中考专题复习—反比例函数

数学：运动变化型问题专题复习（苏科版九年级）

【考点导航】

运动变化题是指以三角形、四边形、圆等几何图形为载体，设计动态变化，并对变化过程中伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行考察研究的一类问题，这类试题信息量大，题目灵活多变，有较强的选拔功能，是近年来中考数学试题的热点题型之一，常以压轴题的面目出现．解决此类问题需要运用运动和变化的观点，把握运动和变化的全过程，动中取静，静中求动，抓住变化过程中的特殊情形，建立方程、不等式、函数模型． 【答题锦囊】

例1 如图在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）． （1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式； （2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？

（3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由．

【思路点拨】 因为关于直线对称的两个三角形全等，

考虑到CQ ＝4t ，PC ＝12－3t ，可建立y 与t 的函数关系式；要判定四边形PQBA PQ ∥AB ，于是可列方程16

412312t

t =-； 第（3）、（4）小题是存在性探索题，先假设存在符合条件的结论，然后从假设出发利用

相似三角形的性质列方程进行求解．

【标准解答】

⑴由题意知 CQ ＝4t ，PC ＝12－3t ，

∴S △PCQ =

t t CQ PC 2462

1

2+-=?． ∵△PCQ 与△PDQ 关于直线PQ 对称，

∴y=2S △PCQ t t 48122+-=．

⑵当

CQ

CP CA CB

=

时，有PQ ∥AB ，而AP 与BQ 不平行，这时四边形PQBA 是梯形， ∵CA =12，CB =16，CQ ＝4t ， CP ＝12－3t ， ∴16

412312t t =-，解得t ＝2．

∴当t ＝2秒时，四边形PQBA 是梯形．

⑶设存在时刻t ，使得PD ∥AB ，延长PD 交BC 于点M ，如图1，

图1

若PD ∥AB ，则∠QMD =∠B ，又∵∠QDM =∠C =90°， ∴Rt △QMD ∽Rt △ABC ，

从而

AC

QD

AB QM =

， ∵QD =CQ =4t ，AC ＝12，

AB

20，

∴QM =

20

3

t ． 若PD ∥AB ，则

CP CM

CA CB =

， 得

204123312

16

t t t

+

-=， 解得t ＝

1211． ∴当t ＝12

11

秒时，PD ∥AB ．

（4）存在时刻t ，使得PD ⊥AB ． 时间段为：2＜t ≤3．

例２ 如图2，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=900，AB=6，AD=4，DC=3，动点P 从点A 出发，沿A →D →C →B 方向移动，动点Q 从点A 出发，在AB 边上移动．设点P 移动的路程为x ，点Q 移动的路程为y ，线段PQ 平分梯形ABCD 的周长． （1）求y 与x 的函数关系式，并求出x y ，的取值范围； （2）当PQ ∥AC 时，求x y ，的值；

（3）当P 不在BC 边上时，线段PQ 能否平分梯形ABCD 的面积？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由．

【思路点拨】 作梯形ABCD 的高CE ，因为线段PQ 平分梯形ABCD 的周

长，所以9x y +=）小题，先依题意画出图形，则图形由“动”变“静”，再

设法列方程组求解．

【标准解答】 ⑴过C 作CE AB ⊥于E ，则CD=AE=3，CE=4，可得BC=5， 所以梯形ABCD 的周长为18． PQ 平分ABCD 的周长，

所以9x y +=，

因为06y ≤≤，所以39x ≤≤， 所求关系式为：939y x x =-+，≤≤． ⑵依题意，P 只能在BC 边上，79x ≤≤．

Ａ

C D

Q P

Ｂ

图2

126PB x BQ y =-=-，，

∵PQ AC ∥，

∴BPQ BCA △∽△，

∴BP BQ

BC BA =

， 即12656

x y --=

，即6542x y -=， 解方程组96542

x y x y +=??

-=?， 得8712

1111x y ==，．

⑶梯形ABCD 的面积为18．

当P 不在BC 边上，则37x ≤≤， （a ）当34x <≤时，P 在AD 边上，1

2

APQ S xy =△． 如果线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积，则有

1

92

xy =. 可得：918.

x y xy +=??

=?， 解得36x y =??

=?，

；

（63x y ==，舍去）．

（b ）当47x ≤≤时，点P 在DC 边上，此时1

4(4)2

ADPQ S x y =?-+． 如果线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积，则有

1

4(4)92

x y ?-+=， 可得92217.x y x y +=??+=?

，

此方程组无解．

所以当3x =时，线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积．

例3 如图3，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B .

(1)点P 在运动时，线段AB 的长度也在发生变化，请写出线段AB 长度的最小值，并说明理由；

(2)在⊙O 上是否存在一点Q ，使得以Q 、O 、A 、P 为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出Q

【思路点拨】

(1)因为P 点是切点，所以无论线段AB AB 的距离始终是OP ．抓住这一点，易得线段AB P 为顶点的平

行四边形有三种可能，但只有两种可能符合条件．

【标准解答】

(1)线段AB 长度的最小值为4， 理由如下：连接OP

因为AB 切⊙O 于P ，所以OP ⊥AB ，取AB 的中点C ， 则OC AB 2=．

当OP OC =时，OC 最短，即AB 最短，此时4=AB ． (2)设存在符合条件的点Q ，如图4，

设四边形APOQ 为平行四边形，则四边形APOQ 为矩形．

又因为OQ OP =，所以四边形APOQ 为正方形，所以?=∠=45,QOA QA OQ ， 在Rt △OQA 中，

根据?=∠=45,2AOQ OQ ，得Q 点坐标为(2,2-).

如图，设四边形APQO 为平行四边形.

因为OQ ∥P A ，?=∠90APO ，所以?=∠90POQ ，

又因为OQ OP =，所以?=∠45

PQO ，

因为PQ ∥OA ，所以y PQ ⊥轴． 设y PQ ⊥轴于点H ，在Rt △OHQ 中， 根据?=∠=45,2HQO OQ ，得Q 点坐标为(2,2-

)．

所以符合条件的点Q 的坐标为(2,2-)

或(2,2-

)．

例４ 如图7①，一张三角形纸片ABC ，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB 的中线CD 把这张纸片剪成11AC D ?和22BC D ?两个三角形（如图7②所示）.将纸片11AC D ?沿直线2D B （AB ）

方向平移（点12,,,A D D B 始终在同一直线上），当点1D 于点B 重合时，停止平移.在平移过程中，11C D 与2BC 交于点E,1AC 与222C D BC 、分别交于点F 、P.

⑴当11AC D ?平移到如图7③所示的位置时，猜想图中的1D E 与2D F 的数量关系，并证明你的猜想；

⑵设平移距离21D D 为x ，11AC D ?与22BC D ?重叠部分面积为y ，请写出y 与x 的函

图4

数关系式，以及自变量的取值范围；

⑶对于（2）中的结论是否存在这样的x 的值，使重叠部分的面积等于原ABC ?面积的

1

4

.若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由. ⑴根据图形平移的性质，可知

AD 1=C 1D 1=C 2D 2=BD 2，所以AD 2=BD 1，因为△AD 1C 1和△BD 2 C 2是等腰三角形，所以△AD 2F 和△BD 1 E 也是等腰三角形．⑵11AC D ?与22BC D ?重叠部分是一个不规则的几何图形，因此将它转化成规则图形.探究其中的数量关系，建立y 与x 的函数模型.⑶在⑵的基础上，将之转化成方程问题.

【标准解答】

⑴12D E D F =.因为1122C D C D ∥，所以12C AFD ∠=∠. 又因为90ACB ∠=?，CD 是斜边上的中线， 所以DC DA DB ==， 即112221C D C D BD AD ===

所以，1C A ∠=∠，所以2AFD A ∠=∠ 所以，. 同理：.

又因为，所以.所以 ⑵因为在中，，

所以由勾股定理，得 即

又因为， 所以. 所以

在中，到的距离就是的边上的高，为.

设1BED ?的1BD 边上的高为h ，由探究，得221BC D BED ??∽，

所以

52455

h x

-=

. 所以24(5)

25

x h -=.

又因为1290C C ∠+∠=?，所以290FPC ∠=?.

D

① ②

又因为2C B ∠=∠，43

sin ,cos 55

B B ==.

所以234

,55

PC x PF x =

= ， 而2212

221126(5)22525

BC D BED FC P ABC y S S S S x x ????=--=---

所以21824(05)255

y x x x =-

+≤≤. (3)存在.当1

4

ABC y S ?=时， 即21824

6255

x x -

+= 整理，得2320250.x x -+=解得，125

,53

x x ==. 即当53x =

或5x =时，重叠部分的面积等于原ABC ?面积的14

. 【中考预测】

⒈如图8①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC 和EFG 叠放在一起（点A 与点E 重合），已知AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，∠C ＝90°，EG ＝4cm ， ∠EGF ＝90°，O 是△EFG 斜边上的中点．

如图8②，若整个△EFG 从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB 方向平移，在△EFG 平移的同时，点P 从△EFG 的顶点G 出发，以1cm/s 的速度在直角边GF 上向点F 运动，当点P 到达点F 时，点P 停止运动，△EFG 也随之停止平移．设运动时间为x （s ），FG

的延长线交 AC 于H ，四边形OAHP 的面积为y （cm 2

)（不考虑点P 与G 、F 重合的情况）．

（1）当x 为何值时，OP ∥AC

（2）求y 与x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围．

（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13∶24？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．

（参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162

＝13456或 ＝， ＝， ＝） ⒉如图9，在平面直角坐标系中，两个函数y=x ，

6x 2

1

y +-=的图象交于点A ．

动点P 从点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ x y 3x (1)求直线

AB 的解析式;

(2)若S 梯形OBCD ＝

43

3

,求点C 的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P,O,B 为顶点的三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件的点P 的坐标;

若不存在,请说明理由.

⒋如图11，在锐角ABC △中，9BC =，AH BC ⊥于点H ，且6AH =，点D 为AB 边上的任意一点，过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．设ADE △的高AF 为

图8 图9

(06)x x <<，

以DE 为折线将ADE △翻折，所得的A DE '△与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y （点A 关于DE 的对称点A '落在AH 所在的直线上）． （1）分别求出当03x <≤与36x <<时，y 与x 的函数关系式； （2）当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？

⒌如图12，在ABC ?中，∠

D 在BC 上，且CD=3cm ，现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点1cm/s 的速度，沿

AC 向终点C 移动；点Q 以s 的速度沿BC

交AD

于点E ，连结EQ ．设动点运动时间为x 秒．

（1）用含

x 的代数式表示AE

、DE 的长度；

（2）当点Q 在BD （不包括点B 、D ）上移动时，设EDQ ?的面积为2()y cm ，求y 与月份x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当x 为何值时，EDQ ?为直角三角形．

⒍如图13，在平面直角坐标系中，已知30ABO =o ∠．动点P 在线段AB 上从点A 向点时间为t 秒．在x 轴上取两点M N ，作等边△（1）求直线AB 的解析式；

（2）求等边PMN △的边长（用t 运动到与原点O 重合时t 的值； （3）如果取OB 的中点D ，以OD 为边在Rt AOB △内部作如图14所示的矩形ODCE ，点C 在线段AB 上．设等边PMN △和矩形ODCE 重叠部分的面积为S ，请求出当02t ≤≤秒时S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值．

⒎如图15，已知Rt ABC △中，CAB ∠=连接BE 交AC 于点P ．

（1）求PA 的长；

（2）以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A （3）如图16，过点C 作CD AE ⊥，r 为圆心，R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相．切．，且使D 点在⊙A 的内部，B 点在⊙A 的外部，求r 和R 的变化范围． 8.已知抛物线c bx ax y 2++=B （1）求抛物线的解析式；

图15 图16

图11 D 图12

（2）现有一半径为1，圆心P 在抛物线上运动的动圆，问⊙P 在运动过程中，是否存在⊙P 与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若⊙Q 的半径为r ，点Q 在抛物线上、⊙Q 与两坐轴都相切时求半径r 的值.

⒐如图17，在平面直角坐标系中，点P 从点A 开始沿x 轴向点O 以1cm ／s 的速度移动，点Q 从点O 开始沿y 轴向点B 以2cm ／s 的速度移动，且OA=6cm ，OB=12cm.如果P ，Q 分别从A ，O 同时出发.

⑴设△POQ 的面积等于y,运动时间为x ，写出y 与x 之间的函数关系，并求出面积的最大值；

⑵几秒后△POQ 与△AOB 相似；

⑶几秒后以PQ 为直径的圆与直线AB 相切.

⒑如图18，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝8cm ，CD ＝2cm ，AD ＝6cm ．点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 向终点B 运动；点Q 从点C 出发，以1cm/s 的速度沿CD 、DA 向终点A 运动(P 、Q 两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止)．设P 、Q 同时出发并运动了t 秒．

(1)当PQ 将梯形ABCD 分成两个直角梯形时，求t 的值；

(2)试问是否存在这样的t ，使四边形PBCQ 的面积是梯形ABCD 面积的一半若存在，求出这样的t 的值，若不存在，请说明理由。

参考答案

⒈（1）∵Rt △EFG ∽Rt △ABC ，

∴

BC FG AC EG =

，6

84FG

=． ∴FG ＝8

64?＝3cm ．

∵当P 为FG 的中点时，OP ∥EG ，EG ∥AC ， ∴OP ∥AC ．

∴ x ＝1

21FG

＝21

×3＝（s ）．

∴当x 为时，OP ∥AC ．

（2）在Rt △EFG 中，由勾股定理得：EF ＝5cm ． ∵EG ∥AH ，

∴△EFG ∽△AFH ．

∴

FH FG

AF EF AH EG ==． ∴FH

x AH 3554=+=． ∴ AH ＝54（ x ＋5），FH ＝5

3

（x ＋5）．

A B

x

y O

P Q 图17

6

12

图18

过点O 作OD ⊥FP ，垂足为 D ． ∵点O 为EF 中点， ∴OD ＝

2

1

EG ＝2cm ． ∵FP ＝3－x ，

∴S 四边形OAHP ＝S △AFH －S △OFP

＝

21·AH ·FH －21

·OD ·FP ＝21·54（x ＋5）·53（x ＋5）－21×2×（3－x ） ＝256x 2＋517x ＋3 （0＜x ＜3）．

（3）假设存在某一时刻x ，使得四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13∶24．

则S 四边形OAHP ＝24

13

×S △ABC ∴256x 2＋5

17x ＋3＝2413×21×6×8 ∴6x 2

＋85x －250＝0 解得 x 1＝

25， x 2＝ －3

50

（舍去）． ∵0＜x ＜3， ∴当x ＝

2

5

（s ）时，四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13∶24． ⒉（1）由??

?

??+-==621

y x

y ，可得???==4y 4x ∴A （4，4）。

（2）点P 在y=x 上，OP=t ， 则点P 坐标为（

t 2

2

t 22，）. 点Q 的纵坐标为

t 22

，并且点Q 在6x 2

1y +-=上. ∴

t 212x 6x 2

1

t 22-=+-=，. 点Q 的坐标为（t 2

2

t 212，-）.

PQ t 2

2

312-

=.

当23t t 2

2

t 22312==-

时，. 当23t 0≤<时，

t 26t 2

3)t 22312(t 22S 2+-=-=

. 当点P 到达A 点时，24t =. 当24t 23<<时，

144t 236t 2

9)t 22312(S 2

2+-=-

= （3）有最大值，最大值应在 23t 0≤<中，

当22t =时，S 的最大值为12. （4）212t ≥.

⒊（1）直线AB 解析式为：y=3

3

-x+3． （2）方法一： 设点Ｃ坐标为（x ，3

3

-

x+3）， 那么OD ＝x ，CD ＝3

3

-x+3． ∴OBCD S 梯形＝()2

CD CD OB ?+

＝36

32

+-

x ． 由题意：3632+-

x ＝3

34， 解得4,221==x x （舍去）.

∴Ｃ（２，3

3

）. 方法二： ∵ 2

3321=?=

?OB OA S AOB ,

OBCD S 梯形＝

33

4， ∴6

3=

?ACD S ． 由OA=3OB ，

得∠BAO ＝30°，AD=3CD ． ∴ACD S ?＝

2

1

CD ×AD ＝ 223CD ＝6

3． 可得CD ＝

3

3

． ∴AD=１，OD ＝２．∴C （２，

3

3）． （３）当∠OBP ＝Rt ∠时，如图 ①若△BOP ∽△OBA ，

则∠BOP ＝∠BAO=30°，BP=3OB=3，

∴1P （3，

3

3）． ②若△BPO ∽△OBA ，

则∠BPO ＝∠BAO=30°,OP=

3

3

OB=1． ∴2P （1，3）．

当∠OPB ＝Rt ∠时

③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图)，此时△PBO ∽△OBA ，∠BOP ＝∠BAO ＝30° 过点P 作PM ⊥OA 于点M ． 方法一： 在Rt △PBO 中，BP ＝

21OB ＝23，OP ＝3BP ＝2

3．

∵ 在Rt △P ＭO 中，∠OPM ＝30°， ∴ OM ＝

21OP ＝4

3； PM ＝3OM ＝

4

3

3． ∴3P （

4

3，433）．

方法二：设Ｐ（x ，3

3

-

x+3）， 得OM ＝x ，PM ＝3

3

-

x+3 由∠BOP ＝∠BAO,得∠POM ＝∠ABO ．

∵tan ∠POM=OM PM =x x 3

33

+- ，

tan ∠ABOC=OB

OA

=3．

∴33-

x+3＝3x ，解得x ＝4

3． 此时，3P （

4

3，43

3）．

④若△POB ∽△OBA(如图)，

则∠OBP=∠BAO ＝30°，∠POM ＝30°． ∴PM ＝

33OM ＝43． ∴4P （

4

3，43）.

⒋（1）①当03x <≤时，由折叠得到的A ED '△落在ABC △内部如图（1），重叠部

分为A ED '△

DE AF BC AH ∴

=，96

DE x

∴=， 即3

2

DE x =

又FA FA x '==Q

2

3(03)4y x x ∴=<≤

②当36x <<时，由折叠得到的A ED '△有一部分落在ABC △外，如图（2），重叠部分为梯形EDPQ 又DE PQ Q ∥

（2）当03x <≤时，y 的最大值：2213327

3444

y x ==?=

； 当36x <<时，

由22991827(4)94

4

y x x x =-+-=--+

可知：当4x =时，y 的最大值：29y = 12y y

∴当4x =时，y 有最大值：9y =最大．

⒌（1）在,4,3,5Rt ADC AC CD AD ?==∴=中，

（2）5,3,2BC CD BD ==∴=Q ，

当点Q 在BD 上运动x 秒后，

DQ ＝2－,则 21157

(4)(2 1.25)42282

y DQ CP x x x x =??=--=-+

257

482

y x x =-+，

其中自变量的取值范围是：0＜x< (3)分两种情况讨论： ①当EQD Rt ∠=∠时， ②当QED Rt ∠=∠时，

综上所述，当x 为秒或秒时，EDQ ?为直角三角形。 ⒍（1）直线AB 的解析式为：

y x =+ （2）方法一，

90AOB ∠=o Q ，30ABO ∠=o ， 2AB OA ∴==，

AP =Q ，BP ∴=，

PMN Q △是等边三角形，

（图1） （图2）

90MPB ∴∠=o ，

tan PM

PBM PB

∠=

Q ，

)8PM t ∴==-． 方法二，

如图1，过P 分别作PQ y ⊥轴于Q ，PS x ⊥轴于S ，

可求得122

AQ AP =

=，

2

PS QO ==，

8PM t ?∴==- ?

?， 当点M 与点O 重合时，

60BAO ∠=o Q ，

2AO AP ∴=．

∴=，

2t ∴=．

（3）①当01t ≤≤时，见图2． 设PN 交EC 于点H ，

重叠部分为直角梯形EONG ， 作GH OB ⊥于H ．

60GNH ∠=o Q ，GH =

2HN ∴=， 8PM t =-Q ， 162BM t ∴=-， 12OB =Q ，

(8)(16212)4ON t t t ∴=----=+，

422OH ON HN t t EG ∴=-=+-=+=，

1

(24)2

S t t ∴=+++?=+

S Q 随t 的增大而增大，

∴当1t =时，S =最大

②当12t <<时，见图3． 设PM 交EC 于点I ，

交EO 于点F ，PN 交EC 于点G ， 重叠部分为五边形OFIGN ． 方法一，作GH OB ⊥于H ，

FO =Q ，

)EF ∴==-

22EI t ∴=-，

1

(22

FEI ONGE S S S t ∴=-=-=-+△梯形

方法二，由题意可得42MO t =-

，

(42)OF t =-

，PC =，

4PI t =-，

再计算21

(42)2

FMO S t =

-△

2(8)4PMN S t =

-△

，2(4)4

PIG S t =-△

2=-++

0-

2

t =

时，S

有最大值，2S =最大

③当2t =时，6MP MN ==，即N 与D 重合，

设PM 交EC 于点I ，PD 交EC 于点G ，重叠部分为等腰梯形IMNG ，见图4．

226244

S =

-?= 综上所述：

当01t ≤≤时，S =+； 当12t <<时，

2S =-++

当2t =时，S =

>Q

S ∴ （图4）

（图4）

⒎（1）Q 在Rt ABC △中，

305CAB BC ∠==o ，，

210AC BC ∴==． AE BC Q ∥， APE CPB ∴△∽△．

::3:1PA PC AE BC ∴==． :3:4PA AC ∴=，31015

42

PA ?==． （2）BE 与⊙A 相切． Q 在Rt ABE △中，

AB =15AE =，

tan

AE ABE AB ∴∠=

== 60ABE ∴∠=o ． 30PAB ∠=o Q ，

9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=o o ， BE ∴与⊙A 相切．

（3）因为5AD AB ==，，所以r 的变化范围为5r <<

当⊙A 与⊙C 外切时，10R r +=，所以R 的变化范围为105R -<<；

当⊙A 与⊙C 内切时，10R r -=，所以R 的变化范围为1510R <<+

⒏（1）由题意，得?

??=++=29c b 35c

解得?

??=-=5c 4

b

抛物线的解析式为5x 4x y 2+-=

（2）当⊙P 在运动过程中，存在⊙P 与坐标轴相切的情况。（如图1）

图1

设点P 坐标为（0x ，0y ）

则当⊙P 与y 轴相切时，有1x 1|x |00±==，

由105141y 1x 200=+?+=-=，得 ∴P 1（－1，10），

由1x 0=，得25141y 20=+?-= ∴P 2（1，2）

当⊙P 与x 轴相切时有1|y |0=

∵抛物线开口向上，且顶点在x 轴的上方。 ∴y 0=1

由1y 0=，得15x 4x 02

=+-，解得2y 0=，B （2，1） 综上所述，符合要求的圆心P 有三个，其坐标分别为： P 1（－1，10），P 2（1，2），P 3（2，1）

（3）设点Q 坐标为（x ，y ），则当⊙Q 与两条坐标轴都相切时（如图2），有x y ±=由y=x 得x 5x 4x 2=+-， 即05x 5x 2=+-，解得2

5

5x ±=

； 由x y -=，得x 5x 4x 2-=+-。

即05x 3x 2=+-，此方程无解

∴⊙O 的半径为2

5

5r ±= ⒐(1)y=

2

1(6-t)·2t=-t 2+6t=-(t-3)2

+9， y 最大值==9.

(2)由

66122t t -=，得t=4; 由12662t t -=，得t=56.即t=4或t=56 . (3)t=5

6

时以PQ 为直径的圆与AB 相切.

∵BE 2

=BQ ·BO=12(12-2t)

AE 2=AP ·AO=6t,又(AE+BE)2=OB 2+OA 2

∴()212(12t -+t 6)2=122+62

,

解之，得t=5

6. ⒑（1）依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴， ABE Rt ?中，

∴在3452222＝－=-=AB AE BE

∴2=CE

∴

坐标为)4,2(

∴E 点DCE Rt ?中，222DE CE DC =+ 在OD DE =

又∵2222)4(OD OD =+-

∴

解得：2

5=

OD ∴D 点坐标为)2

5,0( （2）如图①∵PM ∥ED ∴∽APM ?AED ? ∴AE

AP ED PM = 又知52

5

==AE ED t AP ，＝，

∴2

255t

t PM =?=

又∵t PE -=5

而显然四边形PMNE 为矩形

∴t t t t PE PM S

PMNE

2

521)5(22+-=-?=

?=矩形 ∴8

25)2

5(212

+--=t S PMNE 矩形 又∵52

5

0<< ∴当25=

t 时，PMNE S 矩形有最大值8

25（面积单位） （3）（i ）若MA ME =（如图①） 在AED Rt ?中，MA ME =， ,AE PM ⊥Θ∴P 为AE 的中点 又∵PM ∥ED ， ∴M 为AD 的中点

∴2

521==AE AP ∴25

==t AP

∴4

5

21==t PM

又∵P 与F 是关于AD 对称的两点

∴25=M x ，4

5

=M y

∴当25=

t 时（52

5

0<<）， AME ?为等腰三角形

此时M 点坐标为)4

5

,25(

（ii ）若5==AE AM （如图②） 在AOD Rt ?中，

∵PM ∥ED ，∴∽APM ?AED ?， ∴5252

55

5=?=?=

=AD AE AM AP t ∴52

1

==

t PM 同理可知：525-=M x ， 5=M y

∴当52=t 时（5520<<）， 此时M 点坐标为)5525(，-

综合（i ）、（ii ）可知：2

5

=

t 或52=t 时，以A 、M 、E 为顶点的三角形为等腰三角形，相应M 点的坐标为)4

5,25(或)5525(，-.