高等数学知识点整理

极限与函数

1、数列极限

重点：

ε-δ语言，cauchy收敛原理，收敛与绝对收敛，数列极限的性质

1）数列极限的性质：

1、有界性：收敛数列必有界

2、保序性：

3、保不等式性

4、保号性

5、夹逼原理

习题：

提示：利用不等式性质来寻求上图中不等式右边的上界。

6、单调有界定理

这是数列极限的基本考察点

这道证明题旨在考察大家对单调有界定理以及柯西极限存在准则的熟练掌握程度，思考证明方法的过程中，对于题目中给出具体式子的情况，应首先考虑基本定义和基本定理。

函数极限

重点：

函数极限概念（ε-N语言），函数极限的性质（唯一性、局部有界性，局部保号性，迫敛性），函数极限存在的条件，函数与数列极限的关系（Heine定理），两个重要的函数极限，Cauchy收敛原理，无穷小量与无穷大量，曲线的渐近线。

难点：

1）函数极限存在的条件：归结原则，柯西准则

重点掌握并学会运用当时，归结原则和柯西准则的否定正面叙述。

2）两个重要的函数极限：

常见题型：

这道极限题是乍一看有点复杂，但基本上这种内部比较整齐，有带x的幂次方的函数求极限，可以先尝试做基本变形看看能否运用两个重要极限，从而剥去复杂的一层。

而这道题，在做了基本变形之后，我们发现是很容易的：

常见方法：利用上面两个极限和函数极限的符合运算法则，可以得到下面几个常用的极限：

3）无穷小量与无穷大量

常见题型:

常见方法：

等价的无穷小量在极限的讨论中占有重要的地位

在此要注意运用等价无穷小量的时候，要将式子转化为乘除，加减不能直接使用等价无穷小量。

4）曲线的渐近线

利用极限，曲线的渐近线得以严格定义：若曲线上的动点沿着曲线无限远离原点时，动点与某定直线的距离趋于0，则这条定直线称为该曲线的渐近线.

求曲线的渐近线是基本送分题，主要考察函数极限，但应注意的是，渐近线分为斜渐近线和垂直渐近线，在拿到题目的时候应首先仔细看题，如果题目没有指明，就要从两个方面求函数极限。

习题：

答案是：y=2x+ln3

函数连续性

基本内容：ε-δ语言，左右连续，间断点，等价无穷小量，连续函数的性质。

1）间断点

2）连续函数的性质

函数的连续性是函数的基本特性，无处不在，常考题型具体考察间断点个数：

此题通过作图即可得到；对于间断点的种类，希望大家留心它们的区别，后期学习可能会用到部分间断点的某些特性。

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导数与微分

基本内容：导数定义、初等函数导数、求导四则运算、复合函数求导法则、隐函数求导、参数方程求导、高阶求导、莱布尼兹公式

重点：可导性、初等函数求导公式、复合函数求导法则

常见题型：

1、对给定函数求导

方法与技巧：熟练掌握初等函数导数以及导数运算法则

2求给定曲线方程某点处切线方程

例如以下第4小题：

3、可导性判断

习题：

解法：对于这类绝对值函数的可导性判断，首先要去掉绝对值，将分段函数写清楚，再进行分段求导，除了每部分的不可导点外，要留心间断点的可导性，判断某点的可导性通常看左右导数是否相等，该题中在3处左右导数相等，在0处不相等，且在其余点处明显可导，因此，答案：A

方法及技巧：

1）由导数定义判断某一点是否可导；

2）由连续函数必可导得出函数可导；

3）计算某一点左、右单侧函数值是否相等判断可导性。

4、复合函数求导

一般复合函数求导是比较容易的，熟练掌握链式求导法则是求对导数的关键。在真正求导过程中，不同的方法计算量的大小是不一样的，对形同

这样的带指数幂求导虽然有些复杂，但方法是比较固定的：

5、由导数定义求导

习题：

6、隐函数求导

习题：

方法及技巧：

对某一变量求导时将其余的变量当作常量，依次对每一个变量求导7、参数方程求导

习题：

方法及技巧：掌握参数方程求导公式及理解高次求导含义

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微分中值定理及应用

基本内容：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒公式，极值，拐点，函数单调性

1、函数单调性，极值与凸性拐点

常见题型：求实际问题极值，不等式证明

方法与技巧：

通过导数来得到函数的单调性和极值是从我们高中就接触的，通过第一二三充分条件即可判断极值；不等式证明常常和函数单调性联系，在稍有难度的不等式证明中会用到变形和詹森不等式等等

例如相关题目：

这是一道常规题，即求解函数一二阶导数，判断导数零点和左右符号即可得到。此处需要注意的是，拐点并不只是二阶导为0的点，（x1,f(x1)）为拐点的必要条件是二阶导为0；拐点两侧分别是严格凸与严格凹的，即拐点是凸函数和凹函数的分界点，因此需要进一步判断该点二阶导两侧符号情况才可确定。

这同样是一道极值题，实际应用求解极值题一般是比较简单，只要找到简单的函数关系，就直接成为函数求极值的简单问题。

这是一个不等式证明问题，放眼看去该不等式包含函数是一些简单初等函数，因此首先可以尝试最常用的方法——移项求导找极值。

不等式的证明问题是一个难点，证明不等式过程的一些常用技巧：

下面给大家一道习题，大家可以自行练习：

泰勒公式

泰勒公式作为一种方法的使用面很广，因为这种神奇的工具可以将一些看起来比较复杂的函数组合变成幂函数的形式，从而让我们很清楚地发现很多突破点，可以用于解复杂极限，用于做近似计算，在一些证明题中也颇有奇效。

我们以前面已经出现过的第二大题中的第4小题为例，用泰勒公式进行计算：

应用中值定理进行证明

常见方法：构造辅助函数

选择题第8题就是中值定理的一个小练习：