(完整word版)图论算法及matlab程序的三个案例.docx

图论实验三个案例

单源最短路径问题

1.1 Dijkstra算法

Dijkstra 算法是解单源最短路径问题的一个贪心算法。其基本思想是，设置一个顶点集合 S 并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合 S 当且

仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。设v 是图中的一个顶点，记l (v) 为顶点

v 到源点 v1的最短距离，v

i

,v

j

V

，若

(v

i

, v

j

) E

，记

v

i到

v

j的权

w

ij。

Dijkstra算法：

①S{ v

1

}

,

l (v

1

) 0

；

v V { v

1

}

,

l (v)

, i 1,S V { v1}；

②S

，停止，否则转③；

③l (v) min{ l (v), d (v j , v)} ， v j S ，v S ；

④存在v i 1，使l (v i 1) min{ l (v)}，v S；

⑤S S U { v

i 1

}

，

S S { v

i 1

}

，i i 1，转②；

实际上，Dijkstra算法也是最优化原理的应用：如果v

1

v

2

L v

n 1

v

n是从

v

1 到

v

n的最

短路径，则v

1

v

2

L v

n 1也必然是从

v

1 到

v

n 1的最优路径。

实现代码中，我们用到了距离矩阵，矩阵第i 行第 j 行元

在下面的 MATLAB

素表示顶点v

i 到

v

j的权

w

ij，若

v

i 到

v

j无边，则

w

ij

realmax

，其中 realmax 是

MATLAB常量，表示最大的实数 (1.7977e+308) 。

function re=Dijkstra(ma)

%用 Dijkstra算法求单源最短路径

%输入参量 ma是距离矩阵

%输出参量是一个三行n 列矩阵，每列表示顶点号及顶点到源的最短距离和前顶点

n=size(ma,1);% 得到距离矩阵的维数

s=ones(1,n);s(1)=0;% 标记集合 S 和 S 的补

r=zeros(3,n);r(1,:)=1:n;r(2,2:end)=realmax;%初始化

for i=2:n;%控制循环次数

mm=realmax;

for j=find(s==0);%集合S中的顶点

for k=find(s==1);%集合S补中的顶点

if(r(2,j)+ma(j,k)

r(2,k)=r(2,j)+ma(j,k);r(3,k)=j;

end

if(mm>r(2,k))

mm=r(2,k);t=k;

end

end

end

s(1,t)=0;% 找到最小的顶点加入集合 S

end re=r;

1.2 动态规划求解最短路径

动态规划是美国数学家 Richard Bellman 在 1951 年提出来的分析一类多阶段决策过程的最优化方法，在工程技术、工业生产、经济管理、军事及现代化控制工程等方面均有着广泛的应用。 动态规划应用了最佳原理： 假设为了解决某一

优化问题，需要依次作出

n 个决策

D 1, D 2

,L , D n

，如若这个决策是最优的，对于

任何一个整数 k ，1

于由前面决策所确定的当前状态，即

D k 1 , D k 2 ,L , D n

也是最优的。

如图 1，从 A 1 点要铺设一条管道到 A 16 点，中间必须要经过 5 个中间站，第

一站可以在 { A 2，A 3} 中任选一个，第二、三、四、五站可供选择的地点分别是：

{ A 4，A 5，A 6，A 7 } ，{ A 8，A 9，A 10} ， { A 11， A 12，A 13} ，{ A 14，A 15} 。连接两地管道的距离用连线上的数字表示， 要求选一条从 A 1 到 A 16 的铺管线路，使总距离最短。

1

A 4 6

2

3

8

8 A 11

3

2

A

14

A

A

3 2 5

A

5

5

6 5

5

4

1

A 1

8

3

A 9

A 12

2

A 16

3

6 2

7 A

3

6

3

A

3

A

3

6

8

6

15

A 10

3

A 13

A 7 4

图 1 可选择的管道图

解决此问题可以用穷举法，从A1到 A16有 48 条路径，只须比较47 次，就可得到最短路径为： A1→A2→A5→ A8→A12→ A15→A16，最短距离为 18。

也可以使用 Dijkstra算法。这里，我们动态规划解决此问题。注意到最短

路径有这样一个特性，即如果最短路径的第k 站通过k ，则这一最短路径在由

P

P k出发到达终点的那一部分路径，对于始点为P k到终点的所有可能的路径来说，

必定也是距离最短的。根据最短路径这一特性，启发我们计算时从最后一段开始，从后向前逐步递推的方法，求出各点到 A16的最短路径。

在算法中，我们用数组六元数组ss 表示中间车站的个数 ( A1也作为中间车

站) ，用距离矩阵 path 表示该图。为简便起见，把该图看作有向图，各边的方向均为从左到右，则 path 不是对称矩阵，如 path(12,14)=5 ，而 path(14,12)=0( 用

0 表示不通道路 ) 。用 3′16矩阵 spath 表示算法结果，第一行表示结点序号，第二行表示该结点到终点的最短距离，第三行表示该结点到终点的最短路径上的下

一结点序号。下面给出MATLAB实现算法。

function [scheme] = ShortestPath(path,ss)

%利用动态规划求最短路径

%path 是距离矩阵 ,ss 是车站个数

n=size(path,1);%结点个数

scheme=zeros(3,n);% 构造结果矩阵

scheme(1,:)=1:n;% 设置结点序号

scheme(2,1:n-1)=realmax;%预设距离值

k=n-1;%记录第一阶段结点最大序号

for i=size(ss,2):-1:1;%控制循环阶段数

for j=k:-1:(k-ss(i)+1);%当前阶段结点循环

for t=find(path(j,:)>0);%当前结点邻接结点

if path(j,t)+scheme(2,t)

scheme(2,j)=path(j,t)+scheme(2,t);

scheme(3,j)=t;

end

end

end

k=k-ss(i);移入下一阶段

end

先在 MATLAB命令窗口中构造距离矩阵path ，再输入：

>> ShortestPath(path,ss)

得到以下结果：

12345678910111213141516 1813161310912768759430 2568891012121214151516160

将该结果表示为图，即为图 1 粗线所示。

棋盘覆盖问题

1.1问题的提出

在一个 2k2k个方格组成的棋盘中，若恰有一个方格与其他方格不同，则称

该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊的棋盘。如图 1 就是当k

3 时的特

殊棋盘。棋盘覆盖问题中，我们要用图 2 所示 4 种不同形态的 L 形骨牌覆盖一个特殊棋盘，且任何 2 个 L 型不得重叠覆盖。

图 1 当 k=3 时的特殊棋盘

(a)(b)(c)(d)

图 2 4 种不同形态的L 型骨牌

1.2问题的分析

易知，用到的 L 型骨牌个数恰为(4

k

1) / 3

。利用分治策略，我们可以设计

出解棋盘覆盖问题的一个简捷的算法。

当 k>0 时，我们将2k2k棋盘分割为4个 2k 12k 1子棋盘如图3两粗实线所示。

1

2

3

图 4 关键结点

图 3 棋盘分割

特殊方格必位于 4 个较小子棋盘之一中，其余 3 个子棋盘中无特殊方格。为了将这 3 个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，我们可以用一个 L 型骨牌覆盖

这3 个较小棋盘的会合处，如图 4 中央 L 型骨牌所示，这 3 个子棋盘上被 L 型骨牌覆盖的方格就成为该棋盘上的特殊方格，从而将原问题转化为4 个较小规模的棋盘覆盖问题。递归地使用这种分割，直至棋盘简化为 1 1 棋盘。

1.3算法的MATLAB实现

首先特殊方格在棋盘中的位置可以用一个 1 2 的数组sp表示；对于图2所示的4 种 L 型骨牌，可用数字 1,2,3,4 表示；对于特殊棋盘的骨牌覆盖表示，只

须注意到图 4 所示的关键点，对每个关键点，给定一种 L 型骨牌，就能覆盖整个棋盘，所以对于 2k 2k的特殊棋盘的骨牌覆盖，可用一个(2 k1) (2 k 1) 的矩阵表示。按照这种思想，图 4 的矩阵表示为：

1040102

0400020

4030203

0003000

1040302

0400030

k ，特殊方格位置为：

[1,4]，覆盖矩阵为：4030403

=4

下面是在 MATLAB中的棋盘覆盖实现程序。

function re = chesscover(k,sp)

%解决棋盘的覆盖问题

%棋盘为 2^k*2^k ， sp 为特殊方格的棋盘位置

global covermatrix

covermatrix=zeros(2^k-1,2^k-1);

even1=floor(sp(1,1)/2)*2==sp(1,1);%判断水平位置是否是偶数even2=floor(sp(1,2)/2)*2==sp(1,2);%判断竖直位置是否是偶数if even1==1&&even2==0%找出找出特殊方格相对关键结点的位置i=4;

else

i=even1+even2+1;

end

tempfun(1,1,k,[sp(1,1)-even1,sp(1,2)-even2,i]);

re=covermatrix;

function tempfun(top,left,k,tp)%子函数,tp为转换后特殊方格在棋盘网络的相对位置

global covermatrix

if k==1

switch tp(1,3)

case 1

covermatrix(tp(1,1),tp(1,2))=3;

case 2

covermatrix(tp(1,1),tp(1,2))=4;

case 3

covermatrix(tp(1,1),tp(1,2))=1;

case 4

covermatrix(tp(1,1),tp(1,2))=2;

end

else

half=2^(k-1);i=top+half-1;j=left+half-1;

if tp(1,1)

if tp(1,2)

covermatrix(i,j)=3;%添加类型为 3 的 L 型骨牌

tempfun(top,left,k-1,tp);

tempfun(top,left+half,k-1,[i-1,j+1,4]);

tempfun(top+half,left+half,k-1,[i+1,j+1,1]

);

tempfun(top+half,left,k-1,[i+1,j-1,2]);

else % 特殊方格在右上

covermatrix(i,j)=4;%添加类型为 4 的 L 型骨牌

tempfun(top,left,k-1,[i-1,j-1,3]);

tempfun(top,left+half,k-1,tp);

tempfun(top+half,left+half,k-1,[i+1,j+1,1]

);

tempfun(top+half,left,k-1,[i+1,j-1,2]);

end

else

if tp(1,2)>j%特殊方格在右下

covermatrix(i,j)=1;%添加类型为 3 的 L 型骨牌

tempfun(top,left,k-1,[i-1,j-1,3]);

tempfun(top,left+half,k-1,[i-1,j+1,4]);

tempfun(top+half,left+half,k-1,tp);

tempfun(top+half,left,k-1,[i+1,j-1,2]);

else % 特殊方格在左下

covermatrix(i,j)=2;%添加类型为 4 的 L 型骨牌

tempfun(top,left,k-1,[i-1,j-1,3]);

tempfun(top,left+half,k-1,[i-1,j+1,4]);

tempfun(top+half,left+half,k-1,[i+1,j+1,1]

);

tempfun(top+half,left,k-1,tp);

end

end

end

在MATLAB命令窗口中输入指

令 chesscover(3,[1,4])

将会得到如上面矩阵一样的结果。

结合 VC++，利用 MATLAB引擎库函数，可以给出了棋盘覆盖的图形

最优树的应用实例

1.1问题的提出

已知某通信系统在通信联络中只可能出现8 种字符，其概率分别为0.05 ，0.29 ，0.07 ，0.08 ，0.14 ，0.23 ，0.03 ，0.11 ，试设计一种编码，使得信息包长

度达到最小。

1.2问题的分析

ASCII 码是用 8 位( 一个字节 ) 表示一个字符，这种表示方法方便，易于理解，

是计算机系统中常用的字符表示方法。在信息传输领域，可能有些字符出现的频率

非常高，而有些字符出现的频率很低，若依然用此方法表示数据，则显得过于庞大，如果用不定长编码表示字符，频率出现高的字符用较短的编码表示，频率出现低的

字符用较长的编码表示，则可以使得数据量大大减少。比如AAAABBBAAABBBBCCCCCCBBB，用ASCII 码表示占用 184 位，若用 00 表示 C，01表示 A，1 表示 B，则该字串占用位数为 36，压缩率达到 19.6%，这种编码称为

哈夫曼编码。当然也可用其它方式压缩数据，例如上面字符串写成

4A3B3A4B6C3B，而达到压缩数据的目的。

1.3哈夫曼树的构造

要构造哈夫曼编码，需要构造哈夫曼树（即最优树）。哈夫曼最早给出了一

个带有一般规律的算法，俗称哈夫曼算法。现叙述如下：

①根据给定的 n 个概率（或频率）构造一个集合F{ f

1

, f 2 ,L , f n }

，同时这

n 个值对应树 T 的 n 个结点，置 i n 1 。

②在集合 F 中选择两个最小的值求和作为f

i加入集合 F 中；在树 T 中构造一

结点，使得该结点是两最小值对应结点的父结点。

③在集合 F 中删除两最小值，并置i i

1。

④重复②和③，直到i 2n 1

或集合 F 只有一个元素为止。这样形成的一棵

树就是哈夫曼树（最优树）。

上面所提到的字符串和题目给出的概率所形成的哈夫曼树分别如图 1 和图2( 为方便起见，每个概率值乘上了 100) 。

100

01

23

4258

010101

131023192929

1 01B010

11

081415

67101 C A5378

图1

图2

1.4用MATLAB哈夫曼算法

在MATLAB中哈夫曼算法，可用一个5 (2 n 1)

的矩来表示哈夫曼，矩的

含如表 6-3-3 所示。

表1 哈夫曼算法数据构

字符

12345??? 2n-1序号

概率

父点序号

左右子0 表示1表示

志左子右子

是否在 1 在集0不在

集合 F合 F集合 F

下面出哈夫曼的生成算法：

function htree = HuffmanTree(pro)

%构造哈夫曼

%pro 一概率向量

n=size(pro,2);%得到字符个数

tree=ones(6,2*n-1);%构造数据构

tree(1,:)=1:(2*n-1);%填充点序号

tree(5,(n+1):end)=0;%置点是否在集合

tree(2,1:n)=pro;%设置概率

tree(6,1:end)=0;%记录查找的结点对顺序

for i=(n+1):(2*n-1);%循环控制

[l,r]=findminval(tree);%找到集合中两个最小的值的序号

tree(2,i)=tree(2,l)+tree(2,r);%得到父结点概率值

tree(5,i)=1;%设置新构造结点在集合中

tree(3,l)=i;tree(3,r)=i;%设置父结点序号

tree(4,l)=0;tree(4,r)=1;%设置左右标志

tree(5,l)=0;tree(5,r)=0;%设置不在集合中

tree(6,l)=i-n;tree(6,r)=i-n;%记录该次删除的结点对顺序end

htree=tree;

function [l,r]=findminval(tree)

s=find(tree(5,:)==1);

if size(s,2)<2

error('Error input!');

end

firval=realmax;secval=realmax;

for i=s;

if firval>tree(2,i)

if secval>firval

second=first;secval=firval;

end

first=i;firval=tree(2,i);

elseif secval>tree(2,i)

second=i;secval=tree(2,i);

end

end

l=min([first,second]);r=max([first,second]);

该算法还显示了删除结点对的先后顺序。

在 MATLAB命令窗口输入以下指令：

>>a=[5 29 7 8 14 23 3 11];

>>HuffmanTree(a)

将会显示如表 6-3-4 所示结果。

表 2 哈夫曼树

123456789101112131415

52978142331181519294258100

914101012139111112131415151

000100101111011

000000000000001

162245133456770

把该表画成一张图，就是图2。若约定左子树表示0，右子树表示1，从根结点走到叶子结点，则可得到各叶子结点的哈夫曼编码( 见图2) 。本例各字符的哈夫曼编码分别为：

字符 1( 概率值 0.05)： 0110字符 2( 概率值 0.29)： 10

字符 3( 概率值 0.07)： 1110字符 4( 概率值 0.08)： 1111

字符 5( 概率值 0.14)： 110字符 6( 概率值 0.23)： 00

字符 7( 概率值 0.03)： 0111字符 8( 概率值 0.11)： 010

由于表 2 只记录了父结点序号，没有记录子结点序号，要得到各字符的哈夫曼编码，应反过来从叶子结点走到根结点，把得到的编码反过来，就是该字符的哈夫曼编码。

对一经过哈夫曼编码的文件进行解码，应先构造相应的哈夫曼树，然后按位从文件读入数据流，查找哈夫曼树，即可得到相应编码所对应的字符，从而解码文件。