中考研讨会上发言稿

中考复习中解题教学的我思我想

各位领导，各位专家，各位老师，大家好，今天有幸被万老师安排在中考研讨会上发言，感觉非常有压力，接到这个任务的半天之内，脑子里都是一片空白，万老师给我的题目是如何进行中考数学总复习，个人感觉这个题目太大，一下难以找到方向，其实我和大多数老师复习的方式都差不多，无非都是三个阶段，第一阶段以教材为载体，全面系统地回顾知识，夯实基础；第二阶段以专题为载体，积极深入地掌握方法，积累解题经验；第三阶段以模拟为重点，综合运用方法与技巧，提高实战能力。以上三个阶段复习，前一阶段是后一阶段的基础，后一阶段是前一阶段的提升。在我们学校的初三备课组中，我们强调第一阶段慢跑热身，第二阶段加速追赶，第三阶段全力冲刺，但由于本学期时间较短，我调整了自己二个班的教学，按照三管齐下、三个阶段互相渗透的方式，首先，在课堂上，每节课照旧复习要点、概念、公式和定理，课后针对全班布置定量的基础题，做完后要求同学们自己批改，将问题进行标注，第二天课上直接讲评学生提出的问题，争取提高课堂效率；其次，在课外全班同学按自愿原则加入四档，每周做压轴题的数量依次为4题、3题、2题、1题，周一布置，周五发答案，自己参照批改，不懂的利用课间时间与他人讨论，下周一检查，结果通报到家长群里；最后，每周布置学生－套中考试卷，可全做给自己打分，或时间不够的可挑题做，试卷上的难题由本备课组的全体老师拍成视频发到学校校园网上（这一项是针对全年级展开的活动），在我自己班上，我会从同学们每周完成的中考试

卷和寒假已经完成的试卷上抽题，变换形式考试，也是每周一次，并全批全改，在全班讲评.

这几天听了几位专家的的精彩呈现，很是让我坐立不安，自知自己水平不够，不足以在这里向大家传授一些经验做法，所以今天我在这里主要还是想与大家共同探讨在中考复习中如何注重解题的教学，无论在哪一轮复习当中，解题教学在我认为都应该是中考复习中的重要环节，我们老师若能将一个问题或图形从不同的角度进行变换和发散，以学生已有的知识基础和能力水平为立足点，因题而变，循序渐进地促进学生潜在思维水平的发展，使学生的最近发展区得到发展，思维品质得以优化。下面我将从五个方面和各位老师分享一下我的心得，不足之处还请各位老师指正及包涵。

一、年年岁岁花相似，岁岁年年人不同

通俗地讲，就是将某个东西换个外包装，我们先给出一个使全体学生都能解决的问题（母题）之后，变换问题的呈现方式，或依据知识之间的内在联系从不同的知识角度做出转换，或创设不同的知识背景，学生通过对问题的比较和归纳，透过内容、形式和背景，从中感情解题方法的不变性，这样的变换，有利于学生形成知识之间的纵横联系，形成清晰而完整的知识脉络，尤其中复习函数的相关知识时，这种方式我用的比较多。

【例1】已知直线l经过点（2，4），（4，－2），求直线l的解析式，并求当3

x时的函数值y？

=

分析：此题考察待定系数法求一次函数的解析式，10

y，当

=x

3+

-

y

x时，1=

=

3

例1-1：已知三点（2，4）、（3，p）、（4，－2）在同一直线上，

求p 的值？

分析：借助三点共线的背景，继续考察待定系数法，1=p 例1-2：经过点（2，4），（4，－2）的直线l 是否经过点（3，1）？ 分析：同1-1，只是问法不同；

例1-3：已知直线l 经过点（2，4），（4，－2），试在直线3=x 上找 出一点P ，使它满足BP AP +的值最小.

分析：借助两点之间线段最短这个公理，结合待定系数法，可求 出P 点坐标（3，1）

【例2】已知反比例函数x y 4=，A 点为反比例函数上一点，过A 点 向坐标轴作垂线段，与坐标轴所围的矩形的面积为_______

分析：这道例题探讨的是反比例函数的本质特征，对双曲线上任 意一点作x 轴、y 轴的垂线，它们与x 轴、y 轴所围成的矩形面积为常数。这个常数是k 的绝对值。因此答案是4；

例2-1：已知反比例函数x

y 4=，过点A 作y 轴的垂线，垂足为B ， 点P 在x 轴上，则△ABP 的面积为________

分析：△ ABP 根据同底等高的面积关系实际上

会等于△ABO 的面积，即为上题矩形面积的一半，

答案为2；

例2-2：如图，过x 轴正半轴上的任意一点P ，作y 轴的平行线， 分别与反比例函数x y 6-=和x y 4=的图象交于A 、B 两点．若点C 是y 轴上任意一点，连接AC 、BC ，则△ABC 的面积为________ 分析：这道题貌似相比前二道较难，

出现了二个反比例函数，但其实综合考

察了上面二道题的知识点，同底等高型的面积求法，

反比例函数的比例系数k 的本质特征，答案为5；

『反思』：以上两道例题以学生熟知的基本问题入手，

通过变换语言的表述方式或知识背景，形成新的问题，这样让同学们感觉到一种新意，通过一番联想和转化后，感知和“母题”的解法没什么二样，从而产生解题的趣味性，而且也注重了从基础题为出发点，面向全体学生，又通过问题的不断变化，培养了学生的转化意识.

二、横看成岭侧成峰，远近高低各不同

平面几何难学，是很多初中生在学习中的共识，这里面有很多主 观和客观的因素，而学习不得法、没有适当的解题思路则是其中的一个很重要原因。这一方面，我想谈一下两题的图形相同但考查的知识点有别这种情况，学生如果碰到这样的情况，一方面会觉得喜悦之情溢于言表，但是做了一段时间后，发现不对劲，怎么跟以往的回忆对不上了？因此，学生很是苦恼，究其原因，学生只记住了这类图形的某一种方法或结论，而没有将这个图形所蕴含的其他方法或结论更多的揭示出来，当这个图形不再考查这个点时，就显得力不从心了。

【例3】如图，已知△ACB ，∠ACB ＝090，AC ＝BC ，点E 、F 在AB 上，∠ECF ＝045，若△ACB 的面积为24，则AF·BE 的值为（ ） A 24 B 224 C 36 D 48

分析：欲求AF·BE 的值，我们很容易想到从相似入手，

把这二条线段分别置身在两个三角形中，通过相似后对

应线段成比例，而得出线段的乘积，因此通过角度的关系， 易证出△AC F ～△BEC ，从而得出BC

AF BE AC =， 所以482==?=?ACB S BC AC BE AF ?.

例3-1：如图，在已知△ACB ，∠ACB ＝090，AC ＝BC ，点M 、N 在AB 上，∠MCN ＝045，AM ＝3，BN ＝5，则MN ＝________

分析：这道题如果用例3的方法或结论去做的话，

是很难得出结果的。这个时候，我们再次从题目的已

知入手，一个等腰直角三角形，满足旋转的背景，我经

常对我的学生说，在等腰（包括等边）三角形中，旋转是一种常见的图形转换手段，这种方式可以把不相干的线段或角放进同一个三角形中，因此这道题如果用旋转法解答就迎刃而解了。

【例4】如图，AB为⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，连接OD、OC，若OD＝6，OC＝8，求⊙O的半径？

分析：应该说这是一个非常熟悉的图形，基本上中等及中等以

上的同学看到这个图形后都能立刻反应出一个结论，就是O D⊥OC，考察了切线长定理中关于平分角的结论，然后在直角三角形ODC中，利用直角边求出斜边，再根据等积性求出⊙O的半径，答案为4.8.

例4-1：如图，AB为⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，连接OD、OC、AE、BE，得到交点为H、L，试判断四边形OHEL 的形状.

分析：还是同样的一个图形，但问题中的需要得到的结论似乎与例4得到的结论没有什么联系，但仔细分析，深入挖掘一下，这道题依然还是延续了上题的结论，相信同学们根据已有的信息，O D⊥OC，应该会确定四边形OHEL是一个矩形，矩形最直接的证法就是三个角

为直角，因此再次回到已知，考虑三条切线的作用，切线长定理中的切线长相等是这道题的突破，借助等腰三角形三线合一的性质，易证∠OHE ＝∠OLE ＝090，从而可得到结论.

例4-2：如图，AB 为⊙O 的直径，E 为半圆上任意一点（异于A 、B 两点），过点E 作半圆O 的切线交过A 、B 两点的切线于D 、C ，连接AC 、BD 交于点P ，连接PE ，下列三个结论正确的是__________ ①ED 与CE 的乘积是个定值.

②四边形APED 为梯形.

③EA 平分∠DEP.

分析：这道变式题的第①个结论对于数学成绩优秀的同学来说不难判断，而第②和第③个结论就难了，而事实上我们发现②③二个结论是共同存亡的关系，如果能证到②，根据平等内错角相等和切线长相等得出的等腰，易证到③，所以这道题的关键是如何能证到②，证到APED 为梯形的关键就是要说明P E ∥AD ，这里证明平行用的是平行线分线段成比例定理的逆定理或者说是用相似来证，这也是比较冷门的方法，不要说学生，老师也是不容易想到的。根据图上的X 型相似和切线长相等，可得到DC

DE BC AD BP DP ==，从而得出P P E ∥AD. 『反思』例3和例4及变式体现的是虽然图形是相同的，有的考查了二种不同的知识点，比如例3，相似形和旋转，有的则考察了不同的结论，通过这样的对比训练，学生既掌握了处理这类图形的多种信息，又锻炼了思维的灵活性.同时我们也应引导学生对几何图形承载的其他隐性结论进行挖掘和延伸，使学生从不同的角度去认识图形分析图形，从而拓展学生的思维.

三、 人面不知何处去，桃花依旧笑春风

在近几年的中考试题中，还出现了这样一类图形变式题，这类题先

从特殊性的图形切入，后逐步将其推广到一般化的图形，其间，让学生去探究图形变化过程中的结论是否发生变化，这类题的第1问常有解法提示的铺垫，解答者按着解法提示便可解答。这类题的后面几问是第1问的拓展，但万变不离其宗，所以对题中解法提示的领悟是解这类题的前提，类比迁移的思想在此处有体现。

【例5】阅读材料：如图1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）

（1）【理解与应用】

如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为___________．

（2）【类比与推理】

如图3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA交BD于点F，求PE+PF的值?

（3）【拓展与延伸】

如图4，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D 的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=0

30时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

分析：前二问可能会有同学首先反应到用面积的和差来做，而这种方法确实也比较容易，（1）连接OP ，BOP AOP AOB S S S ???+=，即2

222OB PF OA PE OA ?+?=，根据OA ＝OB ，化简等式后可得PE+PF ＝OA ；（2）同理，而AO 为正方形对角线的一半，所以答案为2。但做到第（3）问的时候，我们发现条件一下由“垂直”改为了“平行”，因此前二问可引导同学们能否想另一种与“平行”相关的方法，而平行要得到线段之间的关系，那自然会想到相似，例如（2），因此垂直所以满足平行，可在二个A 字型图形中得到AB AP OB PE =，AB

BP OA PF =，将这二个等式相加，即可得到结论，若用这种方法来完成第（3）问就非常简单了，第（3）问只要算出OA ＝OB ＝2

5即可；第（4）问就本身这个结论而言是依然成立的，但这一问还需要同学们去证出AD ＝BC ，由相切，根据弦切角定理，连接OA 、OD 可得出一个等边，则AD 等于圆的半径4，BC 同理，因此第（4）问的答案为4.

【例6】某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

（1）操作发现：在等腰△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 、AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连结MD 和ME ，则下列结论正确的是_________（填序号即可）．

①AF=AG=21AB ； ②MD=ME ；

③整个图形是轴对称图形；④MD ⊥ME ．

（2）数学思考：在任意△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M 是BC 的中点，连

结MD 和ME ，则MD 与ME 有怎样的关系？请给出证明过程；

（3）类比探究：在任意△ABC 中，仍分别以AB 、AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连结MD 和ME ，试判断△MDE 的形状．

答：________

分析：（1）根据等腰直角三角形三线合一的性质可判断①正确；根据SAS 公理可证得△DB M ≌△ECM ，可判断②③正确；连接FM 、GM ，可得平行四边形AFMG ，且可证得△DFM ≌△EGM ，根据图中所标的数字角与∠FME 的关系，可判断④正确；（2）和（3）分别作出AB 、AC 的中点F 、G ，且连结MF 、MG ，方法同（1）。

『反思』例5与例6都体现出，虽然图形一再地由特殊到一般化，但解题的方法始终没有改变，以静制动（即形变而法不变）是解图形变式问题的辩证思想，类比迁移是个好办法.

四、 春色满园关不住，一枝红杏出墙来

还有一类问题也是同学们经常会碰到的，有些学生习惯于惯性思 维，当思考问题受阻时，有的学生选择了放弃，结果半途而废，有的学生则会及时调整思维，另辟蹊径，在新的尝试中让问题有一线生机，让我们来看一下下面这道例题。

【例7】已知a x =是关于x 的一元二次方程()03122=+--x a x 的两根，求a 的值？

分析：这道题就是直接考察方程的解的概念，许多同学做这类题目肯

定是会直接将a x =代入原方程，得到一个关于a 的一元二次方程，解出方程求出a 即可.

例7-1：若关于x 的一元二次方程()002>≠=ab ,a b ax 的两根为1+k 和

12-k ，求a

b 的值？ 分析：这道题如果同学们还是按照以往的经验，直接将1+k 和12-k 代入原方程，则问题会变得越来越复杂，二个方程四个未知字母，万一还会有直接展开的想法，那更是走向不归之路，因此这道题必须要打破常规思想，我们应该仔细研究一下这二个根有没有什么具体的关系，通过原方程的形式，我们发现用直接开方法解出来的应该是一对相反数，所以可得到1+k 与12-k 的和为0，这样题目的思路就开阔了，求得0=k ，则两根为1±，则12==x a

b .

【例8】已知平行四边形ABCD ，对角线AC 和BD 相交于点O ，点P 在边AD 上，过点P 作PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，PE=PF ．

（1）如图，若PE=3，EO=1，求∠EPF 的度数；

（2）若点P 是AD 的中点，

点F 是DO 的中点，BF=BC+4-23，

求BC 的长．

分析：（1）连接PO ，根据PE ＝PF ，易得出PO 平分∠EOF ，根据特殊角的三角函数值，可求出∠EPF ＝060；（2）在第一问平行四边形的这个前提下，通过三个特殊点P 、E 、F 和继续保持的PE ＝PF ，可感知到ABCD 是一个特殊的平行四边形，由PF 为中位数可知P F ∥AO ，即有AO ⊥OD ，因而菱形ABCD 和矩形PEOF ，再有数量关系PE ＝PF 与PF ＝OF ，判断OA ＝OD ，即AC ＝BD ，因此ABCD 又是一个矩形，最终可证得正方形ABCD ，到此突破了原题给出的一般的平行四边形

的结论定势，终现出其本来面目为正方形，使BF 与BC 的关系一目了然，用方程思想可设BC ＝x ，则可列方程4234

23-+=x x ，解得4=x . 『反思』这二道题如果学生以同样的思路去解，或者仅仅将思维局限于平行四边形中，则必然会出现暂时“短路”的现象，此时解决的办法是只能在原有思路和结论上重新调整思维，进行再尝试，这种变换也就贯穿了传承和创新的思想。

五、 问渠哪得清如许，为有源头活水来

在数学学习的过程中，所积累的知识、经验经过加工，会得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构或重要类型——模式，将其有意识地记忆下来，当遇到一个新问题时，我们可以辨认它属于哪一种基本模式，联想起以前曾经解决过的一个问题，以此为索引，在记忆贮存中提取出相应的方法来加以解决，因此这种“模式识别”也是解决数学问题的一种有效策略，在中考复习的解题教学中，这种方式也是必须的。

【例8】如图，圆柱形玻璃杯高12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm.

联想问题1：底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从A 点爬到B 点，则蚂蚁爬行的最短距离是_______

分析：根据所联想的问题本题解题思路依然是“化体为面”，根据“两点之间，线段最短”进行求解，可是现在题目中的蜂蜜是在玻璃杯的内侧表面上，我们不妨可以这样想：如果在杯子的外表面和内表面各贴上一张和圆柱侧面展开图大小完全一样的纸，不考虑杯子的厚度，这两张纸的大小都应为18×12的长方形，蚂蚁从杯子的外侧爬到内侧也就是从一张纸爬到另一张纸上，于是根据所联想的问题1，我们把杯子的外表面和内表面同时展开，达到“化体为面”的目的，如解答图，利用勾股定理易求AC ＝1512922=+cm.

联想问题2：如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区点A 、B 处提供牛奶，奶站应建立在什么地方，才能使点A 、B 到它的距离之和最短？

分析：这个问题的数学模型结构是，已知直线和直线同侧的两个点，求作点C ，使C 在直线上，且AC+BC 最小，也是我们俗称的“建奶站问题”，根据这个联想，再由刚才的联想问题1，化体为面，得到它的侧面展开图如解答图，则点C 在EF 与HG 的中点连线MN 上，于是BC ＝9182

1HG 21=?=，蚂蚁须从点A 在杯外壁爬到杯口EM 上，再爬到杯内侧点C ，由建奶站问题的解答思路可知，先要作点A 关于直线EF 的对称点D ，然后连接CD ，交EF 于点P ，则蚂蚁从点A 爬到点P ，再从点P 爬到点C ，就是所要求的最短的路程，这一段路程的长度即线段CD 的长度，这时ED ＝EA ＝4，EB ＝12－4＝8，则BD ＝8+4＝12，所以最短距离CD ＝1512922=+cm.

『反思』例8中蕴含的2种初中数学比较有代表性的确定最短路线的

方法：一种是立体图形上两点的最短路线问题；一种是“建奶站问题”，而解决这两类问题最终都利用了“两点之间，线段最短”这一结论，因此在中考复习中，我们老师如果能对典型题目进行深入探究，拓展，挖掘题目的一般性规律，让学生逐渐建立起“模式”意识，在面对复杂的题目的同时，学会联想已经学过的典型题目，从而把复杂、陌生的数学问题转化、分解成简单、熟悉的数学问题，达到顺利解决问题的目的。

其实中考解题教学中问题变换的方式肯定不止这5种，在不同的复习阶段，问题变换的深浅可以不一样，但目标是相同的，都是以学生为主体，在学生的最近发展区内，让学生思维动起来，克服学生的僵化思维，使学生的思维绽放出灵动和独特。以上只是我在平常教学中的几点做法和感悟，其实在座的许多老师都比我想得透彻，比我做得好，讲得不当之处，希望大家给我提出宝贵意见，在这里，祝各位老师在新的一年中考中，能够取得更好的成绩！谢谢聆听！

最后送给各位老师二句话（出自于著名数学教育家波利亚）：

——拿一个有意义而又不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域；

——好问题如同蘑菇，它们都成堆的生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。