人教版数学八年级上册 【几何模型三角形轴对称】试卷测试卷附答案

人教版数学八年级上册【几何模型三角形轴对称】试卷测试卷附答案

一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连结AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．

（1）求证：△DCE为等腰三角形；

（2）若∠CDE＝22.5°，DC＝2，求GH的长；

（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（22

；（3）CE＝2GH，理由见解析.

【解析】【分析】

（1）根据题意可得∠CBD＝1

2

∠ABC＝

1

2

∠ACB，，由BD=DE，可得∠DBC＝∠E＝

1 2∠ACB，根据三角形的外角性质可得∠CDE＝

1

2

∠ACB＝∠E，可证△DCE为等腰三角

形；

（2）根据题意可得CH=DH=1，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得BG=GC，2+1，即可求GH的值；

（3）CE=2GH，根据等腰三角形的性可得BG=GC，BH=HE，可得GH＝GC﹣HC＝GC﹣

（HE﹣CE）＝1

2

BC﹣

1

2

BE+CE＝

1

2

CE，即CE=2GH

【详解】

证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD＝1

2

∠ABC＝

1

2

∠ACB，

∵BD＝DE，

∴∠DBC＝∠E＝1

2

∠ACB，

∵∠ACB＝∠E+∠CDE，

∴∠CDE＝1

2

∠ACB＝∠E，

∴CD＝CE，

∴△DCE是等腰三角形

（2）

∵∠CDE＝22.5°，CD＝CE2，

∴∠DCH＝45°，且DH⊥BC，

∴∠HDC＝∠DCH＝45°

∴DH＝CH，

∵DH2+CH2＝DC2＝2，

∴DH＝CH＝1，

∵∠ABC＝∠DCH＝45°

∴△ABC是等腰直角三角形，

又∵点G是BC中点

∴AG⊥BC，AG＝GC＝BG，

∵BD＝DE，DH⊥BC

∴BH＝HE2+1

∵BH＝BG+GH＝CG+GH＝CH+GH+GH2+1∴1+2GH2+1

∴GH＝

2 2

（3）CE＝2GH

理由如下：∵AB＝CA，点G是BC的中点，∴BG＝GC，

∵BD＝DE，DH⊥BC，

∴BH＝HE，

∵GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝1

2

BC﹣

1

2

BE+CE＝

1

2

CE，

∴CE＝2GH

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.

2．如图，在△ABC 中，AB=BC=AC=20 cm ．动点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点P ，点Q 的速度都是2 cm/s ，当点P 第一次到达B 点时，P ，Q 两点同时停止运动．设点P 的运动时间为t （s ）．

（1）∠A=______度；

（2）当0＜t ＜10，且△APQ 为直角三角形时，求t 的值； （3）当△APQ 为等边三角形时，直接写出t 的值． 【答案】（1）60；（2）103或203

；（3）5或20 【解析】 【分析】

(1)根据等边三角形的性质即可解答；

（2）需分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况进行解答；

（3）需分以下两种情况进行解答：①由∠A=60°，则当AQ=AP 时，△APQ 为等边三角形；②当P 于B 重合，Q 与C 重合时，△APQ 为等边三角形. 【详解】 解：（1）60°． （2）∵∠A=60°，

当∠APQ=90°时，∠AQP=90°－60°=30°． ∴QA=2PA ． 即2022 2.t t -=? 解得 10

.3

t =

当∠AQP=90°时，∠APQ=90°－60°=30°． ∴PA=2QA ． 即2(202)2.t t -= 解得 20.3

t =

∴当0＜t ＜10，且△APQ 为直角三角形时，t 的值为102033

或． （3）①由题意得：AP=2t ，AQ=20-2t ∵∠A=60°

∴当AQ=AP 时，△APQ 为等边三角形 ∴2t=20-2t ，解得t=5

②当P于B重合，Q与C重合，则所用时间为：4÷2=20

综上，当△APQ为等边三角形时，t=5或20．

【点睛】

本题考查了等边三角形和直角三角形的判定以及动点问题，解答的关键在于正确的分类讨论以及对所学知识的灵活应用.

3．如图，在ABC

△中，已知AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC

=，延长BE

交AC于点F，求证：AF EF

=．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

延长AD到点G，使得AD DG

=，连接BG，结合D是BC的中点，易证△ADC和

△GDB全等，利用全等三角形性质以及等量代换，得到△AEF中的两个角相等，再根据等角对等边证得AE=EF.

【详解】

如图，延长AD到点G，延长AD到点G，使得AD DG

=，连接BG．

∵AD是BC边上的中线，

∴DC DB

=．

在ADC和GDB

△中，

AD DG

ADC GDB

DC DB

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

（对顶角相等），

∴ADC ≌GDB △（SAS ）． ∴CAD G ∠=∠，BG AC =． 又BE AC =， ∴BE BG =． ∴BED G ∠=∠． ∵BED AEF ∠=∠

∴AEF CAD ∠=∠，即AEF FAE ∠=∠ ∴AF EF =． 【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解答本题的关键.

4．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点. (1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ?，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标；

(2)如图2，若点A 的坐标为()

23,0-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以

B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ?.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不

变时，整式2253m n +-的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；

(3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ?，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.

【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为3-3）EN=1

2

(EM-ON)，证明见详解. 【解析】 【分析】

（1）作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ?，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标；

（2）作DP ⊥OB 于点P ，可以证明AOB BPD ?，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定

值，从而可以求出结论2253m n +-的值不变为3-. （3）作BH ⊥EB 于点B ，由条件可以得出

∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ?，则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=1

2

(EM-ON). 【详解】

（1）如图（1）作CQ ⊥OA 于Q,

∴∠AQC=90°

, ∵ABC △为等腰直角三角形， ∴AC=AB,∠CAB=90°, ∴∠QAC+∠OAB=90°, ∵∠QAC+∠ACQ=90°, ∴∠ACQ=∠BAO,

又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB, ∴AQC BOA ?(AAS), ∴CQ=AO,AQ=BO, ∵OA=2,OB=4, ∴CQ=2,AQ=4, ∴OQ=6, ∴C(-6,-2).

(2)如图（2）作DP ⊥OB 于点P ,

∴∠BPD=90°,

∵ABD △是等腰直角三角形， ∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°, ∵∠OBD+∠BDP=90°, ∴∠ABO=∠BDP ,

又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°, ∴AOB BPD ? ∴AO=BP ,

∵BP=OB -PO=m-(-n)=m+n, ∵A ()

23,0-, ∴OA=23, ∴m+n=23,

∴当点B 沿y 轴负半轴向下运动时，AO=BP=m+n=23, ∴整式2253m n +-的值不变为3-. （3）()1

2

EN EM ON =

- 证明：如图（3）所示，在ME 上取一点G 使得MG=ON,连接BG 并延长，交x 轴于H.

∵OBM 为等边三角形，

∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°, ∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°, ∵OE=OB, ∴OE=OM=BM, ∴∠3=∠EMO=15°, ∴∠BEM=30°,∠BME=45°, ∵OF⊥EB, ∴∠EOF=∠BME, ∴ENO BGM ?, ∴BG=EN, ∵ON=MG, ∴∠2=∠3, ∴∠2=15°, ∴∠EBG=90°,

∴BG=1

2 EG,

∴EN=1

2 EG,

∵EG=EM-GM,

∴EN=1

2

(EM-GM),

∴EN=1

2

(EM-ON).

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角与内角的关系，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理的运用.

5．（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）

（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．

【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－3

4

∠C或∠ABC＝3∠C

或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．

【解析】

试题分析：（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．

（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．

试题解析：(1)如图①②(共有2种不同的分割法)．

(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D.在△DBC中，

①若∠C是顶角，如图，则∠CBD＝∠CDB＝90°－1

2

x，∠A＝180°－x－y.

故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋1

2

x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，

即180°－x－y＝y－

1

90

2

x

??

-

???

，

∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－3

4

∠C.

②若∠C是底角，

第一种情况：如图，当DB＝DC时，∠DB C＝x.在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x.

若AB＝AD，则2x＝y－x，此时有y＝3x，

∴∠ABC＝3∠C.

若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C.

若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．

第二种情况：如图，

当BD ＝BC 时，∠BDC ＝x ，∠ADB ＝180°－x ＞90°，此时只能有AD ＝BD ，∴∠A ＝∠ABD ＝

12∠BDC ＝1

2

∠C ＜∠C ，这与题设∠C 是最小角矛盾． ∴当∠C 是底角时，BD ＝BC 不成立．

综上所述，∠ABC 与∠C 之间的关系是∠ABC＝135°－

3

4

∠C 或∠ABC＝3∠C 或∠ABC＝180°－3∠C 或∠ABC＝90°，∠C 是小于45°的任意锐角．

点睛：本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题．

6．（1）问题发现．

如图1，ACB ?和DCE ?均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．

①求证：ADC BEC ??≌． ②求AEB ∠的度数．

③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________． （2）拓展探究．

如图2，ACB ?和DCE ?均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=?，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ?中DE 边上的高，连接BE ．

①请判断AEB ∠的度数为____________．

②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明） 【答案】（1）①详见解析；②60°；③AD BE =；（2）①90°；②2AE BE CM =+ 【解析】 【分析】

（1）易证∠ACD ＝∠BCE ，即可求证△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可求得AD ＝BE ，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小；

（2）易证△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC ＝∠BEC ，进而可以求得∠AEB ＝90°，即可求得DM ＝ME ＝CM ，即可解题． 【详解】

解：（1）①证明：∵ACB ?和DCE ?均为等边三角形， ∴AC CB =，CD CE =，

又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=?， ∴ACD ECB ∠=∠， ∴()ADC BEC SAS ??≌． ②∵CDE ?为等边三角形， ∴60CDE ∠=?．

∵点A 、D 、E 在同一直线上， ∴180120ADC CDE ∠=?-∠=?， 又∵ADC BEC ??≌， ∴120ADC BEC ∠=∠=?， ∴1206060AEB ∠=?-?=?． ③AD BE =

ADC BEC ??≌， ∴AD BE =． 故填：AD BE =；

（2）①∵ACB ?和DCE ?均为等腰直角三角形， ∴AC CB =，CD CE =， 又∵90ACB DCE ∠=∠=?，

∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠， ∴ACD ECB ∠=∠， 在ACD ?和BCE ?中，

AC CB ACD ECB CD CE =??

∠=∠??=?

， ∴E ACD BC ??≌，

∴

ADC BEC ∠∠=．

∵点A 、D 、E 在同一直线上，

∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=?-∠=?-?=?， ∴1351354590AEB CED ∠=?-∠=?-?=?． ②∵CDA CEB ??≌， ∴

BE AD =．

∵CD CE =，CM DE ⊥，

∴DM ME =． 又∵90DCE ∠=?， ∴2DE CM =，

∴2AE AD DE BE CM =+=+． 故填：①90°；②2AE BE CM =+． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD ≌△BCE 是解题的关键．

7．已知如图1，在ABC ?中，AC BC =，90ACB ∠=，点D 是AB 的中点，点E 是

AB 边上一点，直线BF 垂直于直线CE 于点F ，交CD 于点G . （1）求证：AE CG =.

（2）如图2，直线AH 垂直于直线CE ，垂足为点H ，交CD 的延长线于点M ，求证：

BE CM =.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】

（1）首先根据点D 是AB 中点，∠ACB =90°，可得出∠ACD =∠BCD =45°，判断出△AEC ≌△CGB ，即可得出AE =CG ；

（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，

∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．

【详解】

（1）∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG．

又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°．

又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG．

在△AEC和△CGB中，∵

CAE BCG

AC BC

ACE CBG

∠=∠

?

?

=

?

?∠=∠

?

，∴△AEC≌△CGB（ASA），∴AE=CG；

（2）∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，

∴∠CMA=∠BEC．

在△BCE和△CAM中，

BEC CMA

ACM CBE

BC AC

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE=CM．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

8．如图，在平面直角坐标系中，点B坐标为()

6,0

-，点A是y轴正半轴上一点，且10

AB=，点P是x轴上位于点B右侧的一个动点，设点P的坐标为()0

m,.

（1）点A的坐标为___________；

（2）当ABP

△是等腰三角形时，求P点的坐标；

（3）如图2，过点P作PE AB

⊥交线段AB于点E，连接OE，若点A关于直线OE的对称点为A'，当点A'恰好落在直线PE上时，BE=_____________.（直接写出答案）【答案】（1）()

0,8；（2）()

4,0或()

6,0或

7

,0

3

??

?

??

；（3）

42

5

【解析】

【分析】

（1）根据勾股定理可以求出AO 的长，则可得出A 的坐标； （2）分三种情况讨论等腰三角形的情况，得出点P 的坐标； （3）根据PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，得到EAG

OPG ，利用点A ，A '关于直线

OE 对称点，根据对称性，可证

'

OPG EAO ，可得'

8OP OA ，82AP

，

设BE x =，则有6AE x ，根据勾股定理，有：2222

2BP BE EP AP AE

解之即可． 【详解】

解：（1）∵点B 坐标为6,0，点A 是y 轴正半轴上一点，且10AB =，

∴ABO 是直角三角形，根据勾股定理有：

2

2

2

2

1068AO

AB BO ，

∴点A 的坐标为()0,8； （2）∵ABP △是等腰三角形， 当BP

AB 时，如图一所示：

∴106

4OP BP BO ，

∴P 点的坐标是()4,0； 当AP AB =时，如图二所示：

∴6OP BO

∴P 点的坐标是()6,0； 当AP BP =时，如图三所示：

设OP x =，则有6AP x

∴根据勾股定理有：222OP AO AP += 即：2

2

2

86

x x

解之得：73

x =

∴P 点的坐标是

7

,03

； （3）当ABP △是钝角三角形时，点A '不存在； 当ABP △是锐角三角形时，如图四示：

连接'OA ， ∵PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，

∴AEG △和GOP 是直角三角形，EGA

OGP

∴

EAG

OPG ，

∵点A ，A '关于直线OE 对称点， 根据对称性，有'

8OA OA ，'EA

EA

∴'

FAO FAO

，'

FAE FAE

∴'

EAG

EAO

则有：'

OPG EAO

∴

'

AOP 是等腰三角形，则有'8OP OA ，

∴2222

8882AP

AO OP ，

设BE x =，则有6AE x ，

根据勾股定理，有：

22

2

2

2BP BE EP AP AE

即：2

2

2

2

68

82

10

x x

解之得：42

5

BE x

【点睛】

本题考查了三角形的综合问题，涉及的知识点有：解方程，等腰三角形的判定与性质，对称等知识点，能分类讨论，熟练运用各性质定理，是解题的关键．

9．如图所示，已知ABC ?中，10AB AC BC ===厘米，M 、N 分别从点A 、点B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度是1厘米/秒的速度，点N 的速度是2厘米/秒，当点N 第一次到达B 点时，M 、N 同时停止运动. （1）M 、N 同时运动几秒后，M 、N 两点重合？ （2）M 、N 同时运动几秒后，可得等边三角形AMN ?？

（3）M 、N 在BC 边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰AMN ?，如果存在，请

求出此时M 、N 运动的时间？

【答案】（1）10；（2）点M 、N 运动

10

3

秒后，可得到等边三角形AMN ?；（3）当点M 、N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰AMN ?，此时M 、N 运动的时间为40

3

秒． 【解析】 【分析】

（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合,1102x x ?+=；（2）设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形AMN ?，如图①，

1AM t t =?=,102AN AB BN t =-=-根据等边三角形性质得102t t =-；（3）如图

②，假设AMN ?是等腰三角形，根据等腰三角形性质证ACB ?是等边三角形，再证

ACM ?≌ABN ?（AAS ），得CM BN =，设当点M 、N 在BC 边上运动时，M 、

N 运动的时间y 秒时，AMN ?是等腰三角形，故10CM y =-，302NB y =-，由

CM NB =，得10302y y -=-；

【详解】

解：（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合,

1102x x ?+=

解得：10x =

（2）设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形AMN ?，如图①

1AM t t =?=,102AN AB BN t =-=-

∵三角形AMN ?是等边三角形 ∴102t t =- 解得103

t =

∴点M 、N 运动

10

3

秒后，可得到等边三角形AMN ?. （3）当点M 、N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形， 由（1）知10秒时M 、N 两点重合，恰好在C 处， 如图②，假设AMN ?是等腰三角形， ∴AN AM =，

∴AMN ANM

∠=∠，

∴AMC ANB

∠=∠，

∵AB BC AC

==，

∴ACB

?是等边三角形，

∴C B

∠=∠，

在ACM

?和ABN

?中，

∵

AC AB

C B

AMC ANB

=

?

?

∠=∠

?

?∠=∠

?

，

∴ACM

?≌ABN

?（AAS），

∴CM BN

=，

设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，AMN

?是等腰三角形，∴10

CM y

=-，302

NB y

=-，CM NB

=，

10302

y y

-=-

解得：

40

3

y=，故假设成立.

∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰AMN

?，此时M、N

运动的时间为

40

3

秒．

【点睛】

考核知识点：等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质.理解等腰三角形的判定和性质,把问题转化为方程问题是关键.

10．已知ABC为等边三角形，E为射线AC上一点，D为射线CB上一点，AD DE

=.（1）如图1，当点E在AC的延长线上且CD CE

=时，AD是ABC的中线吗？请说明理由；

（2）如图2，当点E在AC的延长线上时，写出,,

AB BD AE之间的数量关系，请说明理由；

（3）如图3，当点D在线段CB的延长线上，点E在线段AC上时，请直接写出

,,

AB BD AE的数量关系.

+=，理由详见【答案】（1）AD是ABC的中线，理由详见解析；（2）AB BD AE

=+.

解析；（3）AB AE BD

【解析】

【分析】

（1）利用△ABC是等边三角形及CD=CE可得∠CDE=∠E=30°，利用AD=DE，证明

∠CAD=∠E =30°，即可解决问题．

（2）在AB上取BH=BD，连接DH，证明AHD≌△DCE得出DH=CE，得出AE=AB+BD，（3）在AB上取AF=AE，连接DF，利用△AFD≌△EFD得出角的关系，得出△BDF是等腰三角形，根据边的关系得出结论AB=BD+AE．

【详解】

（1）解：如图1，结论：AD是△ABC的中线．理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，

∵CD=CE，

∴∠CDE=∠E，

∵∠ACD=∠CDE+∠E=60°，

∴∠E=30°，

∵DA=DE，

∴∠DAC=∠E=30°，

∵∠BAC=60°，

∴∠DAB=∠CAD，

∵AB=AC，

∴BD=DC，

∴AD是△ABC的中线．

（2）结论：AB+BD=AE，理由如下：

如图2，在AB上取BH=BD，连接DH，

∵BH=BD ，∠B=60°，

∴△BDH 为等边三角形，AB-BH=BC-BD ， ∴∠BHD=60°，BD=DH ，AH=DC ， ∵AD=DE ， ∴∠E=∠CAD ，

∴∠BAC-∠CAD=∠ACB-∠E ∴∠BAD=∠CDE ， ∵∠BHD=60°，∠ACB=60°， ∴180°-∠BHD=180°-∠ACB, ∴∠AHD=∠DCE ， ∴在△AHD 和△DCE ，

BAD CDE AHD DCE AD DE ∠=∠??

∠=∠??=?

∴△AHD ≌△DCE （AAS ）， ∴DH=CE ， ∴BD=CE ，

∴AE=AC+CE=AB+BD ．

（3）结论：AB=BD+AE ，理由如下： 如图3，在AB 上取AF=AE ，连接

DF ，

∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC=∠ABC=60°， ∴△AFE 是等边三角形， ∴∠FAE=∠FEA=∠AFE=60°， ∴EF ∥BC ， ∴∠EDB=∠DEF ， ∵AD=DE ，