中点常见的辅助线(八年级)

中点常见的辅助线

中点经常所在的三角形：

全等三角形

等腰三角形：三线合一

直角三角形：斜边上的中线、

三角形的中位线：

一、一个中点常见的辅助线

（1）利用中点构建全等形：倍长中线至二倍，构建全等三角形

(2)有中点联想直角三角形的斜边上的中线

（3）由中点联想到等腰三角形的“三线合一”

1、在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=2，AC=4，则AD的取值范围是________．

2、已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC．求证：AE平分∠BAC．

3、正方形ABCD中，E为CD的中点，B F⊥AE于F ,连接CF，求证;CF=CB

4．如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，M为BD中点，N为AC中点，求证：MN ⊥AC．

5．如图所示，在△ABC中，∠C=2∠B，点D是BC上一点，AD=5，且AD⊥AB，点E是BD 的中点，AC=6.5，则AB的长度为_________．

6、已知梯形ABCD 中，A D ∥BC,且AD+BC=AB,E 为CD 的中点，连接AE 、BE

求证;(1)AE 平分∠BAD

(2) BE 平分∠ABC

(3)A E ⊥BE

练习：

1、已知正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 平分∠BAF ．求证：AF=BC+CF

6、在△ABC （AB ≠AC ）中，在∠A 的内部任做一条射线，过B 、C 两点做此射线的垂线BE 和CF ，交此射线于E 、F ，M 为BC 的中点，求证：MD=ME ．

等腰直角△ABC 和等腰直角△DCE 如图所示放置，M 为AE 的中点，连接DM 、BM ，（1）求证：BM ∥CE

(2)若AB=a ，DE=2a ，求DM 、BM 的长。

A M

E

D C

B

A

二、两个或多个中点常见的辅助线：

当图中有多个中点时，我们要细致分析图形特点，是否有直角三角形，等腰三角形，等边三角形，有时，要利用中点的性质分析，同时还要考虑中位线，

(一)直接连接中点构建中位线：

1．已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点．

①求证：EF与GH互相平分；

②当四边形ABCD的边满足_________条件时，EF⊥GH．

（二）取三角形一边的中点，构建中位线：

2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，且AC=BD．求证：OM=ON．

（三）添加三角形的第三边，构建中位线：

如图，已知E、F分别为△ABC的边AB、BC的中点，G、H为AC边上的两个三等分点，连EG、FH，且延长后交于点D，

求证：四边形ABCD是平行四边形

四、添加三角形的另一边并取中点，构建中位线：

在四边形ABCD中，E、F、M分别是AB、CD、BD的中点，AD=BC．

求证：∠EFM=∠FEM．

如图，在四边形ABCD中，一组对边AB=CD，另一组对边AD≠BC，分别取AD、BC的中点M、N，连接MN．则AB与MN的关系是（）

A．AB=MN B．AB＞MN C．AB＜MN D．上述三种情况均可能出现

已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．

求证：∠DEN=∠F．

五、条件中无中点时，完善图形得中位线：

如图，△ABC 边长分别为AB=14，BC=16，AC=26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，则PM 的值是_______．

11．如图，自△ABC 顶点A 向∠C 与∠B 的角平分线CE 、BD 作垂线AM 、AN ，垂足分别是M 、N ，已知△ABC 三边长为a 、b 、c ，则MN=_______．

在△ABC 中，∠B=2∠A ，C D ⊥AB 于D ，E 为AB 的中点,求证：DE=2

1BC

多个中点

中点经常所在的三角形：

等腰三角形：三线合一

直角三角形：斜边上的中线、

三角形的中位线：

已知如图：在△ABC 中，AB 、BC 、CA 的中点分别是E 、F 、G ，AD 是高．求证：∠EDG=∠EFG ．

（2015?广东模拟）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

（1）如图1所示在等腰△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 、AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连结MD 和ME ，求证：

①AF=AG =2

1AB ； ②MD=ME ．

（2）在任意△ABC 中，仍分别以AB 、AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图2所示，M 是BC 的中点，连结MD 和ME ，试判断△MDE 的形状．（直接写答案，不需要写证明过程）．

（3）在任意△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连结MD 和ME ，则MD 与ME 有怎样的数量关系？

6、△ABC 中, ∠CAB=120°,分别以AB 、AC 为边分别向外做正△ABD 和△ACE ，M 为AD 的中点，N 为AE 的中点，P 为BC 的中点，

(1)求证：PM=PN

(2)试求∠MPN 的度数

变式一：△ABC 中, ∠CAB=120°,分别以AB 、AC 为边分别向外做等腰直角△ABD 和等腰直角△ACE ，M 为AD 的中点，N 为AE 的中点，P 为BC 的中点， 求证：PM=PN 变式二：△ABC 中, ∠CAB=120°,分别以AB 、AC 为边分别向外做等腰△ABD 和等腰△ACE ，M 为AD 的中点，N 为AE 的中点，P 为BC 的中点， 求证：PM=PN

变式三：△ABC 中, ∠CAB=120°,分别以AB 、AC 为边分别向外做等腰△ABD 和等腰△ACE ，M 为BD 的中点，N 为CE 的中点，P 为BC 的中点， 求证：PM=PN

2．如图，点P 为△ABC 的边BC 的中点，分别以AB ，AC 为斜边作Rt △ABD 和Rt △ACE ，且∠BAD=∠CAE ，求证：PD=PE ．

2．如图，点O 为△ABC 内的一点，OD ⊥AB,OE ⊥AC,∠1=∠2,F 为BC 的中点，链接FD 、FE ，求证：FD=FE ．

A B C D E

M

N P A B C D

E

M N

P A F D

E O

C

B 1 2