概率作业第三章

习题三 多维随机变量及其分布

一、填空题 1．设X 的分布律为

01

0.50.5X p ，且X 与Y 独立同分布，则随机变量Z=max{X,Y}

2．设 X,Y 为随机变量且34

{0,0},{0}{0},77

P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥则

{max(,)0}P X Y ≥=

5

7

； 3．设D 是由曲线1xy =与直线20,1,y x x e ===围成的平面区域,二维随机变量

(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布，则(,)X Y 关于X 的边缘分布在2x =处的值为ln 2

2

。 4．设随机变量 X 与Y 相互独立，且11

(1),(1),23P X P Y ≤=≤=，则

(1,1)P X Y ≤≤=1

6

。

5．设随机变量(XY)的联合分布列为

若X,Y 相互独立， 则 a =

118;b =29;c =16

; 6. 设随机变量(,)X Y 的联合密度为 34,0,0

(,)0,

x y ke x y f x y --?>>=??其它则k =

12;(0,1,02)P X Y <<<=()()

3811e e ----;

7．设随机变量X,Y 相互独立，且服从同一分布，则()P X Y ≤= 1/2 ;

8. 设随机变量(,XY)的联合分布函数为1333,0,0

(,)0,

x y x y x y F x y ----?--+>>=??

则(,)X Y 的联合密度函数是()2

3ln 3,0,0

(,)0,

x y x y f x y --?>>?=???；

9．设随机变量(,)X Y 的联合分布函数为

(,)(arctan )(arctan ),(0)22

x y

F x y A B C A =++≠

则A =

2

1π；B =2π；C =2

π

； 10．设随机变量(,XY)的联合密度为2

2

(,)ax

bxy cy f x y Ae ---=，

当时a = ；b = ；c = ；，X 与Y 相互独立。11．设随机变量(,XY)的联合分布函数为

(arctan )(),,0

(,)2

0,y

x A B C e x R y F x y -?++∈>?=???

其它 则（1）A =1π；B =2

π；C = 1 ；

（2）X 的边缘函数）（2

arctan 21x

+ππ；Y 的边缘函数1,0y e y -+>；

（3）(2,1)P X Y ≤>=e

43

-

； （4）(02,01)P X Y <≤<<=

()1

114

e --； （5）密度函数(,)

f x y =y e x -+-

2

41

2π。

12．已知(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(,)~11114444X Y ??

? ?

??,则 (,)X Y 的联合分布函数 (,)F x y =??

?

??≥<≤<<1

,10,04

/10,00

y x y x y x 。

13．若35

(max(,)1),(1)(1),88

P X Y P X P Y ≤=≤=≤=,则(min(,)1)P X Y ≤=7/8。

14．设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从参数为

0.25p =的两点分布,并记

1,0,X Y Z X Y +?=?+?取奇数

，

不取奇数

则X 与Z 的联合分布为

二、选择题

1．设随机变量10

1~,(1,2)11

142

4i X i -?? ?

=

???

，且满足12{0}1P X X ==，则 12{}P X X ==（ C ）

A. 0

B.

14 C. 1

2

D. 1 2．设随机变量 X 与 Y 相 互独立且同分布，

11

(1)(1),(1)(1)22

P X P Y P X P Y =-==-=====，

则（ A ）成立。

A.1

()2P X Y ==

; B.()1P X Y ==; C.1(0)4P X Y +==; D.1

(1)4

P XY ==.

3．若随机变量,X Y 独立，分布函数分别为(),()x y F x F y ,则(,)X Y 的联合分布 函数为( A )

A .(,)()()x y F x y F x F y =; B. (,)()()x y F x y F x F y =+; C.(,)()()x y F x y F x F y =-; D. (,)()/()x y F x y F x F y =. 4. 设两个独立的随机变量 X 和Y 分别服从正态分布(0,1),(1,1)N N ，则( B)

A.1(0)2P X Y +≤=

B. 1(1)2

P X Y +≤=

C. 1(0)2P X Y -≤=

D. 1(1)2

P X Y -≤= . 5．设随机变量,X Y 独立，且22

1122~(,),~(,)X N Y N μσμσ,则Z X Y =-仍服从正

态分布，且有（ D ）。

A ．221212~(,)Z N μμσσ++ B. 221212~(,)Z N μμσσ+-; C. 221212~(,)Z N μμσσ--; D. 221212~(,)Z N μμσσ-+.

6. 设随机变量,X Y 独立，且它们的分布函数分别为(),()x y F x F y ，则

m a x {,}Z X Y =的分布函数是（ C ）。

A ．()max{(),()}z x y F z F x F y =； B. ()max{(),()}z x y F z F x F y =; C. ()()()z x y F z F x F y =; D. ()1max{(),()}z x y F z F x F y =-. 三、解答题

1．一只口袋中装有四只球，球上分别标有数字 1、2、2、3. 从此袋中任取 一只球，取后不放回，再从袋中任取一只球.分别以X 与Y 表示第一次、第二次取到的球上标有的数字，求X 与Y 的联合分布律与关于X 、Y 的边缘分布律.

2． 设二维随机变量(,)X Y 取数组(,1),(0,

),(,),(0,1),23

23

--的概率分别为11

,,,36

a b ,试求：

（1）(,)X Y 的联合分布律；

（2）确定常数,a b ，使X 和Y 相互独立； （3）(,)X Y 分别关于 X 和Y 的边缘分布律。

(1)

因为：a+b+1/3+1/6=1,且P{X=0}P{Y=-1}=P{X=0,Y=-1} 所以：a+b=1/2,ab=1/18

所以：a=1/6,b=1/3或a=1/3,b=1/6

3． 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5；以,X Y 分别表示甲、乙的命中次数，试求,X Y 的联合分布律。 4． 设(,)X Y 为二维随机变量，其联合概率密度为,0,1

(,)0,cxy x y F x y ≤≤?=??其它

试求：(1)常数c ；

(2)(0.5,0.7);(0.5),(0.7);P X Y P X P Y <<<<； (3) (,)X Y 的边缘概率密度。 (1) ?

?==+∞+∞1010

1),(cxydxdy F ,所以c=4

（2）49

.04),(}7.0{,

25.04),(}5.0{,

1225.04),(}7.0,5.0{107.00

7

.05.001

05.05.007.00

5.07

.0????????????===

<===

<===

<<∞+∞-∞

-∞-∞

+∞-∞-∞

-xydxdy dxdy y x f Y P xydxdy dxdy y x f X P xydxdy dxdy y x f Y X P

（3）x dy y x f x f X 2),()(==?

∞

∞

-

??

?≤≤=∴其他

01

02)(x x

x f X

同理：??

?≤≤=其他

1

02)(y y

y f Y

5．设随机变量(,)X Y 的概率密度2(),0,0(,)0,x y ce x y f x y -+?≤≤∞≤≤∞

=??其它

试求：（1）常数c ；（2）(,)X Y 的分布函数；(3)(1);P X Y +≤.

(1)

()1

,1,44

f x y dxdy c c +∞+∞

-∞-∞

==∴=??

（2）

????

∞-∞

---+-??

???≥≥--===x

y

x y x y

v u y x e e dudv e dudv v u f y x F 其他00

,0)

1)(1(4),(),(0220)(2（3）()()()11221

00

0,1,431;x

x y x y x y P x y f x y dxdy e dxdy e --+-+≤≤≤+∞

+≤=

==-??

?

?

6. 设随机变量(,)X Y 的概率密度为 4.8(2),01,0(,)0,y x x y x

f x y -≤≤≤≤?=??其它，求

关于,X Y 的边缘概率密度. 解：01x ≤≤, ()()()()2

, 4.82 2.42x

X f x f x y dy y x dy x x +∞

-∞

==-=-??;

01y ≤≤, ()()()1

21

3, 4.82 4.8222Y y

f y f x y dx y x dx y y y +∞

-∞

??=

=-=-+ ????

?.

于是可得,X Y 的边缘概率密度为

()()22.42,01

0,X x x x f x ?-≤≤=?

?

其它

()322.49.67.2,01

0,Y y y y y f y ?-+≤≤=??其它.

7．设随机变量(,)X Y 在G 上服从均匀分布，其中G 由x 轴y 轴及直线21y x =+所围成，试求：(1) (,)X Y 的概率密度；(2) 关于,X Y 的边缘概率密度. 解 : 区域G 的面积为1

4

S =

,故均匀分布的联合概率密度为 ()()()4,,,0

,x y

G f x y x y G

∈??=?

???.

1

02x -≤≤

, ()()21

,484x X f x f x y dy dy x +∞

+-∞

===+??

;

01y ≤≤, ()()0

1

2

,422Y y f y f x y dx dx y +∞

--∞

=

==-??.

于是可得,X Y 的边缘概率密度为

()184,0

2

0,

X x x f x ?

+-≤≤?=???其它 ()22,

01

0,

Y y y f y -≤≤?=?

?其它

. 8. 设某班车起点站上车的人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为(01)p p <<,乘客中途下车与否相互独立，并以Y 表示在中途下车的人数.

求：(1) 在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率；

(2) (,)X Y 的分布律.

解：（1）m n m

m n

P P C n X m Y P --===)1(}{ （2）

)

2.1,(!

)1(}{}{},{n m m n e n p p C n X P n X m Y P m Y n X P n

m

n m

m n ≤=-=======--且 λλ9. 设二维随机变量(,)X Y 在22{(,):1,0}D x y x y x =+≤≥上服从均匀分布，试求

(,)X Y 分别关于,X Y 的边缘概率密度函数，并讨论,X Y 的相互独立性。

解:区域D 的面积为2

S π

=

,故均匀分布的联合概率密度为

()()()2,

,,0,x y D f x y x y D

π

?∈?=????.

01x ≤≤, ()(

)2

,X f x f x y dy dy +∞

-∞=

=

=

?

11y -≤≤, ()(

)0

2

,Y f y f x y dx dx π

+∞

-∞

=

=

=

?

于是可得,X Y 的边缘概率密度为

(

),

01

0,X x f x ≤≤=??

其它

(

),1

10,Y y f y -≤≤=??其它.

不独立Y X y f x f y x f Y X ,)

()(),(∴≠

10．已知随机向量(,)X Y 服从正方形{(,):13,13}D x y x y =≤≤≤≤上的均 匀分布，试求随机变量U X Y =-的概率密度。

解:利用分布函数法.4D S =区域的面积为,故均匀分布的联合概率密度为

()()()1,

,,4

0,x y D f x y x y D

?∈?=????.

(){}{}U F u P U u P

X Y u =≤=

-

≤{}P X u Y X u

=-≤≤+ 当()0,0U u F u ≤=.当()2,1U u F u ≥=. 当02u <<,令(){},D x y x u y x u '=

-≤≤+,则根据D 与D '的关系有

(){}U F u P X u

Y X u =-≤≤+(),D f x y

d x d y '=?? 313

3

3

1

131

1

11

1

444u

x u

u

u u x u

d x d y d x

d y

d x d y

-++-+-=++?

????

? 222

1111

1

128284

u u u u u

=

-+-+-=-+.

从而()()1

12

U U f u F u u '==-.于是综上可得U X Y =-的概率密度为

()11,

02

2

0U u u f u ?-<

其它

. 11．对二维正态分布22

1212(,,,,)N μμσσρ的密度函数(,)f x y ，验证

(,)1f x y dxdy ∞∞

-∞-∞

=??

()(),1;X f x y dxdy f x dx +∞+∞

+∞

-∞-∞

-∞

==???

12．设(X,Y)的密度函数为 (6),02,24(,)0,c x y x y f x y --<<<

试确定常数c 的值，并由此求出(4)P X Y +<。

()61c x y dxdy +∞+∞

-∞-∞

--=??；

8/11)6()6(2042

=?=--=--????+∞∞-+∞∞

-c dxdy y x c dxdy y x c

3

2

)6(81)4(2042

?

?

-=--=<+x

dxdy y x Y X P 13．设随机变量X 和Y 独立，且都在区间[1，3]上服从均匀分布，引进事件

{},{},A X a B Y a =≤=>已知，求常数a

14．设随机变量X 和Y 相互独立，X 具有概率密度 2,01

(,)0,x x f x y ≤≤?=??其它

Y 服从[0，1]内的均匀分布，试求Z = X +Y 的概率密度函数。

??

?≤≤=其他

1

01

)(y y f Y

?????

??????

≤<-=≤<==-

-=-=

????=

??---=-+∞

∞

-其他02122102)()()()()()(2

11201

1

10

z z

z tdt z z tdt dt

t f dt t f dy y z f dy y f y z f z f z z z z X z z

X t

y z X Y X Z

15、设随机变量,X Y 相互独立，其概率密度分别为：

311,0

,0()()3

20,0,y x x y e y e x f x f y --??≥≥??==??????，其它其它

试求随机变量Z = X +Y 的概率密度。 由卷积公式知：

??∞

+∞

-----??

???<≥-==-=0003121)()()(02

332z z e

e dy e e dy y

f y z f z f z z z y x Y X Z

16 设(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 由直线,,2y x y x x =-==所围成.试求

(1) ,X Y 的联合密度函数； (2) ,X Y 的边缘密度函数； (3) ,X Y 相互独立吗?为什么?

(4) (1),()X Y X Y f x f x y ,其中 2.y <

解 : (1)区域G 的面积为4S =,故均匀分布的联合概率密度为

()()()1

,

,,4

0,x y G f x y x y G

?∈?=????

.

(2) 02x ≤≤, ()()1,42x

X x

x

f x f x y dy dy +∞

-∞

-=

=

=?

?;

20y -≤≤, ()()()2

11,244Y y

f y f x y dx dx y +∞

-∞-==

=+?

?. 02y <≤, ()()()2

11

,244Y y

f y f x y dx dx y +∞

-∞

=

==-?

?

于是可得,X Y 的边缘概率密度为

(),

02

2

0,

X x

x f x ?≤≤?=???其它

()()()1

2,0

241

2,2

04

0,Y y y f y y y ?-<≤???=+-<≤?????

其它. （3）由于)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以不独立

（4）?

?

?

?

???<≤-+=+≤≤-=-==其他02214/)2(4

/12

214/)2(4

/1)(),()(x y y y x y y y y f y x f y x f Y Y X x f x

x f Y Y X 8)

1(2)1(==

17． 设,X Y 的联合密度函数为(2)2,0,0

(,)0,x y e x y f x y -+?>>=??其它

(1) X 与Y 相互独立吗?为什么? (2) 试求(1,2);P X y <>；

(3) 试求 (1),()X Y X Y f x f x y ,其中 2.y < 解 : (1) 0x >, ()()()

20

,2x y x X f x f x y dy e

dy e +∞

+∞

-+--∞==

=?

?;

0y >, ()()()

220

,22x y y Y f y f x y dx e

dx e +∞

+∞

-+--∞

=

=

=?

?.

于是可得,X Y 的边缘概率密度为

(),0

0,x X e x f x -?>=??其它

()22,0

0,

y Y e y f y -?>=??其它

于是()()(),X Y f x y f x f y =,从而X 与Y 相互独立 (2) X 与Y 相互独立, 故(1,2)(1)(2)P X Y P X P Y <>=<>

12402

11

21x

y e dx e dy e e +∞

--??==- ?????.

(3)?????≤>==

--+-0

022)(2)2(x x e e

e y x

f x

y

y x Y X

x x Y Y X e e e f x f x f --+-===2

)

2(22)1()1,()1(

18． 设随机变量~(1),X Exp 当已知X x =时，~(0,)Y U x 其中0x >．试求,X Y 的联合密度函数 。

19．设,X Y 是独立同分布的随机变量，它们都服从均匀分布(0,1)U .试求

Z X Y =+的分布函数与密度函数．

解: ,X Y 相互独立, 都服从均匀分布(0,1)U ,则概率密度函数分别为

()1,

010,X x f x <

?其它, ()1,01

0,Y y f y <

其它 根据卷积公式可得Z X Y =+的密度函数为 ()()()Z X

Y

f z f x f

z x d

x +∞

-∞

=

-? 只有满足01,01x z x <<<-<时,被积函数()()1X Y f x f z x -=非零.下面据此讨论 当()0,0;Z z f z <=.当()2,0;Z z f z >=

当01z ≤<,()0z

Z f z dx z ==?;当12z ≤<,()1

1

2Z z f z dx z -=

=-?.

于是综上可得密度函数为

(),

012,1

20,Z z z f z z z ≤

=-≤≤???

其它 再由分布函数()()z

Z Z

F z f z dz -∞

=

?可知,

()0,0;Z z F z <= ()2

1

01,;

2z

Z z F z z d z z ≤<==? ()()1

2011

12,221;2z

Z z F z zdz z dz z z ≤≤=+-=-+-??

()()1

2

1

2,21;Z z F z zdz z dz >=+-=??

从而()2

2

0,0,01

2

21,1221,

2

Z z z z F z z z z z

??≤

=??-+-≤≤??>?

20．设,X Y 是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为12,λλ的泊松分布. 证明Z X Y =+服从参数为12λλ+的泊松分布. 证明: 将随机变量,,X Y Z 的取值分别记为,,i j k ,则有

()

1

1,0,1,2,,

!

i

P X i e i i λλ-=== ()2

2,0,1,2,,

!

j

P Y j e j j λλ-==

= 且Z X Y =+的可能取值为所有的非负整数0,1,2,,k = 于是根据,X Y 相互独立 有 ()(

)(

)0,k

i P Z k P X Y k P X i Y k

i

===+===

=-∑ ()()0

k i P X i P Y k i

====-∑

()

()1

2120

!

!

k i i

k

i e

e i k i λλλλ---==-∑

()

()()12120!

!

!!

k

k i i i e

k k i k i λλλλ-+-==

-∑

()()

1212,0,1,2,,!

k

e

k k λλλλ-++=

=

由此可见Z X Y =+服从参数为12λλ+的泊松分布.

21．设,X Y 相互独立，~(2,1),~1,2)X N Y 试求23Z X Y +-+的密度函数． 有问题

22．设 ,X Y 是独立同分布的随机变量，它们都服从(0,1)N ．试求

Z =的分布函数与密度函数. ,21),(,21)(,21)(22

2

2222

y x y Y x X e

y x f e y f e x f +-

--=

=

=

π

π

π

?????

≥-=<=≤+=-≤+??01),(00)()(2/2222

2z e dxdy y x f z z Y X P z F z z

Y X z

???≥<=='-000

)()(2

/2z ze

z z f z F z z z (

))

(

)()2

2

2

2

0,0

,1,0

0,0

,0z

Z z

Z z z F z P z f x y dxdxy e

z z f z ze

z --

==?

=-≥

23．用卡车装水泥，设每袋水泥的重量(单位：千克)服从正态分布2(50,2.5)N (1) 卡车装了 60 袋水泥，试求水泥总重量Y 的密度函数[提示：

126012...,,,...,Y X X X X X X =+++独立同分布，且都服从2(50,2.5)N ]； (2) 要使卡车上水泥总重量超过 2000 千克的概率不大于 0.05．问最多应该装多少袋水泥?

(1)

750)3000(3752)3000(222

2

305115

5*21)()

375,3000()605.2,6050(~),60,1)(5.2,50(~--

?--

==

∴=??∴=y y Y i e

e

y f N N Y i N X π

π

(2)

36

65.15.250

2000

95.0)5.2502000

(95

.0}5

.250

2000

{95.0}2000{),1(95.0}2000{95

.0}2000{05.0}2000{105.0}2000{11≤?≥-∴≥-Φ∴≥-≤-?≥≤?=≥≤≥≤?≤≤-?≤>n n n n X P n X P n i nX P Y P Y P Y P i σμ 即24．设随机变量X 在1、2、3、4 四个整数中等可能地取值,而随机变量Y 在

1~X 中等可能地取一个整数.求：（1）2X =时,Y 的条件分布律；（2）1Y =时,X

的条件分布律.

i j i

i X P i X j Y P j Y i X P ≤=?=======,4,3,2,1,1

1}{}{},{

(1) (2)

25．箱子中装有12只开关(其中2只是次品)，从中取两次，每次取一只，并 定义随机变量如下：

0,0,1,1,X Y ??==??

??若第一次取出的是正品若第二次取出的是正品

；若第一次取出的是次品若第二次取出的是次品

试在放回抽样与不放回抽样的两种试验中，求关于,X Y 的条件分布律，并说 明,X Y 的独立性.

（1）放回抽样时：X 和Y 的联合分布律是

关于X 的条件分布律 关于Y 的条件分布律 X 和Y 独立

（2）不放回抽样类似

26．一个电子部件包含两个主要元件，分别以,X Y 表示这两个元件的寿命（以小时计），设(,)X Y 的联合分布函数为

0.010.010.01()1,0,0

(,)0,x y x y e e e x y F x y ---+?--+≥≥=?

?

其它 则两个元件的寿命都超过120小时的概率为？

解:设()X F x ,()Y F y 为,X Y 的分布函数,据联合分布函数(),F x y 的表达式可知

()()0.011,0

,0,

x X e x F x F x -?-≥=+∞=??其它,

()()0.011,0

,0,

y Y e y F y F y -?-≥=+∞=??其它.

于是()()(),X Y F x y F x F y =,这表明,X Y 相互独立.从而两个元件的寿命都超过120小时的概率为{}{}{}120,120120120P X Y P X P Y >>=>>

{}{}11201120P X P Y =-≤-≤???????? ()(

)11201120X Y F F =--????????

2.4

e -==

27.二维随机变量(,)X Y 的分布函数为21()(1),1,1

(,),y a x e x y F x y b --+?-->>=??其它

(1)求参数,a b ;(2)求{12,01}P X y <≤≤≤。 解 :据分布函数(),F x y 的表达式可得

()()()21lim ,lim 1y x x y y F x y a x e a --+→+∞

→+∞→+∞

→+∞

=--=,

()l i m ,l i m x x y y F x y b b →-∞→-∞→-∞

→-∞

=

=

在利用分布函数的性质(),1F +∞+∞=,(),0F -∞-∞=可知1,0a b ==. （2）{12,01}P X y <≤≤≤=0