求导法则及求导公式

§2 求导法则

上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家：深刻理解导数概念,能准确表达其定义;明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给了一个函数（不管它是简单函数,还是复杂函数）,总可用定义求其导数（只要极限存在）.但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本初等函数的导数计算（用定义求导）都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象.

因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数：

x x x f cos sin )(1+=x x g 2sin )(1= x x x f cos sin )(2?=)sin()(2ax x g = x

x

x f a log cos )(3=

x x g arcsin )(3=

x c x f sin )(4=x x g arccos )(4=

一、导数的四则运算

问题1 设x x x f cos sin )(±=,求)('x f .

分析 利用导数的定义及极限的四则运算知,)'(cos )'(sin sin cos )('x x x x x f ±==μ.即

)'(cos )'(sin )'cos (sin x x x x ±=±

一般地,有如下和的导法则：

定理1（和的导数） 设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则

)()(])()([x g x f x g x f '±'='±（求导是线性运算）

证明 令)()()(x g x f x y +=

。时当0)()()()()()()]()([)]()([→?'+'→?-?++

?-?+=?+-?++?+=??x x g x f x

x g x x g x x f x x f x

x g x f x x g x x f x y

问题2 设x

a x x f ?=sin )(,则a a x a x x f x

x

ln cos )'()'(sin )('??=?=对吗？ 分析 一般地,有如下乘积的求导法则：

定理2（积的导数）设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则

)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '?+?'='?（它导它不导,它不导它导,然后加起来）

证明 令)()()(x g x f x y ?=

。时当分子0)()()()()

()()

()()()())()()()(()()()()(→?'?+?'→?-?++?+??-?+=

?+?+?+?-??-?+??+=??x x g x f x g x f x

x g x x g x f x x g x x f x x f x x g x f x x g x f x

x g x f x x g x x f x y 推论1

)(')()()()(')()()()(')())'()()((0000000000x w x v x u x w x v x u x w x v x u x x w x v x u ++=.

推论2 若函数)(x v 在0x 知可导,C 为常数,则)('))'(cos(00x v C x x x ?==.

问题3 设x

a x f a x

log )(=,求)('x f .

一般地,存如下商的运算法则：

定理3（商的导数） 设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则

)()

()()()()()(2x g x g x f x g x f x g x f '?-?'='??????.

证明 令

)(1

)(x g x y =

。

时当0)()()()(1)()()(1)(112→?'-→?+?

?-?+-=??

????-

?+??=??x x g x g x g x x g x x g x x g x g x x g x x y

)(1

)()()(x g x f x g x f ?=给出（3）.

推论(1))(])([x f c x f c '='. (2) ∑∑=='='???

?

??n

i i n i i x f x f 11)()(.

(3) )()()()(,)()(111x f x f x f x K x K x f n k k n

k k n j i ΛΛ'=='????

??∑∏==.

?.利用导数的四则运算法则举例.

例1π+-+=x x x x f 95)(2

3,求)('x f ,)0('f . 例2x x y ln cos =,求π=x y '

.例3 证明：1)'(----=n n

nx x

,+∈N n .

例4 证明：x x 2

sec )'(tan =,x x 2

csc )'(cot =.

例5 证明：x x x tan sec )'(sec =,x x x cot csc )'(csc -=.

?.利用导数的四则运算法则求导数举例：

1． x x x f sin )(2

+=; 2． x x x x f cos sin )(3

+-=; 3． 2

2)(x x f =;4． x x x f cos )(2

=;

5．x x x x f 7sin )(+=; 6．x x x x x f cos )(3

2

++=; 7．x tgx x x x x f +

?=ln sin )(2

;8．x

tgx

x x f 3sin 5)(+=; 9．x x tgx

x

e y x ln 1sin 2++=

. 二、反函数的导数

问题1 设x x f arcsin )(=,求)('x f .

定理4 设)(y x ?=在区间),(d c 上连续,严格上升,在

),(0d c y ∈点可导,且

0)(0≠'y ?,)(00y x ?=.则反函数)(x f y =在0x 点可导,且

)]([1

)(1)(000x f y x f ??'=

'=

'.

注若)(y x ?=在),(d c 可导,导数)0(0<>或,则反函数)(x f y =存在,且

)()(1

)]([1)(1)(x f y y x f y x f ='=

'='=

'???.

这里导数)0(0<>或可推出)(y ?严格上升（下降）,反函数之导数公式也可写成 dy dx dx

dy 1

=

.

定理的证明要证

0)()(lim

x x x f x f x x --→存在,注意到这个比式是函数

)()()(00

y y y y y g ??--=

与)(x f y =

的复合,由定理条件知

)(10)0()(1lim )()()()(lim

00

000y y y y y y y x f x f y y y y ?????'=--=--→→. 再由反函数连续性,

0x x →时,0y y →,由复合函数求极限定理得

)(1)(lim )]([lim )()(lim 000000y y g x f g x x x f x f y y x x x x ?'===--→→→.

例6

)1,0(≠>=a a a y x ,求y '. 解

y x a log =,

a

x a x

a y e y

x a y y a a a x ln log )(log 1)(===='=

',反过来,如果)('

x a 已知,也可求

y e a a y a x a x a x x a log ln 1

log )(1)(log =

=='=

'.

例7α

x y =,求y '.

解 x

e y ln α=,

1

ln -?==

'ααααx x e x

y .

例8x y arcsin =,求y '.

解y x sin =,

。

2

11)cos(arcsin 1

arcsin )(sin 1

)(arcsin x

x x

y y x -==

='=

'

例9 x y arccos =,求y '.

例10x arctg y =,求y '.

三、复合函数的导数

问题1 设x x f 2sin )(=,求)('x f ;2）. 设)sin()(x

a x f =,求)('x f ;3）. 设

αx x f =)(,求)('x f .

定理5 设)(0u f '与)(0x g '存在,)(00x g u =,则复合函数)]([)(x g f x F =在0x 点可

导,且

)()]([)(000x g x g f x F '?'='.

注若)(u f 的定义域包含)(x g u =的值域,两函数在各自的定义域上可导,则复合函数

)]([)(x g f x F =在)(x g 的定义域上可导,且)()]([)(x g x g f x F '?'='（怀中抱月）或

x u x u y y '?'=',dx du du dy dx dy ?=.

定理的证明定义函数

??

?

?

?='≠--=。00000,)(,,)

()()(u u u f u u u u u f u f u A

)(u A 在0u 点连续,)

()()(lim 000

u f u A u A u u '==→.

由恒等式,

))(()()(00u u u A u f u f -=-,我们有

00000)

()()]([)]([)]([)()(x x x g x g x g A x x x g f x g f x x x F x F --?

=--=--

令

0x x →,得)()]([)(000x g x g f x F '?'='. 我们引进)(u A 是为了避免再直接写表达式

00000)

()()()()()(x x x g x g u u u f u f x x x F x F --?

--=--

中当

0x x ≠时,可能会出现0u u =情况. 例1 2

1x y -=,求y '. 解

。

2

212

212

1

21)2()1(2

1)1()1(2

1x x x x x x y --=--='

--='--

例22

sin x y =,求y '.

解2

22cos 2)(cos x x x x y ='?='. 例3

)sin(sin 3x y =,求y '. 解

)cos(sin cos 3)(cos )cos(sin 332333x x x x x x y ='??='. 例4

)1ln(2x x y ++=,求y '. 解

222

2

211112211)1(x x x x x

x x x x y +=

++++

=++'++=

'.

例5||ln x y =,求y '.

解0>x 时,

x y 1=

;0

)(1))ln((='--='-=',0≠∴x 时,x x 1)||ln (=

'. 例6)2sin(ln x y =,求y '.

解

)2sin()

2cos(2)2cos()2sin(2x x x x y =

=

'.

四、 隐函数微分法

若可微函数)(x y y =满足方程0),(=y x F ,则其导数可以从0

),(=y x F dx d

求出.一个方程

0),(=y x F 何时能唯一决定一个可微函数)(x y y =,留待日后解决,现在我们通常假定能唯

一决定一个可微函数,考虑如何求出导函数问题.

例7 2

22a y x =+,求过点),(0

0y x )0(0≠y 的切线方程.

解对方程2

22a y x =+求导,心中记住)(x y y =是x 的函数,得

022='?+y y x ，

y x x y -

=')(，

在

),(00y x 点上,

00

0)(y x x y -

=',过),(00y x 切线方程为

)(00

0x x y x y y --

=-,

2

02

000y x yy xx +=+,

即2

00a yy xx =+.

五、 对数微分法我们结合例子研究对数微分法

例8

)

0(3

>-=

a a

x x y ,求y '.

解函数定义域)0,(-∞和),(+∞a ,取对数||ln 21

||ln 23ln a x x y --=

,两边对

)(x y y =求导,采用隐函数微分法,得)(232121123a x x a x a x x y y --=

-?-?=',所以

a x x a x x a x y ---=

'3

)

(232.

例9 v

u y =,)(x u u =,)(x v v =,求y '. 解取对数,得u v y ln ln ?=,两边求导,得u u v u v y y '

??+?'='1ln ,

)ln ()ln (

u v u u v u u v u u v y y v ?'+'

=?'+'='.

如x x y =,

)ln 1(x x y x

+='. 六、双曲函数及其反函数之导数

)(21x

x e

e x sh y --==, )(21x x e

e x ch y -+==, x ch x

sh x th y =

= x sh x

ch x cth y =

= 性质12

2=-x sh x ch

x ch x sh x ch 222=+ x ch x sh x sh ?=22

y sh x ch y ch x sh y x sh ?±?=±)( y sh x sh y ch x ch y x ch ?±?=±)(

x ch x th 2

21

1=-

x sh x cth 2

21

1-=-

x

x e x sh x ch e x ch x sh -=-=+由?????=-=+-θθ

θθθθi i e i e i sin cos sin cos x ch x sh =')( x sh x ch =')(

x ch x th 2

1

)(='

反双曲函数

)1ln(2x x x Arsh ++= 211

][1)(1)(x x Arsh ch x Arsh y y sh x Arsh +=

=='=

'

x Arch 不是单值函数,可选一个分支来研究

x x x Arth -+=

11ln

21

211

)(x x Arth -=

' 小结

一、 基本求导法则

1． '')'(v u v u ±=±；2． '')'(uv v u uv +=, ')'(cu cu =；

3． 2'')'(v uv v u v u -=

,2

1)'1(v v -=；4． 反函数导数 dx du

du dy dx dy ?=. 二、基本初等函数导数公式

1．0)'(=c ; 2．1

)'(-=αα

αx

x )(R ∈α;

3．x x cos )'(sin =,x x sin )'(cos -=; 4．x 2

sec (tan)'=,x 2

csc (cot)'-=,

x x x tan sec )'(sec ?=,ctgx x x ?-=csc )'(csc ;

5．a a a x

x

ln )'(=, x

x

e e =)'(; 6．a x x a ln 1)'(log =

,x

x 1)'(ln =; 7．2

11)'(arcsin x

x -=,2

11)'(arccos x

x --

=;

211)'(arctan x x +=

,2

11

)'cot (x x arc +-=.