江苏省无锡一中—学高二数学下学期期中考试理

江苏无锡一中2010—2011学年度高二（下）期中考试数学（理）试题

一、填空题：（共15小题，每小题5分，共75分） 1．“因为四边形ABCD 是菱形，所以四边形ABCD 的对角线互相垂直”，补充以上推理 的大前提为 ． 2．已知复数134z i =-和24z i =-在复平面内所对应的向量分别为12,OZ OZ （其中O 为坐标原点），记向量12Z Z 所对应的复数为z ，则z 的共轭复数为_____________． 3．某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买方案共有______种． 4．87

868+除以87所得的余数为________． 5．已知复数

10543i i

-+的虚部为m ，则3

m 的值为________． 6．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60?”时， 假设部分的内容应为____________________________．

7．在72)1)(2(+-x x 的展开式中，2

x 项的系数为 ．（用数字作答） 8．已知在ABC ?中，,,a b c 为内角,,A B C 所对的边长，r 为内切圆的半径，则ABC ? 的面积1

()2

S a b c r =

++?，将此结论类比到空间，已知在四面体ABCD 中， ______________________________________________，则________________________．

9．已知复数5

1(1)z i i =-，复数z 满足1z i -=，则1z z -的最大值为_________．

10．已知在二项式3

2

1()n

x x -

的展开式中，只有第六项的二项式系数最大， 则第四项为_____________．（系数用数字作答）

11．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），

要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有_________种．

（用数字作答） 12．已知9992399901239992)x a a x a x a x a x =++++

+，

则22024998135999()()a a a a a a a a +++

+-+++

+13．如右图，某地有南北街道5条，东西街道7角的邮局A 出发，送信到西南角的B 地，且途经C 路程最短，则共有__________种不同的走法．（用数字作答）14．有两排座位，前排9个座位，后排10个座位，现安排2规定前排中间的3个座位不能坐，且这2人不能相邻， 则不同排法的种数为_________．（用数字作答） 15．已知实数0x >，从不等式22144

2,322x x x x x x x

+

≥+=++≥启发我们推广为()

1()n

x n n N x ++

≥+∈，则“

（ ）”中应填写___________．

二、解答题：（共6题，共85分） 16．（本题共2小题，第一小题4分，第二小题8分，共12分）

在学习二项式定理时，我们知道杨辉三角中的数具有两个性质：① 每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等，

；② 图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的

和．我们也知道，性质①对应于组合数的一个性质：m n m

n n C C -=．

（1）试写出性质②所对应的组合数的另一个性质；

（2）请利用组合数的计算公式对（1）中组合数的另一个性质作出证明． 17．（本题共3小题，第一小题4分，第二小题4分，第三小题7分，共15分）

已知复数2

2

(6)(2)()z m m m m i m R =+-++-∈在复平面内所对应的点为A ． （1）若复数4z m +为纯虚数，求实数m 的值； （2）若点A 在第二象限，求实数m 的取值范围； （3）求z 的最小值及此时实数m 的值．

18．（本题共3小题，第一小题6分，第二小题5分，第三小题5分，共16分）

用5,4,3,2,1,0这六个数字组成无重复数字．．．．．的正整数． （1）共有多少个四位数？其中偶数有多少个？ （2）比4301大的四位数有多少个？ （3）能被3整除的四位数有多少个？ 注：以上结果均用数字作答

19．（本题共12分）

试问函数()sin f x x x =+是否为周期函数？请证明你的结论． 20．（本题共3小题，第一小题6分，第二小题5分，第三小题5分，共16分）

在

n

的展开式中，已知第5项的系数与第3项的系数之比是3:56． （1）求展开式中所有项的系数之和及奇数项的二项式系数之和； （2）求展开式中的所有有理项；

（3）求展开式中系数绝对值最大的项． 注：所涉及的系数均用数字作答 21．（本题共3小题，第一小题4分，第二小题6分，第三小题4分，共14分）

已知)(1

31211)(+∈+???+++

=N n n n f ． 经计算得357

(2),(4)2,(8),(16)3,(32),

222

f f f f f =>>>>，通过观察，我们可以

得到一个一般性的结论．

（1）试写出这个一般性的结论； （2）请证明这个一般性的结论；

（3）对任一给定的正整数a ，试问是否存在正整数m ，使得111

123a m

+++???+>？ 若存在，请给出符合条件的正整数m 的一个值；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、填空题：（共15小题，每小题5分，共75分）

1．菱形的对角线互相垂直 2．13i - 3．7 4．7 5．8- 6．三角形的三个内角都大于60? 7．41-

8．已知在四面体ABCD 中，1234,,,S S S S 分别为四个面的面积，r 为内切球的半径， 则四面体ABCD 的体积12341

()3

V S S S S r =

+++?．

91 10．15

120x - 11．420 12．1 13．90 14．214 15．n

n

二、解答题：（共6题，共85分） 16．（本题共2小题，第一小题4分，第二小题8分，共12分）

（1）1

1m m m n n n C C C -+=+………………………………………………………………………4分

（2）因为1(1)!

!(1)!

m

n n C m n m ++=

+-……………………………………………………………2分

1

!!!()!(1)!(1)!m m n n n n C C m n m m n m -+=+--+-………………………………2分

![(1)]!(1)(1)!!(1)!!(1)!!(1)!

n n m m n n n m n m m n m m n m +-+++===+-+-+-………3分

所以1

1m m m n n n C C C -+=+………………………………………………………………1分

17．（本题共3小题，第一小题4分，第二小题4分，第三小题7分，共15分）

（1）由2256020

m m m m ?+-=?+-≠?…………………………………………………………………2分

解得6m =-……………………………………………………………………………2分

注：未舍解的扣2分

（2）由2260

20m m m m ?+-?

……………………………………………………………………2分

解得32m -<<-或12m <<………………………………………………………2分 （3）22222

(6)(2)z m m m m =+-++-………………………………………………1分

令2

92[,)4

m m t +-=∈-+∞，……………………………………………………2分

则222

24162(2)8z t t t =-+=-+………………………………………………2分

所以当2t =即m =

时，……………………………………………………1分

z 有最小值1分

18．（本题共3小题，第一小题6分，第二小题5分，第三小题5分，共16分）

（1）四位数：300个………………………………………………………………………3分

四位偶数：156个……………………………………………………………………3分 （2）83个……………………………………………………………………………………5分 （3）96个……………………………………………………………………………………5分 19．（本题共12分）

解：函数()sin f x x x =+不是周期函数．………………………………………………2分

证明如下：（反证法）

假设函数()f x 的一个周期为(0)T T ≠，则有()()f x T f x +=成立，

即sin()sin T x T x ++=对一切实数x 均成立．……………………………………3分 取0x =和x π=得，sin 0

0sin 0

T T T T T +=??=?

-=?………………………………………4分

此与0T ≠相矛盾………………………………………………………………………1分 所以假设不成立…………………………………………………………………………1分 于是可知，函数()sin f x x x =+不是周期函数………………………………………1分 20．（本题共3小题，第一小题6分，第二小题5分，第三小题5分，共16分）

（1）由4422

(2):(2)56:3n n C C --=，解得10n =………………………………………2分

所有项的系数之和为10

(12)1-=……………………………………………………2分 奇数项的二项式系数之和为101

2512-=……………………………………………2分

（2

）55106110

10((2)r r r

r r r

r T C C x --+==-………………………………………2分

5

56

r -应为整数，r 可取0,6………………………………………………………1分

于是有理项为5

1T x =和713440T = (1)

（3）由11101011

10

1022

22r r r r r r r r C C C C --++?≥?≥?…………………………………………………………………2分 注：等号不写扣1分

解得223193r r ?≤????≥??

，于是r 只能为7………………………………………………………2分

所以系数绝对值最大的项为5

6

815360T x

-=-………………………………………1分

21．（本题共3小题，第一小题4分，第二小题6分，第三小题4分，共14分） （1）1

(2)12

n

f n ≥+

（当且仅当1n =时取等号）………………………………………4分 注：漏等号扣1分

（2）证明：（数学归纳法）

1? 当1n =时，显然成立

2? 假设当n k =时成立，即11111

112322k k ++++≥+………………………2分

当1n k =+时，左边11111111

123221222k k k k +=++++++++++

111111221222k k k k +≥+++++++

1112111112222

k k k k k +++>+++++共项

11

122

k =++=右边

即当1n k =+时，也成立．……………………………………………………3分 由1?2?知，1

(2)12

n

f n ≥+

成立．………………………………………………1分 （3）存在……………………………………………………………………………………1分

可取22a

m =…………………………………………………………………………3分

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