七年级培优第2讲：从算术到代数
第二讲：跨越----从算术到代数
【知识纵横】
“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”，著名数学教育家波利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言。”
用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别。
字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用。
【例题求解】
（重庆市中考题）
思路点拨：（1）在观察给定的等式基础上，寻找数字特点、等式的共同特征，发现一般规律；
例6.如图①，有9个方格，要求在每个方格里填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等。问：图上左上角的数是多少？（北京市“迎春杯”竞赛题）
※巩固训练※
1.如果a 是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数，这个四位数是（）
A.11000+a
B.1100+a
C.110+a
D.1
+a （重庆市中考题）
2.某商场经销一批电视机，进价为每台a 元，原零售价比进价高%m ，后根据市场变化，把零售价调整为原零售价的%n ，调整后的零售价为每台（）元。
A.%)%1(n m a ?+
B.%%)1(n m a +
C.%)1%)(1(n m a -+
D.%)
1%(n m a -?（广东省竞赛题）
3.已知n 是整数，现有两个代数式：（1）32+n ，（2）14-n ，其中，能表示“任意奇数”的（）
A.只有（1）
B.只有（2）
C.有（1）和（2）
D.一个也没有
4.扑克牌游戏：小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步：分发左、中、右三摊牌，没堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；
第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆.
这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌的张数是多少？
（河北省中考题）
5.有一张纸，第一次把它分割成4片，第2次把其中的一片分割成4片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片，如此进行下去，试问：
（1）把5次分割后，共得到多少张纸片？
（2）经n 次分割后，共得到多少张纸片？
（3）能否经若干次分割后共得到2003张纸片？为什么？
（第十七届江苏省竞赛题）
6.东方传统建筑中的塔，造型各异。数学中的宝塔更是千变万化、不计其数。
从1开始的奇数，按照规律排成下面形式的宝塔：
观察行中各数的规律：
前2行的各数之和233321531=+=++=；
前3行的各数之和233363211197531=++=+++++=；
前4行的各数之和2333310432119531=+++=++++= ；
前5行的各数之和233333155432129531=++++=++++= ；
因此，可推知前6行的各数之和=+++++=++++=33333365432141531 。
（《时代学报》数学文化节试题）
7.在图（1）中取阴影等边三角形各边的中点，连成一个等边三角形，将其挖去，得到图（2）；对图
（2）中的每个阴影等边三角形仿照先前的做法，得到图（3），如此继续。如果图（1）的等边三角形面价为1，则第n 个图形中所有阴影三角形面积和为。
（第18届江苏省竞赛题）
8.已知17个连续整数的和是306，那么，紧接在这17个数后面的那17个整数的和为
（天津市竞赛题）
9.已知),3,2,1(11,2111 =-==+n x x x n ，则=2004x 。
（重庆市竞赛题）
10.下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（）。
A.1627384950
B.2345678910
C.3579111300
D.4692581470
（第十七届江苏省竞赛题）
11.给出两列数：20019,7,5,3,1，， 和，
，，200121,16,11,6,1 同时出现在这两列数中的数的个数为（）A.199 B.200 C.201 D.202
（重庆市竞赛题）
12.老师报出一个五位数，同学们将它的顺序倒排后得到的五位数减去原数，学生甲、乙、丙、丁的结果分别是34567、34056、23456、34956，老师判定四个结果中只有一个正确，答对的是（）。
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
（第16届“五羊杯”竞赛题）
13.某工厂3月份的产值比2月份增加%10，四月份的产值比3月份减少%10，则（）。
A.4月份的产值与2月份相等
B.4月份的产值比2月份增加991B.
C.4月份的产值比2月份减少991
D.4月份的产值比2月份增加100
1（“希望杯”邀请赛试题）
14.如图是一个33?的幻方，当空格中填上适当的数后，每行、没列以及对角线上的数的和都是相同的，求k 的值。
15.一条公交线路从起点到终点有8个站，一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人，问从前6站上车而在终点下车的乘客有多少人？（“希望杯”邀请赛试题）
16.将61~1这16个整数填入44?的正方形表格中，使得每行、每列、每条对角线上四个数之和都相等，如右图所示，恰有8个小方格中填的数被一个淘气的小朋友擦掉了，请你将擦掉的这8个数设法恢复出来。
20.有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数，再将各组所得的差相加，其和恰好等于18。若这四个数的乘积是23100求这四个数。
（天津市竞赛题）
数学竞赛专题讲座七年级第1讲_跨越—从算术到代数(含答案)
第一讲跨越——从算术到代数 “加里宁曾经说过：数学是锻炼思维的体操，体操能使你身体健康，动作敏捷；数学能使你的思想正确敏捷，有了正确的思想，你们才有可能爬上科学的大山．” _______华罗庚。 华罗庚，我国现代有世界声誉的数学家，初中毕业后，靠自学成才，在数论、矩阵几何等许多领域中做出过卓越贡献． 纵观历史，数学的发展创造了数学符号，新的数学符号的使用又反过来促进了数学的发展．历史是这样一步一步走过来的，并将这样一步一步地继续走下去，数学的每一个进步都必须伴随着新的数学符号的产生．在文明和科学的发展过程中，人类创造用符号代替语言、文字的方法，这是因为符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性．“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”．著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．” 用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别． 字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用． 例题讲解 【例1】观察下列等式9—l=8，16—4＝12，25—9＝16，36—16＝20，…… 这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示出来： ．(河南省中考题) 思路点拨在观察给定的等式基础上，寻找数字特点，等式的共同特征，发现一般规律．链接：从个别事物中发现一般性规律．这种研究问题的方法叫“归纳法”，是由特殊到一般的思维过程，是发明创造的基础． 【例2】某商品2002年比2001年涨价5％，2003年又比2002年涨价10％，2004年比2003年降价12％，则2004年比2001年( )． A．涨价3％B．涨价1．64％C涨价1．2％D．降价1．2％ 思路点拨设此商品2001年的价格为a元，把相应年份的价格用a的代数式表示，由计算作出判断．
从算术到代数的跨越 初一年(上)数学
从算术到代数的跨越初一年（上）数学用字母替代数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别． “算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”．著名数学教育家波利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．” 从算术到代数的跨越，是学生数学学习过程中极为重要的转变阶段，也是小学生向中学生的转变阶段．算术中的基本对象是数，包括数的表示、数的意义、数之间的关系、数的运算等，这些知识对学生是基本的，它们将为学生今后的代数学习打下坚实的基础．所不同的是，代数中的基本对象除了数，还出现了更具广泛意义的基本对象——符号，这是代数不同于算术的典型特征．在代数中，用字母替代数，用符号表示运算法则、运算性质、计算公式等，将数的知识提升到一般化的水平．在代数的课程中，学生要学习符号的意义、进行符号之间的运算（形式变换）和转换、用符号进行表示、用符号解决问题．在此过程中，学生还要学习许多新的概念，如代数式、方程、不等式、变量、参数、函数、图象等，而且他们还需要懂得代数的结构．因此，代数的内容和方法对学生提出了更高的要求，是学生所面对的又一次挑战．学生从算术到代数的跨越，是从对数的思考向对符号的思考
的转变，是从算术思维向代数思维的转变，是思维层次从个别到一般、具体到抽象的飞跃． 用字母替代数使得数学更具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用． 【例1】某商品2015年比2014年涨价5％，2016年又比2015年涨价10％，2017年比2016年降价12％，则2017年比2014年( )． A．涨价3％B．涨价1．64％ C．涨价1．2％D．降价1．2％ 思路点拨：设此商品2001年的价格为a元，把相应年份的价格用a的代数式表示，由计算作出判断． 解：设此商品2014年的价格为a元， 因为2015年比2014年涨价5％， 所以2015年的价格为a×（1+5％）=1.05a元， 因为2016年又比2015年涨价10％， 所以2016年的价格为1.05a×（1+10％）=1.155a元， 因为2017年比2016年降价12％， 所以2017年的价格为1.155a×（1-12％）=1.0164a元， 所以（1.0164a-a）÷a×100％=1.64％，
第2讲 跨越——从算术到代数
第二讲 跨越——从算术到代数 “算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”．著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．” 用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别． 字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用． 例题 【例1】观察下列等式 9—l=8， 16—4＝12，25—9＝16，36—16＝20，…… 这些等式反映出自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示出来： ．(河南省中考题) 思路点拨 在观察给定的等式基础上，寻找数字特点，等式的共同特征，发现一般规律． 注：从个别事物中发现一般性规律．这种研究问题的方法叫“归纳法”，是由特殊到一般的思维过程，是发明创造的基础。 【例2】 某商品2002年比2001年涨价5％，2003年又比2002年涨价10％，2004年比2003年降价12％，则2004年比2001年( )． 九涨价3％ B ．涨价1．64％ C 涨价1．2％ D ．降价1．2％ (“TRUIY 信利杯”竞赛题) 思路点拨 设此商品2001年的价格为a 元，把相应年份的价格用a 的代数式表示，由计算作出判断． 例3】 计算 )2001 13121)(2002 1211()2001 131211)(2002 13121(+ +++ ++ -+ +++ + ++ 思路点拨 直接计算复杂而繁难，注意括号内数式的联系，引入字母，将复杂的数值计算转化为简单的式的计算． 【例4】 有—张纸，第1次把它分割成4片，第2次把其中的1片分割成4片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片，如此进行下去，试问： (1)经5次分割后，共得到多少张纸片? (2)经n 次分割后，共得到多少张纸片? (3)能否经若干次分割后共得到2003张纸片?为什么? (江苏省竞赛题) 思路点拨 从简单情形人手，发现纸片数的特点是解本例的关键． 【例5】在右图中有9个方格，要求每个方格填入不同的的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等，问：右图上角的数是多少？
从算术思维到代数思维
从算术思维到代数思维 从算术思维过渡到代数思维,是学生学习数学过程中极为重要的转变阶段,也是小学与 初中数学教学衔接时面临的一个重要问题。一、算术思维与代数思维从数学思维的角度来看,算术思维的运算过程是程序性的,着重的是利用数量的计算求出答案的过程。这个过程具有情境性、特殊性、计算性的特点,甚至是直观的。代数思维的运算过程是结构性的,侧重的是关系的符号化及其运算,是无法依赖直观的。如“小明用24元钱买了5支相同的自动铅笔,还剩4元。每支铅笔多少元?”解法一:24-4=20(元),20÷5=4(元);解法二:先假设每枝铅笔的价格是x元,并依题意列出式子24-5x=4,再求出x值。解法一中,学生运用的是算术思维;解法二中,学生运用的是代数思维。在算术思维中,表达式是一种思考的记录,是直接联结题目与答案的桥梁。在代数思维中,表达式不再只是直接联结问题与答案之间的过程记录,同时也充当一个问题转译的角色。因此,从代数思维的角度来看,解情境问题的过程被分成两部分,即列式与求式子的解。一旦具体情境问题通过列式被转译成代数式(方程式),其运算过程即演变成一种与原问题情境无关的符号运算,运用的是具. 从算术思维向代数思维过渡，是学生认知发展的飞跃。绝大多数学生，经历认识上的这个过渡时，都不会自然而然、简简单单就完成的。需要教师精心地设计活动，让每个学生都有机会经历，有机会感悟，才可能慢慢地完成从算术思维向代数思维的过渡。 在小学教学的诸概念中，方程是一个抽象的概念，方程，其含义是指含有未知数的等式。它的刍形在各年级均有类似的式子反映，一年级的２＋（）＝５8－（）＝３可以理解为方程的起步，只是解法上没有特别的规
从算术思维到代数思维的过渡
从算术思维到代数思维的过渡 小学生在相当长的时间里是以算术思维为主的，但伴随着学习的不断深入，从算术思维过渡到代数思维是每一个学生必须面对的。这个过渡对于大多数学生而言都会存在不同程度的困难，都将是一次挑战,而且这个过程的长短对不同的学生而言也会存在差异，教师在教学中首先应重视对学生代数思维的培养。 正如吴正宪老师说的，“揪着今天，你得想着明天，老师心中得一定有整个小学数学阶段中对知识网络和知识的发展很清晰，这样才能自觉地帮助学生，奠定好基础，为学生后续发展最准备。”那么如何培养学生从算术思维过渡到代数思维呢？从吴正宪老师的讲座“从算术思维到代数思维的过渡”找到了答案！ 吴老师站在我们一线老师的阵营，讲到了我们一线老师最头痛也是最需要解决的问题。她以怎样引导学生认识方程为例，讲述了数学教学中如何从算术思维过渡到代数思维。首先，她向我们提出了三个问题： 能顺利辨认方程的样子就是认识方程了吗？ 能流利地说出方程的定义就是理解方程思想了吗？ 方程是个建模的过程，怎样帮学生建立好这个数学模型？深刻理解方程的意义？ 那什么是方程呢？数学教科书说“含有未知数的等式叫做方程”。作为老师，让学生记住这句话，应该不是一件难事。但是真正建立方程思想却需要一个漫长的体验、理解、感悟的过程。在教学中，作为
一线教师，我们深深的体会到：学生往往片面认为含有字母的等式才是方程。于是，找字母、找等号成了学生判断方程的标准。难道未知数等价于字母吗？ “核桃质量+20=50”，“20+□=100”…… 这些就不是方程吗？式子中的“文字”、“符号”都是学生在接受用字母表示数之前很重要的认知基础。学生为什么在学习方程时更多的偏向于字母呢？偏重于字母就说明学生的认知已经达到更高的 抽象层面了吗？从学生不接受等式中的文字和图形符号，可以推断学生对用字母表示数理解还比较片面，对代数思想没有达到较深刻理解的地步。既然学生对参与在等式中的字母感受得还不够，我们也可以推测，学生在一些情境中寻求等量关系列方程显得困难是相对必然的现象了。 所以，作为全国小学数学名师，在教学方程时，他给我们提出了三点建议： 1、准确把握内容定位，正确理解其价值。 2、有效开发教学资源，为学生从算术思维向代数思维的过渡做好铺垫和孕伏。 3、方程思想的建立不是一蹴而就的，需要用心地做好过渡。 具体到教学《认识方程》一课时，她也给我们提出了三点建议： 1、让抽象的直观起来。充分利用天平模型，帮助学生理解等式性质。
从算术到代数(含答案)
从算术到代数 （先阅读，再看例，最后尝试练习） 完成时间：建议两天 知识纵横 “算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”(algebra)?可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”。著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言。” 用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别。 字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代表式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用。 例题 【例1】(河南省中考题)观察下列等式： 9-1=8, 16-4=12, 25-9=16, 36-16=20, …… 这些等式反映出自然数间的某种规律,设n表示自然数,用关于n的等式表示出来:____________. 思路点拨在观察给定的等式基础上,寻找数字特点,等式的共同特征,?发现一般规律. 解:(n+2)2-n2=4(n+1) 【例2】(竞赛题)某商品2000年比1999年涨价5%,2001年又比2000年涨价10%,?2002?年比2001年降价12%,则2002年比1999年( ) A.涨价3% B.涨价1.64% C.涨价1.2% D.降价1.2% 思路点拨设此商品1999年的价格为a元,把相应年份的价格用a的代数式表示,由计算作出判断.解:选B. 【例3】 (竞赛题)有一张纸,第1次把它分割成4片,第2次把其中的1片分割分4片,?以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片,如此进行下去,试问: (1)经5次分割后,共得到多少张纸片? (2)经n次分割后,共得到多少张纸片? (3)能否经若干次分割后共得到2003张纸片?为什么? 思路点拨从简单情形入手,发现纸片数的特点是解本例的关键. 解:(1)因为每分割1次,就要增加3张纸片,所以经5次分割,共得到1+3×5=16?张纸片. (2)经n次分割,共得到(1+3n)张纸片. (3)若能分得2003张纸片,则1+3n=2003,3n=2002,无整数解,?所以不可能经若干次分
第1讲 从“算术”到“代数”
n＝2 S2＝4 n＝3 S3＝8 S4＝12 … 第一讲从“算术”到“代数” 【知识要点】 代数之前已有算术，算术是解决日常生活中的各种计算问题，即整数与分数的四则运算。代数与算术不同，主要区别在于代数要引入未知数，根据问题的条件列方程，然后解方程求未知数的值。这一类数学问题，早在古埃及的数学纸草书（约公元前1800年）中就有了启示，书中将未知数称为“堆，’（一堆东西），并以象形文字表示。古巴比伦人也知道某些二次方程的解法，在汉穆拉比时代（公元前18世纪）的泥板中，就载有二次方程问题，甚至还有相当于三次方程的问题。数学史家们曾为此发生过热烈争论：在什么意义下能把巴比伦数学看成代数？（引自百度百科） 这一讲主要让同学们熟悉用字母表示数。 【例题精选】 例1、下列每个形如四边形的图案，都是由若干个圆点按照一定规律组成的．当每条边上有n(n≥2)个圆点时(包括顶点)，图案的圆点数为S n．那么，按此规律，用含有n的式子表示S n为． 从图形变化规律来看。每个图案都可以看成一个大正方形里去掉一个小正方形。 ()4 4 22 2- = - - =n n n S。 例2、计算： ? ? ? ? ? + + + ? ? ? ? ? + + - ? ? ? ? ? + + + ? ? ? ? ? + + + 1998 1 3 1 2 1 1999 1 2 1 1 1998 1 2 1 1 1999 1 3 1 2 1 例3、设n是自然数，定义n!=1?2?3?…?n，若m=1!+2!+3!+…+2001!+2002!,求m的末两位数字之和。 例4、已知两个三位数 def abc，的和def abc+能被37整除。证明六位数abcdef也能被37整除。
从算术到代数(一)
从算术到代数（一） 算术与代数是数学中两门不同的分科，但它们之间关系密切.代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的. 在小学算术课本里同学们由浅入深地学习了整数、小数和分数的加、减、乘、除四则运算，并学会了用这些四则运算去解一些不太复杂的四则应用题.归纳一下，在用算术方法解应用题时主要用到了以下三种关系： ①部分数与总数的关系； ②两数差的关系； ③一倍数（或一份数）、倍数和几倍数的关系.第1、第2种关系用“加”、“减”法完成，第3种关系则用乘、除法完成.在解四则运算题时用到了对于数的“加法”、“乘法”都普遍成立的运算法则：交换律、结合律、分配律.设a、b、c表示任意三个数，下列等式恒成立： 交换律：a＋b=b+a，a×b=b×a 结合律：（a+b）+c=a+（b＋c） （a×b）×c=a×（b×c） 分配律：a×（b+c）＝a×b+a×c. 另外，在用算术方法解应用题时常按应用题的性质分为许多类型.如：和倍问题、差倍问题、行程问题、百分数问题、比例问题、….对每类问题先归纳出解决这类问题的方法、公式，并找出理由加以解释，再做这类题时就“套”这种公式.所以用算术方法解应用题时，对不同类型的题用不同的思路列式求解，解法就不同，因而用算术方法解应用题是不带普遍性的. 代数方法的进步首先在于找出了一个统一的方法，即用列“方程”来解很多不同类型的应用题.“方程”是代数学中的重要内容之一.用方程来解应用题时，首先是用一些简单的符号，通常用x，y，z，t，s，u，v 等字母来表示问题中待求的未知数，然后把这些未知数和已知数平等地看待，并把题目中的数量关系直接（平铺直叙）“翻译”为算式表示出来.这就是所谓依题意列方程.接着是通过代数方程去确定其中所含未知数应该等于什么样的值，即“解方程”.而解方程的原理就是对方程中的数，包括已知数和未知数，运用在“算术”中学过的“数的运算法则”把未知数求出来.因为这些法则是对任何数都成立的，当然对那些暂时还不知它的值的“未知数”也应当成立.只要适当地运用这些法则，一般就可求出方程中的未知数的值.归纳起来用代数方法解应用题的步骤如下：
数学教学从算术到代数的转折
数学教学从算术到代数的转折 作者：马毅摘要：七年级的数学教学是一个由小学算术到初中代数的一个转折点。从算术走向代数，是学生在数学学习中的一大转折点，也是教师在教学中的一大教学转折点。这个转折意味着从小学数学转折到中学数学，从前的学习都是实实在在的数与数，然后现在是要用字母表示数，从而在前进到方程、函数等数学的重要模块。文章结合教学实践论述了初一教学中从算术到代数的转折以及它们的衔接应该注意的几个问题。 引言： 数与代数的内容在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位，有着重要的教育价值，如：有助于学生理解现实世界中的数量关系和变化规律；有助于学生形成运用数量关系进行思考的思维方式；有助于学生数学思考、解决问题、情感态度等多方面的发展。代数，乃是数学学习的关键点。由算术进入代数范畴，不仅是引入了文字符号来处理运算，同时也代表着数学的学习要从具体情境进入抽象概念。在所有国家的中小学数学课程中，代数均处于核心的地位。因此，本文对处于这个过渡阶段的初一年级学生作为对象，采用文献研究结合教学实践的方法展开研究。主要通过阅读文献，在教学实践的基础上，讨论了初一数学学生学习文字符号及一元一次方程的代数内容出现的问题，继而根据分析结果总结了初一学生从算数思维向代数思维过渡中面对的主要困难以及教师在教学中需要克服的障碍。 正文： 初中一年级数学涉及的数、式和方程内容与小学数学中的算术数、简易方程、算术应用题等知识有关，但比小学内容更为丰富，抽象，复杂。可见，从算术向代数过渡的阶段是学生数学学习中非常重要的转变阶段，学生需要实现从对数的思考向对符号思考的转变.在教学方法上也不尽相同。要做好这块知识转折的教学，教师应做好以下几方面的工作。 1 揭示知识内在联系，注意新旧知识的衔接 事物的发展总是有一个由低级到高级的过程。人们认识事物也有一个特殊到一般的过程。教学也应该遵循这种事物发展的客观规律，要充分发挥学生已有知识的优势，使之产生正迁移，从而达到掌握新知识的目的。小学算术教材之中，已渗透了许多七年级代数的基础知识，在教学中，要抓好转折点。
人教版八年级数学下册竞赛专题03 从算术到代数.doc
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】 专题03从算术到代数 阅读与思考 算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的. 用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上，从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点： 1.任意性 即字母可以表示任意的数. 2.限制性 即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义. 3.确定性 即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定. 4.抽象性 即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义. 例题与求解 【例1】研究下列算式，你会发现什么规律： 1×3＋1＝4＝22 2×4＋1＝9＝32 3×5＋1＝16＝42 4×6＋1＝25＝52 … 请将你找到的规律用代数式表示出来：___________________________________ (山东菏泽地区中考试题) 解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数式表示. 【例2】下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（） A.1627384950 B. 2345678910 C. 3579111300 D. 4692581470 （江苏省竞赛试题） 解题思路：设自然数从a＋1开始，这100个连续自然数的和为（a＋1）＋(a＋2)＋…＋(a＋100)＝100a＋5050，从揭示和的特征入手. 【例3】设A＝ 22 12 12 22 23 23 22 34 34 ＋…＋ 22 10031004 10031004 ＋ 22 10041005 10041005 ，求A的整数部 分.
从算术到代数
专题03从算术到代数 阅读与思考 算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的. 用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上，从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点： 1.任意性 即字母可以表示任意的数. 2.限制性 即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义. 3.确定性 即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定. 4.抽象性 即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义. 例题与求解 【例1】研究下列算式，你会发现什么规律： 1×3＋1＝4＝22 2×4＋1＝9＝32 3×5＋1＝16＝42
4×6＋1＝25＝52 … 请将你找到的规律用代数式表示出来：___________________________________ (山东菏泽地区中考试题) 解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数式表示. 【例2】下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（ ） A.1627384950 B. 2345678910 C. 3579111300 D. 4692581470 （江苏省竞赛试题） 解题思路：设自然数从a ＋1开始，这100个连续自然数的和为（a ＋1）＋(a ＋2)＋ …＋(a ＋100)＝100a ＋5050，从揭示和的特征入手. 【例3】设A ＝221212++′222323++′223434+′＋…＋221003100410031004+′＋22 1004100510041005 +′，求 A 的整数部分. （北京市竞赛试题） 解题思路：从分析A 中第n 项22 (1)(1) n n n n ++?的特征入手.
华罗庚学校数学教材(六年级下)第09讲 从算术到代数(一)
本系列共14讲 第九讲从算术到代数（一） . 文档贡献者：与你的缘 算术与代数是数学中两门不同的分科，但它们之间关系密切.代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的. 在小学算术课本里同学们由浅入深地学习了整数、小数和分数的加、减、乘、除四则运算，并学会了用这些四则运算去解一些不太复杂的四则应用题.归纳一下，在用算术方法解应用题时主要用到了以下三种关系： ①部分数与总数的关系； ②两数差的关系； ③一倍数（或一份数）、倍数和几倍数的关系.第1、第2种关系用“加”、“减”法完成，第3种关系则用乘、除法完成.在解四则运算题时用到了对于数的“加法”、“乘法”都普遍成立的运算法则：交换律、结合律、分配律.设a、b、c表示任意三个数，下列等式恒成立： 交换律：a＋b=b+a，a×b=b×a 结合律：（a+b）+c=a+（b＋c） （a×b）×c=a×（b×c） 分配律：a×（b+c）＝a×b+a×c. 另外，在用算术方法解应用题时常按应用题的性质分为许多类型.如：和倍问题、差倍问题、行程问题、百分数问题、比例问题、….
对每类问题先归纳出解决这类问题的方法、公式，并找出理由加以解释，再做这类题时就“套”这种公式.所以用算术方法解应用题时，对不同类型的题用不同的思路列式求解，解法就不同，因而用算术方法解应用题是不带普遍性的. 代数方法的进步首先在于找出了一个统一的方法，即用列“方程”来解很多不同类型的应用题.“方程”是代数学中的重要内容之一.用方程来解应用题时，首先是用一些简单的符号，通常用x，y，z，t，s，u，v等字母来表示问题中待求的未知数，然后把这些未知数和已知数平等地看待，并把题目中的数量关系直接（平铺直叙）“翻译”为算式表示出来.这就是所谓依题意列方程.接着是通过代数方程去确定其中所含未知数应该等于什么样的值，即“解方程”.而解方程的原理就是对方程中的数，包括已知数和未知数，运用在“算术”中学过的“数的运算法则”把未知数求出来.因为这些法则是对任何数都成立的，当然对那些暂时还不知它的值的“未知数”也应当成立.只要适当地运用这些法则，一般就可求出方程中的未知数的值.归纳起来用代数方法解应用题的步骤如下： 1.设未知数.常用x，y，z，t，s，…等字母表示. 2.依题意列方程.即把所要解决的代数问题中的未知量换成代表未知数的字母，把问题中各种量间的关系“翻译”为带字母的算式表示出来，特别注意找出其中的相等关系.用两个代数式表示同一个数量，列出一个方程.因此方程是含有未知数的等式.一般说来，有n个相等关系就能列出n个方程，当然我们从中选取列方程与解方程时最
从算术到代数
第13卷第2期 数 学 教 育 学 报 Vol .13, No.2 2004年5月 JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION May , 2004 收稿日期 史炳星 女 副教授 从算术到代数 史炳星 ±±?? 100044 ′ó??ê??ò′úêy1y?é ·?o?ê?′úêy2?í?óú??ê?μ?μ?Díì??÷ ê?′ó??êyμ??????ò??·?o?μ?????μ?×a±?ê?????2?′?′ó??±eμ?ò?°? 关键词 代数 过程 G421 文献标识码 1004–9894 02–0079–03 从算术向代数过渡 算术中的基本对象是数 数的意 义 数的运算等 它们将为学生今后的代数学习打下坚实的基础 代数中的基本对象除了数 这是代数不同于算术的典型特征 用字母表示数 运算性质 将数的知识提升到一般化的水平 学生要学习符号的意义 形式变换用符号进行表示 在此过程中 如代数式 参数 方程 而且他们还需要懂得代数的结构 代 数的内容和方法对学生提出了更高的要求 学生从算术向代数的过渡 是从算术思维向代数思维的转变具体到抽象的飞跃 研究它们之间的 联系与不同 以及有效地进行教 学设计和有针对性地对学生进行指导是十分重要的 是代数最基本的方面之一 正如弗赖登塔尔所指出的结构是从语言表达抽象出来的 一种形式[1] 他给出了一个代数结构的简单的 例子 c b a =+ ?≈?∝?∝? ? c μ±D′á???êy?à?óμ?D?ê?ê± 9 2+7通常只是一个过程 而代数式a+b 这个形式本身 也表示a 和b 相加的结果 又可以看作运算结果 将2+7作为一个数的解释是真正的代 数 如果说把代数式作为一个运算过程来理解 那么把代数式作为一个 结果对象来理解就是比较困难的了 ?í?ab 尺 我算 的结果是2(a+b )尺2(a+b )尺我感到困惑不解这是对初学者只知代数式表 示过程 因此 学生不是一蹴而就的 代数式既表示运算过程这件事 可以这样理解 当我们代入数值a = 2 ?-1y????这显示了代数式过程性的一 面对于2(a+b ) ?ü??′ú±í ?ü3¤ 宽为b 的长方形的周长或者说是作为一个整体来理解的 我们可以进一步用下面的例子说明 n 131211 时 是作为一个对象 算术运算和代数运算的根本区别在于算术运算是过程性的而代数运算 是结构性的 代数运算具有过程和结果双重性 凯伦 １９８９ 表面结构是指由不同的项 如a+b 它们反映了 不同的数量关系 如 表面结构和系统结构的区分
七年级培优第2讲：从算术到代数
第二讲：跨越----从算术到代数 【知识纵横】 “算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”，著名数学教育家波利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言。” 用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别。 字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用。 【例题求解】 （重庆市中考题） 思路点拨：（1）在观察给定的等式基础上，寻找数字特点、等式的共同特征，发现一般规律；
例6.如图①，有9个方格，要求在每个方格里填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等。问：图上左上角的数是多少？（北京市“迎春杯”竞赛题） ※巩固训练※ 1.如果a 是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数，这个四位数是（） A.11000+a B.1100+a C.110+a D.1 +a （重庆市中考题） 2.某商场经销一批电视机，进价为每台a 元，原零售价比进价高%m ，后根据市场变化，把零售价调整为原零售价的%n ，调整后的零售价为每台（）元。 A.%)%1(n m a ?+ B.%%)1(n m a + C.%)1%)(1(n m a -+ D.%) 1%(n m a -?（广东省竞赛题） 3.已知n 是整数，现有两个代数式：（1）32+n ，（2）14-n ，其中，能表示“任意奇数”的（） A.只有（1） B.只有（2） C.有（1）和（2） D.一个也没有 4.扑克牌游戏：小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作： 第一步：分发左、中、右三摊牌，没堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同； 第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； 第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆； 第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆. 这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌的张数是多少？ （河北省中考题） 5.有一张纸，第一次把它分割成4片，第2次把其中的一片分割成4片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片，如此进行下去，试问： （1）把5次分割后，共得到多少张纸片？ （2）经n 次分割后，共得到多少张纸片？ （3）能否经若干次分割后共得到2003张纸片？为什么？ （第十七届江苏省竞赛题）
七年级数学培优专题 专题03 从算术到代数
专题03 从算术到代数 阅读与思考 算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的. 用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上，从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点： 1.任意性 即字母可以表示任意的数. 2.限制性 即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义. 3.确定性 即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定. 4.抽象性 即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义. 例题与求解 【例1】研究下列算式，你会发现什么规律： 1×3＋1＝4＝22 2×4＋1＝9＝32 3×5＋1＝16＝42
4×6＋1＝25＝52 … 请将你找到的规律用代数式表示出来：___________________________________ (山东菏泽地区中考试题) 解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数式表示. 【例2】下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（ ） A.1627384950 B. 2345678910 C. 3579111300 D. 4692581470 （江苏省竞赛试题） 解题思路：设自然数从a ＋1开始，这100个连续自然数的和为（a ＋1）＋(a ＋2)＋ …＋(a ＋100)＝100a ＋5050，从揭示和的特征入手. 【例3】设A ＝221212++′222323++′223434+′＋…＋221003100410031004+′＋22 1004100510041005 +′，求 A 的整数部分. （北京市竞赛试题） 解题思路：从分析A 中第n 项22 (1)(1) n n n n ++?的特征入手.
初一数学,从算术到代数_答案-初二数学代数题及答案
初一数学,从算术到代数_答案|初二数学代 数题及答案 专题03 从算术到代数例1 例2 A 例3 原式= = 故其整数部分为2008 例4 设图③中含有个正方形. (1) 由,得(2) 由得,因均是正整数, 所以当时, 此时例5解法1: 时,; 时, , 猜想: 个, 计算过程类似于解法2: 时, 时, 猜想: 原式验 证如下: 反思结论必为一个数的平方形式, 不妨设,得另一种解 法解法3: 原式例6 (1)(※) 可分组为可知各组数的个数依次为. 按其规律应在第组中, 该组前面共有个数. 故当时,. 又因各组的数 积为1, 故这2003003个数的积为 (2) 依题意, 为每组倒数第2个 数, 为每组最后一个数, 设它们在第n组, 别.即, 得, A级 1. 100 提示: 中, 根据规律可得故 2. 3. 提示: 根据题中定义的 运算可列代数式,可得故 4. 10 5. C 6. B 7. B 8. B 9.(1) 10 13 (2) 不能, 33不符合 10. (1) 或或 (2) 由,得 (3) B级 1. (1) (2) (3) 2. (1) (2) 提示: 原式 3. 提示: 由可得, 原式 4. 595 提示: 设17个连续整数为 且,它后面紧接的17 个连续自然数应为,可得它们之和为595 5. D 6. C 7. D 提示: 每一名同学每小时所搬砖头为块,名同学按此速度每 小时所搬砖头为块. 8．用a，b分别表示甲、乙两班参加天文小组的
人数，m，n分别表示甲、乙两班未参加天文小组的人数，由a＋m＝b ＋n得m－b＝n－a，又a＝n，b＝m，故m－m＝n－n，． 9．证明：设任意分法将圆周上的每相邻三个数分为一组，他们三个数的和分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7（均为自然数），且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝①．假设a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中没一个数都小于33，则有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＜231．与①矛盾，所以a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中至少有一个不小于33，即一定有相邻的三个数，它们的和不小于33． 10．设四个不同整数为a1，a2，a3，a4（a1＞a2＞a3＞a4），则（a1－a2）＋（a1－a3）＋（a1－a4）＋（a2－a3）＋（a2－a4）＋（a3－a4）＝18，即3（a1－a4）＋（a2－a3）＝18．又因3（a1－a4），18均为3的倍数，故a2－a3也是3的倍数，a2－a3＜a1－a4，则a2－a3＝3，a1－a4＝5，a1－a2＝1，a3－a4＝1，又a1a2a3a4＝23100＝2×2×3×5×5×7×11．从而可得a1＝15，a2＝14，a3＝11，a4＝10．
新编初一数学,从算术到代数_答案 初二数学代数题及答案
初一数学,从算术到代数_答案初二数学代数题及答案 专题03从算术到代数例1例2A例3原式==故其整数部分为2008例4设图③中含有个正方形.(1)由,得(2)由得,因均是正整数,所以当时,此时例5解法1:时,;时,,猜想:个,计算过程类似于解法2:时,时,猜想:原式验证如下:反思结论必为一个数的平方形式,不妨设,得另一种解法解法3:原式例6(1)(※)可分组为可知各组数的个数依次为.按其规律应在第组中,该组前面共有个数.故当时,.又因各组的数积为1,故这2003003个数的积为(2)依题意,为每组倒数第2个数,为每组最后一个数,设它们在第n组,别.即,得,A级1.100提示:中,根据规律可得故 2.3.提示:根据题中定义的运算可列代数式,可得故4.105.C6.B7.B8.B9.(1)1013(2)不能,33不符合10.(1)或或(2)由,得(3)B级1.(1)(2)(3)2.(1)(2)提示:原式3.提示:由可得,原式4.595提示:设17个连续整数为且,它后面紧接的17个连续自然数应为,可得它们之和为5955.D6.C7.D提示:每一名同学每小时所搬砖头为块,名同学按此速度每小时所搬砖头为块.8．用a，b分别表示甲、乙两班参加天文小组的人数，m，n分别表示甲、乙两班未参加天文小组的人数，由a＋m＝b＋n得m－b＝n－a，又a＝n，b＝m，故m－m＝n －n，．9．证明：设任意分法将圆周上的每相邻三个数分为一组，他们三个数的和分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7（均为自然数），且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝①．假设a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中没一个数都小于33，则有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＜231．与①矛盾，所以a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中至少有一个不小于33，即一定有相邻的三个数，它们的和不小于33．10．设四个不同整数为a1，a2，a3，a4（a1＞a2＞a3＞a4），
跨越从算术思维到代数思维这道鸿沟
跨越从算术思维到代数思维这道鸿沟算术思维到代数思维的过渡绝非是一蹴可及的，无法在缺乏经验下直接灌输，必须经过长适当的、多元的、循环的学习过程，才能顺利的跨越这一道鸿沟。 跨越这一道鸿沟一方面要 从具体的数字到抽象的代数符号 数学算式是数学沟通及思考最重要的媒介，而符号表征式的理解与使用更是代数的学习不可或缺的工具，因此要过渡到代数思维，首要进行的便是符号的理解与使用，此处的代数符号包含＝、×、+、…、□、甲、乙、x、y、… 等等。 从字面上来看，「代数」带有「以符号代表数」的意味，然则教学上所要关心的是：学生为何需要有运用文字符号来代替数字的思维？这种将待求之数以代数（文字）符号之，至少会引出四个不同的功用： （一）改变解题思维动向。亦即能对「待解的已定数」作运算： 例：「某数加5得到8，求该数。」以算术思维的方法求解时，无论解题思维是「因为某数加5得到8，所以某数是…」或「什么数加5得到8？3加5是8，所以某数是…」，都是以「某数」为解题焦点，所有的运作只能以它为中心。而当它被文字符号暂代时（如：x+5＝8），焦点已经转移到这个方程式及其解法了。 （二）让解法跳脱题目所给的情境或数字，而聚焦在一般性的解题方法： 这个功用对代数的一般性（抽象性）与结构性有直接的影响，因为当解题不会因为题目所给的数字不同而改变作法，其实已经在建立代数的一般性与结构性了。
（三）能保留对运算的程序或结构： 例：「边长为2的正方形，得到其面积为4」。但是得出4之后，就无法得知4究竟是2 、2×2、2+2，还是其它方式而来。而符号的一个功用就是能保留这些程序或结构，这尤其在多项式、函数、乘法公式、代数论证… 上，程序或结构的保留对概念的形式化有不可或缺的地位。 跨越这一道鸿沟另一方面要 从特殊化到一般化（抽象化、去情境化）转变。 符号的使用只是进入代数思维的第一步，真正进入代数思维，凭借的是支撑在符号背后的代数想法，也就是一般化的想法。如果只是借用代数的符号，实际运作的却是算术的想法，则仍称不上运用代数思维；相对的，如进行的是一般化的想法，即使不使用代数符号，有些人则认为已运用代数思维了。这同时也指出了，学习者是否运用代数思维，凭借的是脑中的想法，而非表示出来的算式。例如：「一个定价100元的杯子，打85折出售，问便宜了多少钱？」，学生解题时，如假设便宜了x元，并列出方程式x＝100-100×0.85因此得到x＝15 在这里，就算学生使用了文字符号，如果脑中实际进行的只是算术的想法，则符号在此并未发挥功用，他只是解了一个特定的题目，如此仍属算术思维。 但如果学生的思考方式是：定价x元的东西，打85折变成0.85x元，因此便宜了x-0.85x元，又知道定价是多少，因此列出100-100×0.85＝15。其中，就算完全没有未知数符号，我们仍可说学生运用了代数思维。因为，学生不但解决了这一题，同时解决了同一类的问题，这种已经对题目一般化的想法，才是代数思维的核心。因此，想要学生从算术思维顺利过渡代数思维，这种一般化的想法是不可缺的。
华罗庚学校数学教材(六年级下)第10讲 从算术到代数(二)
本系列共14讲 第十讲从算术到代数（二） . 文档贡献者：与你的缘 在上一讲中我们着重讲了在许多问题中算术方法是不可缺少的；在这一讲中，我们将通过一些例子看到代数方法不可取代的巨大优越性和强大威力，同时说明一元一次方程，多元一次方程组，不定方程的一般解法。 例1一个学生做25道数学题，对一题得4分，不答不给分，答错一题倒扣1分.他有3道题未做，得了73分.问他共答对了几道题？ 解：设对了x道题，则答错25－3－x道题. 依题意列方程： 4x－（25－3－x）=73 4x－22+x=73 5x＝95 x＝19. 答：这个学生答对了19道题. 例2某水池装有甲、乙两个注水管，单放甲管需12小时注满，单放乙管需24小时注满.现在要求10小时注满水池，并且甲、乙两管合开的时间尽可能少，那么甲、乙两管最少需要合放多少小时？ 解：分析一下，由于要求甲、乙两管合放的时间尽可能少，所以必须让注水快的甲管在10个小时中全开着.其余的由乙管补足. 设甲、乙两管最少需合放x小时，则：
111011224 x ×+×=22412 x =1246 x =×=4 x 答：甲、乙两管最少需要合放4小时. 例3甲、乙两队学生参加郊区夏令营，但只有一辆车接送，坐不下.甲队学生坐车从学校出发的同时，乙队学生开始步行.车到途中某处让甲队学生下车步行，车立即返回接乙班学生并直开到夏令营，两班学生正好同时到达.已知学生步行速度为4千米/小时，汽车载学生时速度为40千米/小时，空车时速度为50千米/小时，问甲班学生应步行全程的几分之几？解：如图： 设全程为x 千米，甲、乙两队分别步行a、b 千米.要使两队学生同时到达夏令营，只有他们两队步行的路程相等才行，故a=b. 等量关系是：乙队走a 千米路程的时间正好等于汽车送完甲队又原路返回时遇到乙队的时间，即： 240504 x a x a a ??+=963x a =∴17 a x =答：甲队步行了全程的。 17 例4一个矩形长33厘米，宽32厘米，用正方形如下图分割，
初中数学七年级专题复习专题03 从算术到代数
. . . + + 3′ 4 专题 03 从算术到代数 阅读与思考 算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基 础上发展起来的. 用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上，从确定的 数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃 用字母表示数有如下特点： 1.任意性 即字母可以表示任意的数. 2.限制性 即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义 3.确定性 即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定 4.抽象性 即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义. 例题与求解 【例 1】研究下列算式，你会发现什么规律： 1×3＋1＝4＝22 2×4＋1＝9＝32 3×5＋1＝16＝42 4×6＋1＝25＝52 … 请将你找到的规律用代数式表示出来：___________________________________ (山东菏泽地区中考试题) 解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数 式表示. 【例 2】下列四个数中可以写成 100 个连续自然数之和的是（ ） A.1627384950 B. 2345678910 C. 3579111300 D. 4692581470 （江苏省竞赛试题） 解题思路：设自然数从 a ＋1 开始，这 100 个连续自然数的和为（a ＋1）＋(a ＋2)＋ …＋(a ＋100) ＝100a ＋5050，从揭示和的特征入手. 12 + 22 22 +32 32 + 42 10032 +10042 10042 +10052 【例 3】设 A ＝ ＋…＋ ＋ ，求 A 的整数部 1′ 2 2′ 3 1003′ 1004 1004′ 1005 分. （北京市竞赛试题） n 2 +(n +1)2 解题思路：从分析 A 中第 n 项 的特征入手. n ? (n 1)