0-分别代入，得
2420c a b c =-?
?
-+=?
． 所以21b a =-．
（2），如图1，
当120x x <<时，()()12120x x y y --<，
120x x ∴-<，120y y ->， ∴当0x <时，y 随x 的增大而减小；
同理：当0x >时，y 随x 的增大而增大，
∴抛物线的对称轴为y 轴，开口向上，
0b ∴=．
OA 为半径的圆与拋物线的另两个交点为B 、C ，
ABC
∴?为等腰三角形，
又ABC
?有一个内角为60?，
ABC
∴?为等边三角形．
设线段BC与y轴交于点D，则BD CD
=，且30
OCD
∠=?，
又2
OB OC OA
===，
·303
CD OC cos
∴=?=，·301
OD OC sin
=?=．
不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为(3，1)．
点C在抛物线上，且2
c=-，0
b=，
321
a
∴-=，
1
a
∴=，
∴抛物线的解析式为22
y x
=-．
（3）证明：由（1）可知，点M的坐标为1(x，212)
x-，点N的坐标为
2
(x，2
2
2)
x-．
如图2，直线OM的解析式为()
11
y k x k
=≠．
O、M、N三点共线，
1
x
∴≠，
2
x≠，且
22
12
12
22
x x
x x
--
=，
12
12
22
x x
x x
∴-=-，
()
12
12
12
2x x
x x
x x
-
∴-=-，
12
2
x x
∴=-，即2
1
2
x
x
=-，
∴点N的坐标为
1
2
(
x
-，
2
1
4
2)
x
-．
设点N 关于y 轴的对称点为点'N ，则点'N 的坐标为12(x ，21
4
2)x -． 点P 是点O 关于点A 的对称点，
24OP OA ∴==，
∴点P 的坐标为()0,4-．
设直线PM 的解析式为24y k x =-，
点M 的坐标为1(x ，2
12)x -，
212124x k x ∴-=-，
2121
2x k x +∴=，
∴直线PM 的解析式为211
2
4x y x x +=-．
()
222111221111224224
·42x x x x x x x +-+-==-， ∴点'N 在直线PM 上，
PA ∴平分MPN ∠． 【点睛】
本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质以及一次（二次）函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出a 、b 满足的关系式；（2）①利用等边三角形的性质找出点C 的坐标；②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点'N 在直线PM 上．
5．如图，顶点为M 的抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于A (﹣1，0)，B 两点，与y 轴交于点C ，过点C 作CD ⊥y 轴交抛物线于另一点D ，作DE ⊥x 轴，垂足为点E ，双曲线y =6
x
(x ＞0)经过点D ，连接MD ，BD ． （1）求抛物线的表达式；
（2）点N ，F 分别是x 轴，y 轴上的两点，当以M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小时，求出点N ，F 的坐标；
（3）动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC 方向运动，运动时间为t 秒，当t 为何值时，∠BPD 的度数最大？
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）N(5
7
，0)，F(0，
5
3
)；（3）t=9﹣15
【解析】
【分析】
（1）由已知求出D点坐标，将点A（-1，0）和D（2，3）代入y=ax2+bx+3即可；
（2）作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；
（3）设P（0，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大；【详解】
解；（1）C(0，3)
∵CD⊥y，
∴D点纵坐标是3．
∵D在y=6
x
上，
∴D(2，3)，
将点A(﹣1，0)和D(2，3)代入y=ax2+bx+3，
∴a=﹣1，b=2，
∴y=﹣x2+2x+3；
（2）M(1，4)，B(3，0)，
作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，
则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；∴M'(﹣1，4)，D'(2，﹣3)，
∴M'D'直线的解析式为y=﹣
7
3
x+
5
3
，
∴N(
5
7
，0)，F(0，
5
3
)；
（3）设P(0，t)．
∵△PBO和△CDP都是直角三角形，
tan∠CDP=
3
2
t-
，tan∠PBO=
3
t
，
令y=tan∠BPD=
3
23
3
1
23
t t
t t
-
+
-
-
，
∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0，
△=﹣15y2+30y+1=0时，
y=
1515
15
-+
-
舍)或y=
1515
15
+
，
∴t=
3
2
﹣
1
2
×
1
y
，
∴t =9﹣
∴P (0，9﹣． 【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
6．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值相等；当0x <时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.
例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)
(0)x x y x x ≥?=?
-
. （1）已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上，求a 的值； （2）已知二次函数2
1
42
y x x =-+-
. ①当点3,2B m ?? ???
在这个函数的相关函数的图像上时，求m 的值； ②当33x -≤≤时，求函数2
1
42
y x x =-+-
的相关函数的最大值和最小值. （3）在平面直角坐标系中，点M 、N 的坐标分别为1,12??-
???、9,12??
???
，连结MN .直接写出线段MN 与二次函数2
4y x x n =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.
【答案】（1）1；（2）①22- ；②max 432y =
，min 1
2
y =-；（3）31n -<≤-，5
14
n <≤
【解析】 【分析】
（1）先求出5y ax =-的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；
（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可； ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+
1
2
，然后可 此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x-1
2
，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值； （3）首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围． 【详解】
解：（1）根据题意，
一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)
5,(0)ax x y ax x -≥?=?
-+
， ∴把点()5,10A -代入5y ax =-+，则
(5)510a -?-+=，
∴1a =；
（2）根据题意，二次函数2
142y x x =-+-的相关函数为2
214,(0)214,(0)
2x x x y x x x ?-+-≥??=??-+
，
①当m ＜0时，将B （m ，
32）代入y=x 2-4x+1
2得m 2-4m+1322
=，
解得：
m=2 当m≥0时，将B （m ，
32
）代入y=-x 2+4x-12得：-m 2+4m-12=3
2，
解得：
或
m=2．
综上所述：
m=2-或
m=2+或
m=2- ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+
1
2
，抛物线的对称轴为x=2，此时y 随x 的增大而减小， ∴当3x =-时，有最大值，即2
143(3)4(3)22
y =--?-+=， ∴此时y 的最大值为
432
． 当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 1
2
-
，抛物线的对称轴为x=2， 当x=0有最小值，最小值为12-
， 当x=2时，有最大值，最大值y=
72
． 综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-
的相关函数的最大值为43
2，最小值为12
-；
（3）如图1所示：线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有1个公共点．
∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．
如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，
∴-n=1，解得：n=-1．
∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），
∴n=1．
如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
∵抛物线y=x2-4x-n经过点M（
1
2
，1），
∴1
4
+2-n=1，解得：n=
5
4
．
∴1＜n≤5
4
时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述，n的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤5
4
．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x2+4x+n的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键．
7．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，-1)，且与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合)，过点P作PD∥y轴，交AC于点D．
(1)求该抛物线的函数关系式；
(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)在题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) y=x2﹣4x+3；(2) P1（1，0），P2（2，﹣1）；(3) F1（22，1），F2（22，1）．
【解析】
【分析】
（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；
（2）由于PD∥y轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考虑两种情况：
①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），由此可求出P点的坐标；
②以点A为直角顶点，易知OA=OC，则∠OAC=45°，所以OA平分∠CAP，那么此时D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P 点的坐标；
（3）很显然当P、B重合时，不能构成以A、P、E、F为顶点的四边形，因为点P、F都在抛物线上，且点P为抛物线的顶点，所以PF与x轴不平行，所以只有（2）②的一种情况符合题意，由②知此时P、Q重合；假设存在符合条件的平行四边形，那么根据平行四边形的性质知：P、F的纵坐标互为相反数，可据此求出F点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标．
【详解】
（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），
∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，
将C（0，3）代入上式，得：
3=a（0﹣2）2﹣1，a=1；
∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；
（2）分两种情况：
①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；
令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3；
∵点A在点B的右边，
∴B（1，0），A（3，0）；
∴P1（1，0）；
②当点A为△AP2D2的直角顶点时；
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAD2=45°；
当∠D2AP2=90°时，∠OAP2=45°，
∴AO 平分∠D 2AP 2； 又∵P 2D 2∥y 轴， ∴P 2D 2⊥AO ，
∴P 2、D 2关于x 轴对称；
设直线AC 的函数关系式为y=kx+b （k≠0）． 将A （3，0），C （0，3）代入上式得：
30
3k b b +=??
=?
， 解得13k b =-??=?
；
∴y=﹣x+3；
设D 2（x ，﹣x+3），P 2（x ，x 2﹣4x+3）， 则有：（﹣x+3）+（x 2﹣4x+3）=0， 即x 2﹣5x+6=0；
解得x 1=2，x 2=3（舍去）；
∴当x=2时，y=x 2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1； ∴P 2的坐标为P 2（2，﹣1）（即为抛物线顶点）． ∴P 点坐标为P 1（1，0），P 2（2，﹣1）；
（3）由（2）知，当P 点的坐标为P 1（1，0）时，不能构成平行四边形； 当点P 的坐标为P 2（2，﹣1）（即顶点Q ）时， 平移直线AP 交x 轴于点E ，交抛物线于F ； ∵P （2，﹣1）， ∴可设F （x ，1）； ∴x 2﹣4x+3=1，
解得x 1=2﹣2，x 2=2+2； ∴符合条件的F 点有两个，
即F 1（2﹣2，1），F 2（2+2，1）．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的解析式的确定、直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质
等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大.
8．如图，已知抛物2
(0)y ax bx c a =++≠经过点,A B ，与y 轴负半轴交于点C ，且
OC OB =，其中B 点坐标为(3,0)，对称轴l 为直线12
x =
． (1)求抛物线的解析式；
(2) 在x 轴上方有一点P ， 连接PA 后满足PAB CAB ∠=∠， 记PBC ?的面积为S ， 求当10.5S =时点P 的坐标
(3)在(2)的条件下，当点P 恰好落在抛物线上时，将直线BC 上下平移，平移后的
10.5S =时点P 的坐标；直线y x t =+与抛物线交于,C B ''两点(C '在B '的左侧)，若以点
,,C B P ''为顶点的三角形是直角三角形，求出t 的值．
【答案】（1）211
322
y x x =--（2）(2,6)（3）19或32 【解析】 【分析】
（1）确定点A 的坐标，再进行待定系数法即可得出结论；
（2）确定直线AP 的解析式，用m 表示点P 的坐标，由面积关系求S 和m 的函数关系式即可求解；
（3）先确定点P 的坐标，当'''90B PC ∠=，利用根与系数的关系确定'''B C 的中点E 的坐标，利用''2B C PE =建立方程求解，当''''90PC B ∠=时，确定点G 的坐标，进而求出直线''C G 的解析式，得出点''C 的坐标即可得出结论． 【详解】
（1）∵OC OB =，且B 点坐标为(3,0)， ∴C 点坐标为(0,3)-．
设抛物线解析式为2
1
()2
y a x k =-+．
将B、C两点坐标代入得
25
4
1
3
4
a k
a k
?
=+
??
?
?-=+
??
，解得
1
2
25
8
a
k
?
=
??
?
?=-
??
．∴抛物线解析式为22
112511
()-3
22822
y x x x
=-=--．（2）如图1，设AP与y轴交于点'C．
∵PAB CAB
∠=∠，OA OA
=，90
AOC AOC
∠'
=∠=?，∴AOC
?≌AOC
?'，
∴3
OC OC
='=，
∴(0,3)
C'．
∵对称轴l为直线
1
2
x=，
∴(2,0)
A-，
∴直线AP解析式为
3
3
2
y x
=+，
∵(3,0)
B，(0,-3)
C，
∴直线BC解析式为-3
y x
=，
∴
31
3(3)6
22
PF x x x
=+--=+，
∴
13
9
24
PBC
S OB PF x
?
=??=+，
∵10.5
S=，∴
3
910.5
4
x+=，
∴2
x=．
此时P点的坐标为(2,6)．
人教版九年级上学期《二次函数》培优卷
第22章《二次函数》练习卷① 1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是（） A．abc＞0B．b＝2a C．9a+3b+c＜0D．8a+c＝0 2．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下面结论中不正确的是（）A．ac＜0B．2a+b＝0C．b2＜4ac D．方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3 3．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax﹣bc的图象大致是（） A．B．C．D． 4．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝bx+a的图象可能是（） A．B．C．D． 5．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表 x﹣3﹣2﹣1012 y﹣12﹣50343利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是（） A．0＜x＜2B．x＜0或x＞2C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或x＞3 6．将抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为．
7．若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点为（5，0）、（1，0），则抛物线的对称轴直线x＝．8．若函数y＝﹣x2+（m﹣4）x+4m的图象与x轴有且只有一个交点，则m＝．9．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是．10．如图，在平?直?坐标系中，菱形ABCD的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线y＝ax2﹣5ax+4（a＞0）经过点C、D，则点B的坐标为．11．若把一根长200cm的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，则这两个正方形的面积的和最小值为． 12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0②b2﹣4ac＜0 ③c＜4b④a+b＞0，则其中正确结论的是． 13．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h（单位：m）与水流喷出时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是s． 14．如图，抛物线y=?3 8x 2+3 4x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），交y轴于 点C，点P为抛物线对称轴上一点．则△APC的周长最小值是． 15．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，则水管AB
人教版九年级上册数学培优体系讲义
第二十一章 一元二次方程 1．一元二次方程 预习归纳 1．等号两边都是整式，只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的方程，叫一元二次方程． 2．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 ． 3．一元二次方程的一般形式是 ． 例题讲解 【例】把方程(3x －2)(2x －3)＝x 2－5化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项，一次项及常数项和二次项系数，一次项系数． 基础训练 1．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．21 10x x =＋＋ B ．2110x x =＋＋ C ．210xy －＝ D ．22 0x xy y =－＋ 2．方程()45x x －＝化为一般形式为( ) A ．2450x x =－＋ B ．2450x x =＋＋ C ．2450x x =－－ D ．2 450x x =＋－ 3．方程23740x x =－＋中二次项的系数，一次项的系数及常数项分别是( ) A ．3、7、4 B ．3、7、﹣4 C ．3、﹣7、4 D ．3、﹣7、﹣4 4．(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2 ＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为 ( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2 5．(2014哈尔滨)若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为 ． 6．把一元二次方程2(x 2＋7)＝x ＋2化成一般形式是 ． 7．下列数中－1，2，－3，－2，3是一元二次方程x 2－2x ＝3的根是 ． 8．若方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根是－1，求m 的值． 9．(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，求2013－a －b 的值．
二次函数培优专项练习
学习必备 欢迎下载 1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是 2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为 ２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与 抛物线y= - 2x 2 相同，这个函数解析式为________。 ３.如果函数1)3(2 32 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数, 则k 的值是______ ４.已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线2 1y x =-上，下列说法中正确的是（ ） A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y > ５. 抛物线 c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为 322--=x x y ，则b 、c 的值为 A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 ★６.抛物线5)43()1(2 2+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M ＝ ７.二次函数52 -+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值，则m 的取值范围是 8.函数245 (5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数. 9.抛物线2 )13(-=x y 当x 时，Y 随X 的增大而增 大 10.抛物线42 ++=ax x y 的顶点在X 轴上，则a 值为 ★11.已知二次函数2 )3(2--=x y ，当X 取1x 和2x 时函数值相等，当X 取1x +2x 时函数值为 12.若二次函数k ax y +=2 ，当X 取X1和X2（21x x ≠） 时函数值相等,则当X 取X1+X2时，函数值为 13.若函数2)3(-=x a y 过（２.９）点，则当X ＝４ 时函数值Y ＝ ★14.若函数k h x y ---=2 )(的顶点在第二象限则， h 0 ，k 0 15.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是１.且过（３.０）点求解析式？ 16.将121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的 形式，则n m ?=_____。 ★17. 已知抛物线在X 轴上截得的线段长为６.且顶点 的顶点到x 轴的距离是3, 那么c 的值等于（ ） （A ）8 （B ）14 （C ）8或14 （D ）-8或-14 19.二次函数y=x 2 -(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x<1时，y 随着x 的增大而减小，则k 的值应取（ ） （A ）12 （B ）11 （C ）10 （D ）9 20.若0 Ｂ．1a < Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤ 30.抛物线y= (k 2-2)x 2 +m-4kx 的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= - 2 1 +2上，求函数解析式。 31.已知二次函数图象与x 轴交点（2,0）(-1,0)与y 轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。 32.y= ax 2 +bx+c 图象与x 轴交于A 、B 与y 轴交于C ，OA=2，OB=1 ，OC=1，求函数解析式 32.抛物线562 -+-=x x y 与x 轴交点为A ，B ，（A 在B 左侧）顶点为C.与Y 轴交于点D (1)求△ABC 的面积。 (2)若在抛物线上有一点M ，使△ABM 的面积是△ABC 的面积的２倍。求M 点坐标(得分点的把握) （3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得 △QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. 4)在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBAC 是等腰 梯形，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由
苏科版九年级数学培优第：与二次函数有关的综合问题【答案】
第5讲 与二次函数有关的综合问题 【思维入门】 1． 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为D (－1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图1－5－1所示，则以下结论：① b 2－4ac <0；②a ＋b ＋c <0；③c －a ＝2；④方程ax 2＋bx ＋c －2＝0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．已知二次函数y ＝a (x －1)2－c 的图象如图1－5－2所示，则一次函数y ＝ax ＋c 的大致图象可能是 ( ) 图1－5－2 3．如图1－5－3，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x ＝1，点B 的坐标为(－1，0)．则下面的四个结论：①2a ＋b ＝0；②4a －2b ＋c ＜0；③ac ＞0；④当y ＜0时，x ＜－1或x ＞2.其中正确的个数是 ( ) 图1－5－3 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数y ＝??? ? ? -2b a x 2－cx －a －b 2在x ＝1时取最小 值－8 5b ，则△ABC 是 ( ) A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 图1－5－1
【思维拓展】 5．二次函数y＝2 3x 2的图象如图1－5－4，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A n 在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B n在二次函数位于第一象限的图象上．四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3，…，四边形A n－1B n A n C n都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3＝…＝∠A n－1B n A n＝60°，菱形A n－1B n A n C n的周长为________． 图1－5－4 6．已知二次函数y＝a(x－m)2－a(x－m)(a，m为常数，且a≠0)． （1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D. ①当△ABC的面积等于1时，求a的值； ②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．
初三数学圆的专项培优练习题含答案
初三数学圆的专项培优练习题（含答案） ?EB 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成 立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三 2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆 的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．C．6 D． 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。 9．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA 的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2． 九年级上册数学 期末试卷（培优篇）（Word 版 含解析） 一、选择题 1．如图，等边三角形ABC 的边长为5，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，将△ADE 沿DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若BF ＝2，则BD 的长是（ ） A ．2 B ．3 C ． 218 D ． 247 2．在平面直角坐标系中，如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a +b +c ＝0；②b ＞2a ；③方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为﹣3和1；④b 2﹣4ac ＞0，其中正确的命题有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ） A ． 15 B ． 25 C ． 35 D ． 45 4．为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身高一样，甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，则下列说法正确的是（ ） A ．甲、乙两队身高一样整齐 B ．甲队身高更整齐 C ．乙队身高更整齐 D ．无法确定甲、乙两队身高谁更整齐 5．如图，////AD BE CF ，直线12l l 、与这三条平行线分别交于点、、A B C 和点D E F 、、．已知AB =1，BC =3，DE =1.2，则DF 的长为（ ） A ．3.6 B ．4.8 C ．5 D ．5.2 6．二次函数()2 0y ax bx c a =++≠的图像如图所示，它的对称轴为直线1x =，与x 轴交点 的横坐标分别为1x ，2x ，且110x -<<.下列结论中：①0abc <；②223x <<；③421a b c ++<-；④方程()2 200ax bx c a ++-=≠有两个相等的实数根；⑤13 a > .其中正确的有（ ） A ．②③⑤ B ．②③ C ．②④ D ．①④⑤ 7．如图，ABC △内接于⊙O ，30BAC ∠=?，8BC = ，则⊙O 半径为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 8．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（ ） A ．1：2 B ．1：2 C ．1：3 D ．1：4 9．如图， O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是点E ，22.5CAO ∠=，6OC =，则 CD 的长为( ) A ．62 B ．32 C ．6 D ．12 10．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ） A ．3π+ B ．3π C ．23π- D ．223π-11．一元二次方程x 2＝－3x 的解是（ ） 一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线 y x m =+过顶点C 和点B ． （1）求m 的值； （2）求函数2 (0)y ax b a =+≠的解析式； （3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=?？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）﹣3；（2）y 13 =x 2 ﹣3；（3）M 的坐标为（3632）． 【解析】 【分析】 （1）把C （0，﹣3）代入直线y ＝x +m 中解答即可； （2）把y ＝0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可． 【详解】 （1）将C （0，﹣3）代入y ＝x +m ，可得： m ＝﹣3； （2）将y ＝0代入y ＝x ﹣3得： x ＝3， 所以点B 的坐标为（3，0）， 将（0，﹣3）、（3，0）代入y ＝ax 2+b 中，可得： 3 90b a b =-?? +=? ， 解得：133 a b ? =???=-?， 所以二次函数的解析式为：y 13 = x 2 ﹣3； （3）存在，分以下两种情况： ①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ， 则∠ODC ＝45°+15°＝60°， ∴OD ＝OC ?tan30°3= 设DC 为y ＝kx ﹣33，0），可得：k 3= 联立两个方程可得：2 3313 3y x y x ?=-? ?=-?? ， 解得：1212033 36x x y y ?=?=???=-=??? ， 所以M 1（36）； ②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ， 则∠OEC ＝45°-15°＝30°， ∴OE ＝OC ?tan60°＝3 设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（30）可得：k 3 = 联立两个方程可得：2333133y x y x ?=-????=-?? ， 解得：12120332 x x y y ?=?=???=-=-???， 所以M 23，﹣2）． 综上所述M 的坐标为（3，63，﹣2）． 【点睛】 此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键． 2．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y= 13x ﹣4 3 与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线 九年级二次函数拔高培优及解析 一、单选题 1．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是x=1.下列结论中： ①abc>0；②2a+b=0；③方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标为(?2,0)；⑤若点A(m,n)在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c． 其中正确的有() A．5个B．4个C．3个D．2个 【答案】B 【解析】 【分析】 结合函数图象，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可． 【详解】 ①∵对称轴是y轴的右侧， ∴ab<0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c>0， ∴abc<0，故①错误； ②∵?b =1， 2a ∴b=?2a，2a+b=0，故②正确； ③由图象得：y=3时，与抛物线有两个交点， ∴方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根，故③正确； ④∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(?2,0)，故④正确； ⑤∵抛物线的对称轴是x=1， ∴y有最大值是a+b+c， ∵点A(m,n)在该抛物线上， ∴am2+bm+c≤a+b+c，故⑤正确， 本题正确的结论有：②③④⑤，4个， 故选B． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c 决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)；也考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质． 2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论： ①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a； ②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a； ③若y2＞y1，则x2＞4； ④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和1 3 其中正确结论的个数是（） A．1B．2C．3D．4 【答案】B 【解析】 【分析】利用交点式写出抛物线解析式为y=ax2﹣2ax﹣3a，配成顶点式得y=a（x﹣1）2﹣4a，则可对①进行判断；计算x=4时，y= a×5×1=5a，则根据二次函数 2019-2020学年九年级数学上册培优 新人教版 1．已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列三个结 论：①a ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③－ b 2a ＞0．其中正确的结论有( ) A ．只有① B ．①② C ．①③ D ．①②③ 2.如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第 二次输出的结果为12，…，则第2011次输出的结果为 。 3.如图，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，且DE ∥BC ，下列结论中，一定正确的是 。①BDF ?是等腰三角形 ②BC DE 2 1 = ③四边形ADFE 是菱形 ④2BDF FEC A ∠+∠=∠ 4.如图，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有 正三角形都关于PQ 对称，其中第一个111C B A △的顶点1A 与点P 重合，第二个222C B A △的顶点2A 是11C B 与PQ 的交点，…，最后一个n n n C B A △的顶点n B 、n C 在圆上．求正三角形的边长1a = , 2a = , n a = . (2题) 5.类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1 个单位．用实数加法表示为 3+（2-）=1． 若坐标平面上的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负， 平移a 个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{a ，b }叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a ，b }与“平移量”{c ， d }的加法运算法则为}{}{}{d b c a d c b a ++=+，，，． 解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}． （2）①动点P 从坐标原点O 出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A ，再按照“平移量” {1，2}平移到B ；若先把动点P 按照“平移量”{1，2}平移到C ，再按照“平移量” {3，1}平移，最后的位置还是点B 吗? 在图1中画出四边形OABC . ②证明四边形OABC 是平行四边形. （3）如图2，一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头P （2，3），再从码头P 航行到码头Q （5，2），最后回到出发点O . 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程． 6.如图，已知抛物线42 12 ++- =x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为 （第5题） 图1 一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值； （3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）9 4 ；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣ 3）． 【解析】 试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解； （2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答； （3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可； （4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可． 试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0）， ∴ 930 10 b c b c ++= ? ? ++= ? ，解得 4 3 b c =- ? ? = ? ，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3； （2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣ （x﹣3 2 ）2+ 9 4 ．∵a=﹣1＜0，∴当x= 3 2 时，线段PD的长度有最大值 9 4 ； 数学九年级上册 期末试卷（培优篇）（Word 版 含解析） 一、选择题 1．已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为13cm ，则这个圆锥的全面积是（ ） A ．265cm π B ．290cm π C ．2130cm π D ．2155cm π 2．一元二次方程x 2＝9的根是（ ） A ．3 B ．±3 C ．9 D ．±9 3．如图，点P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，∠P=30°，OB=3，则线段BP 的长为（ ） A ．3 B ．33 C ．6 D ．9 4．关于2,6,1,10,6这组数据，下列说法正确的是（ ） A ．这组数据的平均数是6 B ．这组数据的中位数是1 C ．这组数据的众数是6 D ．这组数据的方差是10.2 5．将二次函数2 2y x =的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得新的图象的函数表达式为( ) A ．()2 241y x =-- B ．()2 241y x =+- C ．()2241y x =-+ D ．()2 241y x =++ 6．已知一组数据2，3，4，x ，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的中位数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 8．将二次函数y ＝x 2的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，再沿x 轴向左平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（ ） A ．y ＝（x +3）2+2 B ．y ＝（x ﹣3）2+2 C ．y ＝（x +2）2+3 D ．y ＝（x ﹣2）2+3 9．下列说法正确的是（ ） A ．所有等边三角形都相似 B ．有一个角相等的两个等腰三角形相似 C ．所有直角三角形都相似 D ．所有矩形都相似 10．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A(﹣3，0)，对称轴为直线x ＝﹣1，下列结论：①b 2＞4ac ；②2a+b ＝0；③a+b+c ＞0；④若B(﹣5，y 1)、C(﹣1，y 2)为函数图象上的两点，则y 1＜y 2．其中正确结论是（ ） 112O x y 培优训练五（二次函数1） 1、如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（ ） A ．m ＝n ，k ＞h B ．m ＝n ，k ＜h C ．m ＞n ，k ＝h D ．m ＜n ，k ＝h 2、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b ﹣2a =0；②abc ＜0；③a ﹣2b +4c ＜0；④8a +c ＞0．其中正确的有（ ） A ． 3个 B ． 2个 C ． 1个 D ． 0个 3、如图，二次函数2y ax bx c =++的图像与y 轴正半轴相交，其顶点坐标 为（1,12 ），下列结论：①0ac ＜；②0a b +=； ③244ac b a -=；④0a b c ++＜.其中正确结论的个数是 A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 4、若二次函数c x x y +-=62的图象经过A （－1，y 1）、B （2，y 2）、C （23+，y 3）三点，则关于y 1、y 2、y 3大小关系正确的是 A .y 1>y 2>y 3 B .y 1>y 3>y 2 C .y 2>y 1>y 3 D .y 3>y 1>y 2 5、如图，一次函数)0(1≠+=k n kx y 与二次函数 )0(22≠++=a c bx ax y 的图象相交于A (1-，5)、B (9，2)两点，则关 于x 的不等式c bx ax n kx ++≥+2 的解集为 A 、91≤≤-x B 、91<≤-x C 、91≤<-x D 、1-≤x 或9≥x 6．如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、 数学九年级上册 二次函数单元培优测试卷 一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难） 1．对于函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），若存在实数x0，使得a 2 0x +（b+1）x 0+b ﹣2 ＝x0成立，则称x 0为函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点． （1）当a ＝2，b ＝﹣2时，求y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点； （2）若对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，且直线y ＝﹣x+2 121 a +是线段AB 的垂 直平分线，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）b 的取值范围是﹣ b ＜0． 【解析】 【分析】 （1）将a ＝2，b ＝﹣2代入函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），得y ＝2x 2﹣x ﹣4，然后令x ＝2x 2﹣x ﹣4，求出x 的值，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点； （2）对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）时，对于任何实数b 都有△＞0，然后再设t ＝△，即可求得a 的取值范围； （3）根据y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，可知点A 和点B 均在直线y ＝x 上，然后设出点A 和点B 的坐标，从而可以得到线段AB 的中点坐标，再根据直线y ＝﹣x+2121 a +是线段AB 的垂 直平分线，从而可以求得b 的取值范围． 【详解】 解：（1）当a ＝2，b ＝﹣2时， 函数y ＝2x 2﹣x ﹣4， 令x ＝2x 2﹣x ﹣4， 化简，得x 2﹣x ﹣2＝0 解得，x 1＝2，x 2＝﹣1， 即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点是﹣1或2； （2）令x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2， 整理，得 ax 2+bx+b ﹣2＝0， ∵对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点， ∴△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＞0， 九年级二次函数培优竞赛试题及答案 1.在如图的直角坐标系中,已知点A(２，０)、B(0,－4），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转9０°至AＣ. (1）求点C的坐标; (２)若抛物线y＝-错误!x２＋ax＋4经过点C． ①求抛物线的解析式; ②在抛物线上是否存在点P（点C除外)使△AＢP是以AＢ为直角边的等腰直角三角形?若存在，求出所有点P的坐标;若不存在，请说明理由. 2.如图1,已知直线y=x＋3与x轴交于点Ａ，与y轴交于点B,抛物线ｙ=－x２＋bx+ｃ经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E,抛物 线顶点为D. (１）求抛物线的解析式; （2)在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为３，求点Ｆ的坐标； （3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为ｔ秒，当t为何值时，以P、B、Ｃ为顶点的三角形是直角三角形?直接写出所有符合条件的t值． 1.【解析】 试题分析：(1）过点Ｃ作ＣD垂直于x轴,由线段ＡB绕点A按逆时针方向旋转9 ０°至ＡC，根据旋转的旋转得到AB=AC,且∠BAC为直角,可得∠ＯAB与∠CAD 互余，由∠AOB为直角，可得∠ＯＡB与∠ＡBO互余,根据同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等,利用ASA可证明三角形ACＤ与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得ＡＤ=ＯB,CD=OA,由Ａ和B的坐标及位置特点求出ＯA及OB的长,可得出OD及CD的长,根据C在第四象限得出C的坐标;（2)①由已知的抛物线经过点C，把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出抛物线的解析式； ②假设存在点P使△AＢP是以AB为直角边的等腰直角三角形,分三种情况考虑: （i）A为直角顶点,过A作AP 1垂直于AB,且AP 1 ＝AＢ,过P １ 作P 1 M垂直于x轴, 如图所示，根据一对对顶角相等,一对直角相等,ＡB=ＡP 1 ，利用AAS可证明三角 形ＡP 1M与三角形ＡCＤ全等，得出AP １ 与P 1 M的长，再由P １ 为第二象限的点,得 出此时P 1 的坐标，代入抛物线解析式中检验满足;（ｉｉ)当B为直角顶点,过Ｂ 作ＢＰ 2垂直于BA,且ＢＰ 2 =BA，过P 2 作P ２ N垂直于y轴,如图所示，同理证明三 角形ＢP 2N与三角形AOB全等,得出P ２ Ｎ与ＢＮ的长,由P 2 为第三象限的点,写出 P 2的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；(iii)当B为直角顶点，过B作BP ３ 垂直于BA,且BＰ 3=BＡ,如图所示,过P 3 作P ３ H垂直于y轴，同理可证明三角形Ｐ 3BH全等于三角形AOＢ,可得出Ｐ ３ H与BH的长,由P 3 为第四象限的点，写出P 3 的坐标,代入抛物线解析式检验,不满足,综上,得到所有满足题意的P的坐标.试题解析：（１）过C作CD⊥x轴，垂足为D， ∵ＢA⊥AＣ,∴∠ＯＡB+∠ＣＡD=９0°, 又∠AＯＢ＝90°，∴∠OAB＋∠ＯＢA=9０°， ∴∠CAD=∠OＢA,又AＢ＝ＡC，∠AＯB=∠ADＣ=９0°, ∴△AＯB≌△CDＡ，又Ａ(1，0)，B(0，﹣2）， ∴ＯＡ=CD=1，OB=AＤ=2， ∴OＤ＝ＯＡ+ＡD=3,又Ｃ为第四象限的点, ∴C的坐标为（3，﹣1); （2）①∵抛物线y=﹣1 2 ｘ2+ax+２经过点C，且C(3，﹣1）, ∴把Ｃ的坐标代入得：﹣１=﹣9 2 +3ａ＋2,解得：a＝ 1 2 ， 则抛物线的解析式为y=﹣1 2 x２＋ 1 2 x＋2； ②存在点Ｐ，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形,（i）若以AB为直角边,点A为直角顶点， 则延长CA至点P 1使得P 1 A=CA,得到等腰直角三角形ABP １ ，过点P １ 作Ｐ 1 M⊥x轴, 如图所示， 2018年九年级数学上册圆-与圆有关的性质同步培优卷 一、选择题: 1.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=42°，则∠A的度数是（） A．42°B．48°C．52°D．58° 2.如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（） A．150°B．120°C．100°D．130° 3.如图，A．B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（） A．40°B．45°C．50°D．55° 4.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（） A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5 5.如图，⊙O的圆心角∠BOC=112°，点D在弦BA的延长线上且AD=AC，则∠D的度数为（） A．28°B．56°C．30°D．41° 6.如图，AC是⊙O的直径，∠BAC=20°，P是弧AB的中点，则∠PAB等于（） A．35°B．40°C．60°D．70° 7.AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ABD=42°，则∠BCD的度数是( ) A．122°B．128°C．132°D．138° 8.如图,Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,B点与0刻度线的一端重合, ∠ABC=40°,射线CD绕点C转动,与量角器外沿交于点D,若射线CD将△ABC分割出以BC 为边的等腰三角形,则点D在量角器上对应的度数是（） A．40°B．70°C．70°或80°D．80°或140° 9.如图,⊙O的半径为2,点A为⊙O上一点,半径OD⊥弦BC于D,如果∠BAC=60°,那么OD的长是（） 九上考点复习专题 1、 如图，△ABC 的高CF 、BG 相交于点H ，分别延长CF 、BG 与△ABC 外接圆交于D 、 E 两点，则下列结论：①AD=AE ；②AH=AE ；③若DE 为△ABC 的外接圆的直径，则BC=AE.其中正确的是（ ） A 、① B 、①② C 、②③ D 、①②③ 2、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O 、H 分别为边AB 、AC 的中点，将△ABC 绕点B 逆时针旋转120°到△A 1BC 1的位置，则整个旋转过程中OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为___________. 3、如图，已知点E 在Rt △ABC 的斜边AB 上，以AE 为直径的⊙O 与直角边BC 相切于点D 。 （1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）若BD=2BE=4，求AC 。 4、如图，已知AB=4为⊙O 的直径，弦C D ⊥AB 且CD 过AO 的中点。 （1）如图1，求线段CD 的长度； （2）如图2，P 为优弧CD 上一动点，Q 为△ACP 的内心，当Q 点恰好在线段CD 上时，求DQ 的长度； （3）如图3，点M 与点O 关于直线AC 对称，当点P 在优弧AC 上运动时，试求 2 2 2PM PC PA 的值。 A H C B C 1 B 1 A 1 O 1 A B C D E H F G A B C D O E B C D O A B C D O A B C D O A P Q M P 5、如图，AB 为直径，PB 为切线，点C 在⊙O 上，PO 交⊙O 于D ，AC∥OP。 （1）求证：PC 为⊙O 的切线。 （2）过D 点作DE⊥AB，E 为垂足，连AD 交BC 于G ，CG=3，DE=4 （3）在（2）下，求半径。 6、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=2，AD=1，F 为BE 的中点。 （1）如图1，当边AD 与边AB 重合时，连接DF ，求证：DF ⊥CF ； （2）如图2，若∠BAE=135°，求CF 的长； （3）将△ADE 绕点A 旋转一周，求点F 运动路径的长。 7、在直角坐标系中，M 为x 轴正半轴上一点，⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，P 为AB 延长线上一点（不含B 点），连接PC 交⊙M 于Q 点，连接DQ ，若A （-1,0） ，C （0，3）。 （1） 如图，求圆心M 的坐标； （2） 如图，过B 点作B H ⊥DQ 于H 点，当P 点运动时，线段CQ 、QH 、DH 有何数量关系， 证明你的结论； （3） 如图，R 为⊙M 的直径DF 延长线上一个动点（不包括F 点），过B 、F 、R 三点作 ⊙N ，CF 交⊙N 于T ，当R 点在DF 的延长线上运动时，FT-FR 的值是否变化？请 说明理由。 D C B A F E D C B A F E 二次函数 一、选择题 1． 一次函数4)2(2-+-=k x k y 的图象经过原点，则k 的值为（ ）． A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．3 2．对于二次函数y=（x-1）2 +2的图象，下列说法正确的是（ ） A 、开口向下 B 、对称轴是x=-1 C 、顶点坐标是（1，2） D 、与x 轴有两个交点 3．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2 +c 的图象大致为（ ） 4．二次函数y=ax 2 +bx ﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（ ） A ．﹣3 B ．﹣1 C ．2 D ．3 5．抛物线2)3(2-+=x y 可以由抛物线2y x =平移得到，则下列平移过程正确的是（） A ．先向左平移3个单位，再向上平移2个单位 B ．先向右平移3个单位，再向下平移2个单位 C ．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 D ．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位[来 6．对于二次函数y=-x 2 +2x ．有下列四个结论： ①它的对称轴是直线x=1； ②设y 1=-x 12 +2x 1，y 2=-x 22 +2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1； ③它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）； ④当0＜x ＜2时，y ＞0． 其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．如图，已知二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y kx m =+ 的图像相交于点A （-3,5），B （7，2），则能使12y y ≤ 成立的x 的取值范围是（ ） A ．25x ≤≤ B ．37x x ≤-≥或 C ．37x -≤≤ D ．52x x ≥≤或 8．如图，已知：无论常数k 为何值，直线l ：y=kx+2k+2总经过定点A ，若抛物线y=ax 2 过A ，B （1，b ），C （-1，c ）三点． （1）请直线写出点A 坐标及a 的值； （2）当直线l 过点B 时，求k 的值； （3）在y 轴上一点P 到A ，C 的距离和最小，求P 点坐标； （4）在（2）的条件下，x 取 值时，ax 2 ＜kx+2k+2． 二、填空题 9．在二次函数y=-2（x-3）2 +1中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是 ． 10．二次函数y=ax 2 +bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c ＞b ；③抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0）；④abc ＞0．其中正确的结论是 （填写序号）． 11．二次函数23y x =的图象如图，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B 、C 在二次函数23y x =的图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC 的面积为 ． 12．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交函数2 1y x =（x ≥0）与223 x y =（x ≥0） 的图象于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交1y 的图象于点D ，直线DE ∥AC ，交2y 的图象于点E ，则 =AB DE ． 13．已知3a <-,点 A （a,y 1 ）, B （ a+1,y 2）都在 二次函数223y x x =+图像 上,那么y 1 、y 2的大小关系是 ． 14．已知点A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）在二次函数y=(x-错误！未找到引用源。1)2 +1的图象上，若x 1>x 2>1，则y 1 y 2 .（填“>”“=”或“<”）. 三、计算题 15．已知抛物线y=ax 2 ＋bx ＋c 经过点A （－1，0），且经过直线y=x －3与x 轴的交点B 及与y 轴的交点C ． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标； （3）若点M 在第四象限内的抛物线上，且OM ⊥BC ，垂足为D ，求点M 的坐标． 四、解答题 16．水果批发市场有一种高档水果,如果每千克盈利（毛利润）10元,每天可售出500千克．经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销量将减少20千克． （1）若以每千克能盈利18元的单价出售,问每天的总毛利润为多少元? （2）现市场要保证每天总毛利润6000元,同时又要使顾客得到实惠,则每千克应涨价多少元?九年级上册数学 期末试卷(培优篇)(Word版 含解析)
【数学】数学二次函数的专项培优练习题附答案解析
九年级二次函数拔高培优及解析
2019-2020学年九年级数学上册培优 新人教版
人教【数学】数学 二次函数的专项 培优练习题及详细答案
数学九年级上册 期末试卷(培优篇)(Word版 含解析)
二次函数培优经典题
数学九年级上册 二次函数单元培优测试卷
九年级二次函数培优竞赛试题及答案
人教版2018年九年级数学上册24.1与圆有关的性质同步培优卷(含答案)
九年级数学培优专题
九年级数学二次函数培优试卷及答案