对数与对数函数专题
对数与对数函数
1. log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A.0 B.2 C.4 D.6
2. 已知a ＝2－13，b ＝log 21
3，c ＝log 1213
，则( )
A.a >b >c
B.a >c >b
C.c >b >a
D.c >a >b
3. 设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A.a ＋b 4. 已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) A.a >1，c >1 B.a >1，0 C.01 D.0 5. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(－x )＋m ，且f ? ??? ? 12＝2，则m ＝________. 考点一 对数的运算 【例1】 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1 b ＝2，则m 等于( ) A.10 B.10 C.20 D.100 (2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618 log 64＝________. 【训练1】 (1) 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的 星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1 E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知 太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10－10.1 (2) 272 3＋? ?? ? ? 14log2 3 －log 81 4 ＝________. 考点二 对数函数的图象及应用 【例2】 (1) 已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a －x 与函数g (x )＝log b x 的图象可能是( ) (2)已知函数f (x )＝???2x ，x <1，log 2x ，x ≥1， 若方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，则实数 a 的取值范围是________. 【训练2】 (1)若函数f (x )＝log 2(x ＋1)，且a >b >c >0，则f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c 的大小关系是( ) A.f （a ）a >f （b ）b >f （c ） c B. f （c ）c >f （b ）b >f （a ）a C. f （b ）b >f （a ）a >f （c ）c D. f （a ）a >f （c ）c >f （b ）b (2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2 ?? 0，12 考点三 解决与对数函数性质有关的问题 角度1 比较大小 【例3－1】 (1)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＝b B.a ＝b >c C.a D.a >b >c (2) 已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c 角度2 解简单的对数不等式 【例3－2】 (1) 已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为( ) A.(2，＋∞) B.? ???? 0，12∪(2，＋∞) C.? ????0，22∪(2，＋∞) D.(2，＋∞) (2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________. 角度3 对数型函数性质的综合应用 【例3－3】 已知函数f (x )＝log 2? ???? 12x ＋a . (1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值； (2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值范围； (3)若函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围. 【训练3】 (1) 已知a ＝log 3 72，b ＝? ????141 3 ，c ＝log 13 15 ，则a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >a D.c >a >b (2) 设f (x )＝lg ? ???? 21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________. (3) 已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋3(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(m ，n )，且函数g (x )＝mx 2－2bx ＋n 在[1，＋∞)上单调递减，则实数b 的取值范围是________. 【典例】 已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ln x 2＋1 2，对任意a ∈R ，存在b ∈(0，＋∞)， 使f (a )＝g (b )，则b －a 的最小值为( ) A.2e －1 B.e 2－1 2 C.2－ln 2 D.2＋ln 2 【训练】 若存在正数x ，使得2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞) 一、选择题 1.已知函数f (x )＝???2x ，x ≥4， f （x ＋1），x <4，则f (2＋lo g 23)的值为( ) A.24 B.16 C.12 D.8 2. 设a ＝log 35，b ＝1.51.5，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c D.a 3.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的大致图象为( ) 4. 若函数f (x )＝|x |＋x 3，则f (lg 2)＋f ? ????lg 12＋f (lg 5)＋f ? ???? lg 15＝( ) A.2 B.4 C.6 D.8 5.若函数f (x )＝log a ? ????x 2＋32x (a >0，且a ≠1)在区间? ?? ?? 12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x ) 的单调递增区间为( ) A.(0，＋∞) B.(2，＋∞) C.(1，＋∞) D.? ???? 12，＋∞ 二、填空题 6. 已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a ).若f (3)＝1，则a ＝________. 7. 已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln 2)＝8，则a ＝________. 8.设函数f (x )＝? ??21－ x ，x ≤1， 1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是________. 三、解答题 9.已知函数f (x )＝log 21＋ax x －1(a 为常数)是奇函数. (1)求a 的值与函数f (x )的定义域； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，求实数m 的取值范围. 10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 1 2x . (1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2. 11. 在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ? ???? x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是 ( ) 12. 设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A.2x <3y <5z B.5z <2x <3y C.3y <5z <2x D.3y <2x <5z 13. 已知函数f (x )＝sin x ·lg(1＋x 2＋ax )的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为________. 14.已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x . (1)当x ∈[1，4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域； (2)如果对任意的x ∈[1，4]不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围. 15. 函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]?D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为?????? a 2， b 2，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若 函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a >0，且a ≠1)是“半保值函数”，则t 的取值范围为( ) A.? ????0，14 B.? ????－12，0∪? ????0，12 C.? ????0，12 D.? ?? ?? －12，12 答 案 对数与对数函数 1. log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A.0 B.2 C.4 D.6 解析 原式＝2log 23×(2log 32)＋log 5(102×0.25) ＝4＋log 525＝4＋2＝6. 答案 D 2. 已知a ＝2－ 1 3，b ＝log 21 3，c ＝log 1213 ，则( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >b >a D.c >a >b 解析 ∵0 3＝log 23>1.∴c >a >b . 答案 D 4. 设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A.a ＋b D.ab <0 解析 由题设，得1a ＝log 0.30.2>0，1 b ＝log 0.32<0. ∴0<1a ＋1 b ＝log 0.30.4<1，即00，b <0，故ab 5. 已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) A.a >1，c >1 B.a >1，0 C.01 D.0 解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以00，即log a c >0，所以0 6. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(－x )＋m ，且f ? ??? ? 12＝2，则m ＝________. 解析 由f ? ?? ?? 12＝2，且f (x )为奇函数. ∴f ? ????－12＝－f ? ???? 12＝－2，因此log 212＋m ＝－2，则m ＝1－ 2. 答案 1－2 考点一 对数的运算 【例1】 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1 b ＝2，则m 等于( ) A.10 B.10 C.20 D.100 (2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618 log 64＝________. 解析 (1)由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. 解得m ＝10. (2)原式＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 66 3 ·log 6（6×3） log 64 ＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64 ＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1. 答案 (1)A (2)1 规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.a b ＝N ?b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【训练1】 (1) 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1 E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知 太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10－10.1 (2) 272 3＋? ?? ? ? 14log2 3 －log 81 4 ＝________. 解析 (1)依题意，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得52lg E 1 E 2 ＝－1.45－ (－26.7)＝25.25. 所以lg E 1E 2＝25.25×25＝10.1，即E 1 E 2 ＝1010.1. (2)原式＝33×23＋2－2log 23＋2 3＝10. 答案 (1)A (2)10 考点二 对数函数的图象及应用 【例2】 (1) 已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a －x 与函数g (x )＝log b x 的图象可能是( ) (2)已知函数f (x )＝???2x ，x <1， log 2x ，x ≥1， 若方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，则实数 a 的取值范围是________. 解析 (1)由lg a ＋lg b ＝0，得ab ＝1. ∴f (x )＝a －x ＝? ?? ??1b －x ＝b x ，因此f (x )＝b x 与g (x )＝log b x 单调性相同. A ， B ，D 中的函数单调性相反，只有 C 的函数单调性相同. (2)作出函数y ＝f (x )的图象(如图所示). 方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，等价于函数y ＝f (x ) 的图象与直线y ＝a 恰有一个公共点， 故a ＝0或a ≥2，即a 的取值范围是{0}∪[2，＋∞). 答案 (1)C (2){0}∪[2，＋∞) 规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【训练2】 (1)若函数f (x )＝log 2(x ＋1)，且a >b >c >0，则f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c 的大小关系是( ) A. f （a ）a >f （b ）b >f （c ） c B. f （c ）c >f （b ）b >f （a ）a C.f （b ）b >f （a ）a >f （c ）c D.f （a ）a >f （c ）c >f （b ）b (2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2 D.? ?? ??0，12 解析 (1)由题意可得， f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ） c 分别看作函数f (x )＝log 2(x ＋1)图 象上的点(a ，f (a ))，(b ，f (b ))，(c ，f (c ))与原点连线的斜率.结合图象可知当a >b >c 时，f （c ）c >f （b ）b >f （a ）a . (2)由题意，易知a >1. 如图，在同一坐标系内作出y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)及y ＝log a x ， x ∈(1，2)的图象. 若y ＝log a x 过点(2，1)，得log a 2＝1，所以a ＝2. 根据题意，函数y ＝log a x ，x ∈(1，2)的图象恒在y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2]. 答案 (1)B (2)C 考点三 解决与对数函数性质有关的问题 多维探究 角度1 比较大小 【例3－1】 (1)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＝b B.a ＝b >c C.a D.a >b >c (2) 已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c D.c 解析 (1)因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝3 2 log 23>1，b ＝log 29－log 23＝ log 233＝a ，c ＝log 32 因为log 33 规律方法 比较幂或对数值的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较，若底数不同，可考虑利用中间量进行比较. 角度2 解简单的对数不等式 【例3－2】 (1) 已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为( ) A.(2，＋∞) B.? ???? 0，12∪(2，＋∞) C.? ????0，22∪(2，＋∞) D.(2，＋∞) (2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)因为偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，又f (1)＝2，所以不等式f (log 2x )>2，即|log 2x |>1，解得0 2或x >2. (2)当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，且8－2a >a ，解得1 3. 知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴8－a 0，此时解集为?. 综上可知，实数a 的取值范围是? ???? 1，83. 答案 (1)B (2)? ?? ?? 1，83 规律方法 形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0 角度3 对数型函数性质的综合应用 【例3－3】 已知函数f (x )＝log 2? ???? 12x ＋a . (1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值； (2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值范围； (3)若函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围. 解 (1)若函数f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0， ∴log 2(1＋a )＝0，∴a ＝0. 当a ＝0时，f (x )＝－x 是R 上的奇函数. 所以a ＝0. (2)若函数f (x )的定义域是一切实数，则1 2x ＋a >0恒成立. 即a >－12x 恒成立，由于－1 2x ∈(－∞，0)， 故只要a ≥0，则a 的取值范围是[0，＋∞). (3)由已知得函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0，1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )，最小值是f (1)＝log 2? ???? 12＋a . 由题设得log 2(1＋a )－log 2? ???? 12＋a ≥2， 则log 2(1＋a )≥log 2(4a ＋2). ∴???1＋a ≥4a ＋2，4a ＋2>0，解得－12 3. 故实数a 的取值范围是? ?? ??－1 2，－13. 规律方法 1.研究函数性质，要树立定义域优先的原则，讨论函数的一切问题都在定义域上进行. 2.解题注意几点：(1)由f (0)＝0，得a ＝0，需验证f (－x )＝－f (x ).(2)f (x )的定义域为R ，转化为不等式恒成立问题.(3)第(3)问运用转化思想，把对数不等式转化为等价的代数不等式. 【训练3】 (1) 已知a ＝log 3 72，b ＝? ????141 3 ，c ＝log 13 15 ，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >a D.c >a >b (2) 设f (x )＝lg ? ???? 21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________. (3) 已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋3(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(m ，n )，且函数g (x )＝mx 2－2bx ＋n 在[1，＋∞)上单调递减，则实数b 的取值范围是________. 解析 (1)log 13 1 5＝log 3－15－1＝log 35，因为函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数， 所以log 35>log 3 72 >log 33＝1，因为函数y ＝? ???? 14x 在(－∞，＋∞)上为减函数， 所以? ????141 3 140 ＝1，故c >a >b . (2)由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg 1＋x 1－x ，定义域为(－1，1). 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x <1，∴－1 (3)∵函数f (x )＝log a (x ＋2)＋3(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(m ，n )，令x ＋2＝1，求得x ＝－1，f (x )＝3，可得函数的图象经过定点(－1，3)，∴m ＝－1，n ＝3. ∵函数g (x )＝mx 2－2bx ＋n ＝－x 2－2bx ＋3， 在[1，＋∞)上单调递减，∴－ 2b 2 ≤1，即b ≥－1， 所以实数b 的取值范围为[－1，＋∞). 答案 (1)D (2)(－1，0) (3)[－1，＋∞) 赢得高分 基本初等函数的应用“瓶颈题”突破 以基本初等函数为载体考查函数的应用，常考常新.命题多与函数零点(不等式)、参数的求值交汇，如2017·全国Ⅲ卷·T15，2018·全国Ⅰ卷·T9，2019·全国Ⅲ卷·T11，解题的关键是活用函数的图象与性质，重视导数的工具作用. 【典例】已知函数f(x)＝e x，g(x)＝ln x 2＋ 1 2，对任意a∈R，存在b∈(0，＋∞)， 使f(a)＝g(b)，则b－a的最小值为( ) A.2e－1 B.e2－1 2 C.2－ln 2 D.2＋ln 2 解析存在b∈(0，＋∞)，使f(a)＝g(b)， 则e a＝ln b 2＋ 1 2，令t＝e a＝ln b 2＋ 1 2>0. ∴a＝ln t，b＝2e t－1 2，则b－a＝2e t－ 1 2－ln t. 设φ(t)＝2e t－1 2－ln t，则φ′(t)＝2e t－ 1 2－ 1 t(t>0). 显然φ′(t)在(0，＋∞)上是增函数，当t＝1 2时，φ′? ? ? ? ?1 2＝0. ∴φ′(t)有唯一零点t＝1 2. 故当t＝1 2时，φ(t)取得最小值φ? ? ? ? ?1 2＝2＋ln 2. 答案 D 思维升华 1.解题的关键：(1)由f(a)＝g(b)，引入参数t表示a，b两个量.(2)构造函数，转化为求函数的最值. 2.可导函数唯一极值点也是函数的最值点，导数是求解函数最值的工具. 【训练】若存在正数x，使得2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是( ) A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞) 解析由2x(x－a)<1，得a>x－1 2x， 令f(x)＝x－1 2x(x>0)，若a>x－ 1 2x有解，则a>f(x)min. 由于y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，所以f(x)>f(0)＝－1，因此a>－1，实数a的取值范围为(－1，＋∞). 答案 D 一、选择题 1.已知函数f (x )＝???2x ，x ≥4， f （x ＋1），x <4，则f (2＋lo g 23)的值为( ) A.24 B.16 C.12 D.8 解析 因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24. 答案 A 2. 设a ＝log 35，b ＝1.51.5，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c D.a 解析 1 2，b ＝1.51.5>1.5，又c ＝ln 2<1.故b >a >c . 答案 A 3.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的大致图象为( ) 解析 先作出当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)的图象，显然图象经过点(0，0)，再作此图象关于y 轴对称的图象，可得函数f (x )在R 上的大致图象，如选项C 中图象所示. 答案 C 4. 若函数f (x )＝|x |＋x 3，则f (lg 2)＋f ? ????lg 12＋f (lg 5)＋f ? ???? lg 15＝( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析 由于f (x )＝|x |＋x 3，得f (－x )＋f (x )＝2|x |. 又lg 12＝－lg 2，lg 1 5 ＝－lg 5. 所以原式＝2|lg 2|＋2|lg 5|＝2(lg 2＋lg 5)＝2. 答案 A 5.若函数f (x )＝log a ? ????x 2＋32x (a >0，且a ≠1)在区间? ???? 12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x ) 的单调递增区间为( ) A.(0，＋∞) B.(2，＋∞) C.(1，＋∞) D.? ?? ?? 12，＋∞ 解析 令M ＝x 2＋32x ，当x ∈? ???? 12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，恒有f (x )>0，所以 a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝? ????x ＋342－9 16， 因为M 的单调递增区间为? ???? －34，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－3 2， 所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞). 答案 A 二、填空题 6. 已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a ).若f (3)＝1，则a ＝________. 解析 由f (3)＝1得log 2(32＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－ 7. 答案 －7 7. 已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln 2)＝8，则a ＝________. 解析 由题意得，当x >0，－x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(－e －ax )＝e －ax ，所以f (ln 2)＝e －a ln 2＝eln 2－a ＝2－a ＝8＝23，即2－a ＝23，所以a ＝－3. 答案 －3 8.设函数f (x )＝???21－ x ，x ≤1， 1－log 2x ，x >1， 则满足f (x )≤2的x 的取值范围是________. 解析 当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1； 当x >1时，由1－log 2x ≤2，解得x ≥1 2，所以x >1. 综上可知，x ≥0. 答案 [0，＋∞) 三、解答题 9.已知函数f (x )＝log 21＋ax x －1 (a 为常数)是奇函数. (1)求a 的值与函数f (x )的定义域； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)因为函数f (x )＝log 21＋ax x －1是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 所以log 21－ax －x －1＝－log 21＋ax x －1， 即log 2ax －1x ＋1＝log 2x －1 1＋ax ， 所以a ＝1，f (x )＝log 21＋x x －1， 令1＋x x －1 >0，解得x <－1或x >1， 所以函数的定义域为{x |x <－1或x >1}. (2)f (x )＋log 2(x －1)＝log 2(1＋x )， 当x >1时，x ＋1>2，所以log 2(1＋x )>log 22＝1. 因为x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立， 所以m ≤1，所以m 的取值范围是(－∞，1]. 10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 1 2x . (1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2. 解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 1 2(－x ). 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 1 2(－x )， 所以函数f (x )的解析式为 f (x )＝???? ?log 1 2 x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0. (2)因为f (4)＝log 1 2 4＝－2，f (x )是偶函数，且f (0)＝0>－2， 所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4). 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5 11. 在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ? ???? x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是 ( ) 解析 若a >1，则y ＝1a x 单调递减，A ，B ，D 不符合，且y ＝log a ? ???? x ＋12过定点 ? ?? ?? 12，0，C 项不符合，因此0 x ＋12的图象过定点 ? ????12，0，在? ???? －12，＋∞上单调递减.因此， 选项D 中的两个图象符合. 答案 D 12. 设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A.2x <3y <5z B.5z <2x <3y C.3y <5z <2x D.3y <2x <5z 解析 令t ＝2x ＝3y ＝5z ， ∵x ，y ，z 为正数，∴t >1. 则x ＝log 2t ＝ lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg t lg 5 . ∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t （2lg 3－3lg 2） lg 2×lg 3 ＝ lg t （lg 9－lg 8） lg 2×lg 3 >0，∴2x >3y . 又∵2x －5z ＝ 2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t （2lg 5－5lg 2） lg 2×lg 5 ＝ lg t （lg 25－lg 32） lg 2×lg 5 <0， ∴2x <5z ，∴3y <2x <5z . 答案 D 13. 已知函数f (x )＝sin x ·lg(1＋x 2＋ax )的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为________. 解析 依题意，y ＝f (x )为偶函数，则g (x )＝lg(1＋x 2＋ax )为奇函数， ∴g (－x )＋g (x )＝lg(1＋x 2－ax )＋lg(1＋x 2＋ax )＝0， 故1＋x 2－a 2x 2＝1，即(1－a 2)x 2＝0，则a ＝±1. 答案 ±1 14.已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x . (1)当x ∈[1，4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域； (2)如果对任意的x ∈[1，4]不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围. 解 (1)h (x )＝(4－2log 2x )log 2x ＝2－2(log 2x －1)2 因为x ∈[1，4]，所以log 2x ∈[0，2]， 故函数h (x )的值域为[0，2]. (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )， 得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ， 令t ＝log 2x ，因为x ∈[1，4]， 所以t ＝log 2x ∈[0，2]， 所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0，2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ； ②当t ∈(0，2]时，k <（3－4t ）（3－t ） t 恒成立， 即k <4t ＋9 t －15， 因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝3 2时取等号， 所以4t ＋9 t －15的最小值为－3. 所以k <－3. 综上，实数k 的取值范围为(－∞，－3). 15. 函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]?D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为?????? a 2， b 2，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若 函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a >0，且a ≠1)是“半保值函数”，则t 的取值范围为( ) A.? ????0，14 B.? ????－12，0∪? ????0，12 C.? ????0，12 D.? ?? ?? －12，12 解析 函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a <0，且a ≠1)是“半保值函数”，且定义域为R.当a >1时，z ＝a x ＋t 2在R 上递增，y ＝log a z 在(0，＋∞)上递增，可得f (x )为R 上的增函数；当0 ∴a x ＋t 2＝a 12x ，则a x －a x 2 ＋t 2＝0. 令u ＝a x 2，u >0，则u 2－u ＋t 2＝0有两个不相等的正实根. 得Δ＝1－4t 2>0，且t 2>0， ∴0 0，12. 答案 B 指数与对数函数 I 题型 一、利用指数和对数函数性质比较大小 1. （2010 3 52 2 53 2 52 ， ， c 的大小 安徽文）设 a （ ） , b （ ）， c （ ） ，则 5 5 5 a b 关系是（ ） A ．a ＞c ＞b B ．a ＞b ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a 2、下列大小关系正确的是（ ） A. 0.42 30.4 log 4 0.3 ； B. 0.42 log 4 0.3 30.4 ； C. log 4 0.3 0.42 30.4 ； D. log 4 0.3 30.4 0.42 3、比较下列比较下列各组数中两个值的大小： （ 1） log 6 7 ， log 7 6 ； （ 2） log 5 3 ， log 6 3， log 7 3 ． 4. 设 a 0 3 , b log 3, c 1，则 a,b, c 的大小关系是（ ） A. a b c B. a c b C. b a c D. b c a 二、指数与对数运算 1、若 m ＝ lg5 － lg2 ，则 10m 的值是（ ） 5 B 、 3 C 、 10 D 、 1 A 、 2 1 2、 若 log 4 [log 3 (log 2 x)] 0 ，则 x 2 等于（ ） A 、 1 2 B 、 1 2 C 、 8 D 、 4 4 2 3、化简计算： log 2 1 · log 3 1 · log 5 1 25 8 9 4. 化简： log 2 5+log 4 0.2 log 5 2+log 250.5 5、已知 3a 2 ，那么 log 3 8 2log 3 6 用 a 表示是（ ） A 、 a 2 B 、 5a 2 C 、 3a (1 a) 2 D 、 3a a 2 6、 2log a ( M 2N ) log a M log a N ，则 M 的值为（ ） A 、 1 N B 、4 C 、 1 D 、 4 或 1 4 1 高一数学 对数与对数函数 一、 知识要点 1、 对数的概念 （1）、对数的概念： 一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b =，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数 （2）、对数的运算性质： 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有： ) ()() (3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= （3）、重要的公式 ①、负数与零没有对数； ②、01log =a ，1log =a a ③、对数恒等式N a N a =log （4）、对数的换底公式及推论： I 、对数换底公式： a N N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) II 、两个常用的推论: ①、1log log =?a b b a ， 1log log log =??a c b c b a ② 、b m n b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1） 佛山学习前线教育培训中心 2、 对数函数 （1）、对数函数的定义 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数； 它是指数函数x a y = )10(≠>a a 且的反函数对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞ （2）、对数函数的图像与性质 log (01)a y x a a =>≠且的图象和性质 新教材高一数学寒假作业（13）对数与对数函数新人教B 版 1、已知28 29,log 3 x y ==,则2x y +的值为( ) A.6 B.8 C.4 D.4log 8 2、若0a >且1,0,0,N a x y n *≠>>∈且1n >.给出下列结论: ①2(log )2log a a x x =; ②log ()log log a a a x y x y +=+; ③log log log a a a x x y y =; ④ log log a a x n =. 其中正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3、若0,1,0,N a a x y n *>≠>>∈,则下列各式: ①(log )log n a a x n x =;②(log )log n n a a x x =;③1log log a a n x n x -=; ④ log log log a a a x x y y =; 1log a x n =; ⑥ log log a a x n =; ⑦log log n a a x n x =;⑧log log a a x y x y x y x y -+=-+-. 其中成立的有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 4、若(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+> B.b c a >> C.c a b >> D.c b a >> 对数与对数函数-知识点与题型归纳 ●高考明方向 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般 对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数 函数图象通过的特殊点． 3.知道对数函数是一类重要的函数模型． 4.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数 (a>0，且a≠1)． ★备考知考情 通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题．主要考查对数运算、换底公式等．及对数函数的图象和性质．对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点. 一、知识梳理《名师一号》P27 注意： 知识点一对数及对数的运算性质 1.对数的概念 2 3 一般地，对于指数式a b ＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N (a >0，且a ≠1)．其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”． 注意：(补充)关注定义---指对互化的依据 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R)； ④log a m M n ＝n m log a M . (2)对数的性质 ①a log aN ＝N ；②log a a N ＝N (a >0，且a ≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 注意：(补充)特殊结论:log 10,log 1a a a == 指数函数和对数函数 知能目标 1. 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质. 掌握指数函数的概念、图象和性质. 2. 理解对数的概念, 掌握对数的运算性质. 掌握对数函数的概念、图象和性质. 3. 能够运用指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 综合脉络 1. 以指数函数、对数函数为中心的综合网络 2. 指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据): 0a (N log b N a a b >=?=且)1a ≠ 指数函数与对数函数互为反函数, 它们的图象关于直线x y =对称, 指数函数与对数函数 的性质见下表: 3. 指数函数,对数函数是高考重点之一 指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函 数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性 质并能进行一定的综合运用. (一) 典型例题讲解: 例1.设a ＞0, f (x)＝ x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f － 1 (x)的奇偶性与单调性. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 例3. 已知x 满足≤+6x 2a a 4x 2x a a +++)1a ,0a ( ≠>, 函数y ＝)ax (log x a 1 log 2 a 12 a ? 的值域为]0 ,8 1[-, 求a 的值. (二) 专题测试与练习: 指数函数与对数函数专项练习 例1.设a ＞0, f (x)＝x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x ) 的反函数f －1 (x)的奇偶性与单调性. 解：(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a 1 0)0(f >=?=-?=, (2) =-?∈++=--)x (f )R x (2 4x x ln )x (f 121 -=++-24x x ln 2=++2 4x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数. 用定义法可证)x (f 1 -为单调增函数. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解：设x ax )x (u 2-=, 对称轴a 21 x =. (1) 当1a >时, 1a 0)2(u 2 a 21>??????>≤; (2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4 a 21 ≤≥. 综上所述: 1a > 1.（安徽卷文7）设 232 555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >， 2 ()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一 直角坐标系中的图像可能是【答案】D 《对数与对数函数》测试 12.21 一、选择题： 1．已知3a ＋5b = A ，且 a 1＋b 1 = 2，则A 的值是( )． (A)．15 (B)．15 (C)．±15 (D)．225 2．已知a ＞0，且10x = lg(10x)＋lg a 1 ，则x 的值是( )． (A)．－1 (B)．0 (C)．1 (D)．2 3．若x 1，x 2是方程lg 2x ＋(lg3＋lg2)＋lg3·lg2 = 0的两根，则x 1x 2的值 是( )． (A)．lg3·lg2 (B)．lg6 (C)．6 (D)． 6 1 4．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，那么a 的取值X 围是( )． (A)．(0，1) (B)．(0，21) (C)．(21 ，1) (D)．(1，＋∞) 5． 已知x = 31log 12 1 ＋ 31log 1 5 1 ，则x 的值属于区间( )． (A)．(－2，－1) (B)．(1，2) (C)．(－3，－2) (D)．(2，3) 6．已知lga ，lgb 是方程2x 2－4x ＋1 = 0的两个根，则(lg b a )2的值是( )． (A)．4 (B)．3 (C)．2 (D)．1 7．设a ，b ，c ∈R ，且3a = 4b = 6c ，则( )． (A)．c 1=a 1＋b 1 (B)．c 2=a 2＋b 1 (C)．c 1=a 2＋b 2 (D)．c 2=a 1＋b 2 8．已知函数y = log 5.0(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值X 围是( )． (A)．0≤a ≤1 (B)．0＜a ≤1 (C)．a ≥1 (D)．a ＞1 9．已知lg2≈0.3010，且a = 27×811×510的位数是M ，则M 为( )． 对数与对数函数 一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 1．方程lg x ＋lg(x ＋3)＝1的解x 为 ( ) A ．1 B ．2 C ．10 D ．5 解析 B ∵lg x ＋lg(x ＋3)＝lg 10，∴x (x ＋3)＝10.∴x 2＋3x －10＝0. 解得x ＝2或－5(舍去)． 2．“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax ＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的 ( ) A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 C 显然函数f (x )＝lg(x ＋1)，g (x )＝lg(2x ＋1)在(0，＋∞)上均单调递增，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax ＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件． 则a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ．a 1)的值域是 ( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，＋∞) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞) 解析 A ∵x ＋ 1x －1＋1＝x －1＋1 x －1 ＋2≥2(x －1)·1 x －1 ＋2＝4，∴y ≤－2. 5．函数f (x )＝2|log2x |的图象大致是 ( ) 解析 C f (x )＝2|log2x |＝???? ? x ，x ≥1，1 x ，0 专题：对数函数知识点总结 1.对数函数的定义： 一般地，函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考：函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？ ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 | 一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域 （1）0.2log (4);y x =-； （2 ）log a y =(0,1).a a >≠； （3）2 (21)log (23)x y x x -=-++ （4 ）y = ？ (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数 的定义域是 5.函数y ＝log 2(32－4x )的定义域是 ，值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ { 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域： （1）2log (3)y x =+； （2）2 2log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 9.函数f （x ）=x 1 ln （432322+--++-x x x x ）定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为 对数函数及其性质（一） 班级_____________姓名_______________座号___________ 1．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 2．函数y ＝x |x | log 2|x |的大致图象是( ) 3．若log a 2＜1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(0,1)∪(2，＋∞) C ．(0,1)∪(1,2) D ．(0，12 ) 4．设a ＝2log 3，b ＝2 1log 6，c ＝6log 5，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c 5．已知a >0且a ≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( ) 6．函数y ＝log 2x 在[1,2]上的值域是( ) A ．R B ．[0，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[0,1] 7．函数y ＝log 12(x －1)的定义域是________． 8．若函数f (x )＝log a x (0≤???x x x x 则g [g (1 3)]＝________. 10．f (x )＝log 21＋x a －x 的图象关于原点对称，则实数a 的值为________． 11．函数f (x )＝log 12 (3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围． 指数函数与对数函数专项练习 1 设 232555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是[ ] （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 2 函数y=ax2+ bx 与y= || log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能 是[ ] 3.设525b m ==，且112a b +=，则m =[ ] （A ）10（B ）10 （C ）20 （D ）100 4.设a= 3log 2,b=In2,c=1 2 5- ,则[ ] A. a (A) (B) (C) (D) 8.设 5 54a log 4b log c log ===25，（3），，则[ ] (A)a 对数函数 1．对数函数的定义： 函数 叫做对数函数，其中x 是自变量 （1）研究对数函数的图象与性质： 由于对数函数 与指数函数 互为反函数，所以 的图像和 的图像关于直线 对称。 （2）复习)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质 a>1 0 图 象 32.521.51 0.5-0.5 -1-1.5-2-2.5 -1 1 23456780 11 3 2.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -1 1 2345678 1 1 性 质 定义域：（0，+∞） 值域：R 过点（1，0），即当x=1时，y=0 )1,0(∈x 时 0 专题 ：指 数 和 对 数 第一部分：指数、对数运算 一，指数运算 1，运算法则（建议学生掌握语言叙述） = ==÷=?r s r s r s r ab a a a a a )()( 2，分数指数幂 =n m a 3，化简 ? ??=a a a n n Z k k n Z k k n ∈+=∈=,122， 例题练习： 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）51a = （2）34 a = （3）35 a - = （4）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）3 4y x = （2）)0(2>=m m m （3）()3 23ab ab = （4）34a a ?= ； （5）a a a = ； 3、求下列各式的值 （1）2 38= ；（2）12 100- = ； （3）31()4-= ；（4）3 4 16()81 -= （5）1 2 2 [(2)]- -= （6）()12 2 13??-???? = （7）=3 264 4.化简 （1）=??12 74 33 1a a a （2）=÷?6 54323a a a （3） =÷-?a a a 9)(3432 3 （4）322 a a a ?= （5）3 1 63)278(--b a = 5.计算 （1）43512525÷- (2) 6 323 1.512?? （3）21 0319)4 1 ()2(4)21(----+-?- ()5 .02 1 2001.04122432-?? ? ???+??? ??- - （5）48 373271021.097203 225 .0+ -? ? ? ??++? ? ? ??- -π 二，对数运算 运算法则： ==== =N M a M M M M MN a n a n a a N a log 3log )(log )(log ,2,121log ， 倒数公式）换底公式）1 log (,6log ,5log (,4= = =b b b a n a a m 对数习题练习： 一、选择题 1、以下四式中正确的是（ ） A 、log 22=4 B 、log 21=1 C 、log 216=4 D 、log 221=4 1 2、下列各式值为0的是（ ） A 、10 B 、log 33 C 、（2－3）° D 、log 2∣－1∣ 3、2 5 1 log 2 的值是（ ） A 、－5 B 、5 C 、51 D 、－5 1 4、若m ＝lg5－lg2，则10m 的值是（ ） A 、2 5 B 、3 C 、10 D 、1 5、设N ＝ 3log 12＋3 log 1 5，则（ ） 对数与对数函数 【高考要求】 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a>0，a ≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型． 【知识梳理】 1.对数的概念 (1)对数的定义 如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作___ x ＝log a N ___，其中__ a __叫做对数的底数，__ N __叫做真数.真数N 为正数（负数和零无对数）． 说明：①实质上，上述对数表达式，不过是指数函数x a y =的另一种表达形式，例如：8134=与 81log 43= 这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式.log N x N a a x =?= ②“log ”同“+”“×” “ ”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这 种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面。 ③对数的底数和真数 从对数的实质看：如果a b ＝N (a >0且a ≠1)，那么b 叫做以a 为底N 的对数，即b ＝log a N .它是知道底数和幂求指数的过程.底数a 从定义中已知其大于0且不等于1；N 在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于0的. (2)几种常见对数 2．对数的性质与运算法则 （1）．对数基本性质：log 10a =，log 1a a =，log a N a N =---对数恒等式 （2）．对数运算性质：若0,1,0,0a a M N >≠>>且，则： ①log ()log log a a a MN M N =+ ②log log log a a a M M N N =- ③log log ()n a a M n M n R =∈ （3）．换底公式：log log (0,1;0,1;0)log c a c b b a a c c b a = >≠>≠> 推论：①log log (,,0)m n a a n M M m n R m m = ∈≠ ②1log log a b b a = 点评：（1）要熟练掌握公式的运用和逆用。 （2）在使用公式的过程中，要注意公式成立的条件。 例如：真数为两负数的积，).5(log ).3(log 22--不能写成).5(log ).3(log 22--=).5(log )3(log 22-+- 对数与对数函数同步练习 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、4 1 B 、4 C 、1 D 、4或1 3、已知221,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于 （ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2 m n - 4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=的两根是,αβ，则αβ的值是（ ） A 、lg5lg7 B 、lg35 C 、35 D 、35 1 5、已知732log [log (log )]0x =，那么12 x -等于（ ） A 、1 3 B 23 C 22 D 336、函数2lg 11y x ?? =- ?+?? 的图像关于（ ） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称 7、函数(21)log 32x y x -=- ） A 、()2,11,3??+∞ ? ?? B 、()1,11,2?? +∞ ? ?? C 、2,3??+∞ ??? D 、1,2??+∞ ??? 8、函数212 log (617)y x x =-+的值域是（ ） A 、R B 、[)8,+∞ C 、(),3-∞- D 、[)3,+∞ 经典例题透析 类型一、指数式与对数式互化及其应用 1．将下列指数式与对数式互化： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 思路点拨：运用对数的定义进行互化. 解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)； (6). 总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 举一反三： 【变式1】求下列各式中x的值： (1)(2)(3)lg100=x (4) 思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x. 解：(1)； (2)； (3)10x=100=102，于是x=2； (4)由. 类型二、利用对数恒等式化简求值 2．求值：解：. 总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三： 【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0) 思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算. 解：. 类型三、积、商、幂的对数 3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式. (1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15 解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a (3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b (5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a 举一反三： 【变式1】求值 (1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 解： (1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2. 【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值. 解：由3a=c得： 同理可得 . 【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：. 证明： . 【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：. 证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb 即. 类型四、换底公式的运用 4．(1)已知log x y=a，用a表示； (2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x. 高中数学会考指数函数与对数函数专题训练 一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 143 的结果为 A 、5 B 、5 C 、－5 D 、－5 2、函数y=5x +1的反函数是 A 、y=log 5(x+1) B 、y=log x 5+1 C 、y=log 5(x －1) D 、y=log (x+1)5 3、函数f x x ()=-21，使f x ()≤0成立的x 的值的集合是 A 、{} x x <0 B 、{} x x <1 C 、{} x x =0 D 、{} x x =1 4、设5.1344.029.01)2 1 (,8,4-===y y y ，则 A 、y 3＞y 1＞y 2 B 、y 2＞y 1＞y 3 C 、y 1＞y 2＞y 3 D 、y 1＞y 3＞y 2 5、25532 lg 2lg lg 16981 -+等于 A 、lg2 B 、lg3 C 、lg4 D 、lg5 6、若3a =2,则log 38－2log 36用a 的代数式可表示为 A 、a －2 B 、3a －(1+a)2 C 、5a －2 D 、3a －a 2 7、某企业2002年的产值为125万元，计划从2003年起平均每年比上一年增长20%，问哪一年这个企业的产值可达到216万元 A 、2004年 B 、2005年 C 、2006年 D 、2007年 8、“等式log 3x 2=2成立”是“等式log 3x=1成立”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 9、若f(10x )=x ，则f(3)的值是 A 、log 310 B 、lg3 C 、103 D 、310 高一数学必修一对数及对数函数知识点总 结 数学是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。以下是查字典数学网为大家整理的高一数学必修一对数及 对数函数知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。 对数定义 如果a的x次方等于N(a>0，且a不等于1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。 注： 1.以10为底的对数叫做常用对数，并记为lg。 2.称以无理数e(e=2.71828...)为底的对数称为自然对数，并记为ln。 3.零没有对数。 4.在实数范围内，负数无对数。在复数范围内，负数是有对数的。 对数公式 0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。/p p其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定， 同样适用于对数函数。/p p对数函数性质/p p align=" center="" img="" /> 定义域求解：对数函数y=logax的定义域是{x丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx(2x-1)的定义域，需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为{x丨x>1/2且x≠1} 值域：实数集R，显然对数函数无界。 定点：函数图像恒过定点(1，0)。 单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数; 奇偶性：非奇非偶函数 周期性：不是周期函数 对称性：无 最值：无 零点：x=1 注意：负数和0没有对数。 两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。 要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼 指、对数函数典型题 1. 若f（x）=x2－x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a≠1）. （1）求f（log2x）的最小值及对应的x值； （2）x取何值时，f（log2x）＞f（1）且log2［f（x）］＜f（1） 2 要使函数y=1+2x+4xa在x∈（－∞，1）上y＞0恒成立，求a的取值范围. 3. 求函数y=2lg（x－2）－lg（x－3）的最小值. 4. 已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（－2k，2）是函数y= f －1（x）图象上的点. （1）求实数k的值及函数f －1（x）的解析式； （2）将y= f －1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若2 f －1（x+ －3）－g（x）≥1恒成立，试求实数m的取值范围. 5. 函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为14，求a的值。 6. 设函数f(x)=loga(x-3a) (a>0 , a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，点Q(x-2a,-y)是函数y=g(x)的图象上的点（1）写出函数y=g(x)的解析式 （2）若当x∈[a+2,a+3]时，恒有︱f(x)-g(x)︱≤1,试确定的取值范围。 7. 已知a>0 , a≠1， （1）当f(x)的定义域为（-1,1）时，解关于m的不等式f(1-m)+f(1-m2)<0; （2）若f(x)-4恰在(-∞,2)上取负值，求a的值 8. 已知函数 ， 求证：（1）函数 在 上为增函数；（2）方程 没有负数根． 9. 已知函数 （ 且 ）．求证：（1）函数 的图象在 轴的一侧； （2）函数 图象上任意两点连线的斜率都大于 ．(完整版)指数与对数函数综合复习题型.doc
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