振动特性

汽轮发电机组振动特性及处理对策

——云南电力试验研究院（集团）公司穆钢

前言

汽轮发电机组振动状况对于机组的安全运行有至关重大的影响，轻则产生噪音（旋转机械的谐波干扰），影响机组的安全使用寿命；重则破坏机组的正常运行，损坏机组部件危及安全生产；更为严重者，可能会造成整个机组的灾难性破坏。汽轮发电机组振动状况是国家综合工业实力的表征；机械制造技术水平的重要标志；发电企业生产管理水平的重要体现。

汽轮发电机组振动处理经历过三个阶段：原始型-经验型-故障诊断型。

汽轮发电机组振动是一项复杂的工程技术问题，其难点在于：同一振动现象，所产生的原因却各不相同，就当代的技术水平而言，还不能确定机组振动在现象-产生原因-处理措施三个方面完全意义上的一一对应关系；同一振动原因对于不同的机组，处理对策却各不相同。

汽轮发电机组各种各样的振动原因，可归纳为三个方面的问题

（1）干扰力和干扰力矩的作用；

（2）轴承油膜的不稳定和汽隙中的压力不稳定；

（3）转子-轴承-基础系统中，支承系统的弹性变形和不稳定性。

在分析、处理机组振动故障的过程中，能否正确判断影响机组振动诸因素中的关键因素是属于哪一个方面的问题，是否有一个正确的原则性判论，是成功的处理机组振动故障的关键之所在。

转子振动的基本特性

一、临界转速

与转子固有频率相对应的转速，称为转子的临界转速。

数学表达式：

ω= √K / M

K：转子的刚度；

M：转子的质量。

表达式表明：

转子的结构和质量决定之后，其自由振动的固有频率就确定了，转子有一系列的固有频率，同理，转子就有一系列的临界转速。

二、共振

转子以转速n旋转时，由于不平衡质量所产生的惯性离心力也以转速n的频率施加于转子本身，使转子受到周期性的干扰力。

当干扰力对转子的作用频率与转子的固有振动频率相同时，即ω =ωn ，称为共振。

机组发生共振时，振幅激剧增加振动强烈，当改变转速时，共振引起的振动将随之减小或消失。

工作转速避开共振转速的安全裕量：

柔性转子 1.4 n1< n < 0.7n2 ;

刚性转子 n1=（1.25～1.8）n 。

三、正进动、反进动

考虑静弯曲（偏心矩e）时的单轮盘转子在x、y方向上的振动微分方程式：

M d2x

+k

x

x = Meω2 cosωt dt2

M d2y

+k

y

x = Meω2 sinωt dt2

上式是二阶非齐次方程，其通解为：

x=c

1cosω

1

t+c

2

sinω

1

t+A

x

cosωt

y=c

1sinω

1

t+c

2

cosω

1

t+A

y

sinωt

式中的前二项是对应齐次方程（无阻尼情况下）的通解，在有阻尼情况下，这二项将迅速消失，在外干扰力作用下的振动，实际上只有第三项，即:

x = A x cosωt

y = A y sin ωt

将x 和y 代入微分方程，解得：

如果x 、y 方向的刚度相同，则A X = A y ，于是有：

可见，轮盘中心点（S ）的运动轨迹是一个圆，圆心在坐标原点0，圆的半径为：

A x =

Me ω2

K x 一M ω2

A y =

Me ω2

K y 一M ω2

x =

Me ω2

cos ωt

K 一M ω2

y =

Me ω2

sin ωt

K 一M ω2

r = √x 2+y 2 = A

A =

Me ω2

K 一M ω2

转子的运动实际上可以看成两种运动的合成：一是轮盘绕其轴心（S ）等速转动，角速度ω；另一是轮盘中心（S ）点又绕其静平衡时的位置0点作圆周运动，矢量OS 的转动角速度也为ω。

上述结论建立了二个重要概念：一是由于偏心离心力的作用，轴被弯成固定的弯弓形状，就象弓绕其弦转动一样称为弓状迴转运动，这样的运动也称为涡动。二是在转子旋转时，轴及轮盘以角速度ω绕其轴线旋转，这一轴线是转子弹性曲线的切线，而旋转着的弹性曲线在横截面处的位移轨迹，可以是圆，也可以是椭圆。

正进动：弹性曲线以与轮盘相同的角速度和相同的方向旋转，称为正进动。 反进动：弹性曲线以与轮盘相同的角速度旋转，但旋转方向相反，称为反进动。

四、振动位移、速度、加速度

振动位移：物体振动时的瞬态幅值大小（通常用x 表示）；

振动速度：单位时间内物体振动时的瞬态幅值大小（通常用v 表示）； 振动加速度：单位时间内物体振动速度的变化率（通常用a 表示）。 数学表达式：

x = A 0 cos ωt

五、幅频特性

从微分方程的推导可知：

V =

dx = A 0ω cos(ωt+π/2)

dt

a =

dV = A 0ω2

cos(ωt+π)

dt

A =

Meω2

=

e (ω2 / K

M

)

=

e ( ω

2

ω

1

2)

K一Mω21-(ω2/ K

M

) 1-( ω

2

ω

1

2)

上式表达的几个极重要的概念，即转子的幅频特性。

幅频特性：

（1）e ↘→ A ↘机组做动平衡的意义；

（2）ω→ω1时，A ↑；

（3）ω=ω1时，A→∞共振的危险；

（4）ω>ω1之后，A ↘（逐渐减小），最后→ e , 即振幅放大系数β=A / e= -1，转子自动定心，运转趋于平稳，这是挠性转子可靠运转的原理，也是高频干扰力对于固有频率很低的振动系统，实际上不产生强迫振动的道理。（5）ω<ω1时，干扰力与振动位移是同方向；

（6）ω>ω1时，干扰力与振动位移是反方向，也就是说，在转速变化过程中，偏心激振力和振动位移的相差有一突变。

幅频特性曲线：

β

ω/ω1

六、共振方程

ω=ω1时，方程式

M d2x

+k

x

x = Meω2 cosωt dt2

变为：

d2x

+ω

12 x = eω

1

2 cosωt (1)

dt2

特解：

x = At cos( ω

1

t + a )

将其代入方程式（1），求得满足方程式（1）的A和a:

A = e ω

1

/ 2 ； a = -π/2 .

于是，得到方程式（1）的特解：

x = e ω1 t cos( ω1t +π/2) / 2

上式称为共振方程，其意义：

（1）共振时，振幅是随时间t的延续而增大的，不论e多么小（干扰力多么小），机组在共振转速停留是很危险的。

（2）在启动机组时，当升速到接近临界转速时，应加快增速，在临界转速附近应很快冲过。这样，转子的振幅还来不及增大就已超过临界转速，使转子进入自动定心的平稳运行过程。

（3）解释了实测临界转速高于计算临界转速的原因。

（4）解释了现场对同一台机组多次实测临界转速，在数值上存在着差别的

七、阻尼力、机械滞后角、相频特性

阻尼对转子振动的影响：

转子振动时，通常存在着各种阻碍运动的阻力，这些阻力称为阻尼，它对转子振动起着衰减和抑制作用。阻尼有不同的来源，如：（1）干摩擦；（2）材料内摩擦；（3）粘滞阻尼。只有在粘滞阻尼下的強迫振动才是简谐运动，才可用简单的数学方程作详细分析。

单自由度有阻尼強迫振动的微分方程式：

M d2x

=-kx- c

dx

+Meω2cosωt dt2dt

（惯性力、阻尼力和弹性恢复力与偏心不平衡离心力相平衡构成稳定系统。）

d2x

= - k

X -

c

*

dx

+eω2cosωt

dt2M M dt

令：

2D=C/M ; ω

1

2 = K/M

式中：

C: 阻尼比例系数，它表示速度为1个单位时所受到阻力的大小，用公斤.秒/厘米表示。

D：阻尼系数，表示单位时间内能量消耗率之一半。

微分方程由下式所代替：

d2x

+2D dx

+ω

1

2 x = eω2cosωt （1）

dt2dt

上式微分方程的通解，应是本微分方程的一个特解与下列齐次方程通解的化数和。

d2x

+2D dx

+ω

1

2 x = 0 （2）

dt2dt

在有阻尼的情况下，齐次方程（2）式的通解将会消失，只剰下方程（1）式

的特解这一部分，特解：

x = A COS(ωt - φ) 将x 带入微分方程解得：

A =

e

ω2

ω12

[ ( 1-

ω2

)2 + 4 D2

ω2

]1/2

ω12ω14

φ = tg-1 (2D

ω2

)

ω12

1-

ω2

ω12

tgφ =

2Dω2ω12 -ω2

A：振动过程中的实际最大振幅；

φ：机械滞后角，它表示机械振动中，由于惯性效应的存在，振幅（位移）

始终滞后于引起振动的扰动力F一个角度，该角度和振动系的自振频率、ω/ω

1的比值及系统的阻尼有关。

分析A的数学表达式，可得出如下结论：

共振时，ω=ω

1，共振振幅是 A = e / (2D/ω

1

)= e /2 r

c

, r

c

=D/ω

1

称为相对阻尼系数，在有阻尼的情况下，转子在共振转速时，其振幅不是无穷大，而是一有限值。

相频特性：

（1）ω<ω

时，φ的变化范围在0—900之间（tgφ为正）；

1

（2）ω=ω1时，φ = 90O（tgφ为∞）；

（3）ω>ω1时，φ的变化范围在900—1800之间（tgφ为负）。

相频特性曲线：

π

π/

ω/ωn

（φ-ω/ωn 关系曲线）

D：阻尼系数，表示单位时间内能量消耗率之一半。

φ-ω/ωn 关系曲线表明：

ω<ωn D大—φ大；

ω=ωn φ与D无关；

ω>ωn D大—φ小或D小—φ大。

做平衡时：

重型机组D大（一般设计为16），φ取小点；

轻型机组D小，φ取小点。

注：

D是状态参数，是一个变量，将系统阻尼D作为非线性影响因素之一分析考虑，就不难解释影响系数对同一台机组都不能通用，更不用说对同型机组通用的原因。

八、力平衡、旋转矢量

平面汇交力系：各力作用线位于同一平面，且汇交于一点。

平面汇交力系平衡的几何条件：力之多边形成闭合ΣF=0，或闭合积分为0。力平衡：

按平面汇交力系力平衡条件建立的微分方程式——惯性力（Mω2x）、弹性恢复力（kx）、阻尼力（cωx）与由于偏心矩的存在而产生的不平衡离心力（F= Me ω2）相平衡，即、稳定振动系统的力平衡条件，否则就是一个发散系统。

旋转矢量：

位移、速度、加速度的图形表示 x ω2x

ωx

(1)ω < ω

1

2= x * k/M

∵ xω2 < x ω

1

∴ Mω2x < xk

2x Kx F

Cω

Mω2x

(2) ω = ω

1

2x

∵ Mω2x = Mω

1

2x = Mx*k/M = Mω2x

∴ Kx = Mω

1

F Kx F

Cωx

ω2x Mωx

(3) ω > ω1

显然 M ω2x > kx = M ω12x

F

Kx

M ω2M ω2

八、阻力特性（阻力对振动的影响）

A =

e

ω2

ω12 [ ( 1-

ω2

)2 + 4 D 2

ω2 ]1/2

ω12

ω14

β=

1 [ ( 1-

ω2 )2 + 4 r c 2

ω2 ]1/2

ω12

ω12

r c ：相对阻尼系数。 式中： D 2 = r c 2ω12

微分方程特解：x = A COS (ωt - φ) x =βA 0 COS (ωt - φ)

β: 振动过程中的振幅放大系数（β=A/A 0）。

A 0 = e

ω2

=

Me ω2

ω12

k

A

：转轴在偏心离心力F= Meω2作用下的静挠度。

分析β得知：ω/ω

1

很小时，β→ 1；

ω/ω

1

很大时，β→ 0；

ω/ω

1

→ 1时，β↑↑，此时阻尼对β的影响很大，随着

r

c

→0，β→∞。

β

ω/ω

n

阻尼特性：

（1）ω << ω

1 和ω>>ω

1

时，阻尼对振动的影响都很小。共振时，阻尼对振

动的影响很大，系统阻尼降低，在过监界转速时转子振动将迅猛增大。

（2）β=A/A

0 = A/（eω2/ω

1

2）表示动、静挠度之比。

（3）当干扰力与ω2成正比增大时，转子发生最大振幅所对应的共振转速ω

K

高于转子系统固有频率所对应的共振转速ω

1

，而且在阻尼较大时，此高出的数值就较大。

推导：

β d = A/e =

ω2

ω12

[ ( 1-

ω2

)2 + 4r

c

2

ω2

]1/2

ω12ω12

βd= βω2/ω12表示对应于ω/ω1的情况下，作阻尼振动的转子系统，在偏心力作用下，其最大振幅与原中偏心矩之比。

将β

d 对ω/ω

1

求导，当其导数等于0时，β

d

达最大值，此时所对应的转

速就是共振转速：

ω

K =ω

1

/ √1-2 r c2 >ω1

（4）当干扰力与ω无关时，转子发生最大振幅所对应的共振振转速ω

K

低于

转子系统固有频率所对应的共振转速ω

1

，而且阻尼较大时，此降低的数值就较大。

同理：

将β对ω/ω

1

求导，当其导数等于0时，β达最大值，此时所对应的转速就是共振转速。

ωK =ω1 √1-2 r c2< ω1

概念：

转子上偏心离心力随ω的增大，其对β

d

的影响程度，远远超过阻尼项的

影响（r

c =D/ω

1

<< 1，ω/ω

1

>> r

c

ω/ω

1

）；从βd = βω2/ω12的关系式可

以看出，转子共振转速向高值处偏移，不是由于阻尼引起的，而是由于干扰力随ω2而变化所引起的。

九、振型曲线、主振型、正交性

多自由度转子振动的微分方程式：

两端铰支的等直径光轴，其横截面积为F，截面积惯性矩为I，轴的材料比重为r，单位长度轴的质量为m = F(r/g),轴的跨度为L，当轴以ω

i

作横向振动时，单位长度上均布的弹性恢复力为：

式中: y是轴的横向挠度；

x是轴的轴向坐标；

原点取在支座的一边。

当轴的旋转角速度与轴横向振动的圆频率相同时，转轴上单位长度的惯性力是：

m yω

i 2 = F(r/g) yω

i

2

q = EI d4 y dx4

而且弹性恢复力和惯性力应相等，得到：

= m y ωi 2 = F(r/g) y ωi 2

设：

则得到等直径横向弯曲振动的微分方程式：

d 4 y - K i 4 y = 0

dx 4

该微分方程的特解：

y = c 1sink i x+c 2cosk i x+c 3shk i x+c 4chk i x

其中c 1、c 2、c 3、c 4是积分常数，由边界条件所决定。因为讨论的是两

端铰支的等截面轴，因此，有：

在x = 0 处 y = 0 ,

在x = L 处 y = 0 , 得到：c 2 = c 3 = c 4 = 0 c 1sink i x = 0

如若 c 1 = 0 ，则在任何ωi 时，任何x 处，y = 0 ，即轴没有振动。这

q = EI

d 4

y dx 4

K i 4

=

r F ωi 2

gEI

d 2 y

= 0

dx 2 d 2 y

= 0

dx 2

不符合所讨论的条件。因此，c 1≠ 0 ；只有 sink i L = 0 ，于是有：

k i L = n π( n = 1、2、3………n )

从

解得：

式中：

m 1：转轴单位长度的质量； E ： 转轴材料的弹性模量； L ： 轴的跨度；

I ： 轴的截面惯性矩 I=πd 4

/64 实心轴； I =π（d 4

- d 04

）/64 空心轴。

d: 轴的外直径； d 0：轴的内孔直径。 均布质量等截面轴振动时的弹性曲线数学表达式：

y i = c 1sin(xn π/L)

K i 4 =

r F ωi 2 gEI

ωi 2

=

EI （n π/L ）4

m 1

ωi =

（n π/L ）2 * (EI /m 1)1/2

振型曲线、主振型：

（1）轴有n个临界转速。当n=1时，是第一阶临界转速；当n=2时，是第二阶临界转速；…………依次类推。

（2）对应于各个n值，轴振动时有各不相同的形状（振型）。当n=1时，在ω

≤ω

1

之内，y1= c1sin(xπ/L)，轴的振型曲线是半波正弦曲线；当

n=2时，在ω

1<ω<ω

2

之内，y2= c1sin(2xπ/L)，轴的振型曲线是全

波正弦曲线……依此类推，在第每一个临界转速时，各对应着不同的振

型曲线，叫主振型。对于n阶主振型，有n个半波，有n-1个节点（y=0

的点叫节点）。

正交性：

各主振型的形状只取决于系统本身各部分的参数，而与外界条件无关。主振型和固有频率是系统的固有特性，各不同n值所对应的振型函数y i、y i+1是一些正交函数，即、两个主振型之间是独立的，互不相关，更不相交。因此，第一阶主振型挠曲而引起的惯性力对第二阶主振型的振幅没有影响，反之亦然。

y2 y1

△y3△