浅谈线性代数与空间解析几何

线性代数论文

题目浅谈线性代数与空间解析几何班级1401018

学生郭雅楠

学号14010180032

二〇一五年七月九日

摘要

在我们的学习过程中，可以发现线性代数和空间解析几何中有很多相似之处。确切的说是线性代数中的一些理论是从空间解析几何中发展和改进而来的。

比如说通过空间解析几何中多元一次方程组的解法线性代数提出了行列式，使行列式有了几何意义，同时是行列式直观化。也是通过行列式，多元方程组的解答更便捷、快速。又比如在线性代数中先后提出来线性空间、欧氏空间。线性空间也将向量做了推广，使向量抽象化。欧氏空间也在线性空间的基础上提出内积，使几何空间中的向量的一些度量性质推广化，等等，这样的例子很多很多。总体来说线性代数与空间解析几何是相互联系、相互促进的。可以更确切一点的说是空间解析几何是线性代数的基石，而线性代数是空间解析几何的推广和并使之抽象化。

关键词：线性代数解析几何欧氏空间联系促进

Abstract

In our study process, we can find linear algebra and space analytic geometry have much in common. Exactly linear algebra theory from some of the space analytic geometry in development and improvement. For example, by space analytic geometry in a multiple linear algebra equations solution method proposed determinants, make the determinant with geometric meaning, at the same time, is the determinant direct. Also through the determinants, multiple equations solution more convenient, fast. For instance in linear algebra and linear space, has brought out the Euclidean space. The linear space will also vector do promotion, make vector abstraction. Euclidean space in linear space is put forward based on the dot product, make the geometry of space vector of the some measure properties of promotion, and so on.

Key words：Linear Algebra; Analytic Geometry; Euclidean Space; Contact; Promotion

3

2132

1b b b a a a k j

i

=?βα一.引言

在十七世纪, 笛卡尔及费马在几何空间中引入了坐标系, 从而在几何与代数间建立了一座桥梁, 用代数方法解决空间的几何问题, 产生了解析几何. 解析几何的产生, 可以说是数学发展史上的一次飞跃.恩格斯曾经这样评价[1]: 数学中的转折点是笛卡尔的变数, 有了变数, 运动进入了数学, 有了变数, 辩证法进入了数学, 有了变数, 微分和积分也就成了必要的了.从代数与几何的发展历史来看，线性代数与解析几何从来就是相互联系、相互促进的。解析几何中以代数为工具，解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识来定义来刻画、描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。

线性代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。从概念的内涵的外延来看，两门课之间存在着特殊与一般的关系，解析几何的一、二、三维空间是线性代数n 维空间的特例，而线性空间的大量理论又是来源于一、二、三维几何空间的推广（抽象）。平面方程及平面间的位置关系与线性方程组的理论，二次曲线，二次曲面的化简与代数中的二次型理论，几何与代数中欧氏空间的理论等等。因此它们的关系可以归纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”。通过对线性代数和解析几何的学习和研究中，我们可以看到解析几何和线性代数中有着紧密的联系，运用解析几何来分析线性代数更直观。同时，线性代数也是解析几何的一个发展、拓宽，比如说欧氏空间。运用线性代数的解题方法来解答解析几何中的一些问题更加简便、快捷，比如说运用行列式的计算来解答多元方程组问题。

二．正文

1 线性代数中一些概念的几何直观解释：

1.1 关于行列式的几何背景[2]

设α=(321,,a a a ),β=(321,,b b b ),γ=(321,,c c c );两个向量的向量积可

以用行列式写为

，它在几何上表示的是与α,β向量都垂直且成右手系的向量。

三个向量的混合积可以用行列式（γβα,,）=（βα?）γ?=表示为图1平行

六面体。此行列式的几何解释是它的绝对值等于以它们3个向量为相邻棱所作的平行六面体的体

积(如图1)。

图1 平行六面体

特别地,当(α,β,γ)=0时,由于平行六面体的体积为零。

3

2

1

321321c c c b b b a a

a

01

11

133

3

222111=z y x z y x z y x z y x 所以 共面。γβα,,03

2

1

321

3

21

?=c c c b b b a a a 由此可得:过平面上两点(11,y x ), (22,y x )的直线方程为

推广空间中有不在同一直线上的三点(xi,yi,zi)(i=1,2,3)的平面方程为

1.2 关于正交变换的几何意义

在二次型化为标准型时,可以采用可逆变换或正交变换,但由于可逆变换对应于仿射坐标

系的变换,正交变换则对应于直角坐标系的变换,所以区别比较大。例如: 19412

22=++z y x ： 通过可逆线性变换???

??

???????

??=????? ??'''321z y x z y x 化成1'''222=++z y x ,即椭球面变成了球面。通过线性变换????

?

??????? ??=????? ??'''021z y x z y x ,化成1''2

2=+y x ,即椭球面变成了圆柱面。

而正交变换保持向量长度和角度不变,因此几何图形不变。所以在讨论二次方程决定的图形时,必须用正交变

换;如果只考虑它所属类型时,可以用可逆变换(当然包括正交变换)。

还应注意正交变换中:

①当正交阵的行列式表示为1时,是旋转变换; ②当正交阵的行列式为-1时,为镜面反射变换。

1.3 关于正交化的几何解释

线性无关的向量组可以由Schmidt 正交化得到与其等价的正交组,它的几何解释为,如果有3个线性无关的向量321,,ααα则可以通过Schmidt 正交化得到相应的3个正交向量

321,,βββ。这里11αβ=,222γαβ-= ,333γαβ-= ,其中γ2为α2在β1上的投影向

量;γ3为α3在β1、β2所确定的平面上的垂直投影向量。

01

11

22

11=y x y x y

x

2 向量组线性相关(无关)与几何中向量共面、共线之间的关系[3]

若α,β,γ是三维空间的向量,则:α线性相关;α,β线性相关;α,β,γ线性相关分别对应于几何直观的α为零向量;α,β共线;α,β,γ共面。因此,一维空间的基是空间中任意一个非零向量;二维空间的基是空间中两个不共线向量;三维空间的基是空间中3个不共面的向量组成的。

例.1 在三维空间中有向量,OA =(321,,a a a ),OB =(321,,b b b ),OC =(321,,c c c ),那么,A,B,C 共线的充分必要条件是什么?

解:过A,B 两点的直线方程为()()()??

?

??-+=-+=-+=t

a b a z t a b a y t a b a x 333222111显然,当且仅当C 点满足此方程时,A,B,C

共线,即存在t,使得OC =(1-t)OA +tOB ,于是,A,B,C 共线.

当且仅当OA ,OB ,OC 中某一向量可以由其余向量线性表示,而且表出系数之和为1。

3 线性方程组与直线、平面的位置关系

空间直线、平面的位置关系为线性方程组的结构理论提供了直观的几何解释,同样线性代数中的线性方程组的结构理论对深刻领会直线、平面的位置关系起到重要作用。[4]

例.2已知平面上有三条不同的直线，它们的直线方程分别为

032:1=++c by ax l 032:2=++a cy bx l 032:3=++b ay cx l ,试证这3条直线交于一

点的充分必要条件为a+b+c=0。[5]

证明:必要性,设3条直线l1, l2, l3相交于一点. 则线性方程组???

??-=+-=+-=+b ay cx a cy bx c by ax 323232有唯一解,

故系数矩阵A=?????

?

?a c c b

b a 222与增广矩阵???

?

?

??---=-b a c a c b c b a A 323232的秩均为2,于是|-A |=0,由于

但是(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0,∴a+b+c=0

充分性:由a+b+c=0,则从必要性的证明可知: ||-

A =0,故:秩(-

A )<3。

由于

0]4

3)21[(2)(222222

≠++-=-=b b a b ac c b b a , 故

:

,于是

,

。

因此线性方程组有唯一解,即,3条直线l1, l2, l3相交于一点。

])()())[((3])[(6323232||222222a c c b b a c b a bc ac ab c b a c b a b

a

c

a c b

c

b a A -+-+-++=---++++=---=-

4 线性代数中解析几何的几种应用或原理

4.1 行列式几何意义的应用

将n 元一次线性方程组???????=+++=+++=+++n

n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112

222212*********

下

面先通过一个二维图形说明如何来确定这些仿射坐标.从图2可以看出,以β与α2为邻边组

成的平行四边形有向面积与以x1α1与α2为邻边组成的平行四边形有向面积相等.这是因为两个平行四边形均是以α2为底,h 为高.因此,易于看出它们中每一个的有向面积与以α1,α2为邻边的平行四边形有向面积之比均为x1.同理,可以看出x2与哪些平行四边形的有向面积之比相关.因为这些平行四边形的有向面积可以由行列式给出,所以由以上分析立刻可以

“看出”如下结果推广到一般n 维空间的情况,即有当

a ≤0

时,显然

h(x)

>0;当

0<

a

<

时,

由

图2仿射坐标

4.2 二次型与二次曲面和二次曲线的联系

在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是

a 2

x +2bxy+c 2y =f (1)

为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ作转轴（反时针方向转轴）x='

x cos θ-'y sin θ;y='

x sin θ+'y cos θ (2)

把方程（1）化为标准方程。在二次曲面的研究中也有类似情况。从代数角度看，所谓化标准方程就是用变量的线性代换（2）化简一个二次其次多项式，使它只含有平方项。二

次型就是在这个基础上提出来的。就譬如说二次曲面吧。研究二次曲面：

的形状,

可以利用矩阵运算,

把方程写为

其中

这里, i,j=1,2,3。再利用实对称矩阵可以正交相似对角化知,有正交变换

x=Qy,使得：

这样则

由于正交变换对应坐标原点不动的坐标轴的变换,因此,方程中的常数项不变。于是就可据此用解析几何讨论图形的形状。二次型化为标准形可以利用解析几何中二次曲线，二次曲面来直观表示；同时，一些二次曲面，二次曲线的化为标准方程的化简可以运用线性代数中的二次型化为标准形的方法来简化，例如配方法、初等变换以及正交变换。

例.3 ：化简二次曲面2xy+2xz-6yz=0 可利用二次型中的初等变换，配方法或正交变换来化简。比如初等变换f(x,y,z)= 2xy+2xz-6yz

A=????

??????--031301110则由???? ??E A =??

?

?

??

?

?

?

???????????--100010001031301110?→?????????????????????---10001111160002000

2

故原二次曲面经过坐标变换??

???=+=--=''''''z z y x y z y x x 化简为22

'x -22'y +62'z =0.正交变换也可以。

4.3 欧氏空间的几何理论

在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法和数乘，统称为线性运算。如果我们以几何空间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型，那么就会发现向量的度量性质，如长度、夹角等。[6]在解析几何中我们看到，向量的长度、夹角等度量性质都可以通过向量的内积来表示，而且向量的内积有明显的代数性质。在这种情况下，欧几里得空间（即欧氏空间）应运而生。

结论：线性代数与解析几何密不可分。在求解空间解析几何的问题中，线性代数发挥了至关重要的作用。二者是相互联系、相互促进的。

三.参考文献

【1】中国大百科全书数学编辑委员会. 中国大百科全书, 数学卷[M ]. 北京: 中国大百科全书出版社, 1988, 342

【2】谢琳，张静修订.从几何直观理解行列式与Cramer法则.高等数学研究，2009.01-15 【3】大学数学系列教材-线性代数（第一版）江西高校出版社 2010.8

【4】线性代数与空间解析几何（第三版）哈尔滨工程大学数学系高等教育出版社 2008.6【5】龚冬保, 魏战线. 线性代数与空间解析几何典型题[M ]. 西安: 西安交通大学出版社, 2001. 7

【6】韩瑞珠修订.线性代数和空间解析几何教学中的一点体会.大学数学，2002.12-30