江苏省对口单招高中数学复习知识点

高

三

数

学

总

复

习

知

识

点

主编：杨林森

目录

一、高一上

1、数与式的计算 (3)

2、集合 (6)

3、函数及其性质 (8)

4、几个基本初等函数 (10)

5、三角函数 (13)

二、高一下

1、解析几何(Ⅰ) (14)

2、三角函数(Ⅱ) (18)

3、圆 (21)

4、平面向量 (23)

5、数列 (26)

6、不等式 (29)

三、高二上

1、命题与逻辑推理 (31)

2、解析几何(Ⅱ) (33)

3、立体几何 (41)

4、复数 (46)

四、高二下

1、计数法 (49)

2、概率(Ⅱ) (54)

3、统计(Ⅱ) (56)

五、附录

附录(Ⅰ) (59)

附录(Ⅱ) (61)

附录(Ⅲ) (62)

六、附录答案（另附）

高三数学总复习知识点．．．．．．．．．．

高一数学

（一）高一上学期：

1.数与式的计算

（实数的概念）

（1）常用的数集符号：自然数集：N

整数：Z 有理数集：Q 实数集：R （2）绝对值：

①??

?

??<-=>=时；当时；

当时；当0,0,00,a a a a a a

②b a b a b a +≤±≤-.

③数轴上两点A,B 的坐标分别为B A x x ,，则A,B 之间的距离

A B x x AB -=

例：化简23---x x ()31<

(实数的运算)

（1）实数运算的顺序：先乘方、开方，然后乘除，再加减，有括号先进行括号内的运算.

（2）指数幂的推广：

①正整数指数幂：n

n

a a a a =????????44

34421 （a 为正整数） ②分数指数幂： n n a a 1

=- （0≠a ，n 为正整数）

10=a （0≠a ）

③负整数指数幂、零指数幂： n

m

n

m a a =，n m

a

n

m 1

=

- （0≠a ） （3）实数指数幂的运算法则：

①βαβα+=?a a a ②)0(≠=÷-a a a a βαβα ③()α

αα

b a b a ?=? ④)0(≠=??

? ??b b a b a ααα

例：1.()0110)12()2

1

()1()2(5--+-?-+---

2.0

3

2

60cos 121)14.3(1+??

?

???----π

（式的计算） 乘法公式：

平方差公式：22))((b a b a b a -=-+ 完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=± 立方和、差公式：))((2233b ab a b a b a +±=±μ 例：计算222)3(a a ÷-.

(分式运算与根式化简) 一、分式.

1.定义：式子

B

A

叫做分式，其中B A ,表示两个整式，且B 中含有字母，0≠B .

2.分式的基本性质：（1）

)0(,≠÷÷=??=m m

B m A B A m B m A B A 其中. （2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.

3.分式的运算：（1）加减：①;c b a c b c a ±=± ②bd bc

ad d c b a ±=±.

（2）乘除：①bd ac

d c b a =?； ②bc

ad d c b a =÷.

（3）乘方：n n n

b a b a =???

??.

二、二次根式. 1.二次根式的性质：（1）

()

a a =2

)0(≥a ；

（2）b a ab ?= )0,0(≥≥b a （3）

b

a b a = )0,0(>≥b a

（4）?

??<-≥==)0()

0(2a a a a a a

2.二次根式的运算.

（1）加减运算的实质是合并同类二次根式，其步骤是先化简，后找“同类”合并.

（2）做乘法时，要灵活运用乘法公式；做除法时，有时要写为分数的形式，然后进行分母有理化.

（3）化简2a 时要注意a 的正负性，尤其是隐含的正负性. 例：（1）当式子

5

452---x x x 的值为零时，x 的值是_________

（2）化简：23142122

2+++?--÷??? ?

?+-a a a a a a a a a ；

2.集合

（集合及其表示）

（1）集合的中元素的三个特性： ①元素的确定性 ②元素的互异性 ③元素的无序性

（2）集合的表示法：列举法；描述法；维恩图法. （3）集合的分类：有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合 空集 不含任何元素的集合

例：1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A.某班所有高个子的学生 B.著名的艺术家 C.一切很大的书 D.倒数等于它自身的实数

（数集）

（1）基本数集：非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R （2）一般数集：除了基本数集以外的其他数集. 例：用填空或?∈

7

1_____N -9______Z 5______Q

2+π________R

（集合之间的关系） （1）“包含”关系—子集

注意：B A ?有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）

A 与

B 是同一集合。

(2)“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x 2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

即：① 任何一个集合是它本身的子集。A ?A

②真子集:如果A ?B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C ④ 如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B

(3) 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

◆ 有n 个元素的集合，含有n 2个子集，12-n 个真子集

例：1.集合{a ，b ，c }的真子集共有 个

2.若集合M={y|y=x 2-2x+1,x ∈R},N={x|x ≥0}，则M 与N 的关系是 .

3.设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是

（集合的运算）

运算类型

交 集

并 集 补 集 定 义

由所有属于A 且属于B 的元素所组成

的集合,叫做A,B 的交集．记作A I B （读作‘A 交B ’），即A I B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝． 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作：A Y B （读作‘A 并B ’），即A Y B ={x|x ∈A ，或x ∈B})．

设S 是一个集合，A 是

S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集） 记作A C S ，即 C S A=},|{A x S x x ?∈且

韦 恩 图 示

A B

图1

A

B

图2

性

质 A I A=A A I Φ=Φ A I B=B I A A I B ?A A I B ?B A Y A=A A Y Φ=A A Y B=B Y A A Y B ?Ａ A Y B ?B

(C u A) I (C u B)

= C u (A Y B) (C u A) Y (C u B)

= C u (A I B) A Y (C u A)=U A I (C u A)= Φ．

例：1.已知集合A={x| x 2+2x-8=0}, B={x| x 2-5x+6=0}, C={x| x 2-mx+m 2-19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A ∩C=Φ，求m 的值.

S

A

3.函数及其性质

（函数的概念及表示方法）

1.函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．

（函数的定义域与值域）

1.定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和

函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)

2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法

例：求下列函数的定义域：

⑴221533

x x y x --=

+- ⑵211()1x y x -=-+

（函数的基本性质）

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某

个区间D内的任意两个自变量x

1，x

2

，当x

1

2

时，都有

f(x

1)

2

)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D

称为y=f(x)的单调增区间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x

1，x

2

，当x

1

2

时，都有f(x

1

)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

（2）图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

○1任取x1，x2∈D，且x1

○2作差f(x1)－f(x2)；

○3变形（通常是因式分解和配方）；

○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的步骤：

○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

○

2确定f(－x)与f(x)的关系； ○

3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

例：判断函数13+-=x y 的单调性并证明你的结论．

另附：函数最大（小）值（定义见课本p36页）

○

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○

2 利用图象求函数的最大（小）值 ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；

4.几个基本初等函数

（幂函数）

1、幂函数定义：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸； （3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．

例：求下列函数的定义域和值域. （1）3

2x y = （2）4

3-=x y

（指数函数及其图象） 1、指数函数的概念：一般地，函数)

1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质 a>1 0

6

5

4

321

-1

-4-2

246

1

6

5

4

3

2

1

-1

-4-2

246

1

定义域 R 定义域 R

值域y ＞0 值域y ＞0 在R 上单调递增

在R 上单调递减

非奇非偶函数

非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1） 函数图象都过定点（0，1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；

（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；

（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；

（对数函数）

1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，

记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）

说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○

2 x N N a a x

=?=log ；

N a log

○

3 注意对数的书写格式． 两个重要对数：

○

1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○

2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．

指数式与对数式的互化

幂值 真数

b a ＝ N ?log a N ＝ b

底数

指数 对数 （二）对数的运算性质

如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○1 M a

(log ·=)N M a log ＋N a log ；

○2 =N

M

a

log M a log －N a log ； ○

3 n a

M log n =M a log )(R n ∈．

注意：换底公式

a

b

b c c a log log log =

（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论

（1）b m n

b a n a m

log log =；（2）a

b b a log 1log =．

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对

数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5

log 5x y = 都不是对数函

数，而只能称其为对数型函数．

○

2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．

2、对数函数的性质：

a>1

0

32.521.5

1

0.5-0.5

-1-1.5-2-2.5

-1

1

23456780

1

1

32.521.5

1

0.5

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-1

1

2345678

1

1

定义域x ＞0 定义域x ＞0 值域为R 值域为R 在R 上递增 在R 上递减

函数图象都过定点（1，0） 函数图象都过定点（1，0）

例：1.函数y=log 2

1(2x 2

-3x+1)的递减区间为

2.若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a=

3.已知1()log (01)1a x f x a a x

+=>≠-且，（1）求()f x 的定义域（2）求使()0f x >的x 的取值

范围___________.

5.三角函数 （注：本章以公式为主！！！！） απαsin )2sin(=+k απαcos )2cos(=+k

απαtan )2tan(=+k （其中Z ∈k ） αα-sin 180sin(=+?） ααπ-sin sin(=+） αα-cos 180cos(=+?） ααπ-cos cos(=+） αα-sin sin(=-） ααcos cos(=-）

ααsin 180sin(=-?） ααπsin sin(=-） αα-cos 180cos(=-?） ααπ-cos cos(=-） αα-sin 360sin(=-?） ααπ-sin 2sin(=-） ααcos 360cos(=-?） ααπcos 2cos(=-）

sin(90? -α) = cos α, cos(90? -α) = sin α. sin(90? +α) = cos α, cos(90? +α) = -sin α.

sin(270? -α) = -cos α, cos(270? -α) = -sin α. sin(270? +α) = -cos α, cos(270? +α) = sin α.

（二）高一下学期：

1.解析几何（I ）

(平面直线)

(1).数轴上两点间的距离公式：|AB|=|X1-X2|.

(2).x 轴上两点间的距离公式： |AB|=|X2-X1|，其中A(X1,0),B(X2,0).

(3).与x 轴平行的直线上两点的距离：|AB|=|X1-X2|，其中A(X1,y),B(X2,y).

(4).y 轴上两点间的距离公式： |AB|=|y2-y1|，其中A(0,y1),B(0,y2).

(5).与y 轴平行的直线上两点的距离：|AB|=|y1-y2|，其中A(x,y1),B(x,y2).

(6).任意两点间的距离公式：|AB|=

()()2

21221y y x x -+-，其中

A(X1,y1),B(X2,y2). 例：1.求下列各组两点之间的距离

（1）A(-3,9),B(-3,4) (2) A(4,7),B(10,7) (3) A(3,-2),B(4,5)

2.已知A(3,x),B(3,9),|AB|=8,求x 的值.

(7).直线与x 轴平行时，倾斜角规定为0. (8).直线的倾斜角的范围时0≤α＜π.

(9).直线的斜率：直线的倾斜角??? ?

?

≠2παα的正切tan 是直线的斜率，

通常用k 表

示 即k=tan α（α≠2

π

）. (10).任何一条直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率.

(11).除了α=2

π

（l ⊥x 轴）外，角与其正切tan 是一一对应的，也可用 tan 表 示l 的倾 斜程度.

(12).倾斜角与斜率之间的关系为：

①当α =0，即直线l 平行于x 轴时，k=0.

②当0＜α＜2

π

，即直线l 的倾斜角为锐角时，k ＞0.

③当2π

＜α＜π，即直线l 的倾斜角为钝角时，k ＜0.

④当α=2

π

，即直线l 平行于y 轴时，k 不存在，反之亦然.

(13).斜率公式：平面上的过两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)的直线l 的斜率

为 k=1

21

2x x y y --(x1≠x2)

当x1=x2时，直线l 垂直于x 轴，l 的斜率不存在. 例：1.若三点A(,m),B(-2,3),C(3,-2)在同一条直线上，求m 的值.

2.求经过A(-2,0),B(-5,3)两点的直线斜率、倾斜角.

（平面直线的方程）

(1).点斜式方程

直线l 的斜率为k ，过已知点A(X0,y0)

设p(x,y)为直线l 上任意异于A 的一点，已知k 得

K=0

x x y y --

即 y-y0=k(x-x0) (2).斜截式方程

在点斜式方程中，如果点A 在y 轴上，坐标A(0,6),此时直线的点斜式方程可

化为 y=kx+b (b 是直线在y 轴上的截距)

(3).直线方程的一般式

形如Ax+By+C=0(A,B 不同时为0)的方程叫做直线的一般式方程.

由Ax+By+C=0(B ≠0),可求得直线的斜率k=-B A ,截距b=-B

C

注：二元一次方程都是直线的方程，直线方程都是二元一次方程.

例：1.求过M(4，-2)，且满足下列条件的直线方程 ①斜率k 为-3 ②且过N(3,-1) ③平行于x 轴 ④平行于y 轴

2.求直线093=--y x 在x 轴、y 轴上的截距以及与坐标轴围成的三角形的面积.

3.直线l 过点A(-2,3)且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的 方程.

(直线间的位置关系) (1).两条直线平行

21l l ?k1=k2,(k1,k2都存在) (2).两条直线垂直

21l l ⊥?k1=-

2

1

k ,即k1·k2=-1 (3).求相交直线的交点

0111:1=++C y B x A l , 0222:2=++C y B x A l

???

???=++=++02220111C y B x A C y B x A ,(方程组的解就是两直线的交点）

(4).点到直线的距离

设点M(x0,y0)为直线0:=++C By Ax l 外一点，过M 向AB 引垂线， 垂足为D,把线段MD 的长d 叫点M 到直线AB 的距离.

改写l 的方程为B C

B A y --=,以0x x =代入，得：

B C

x B A y --=01

即2

2

00B

A C

By Ax MD d +++==

(5).两条平行直线间的距离

0222:2,0111:1=++=++C y B x A l C y B x A l 即2

2

1

112B A C C d +-= (21l l )

例：1.已知直线013:1>++y ax l 与直线01)1(2:2=+++y a x l 平行，求a 的值.

2.已知ABC ?中，A(2，-1)，B(4,3)，C(3，-2) 求 ①BC 边上的高所在的直线. ②过C 与AB 平行的直线方程.

3.求0632:1=++y x l 和2l :过点(7，-2)，(5,2)的交点坐标.

4.求点p(4,0)关于直线02145=++y x 的对称点,p 的坐标.

2.三角函数(II)

(两角和与差的三角公式)

正弦：βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± 余弦：βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=± 正切：β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=

+

β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(?+-=

-

例：1.求证：αααcos 3)30cos()30cos(=-++o o

2.已知，),,2(,32sin ππαα∈=求)3

cos(απ

+.

3.已知

13

5)43sin(,53)4cos(,40,434

=+-=+<<<

<βπαππβπαπ

求)sin(βα+的值.

3.已知4

3

cos ,32sin -==αα，且βα,都是第二项限角

求)tan();tan(βαβα+-

(倍角公式)

正弦：αααcos sin 22sin = αααsin 22sin cos = ααα2sin 21

cos sin =?

余弦：ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 正切：αα

α2tan 1tan 2tan -=

(z k k k ∈+≠+≠，且ππ

αππα2

22)

注把

ααcos sin b a +化为一个角的一种三角函数为

)sin(cos sin 22?ααα++=+b a b a ，其中 2

2

cos b

a a +=

?，2

2

sin b

a b +=

?

例：1.已知13

5

)4

sin(-

=-

π

x ，求x 2sin 的值.

2.求o

o

o 20

cos 20sin 10cos 2-的值.

3.已知4

0,135)4sin(π

π<<=-x x ，求x 2cos 的值.

(正弦定理)

定义：三角形内角的正弦与对边的对应比相等.

公式：R C

c

B b A a 2sin sin sin ===(R 表示三角形外接圆的圆心)

公式的适用范围：①已知两夹角一边 ②已知两边一对角（可能有两个解） ③已知两角一对边

(余弦定理) 定义：三角形任一内角的对边的平方，等于邻边平方和减去邻边同这个内角余弦乘

积的二倍.

公式：A bc c b a cos 22

2

2

?-+= bc

a c

b A 2cos 2

22-+=

B ac c a b cos 22

2

2

?-+= ? ac

b a

c B 2cos 2

22-+=