北京市朝阳区2020-2021学年高一数学上学期期末卷附答案解析

北京市朝阳区2020-2021学年高一数学上学期期末卷

一、单选题

1．已知集合{}

12A x x =-<<，{}2,1,0,1,2B =--，则A

B =（ ）

A ．

{}1,0-

B ．

{}0,1 C ．

{}1,0,1-

D ．

1,0,1,2

2．命题“0,sin 1x x ?≥≤”的否定是（ ）

A ．0,sin 1x x ?<>

B ．0,sin 1x x ?≤>

C ．0,sin 1x x ?<>

D ．0,sin 1x x ?≥> 3．下列函数中，既是奇函数又在区间()0,1上单调递增的是（ ）

A ．sin y x = B

．y =

C ．3y x =-

D ．lg y x =

4．函数()37f x x x =--的零点所在的区间是（ ）

A ．

()0,1

B ．

()1,2

C ．

()2,3

D ．

()3,4

5．已知函数()2cos f x x x =+.若120x x +=，则（ ）

A ．()()12f x f x <

B ．()()12f x f x >

C ．

()()120f x f x += D ．

()()120f x f x -=

6．已知0.5a =，0.60.5b =，0.6log 0.5c =，则（ ） A ．a b c << B ．b a c <<

C ．c a b <<

D ．c b a <<

7．已知函数

()y f x =可表示为（ ）

A ．()()43f f =

B ．()f x 的值域是{}1,2,3,4

C ．

()f x 的值域是[]1,4

D ．

()f x 在区间[]4,8上单调递增

8．在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.声强级y （单位：dB ）与声强度I （单位：2W /m ）之

间的关系为010lg I y I =，其中基准值122

010W /m I -=.若声强级为60dB 时的声强度为60I ，声强级为90dB 时的声强度为90I ，则90

60

I I 的值为（ ）

A ．10

B ．30

C ．100

D ．1000

9．已知α，β均为第一象限角，则“α

β<”是“sin sin αβ<”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

10．设函数()4sin

2

x

f x π=，若存在实数12,,,n x x x ，满足当12n x x x <<<时，

()()()()()()231122021n n f x f x f x f x f x f x --+-+-=，则正整数n 的最小值为（ ）

A ．505

B ．506

C ．507

D ．508

二、填空题

11．函数

()()lg 1f x x =-的定义域为______.

12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则xy 的最大值为______.

13．在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P ??

，

则tan α=______.

14．若函数

()()cos 2f x x φ=+的图象关于直线3

x π

=

对称，则常数?的一个取值为______.

15．设0a b <<，给出下列四个结论： ①a b ab +<；①23a b <；①22a

b <；①a a b b <.

其中所有正确结论的序号是______. 三、双空题

16．已知函数()221

x x m

f x +=+.

①当0m =时，

()f x 的值域为______；

①若对于任意,,a b c ∈R ，()f a ，f b ，()f c 的值总可作为某一个三角形的三边长，则实数m 的取值范

围是______.

四、解答题 17．已知全集U =R ，集合{}2230A x x x =--<，{}

1216x

B x =<<.

（①）求

(

)U

A B ?；

（①）设非空集合{}

23,D x a x a a =<<+∈R ，若U

D A ?，求实数a 的取值范围.

、

18．已知函数

()()sin 0,0,02f x A x A πω?ω??

?=+>><< ???

只能同时．．．．满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为2π；①最大值为2；①()01f =-；①03f π??

-= ???

.

（①）请指出()f x 同时满足的三个条件，并说明理由；

（①）求()f x 的解析式； （①）求()f x 的单调递增区间.

19．已知函数()2

2sin cos 213f x x x π??

=+-

- ??

?

. （①）求6f π??

???

的值； （①）若0,2x π??∈????

，求()f x 的最大值和最小值； （①）将函数

()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度，所得函数图象与函数cos 2y x =的图象重合，求

实数m 的最小值.

20．设函数()()2

m

f x x m x

=+

∈R ，且()212f =. （①）求实数m 的值； （①）判断

()f x 在区间()2,+∞上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论；

（①）若关于x 的方程()f x a =恰有三个实数解，写出实数a 的取值范围（不必证明）.

21．“函数()x ?

的图象关于点(),m n 对称”的充要条件是“对于函数()x ?定义域内的任意x ，都有

()()22x m x n ??+-=”.若函数()f x 的图象关于点()1,2对称，且当[]0,1x ∈时，()21f x x ax a =-++.

（①）求

()()02f f +的值；

（①）设函数()42x

g x x

=-. （i ）证明函数()g

x 的图象关于点()2,4-对称；

（ii ）若对任意[]10,2x ∈

，总存在22

,13x ??∈-???

?

，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.

解析

北京市朝阳区2020-2021学年高一数学上学期期末卷

一、单选题

1．已知集合{}

12A x x =-<<，{}2,1,0,1,2B =--，则A

B =（ ）

A ．

{}1,0-

B ．

{}0,1 C ．

{}1,0,1-

D ．

1,0,1,2

【答案】B

【分析】利用集合的交运算即可求解. 【详解】由{}

12A x x =-<<，{}2,1,0,1,2B =--，

则A

B ={}0,1.

故选：B

2．命题“0,sin 1x x ?≥≤”的否定是（ ）

A ．0,sin 1x x ?<>

B ．0,sin 1x x ?≤>

C ．0,sin 1x x ?<>

D ．0,sin 1x x ?≥> 【答案】D

【分析】根据全称命题的否定是特称命题，sin 1x ≤的否定是sin 1x >，即可得到答案. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，sin 1x ≤的否定是sin 1x >， 所以命题“0,sin 1x x ?≥≤”的否定是0,sin 1x x ?≥> 故选：D

【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题. 3．下列函数中，既是奇函数又在区间()0,1上单调递增的是（ ）

A ．sin y x =

B ．y =

C ．3y x =-

D ．lg y x =

【答案】A

【分析】根据解析式可直接判定奇偶性和单调性，得出答案. 【详解】对A ，根据正弦函数的性质可得sin y x =是奇函数，在()0,1单调递增，故A 正确；

对B ，y =

[)0,+∞，不关于原点对称，故不是奇函数，故B 错误；

对C ，3

y x =-在

()0,1单调递递减，故C 错误；

对D ，lg y x =的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，故不是奇函数，故D 错误.

故选：A. 4．函数()37f x x x =--的零点所在的区间是（ ）

A ．

()0,1 B ．

()1,2

C ．

()2,3

D ．

()3,4

【答案】C

【分析】先判断函数

()f x 在()0,1上的范围，排除A ；再判断()f x 在区间()1,+∞上的单调性，根据函数零点

存在性定理，即可判定出结果.

【详解】因为()()

3

2

717f x x x x x =--=--是定义在R 上的连续函数，

当()0,1x ∈

时，()210x x -<，所以()()2170f x x x =--<，即零点不可能在()0,1内；

任取121x x <<，则()()()()

()3

3

3

3

121122121277f x f x x x x x x x x x -=-------=-

()()122221121x x x x x x =++--，

因为121x x <<，所以120x x -<，22

112210x x x x ++->，即

()()()()221121212210f x x x f x x x x x ++---<=，即()()12f x f x <，

所以()37f x x x =--在()1,+∞上单调递增；

又

()111770f =--=-<，()282710f =--=-<，()32737170f =--=>，

()46447530f =--=>，

根据零点存在性定理，可得()37f x x x =--在()2,3内有零点，

故选：C. 5．已知函数()2cos f x x x =+.若120x x +=，则（ ）

A ．()()12f x f x <

B ．()()12f x f x >

C ．

()()120f x f x +=

D ．

()()120f x f x -=

【答案】D

【分析】判断函数为偶函数，根据题意可得1x 与2x 是一对互为相反数，由奇偶性定义即可求解. 【详解】由

()2cos f x x x =+，则()()()()2

2cos cos f x x x x x f x -=-+-=+=，

所以函数为偶函数，又120x x +=，则12x x =-， 所以()()()

2

2

112122cos cos x x x f x f x x +-=+-

()()()()

2

22222222222cos cos cos cos 0x x x x x x x x =-+--+=+-+=.

故选：D

6．已知0.5a =，0.60.5b =，0.6log 0.5c =，则（ ） A ．a b c << B ．b a c <<

C ．c a b <<

D ．c b a <<

【答案】A

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性进行判断即可. 【详解】0.5a =，

由0.5x

y =是单调递减函数，

00.610.50.50.5>>，所以1b a >>

0.6log y x =是单调递减函数，

0.60.6log 0.5log 0.61c =>=，

所以a b c << 故选：A 7．已知函数

()y f x =可表示为（ ）

A ．()()43f f =

B ．()f x 的值域是{}1,2,3,4

C ．

()f x 的值域是[]1,4

D ．

()f x 在区间[]4,8上单调递增

【答案】B 【分析】()()42f f =，

所以选项A 错误；由表得()f x 的值域是{}1,2,3,4，所以选项B 正确C 不正确；()f x 在区间

[]4,8上不是单调递增，所以选项D 错误.

【详解】A. ()()(4)3,4(3)2f f f f ===，所以该选项错误； B. 由表得()f x 的值域是{}1,2,3,4，所以该选项正确；

C. 由表得()f x 的值域是{}1,2,3,4，不是[]1,4，所以该选项错误；

D.

()f x 在区间[]4,8上不是单调递增，如：54>，但是(5)=(4)=3f f ，所以该选项错误.

故选：B

【点睛】方法点睛：判断函数的性质命题的真假，一般要认真理解函数的定义域、值域、单调性等的定义，再

根据定义分析判断.

8．在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.声强级y （单位：dB ）与声强度I （单位：2W /m ）之

间的关系为010lg I y I =，其中基准值122

010W /m I -=.若声强级为60dB 时的声强度为60I ，声强级为90dB 时的声强度为90I ，则90

60

I I 的值为（ ）

A ．10

B ．30

C ．100

D ．1000

【答案】D

【分析】根据题意，把90

60

I I 转化为对数运算即可计算．

【详解】由题意0

10lg

I

y I =可得： 906000

9010lg

6010lg I I I I ==， 906090600000

30=906010lg

10lg =10lg lg I I I I

I I I I ∴-=--（） 9060900900006060

3=lg lg 3=lg ?=lg I I I I I

I I I I I ∴-∴，（） 390

60

=10=1000I I ∴

故选：D

【点睛】数学中的新定义题目解题策略： (1)仔细阅读，理解新定义的内涵； (2)根据新定义，对对应知识进行再迁移. 9．已知α，β均为第一象限角，则“αβ<”是“sin sin αβ<”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】利用充分性和必要性分别讨论即可. 【详解】由π7π,33

αβ==均为第一象限的角， 满足α

β<，但sin sin αβ=，

因此不充分； 由sin sin αβ<， 得π-5π,66

αβ=

=均为第一象限的角， 得到αβ>， 因此不必要； 故选：D.

10．设函数()4sin

2

x

f x π=，若存在实数12,,,n x x x ，满足当12n x x x <<<时，

()()()()()()231122021n n f x f x f x f x f x f x --+-+-=，则正整数n 的最小值为（ ）

A ．505

B ．506

C ．507

D ．508

【答案】C

【分析】根据正弦函数的性质，确定()4sin

2

x

f x π=的最值，根据题中条件，得到

()()()111,i i f x f x i n i N ++-≤≤-∈尽可能多的取得最大值4，即可求解.

【详解】因为()[]4sin 0,42

x

f x π=∈，即()min 0f x =，()max 4f x =，所以()()124f x f x -≤，当()

1f x 与

()2f x 一个等于0，另一个为4时，()()12f x f x -取得最大值4；

为使满足()()()()()()231122021n n f x f x f x f x f x f x --+-+-=的正整数n 最小，只需

()()()111,i i f x f x i n i N ++-≤≤-∈尽可能多的取得最大值4，

而505420202021?=<，

所以至少需506个()()()111,i i f x f x i n i N ++-≤≤-∈，才能使

()()()()()()231122021n n f x f x f x f x f x f x --+-+-=，

此时1506n -=，即507n =. 故选：C.

【点睛】关键点点睛：

求解本题的关键在于根据三角函数的性质，确定()f x 的最大值，得到()()()

111,i i f x f x i n i N ++-≤≤-∈中有505项取得最大值4时，即可求解.

二、填空题

11．函数

()()lg 1f x x =-的定义域为______.

【答案】()1,+∞

【分析】根据对数型复合函数定义域可得：010x x ≥??->?

，解不等式即可求解.

【详解】由

()()lg 1f x x =-，

则0

10x x ≥??

->?

，解得1x >，

所以函数的定义域为()1,+∞. 故答案为：()1,+∞

12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则xy 的最大值为______. 【答案】1

【分析】利用基本不等式直接求解即可. 【详解】解：因为0,0,2x y x y >>+=，

所以2x y =+≥1xy ≤，当且仅当1,1x y ==取等号，

所以xy 的最大值为1， 故答案为：1

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

13．在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点，始边与x

轴的非负半轴重合，终边经过点P ??

，则tan α

=______.

【答案】

1

2

【分析】根据正切函数的定义即可求出. 【详解】

α

终边经过点55P ?

??

，

1

tan 2α∴==.

故答案为：

12

. 14．若函数

()()cos 2f x x φ=+的图象关于直线3

x π

=

对称，则常数?的一个取值为______.

【答案】

3

π（答案不唯一，满足2,3k k Z π

?π=-∈即可） 【分析】令2,x k k Z ?

π+=∈，将3

x π

=

代入可求出?.

【详解】令2x k ?π+=，k Z ∈，解得,22

k x k Z π?

=

-∈， ()f x ∴关于,22

k x k Z π?

=

-∈对称，

3

x π

=

是

()f x 的对称轴，

,3

22

k k Z π

π?∴

=

-∈，解得2,3k k Z π

?π=-∈， 令1k =得3

π

?=

.

故答案为：

3

π（答案不唯一，满足2,3k k Z π

?π=-∈即可）. 15．设0a b <<，给出下列四个结论： ①a b ab +<； ①23a b <； ①22a b <；

①a

a b b <.

其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①①①

【分析】利用不等式性质直接判断①①正确，利用指数函数2x

y =的单调性判断①正确，利用特殊值验证①错误

即可.

【详解】由0a b <<知，0ab >，

11

0a b +<，故110a b a b ab

++=<，得a b ab +<，故①正确； 取3,2a b =-=-，满足0a b <<，但26,36a b =-=-，不满足23a b <，故①错误； 由指数函数2x

y =单调递增可知，0a b <<，则22a b <，故①正确；

由0a b <<知，0a b ->->，

0a b >>，根据不等式性质可知，()()0a a b b -?>-?>，故

0a a b b <<，故①正确.

故答案为：①①①.

三、双空题

16．已知函数()221

x x m

f x +=+.

①当0m =时，

()f x 的值域为______；

①若对于任意,,a b c ∈R ，()f a ，f b ，()f c 的值总可作为某一个三角形的三边长，则实数m 的取值范

围是______. 【答案】

()0,1；

1

22

m ≤≤. 【分析】①当0m =时，先利用分离常数法整理函数， 再利用20x >逐步计算1

01112

x

<-

<+，即得值域； ①先分析知

()f a +f b ()f c >恒成立，再利用定义法讨论函数单调性，并结合单调性求得值域，根据恒成

立关系列关于参数的不等关系，解得参数范围即可.

【详解】①当0m =时，函数()221

1212112

x x x x x

m f x +===-+++，定义域为R ， 由20x

>知，121x +>，则10112x

<

<+，即11012x -<-<+，故

101112x <-<+， ()f x 的值域为()0,1；

①依题意，作为某一个三角形的三边长，

()f a +f b ()f c >恒成立，

函数()22111

1212112x x x x x

m m m f x +++--===+

+++，定义域为R ， 任取1212,,x x R x x ∈<，则()()121211

111212x x m m f x f x --?

???-=+

-+ ?

?++????()121

111212x x m ??=-- ?++??

()()()21

122211212x x x x m -=-?++，

由12x x <可知12022x x <<，即21220x x ->，故()()

21

12

2201212x x x x ->++， 当10m ->，即1m 时，()()120f x f x ->，

即()()12f x f x >，()f x 在R 上单调递减，又1

0112x

<<+，

则10112x m m -<<-+，1

1112

x

m m -<+<+，即()f x 的值域为()1,m ， 故

()()1,1a f f b >>，则()()2f a f b +>，又()f c m <，要使()f a +f b ()f c >恒成立，则需2m ≤，故m 的取值范围是12m <≤；

当10m -=，即1m =时，()1f x =，()f a +112f b ，()1f c =，显然()f a +f b ()f c >恒

成立，故1m =符合题意； 当10m -<，即1m <时，()()120f x f x -<，

即()()12f x f x <，()f x 在R 上单调递增，又1

0112

x

<<+，则11012x m m --<

<+，

1

1112x

m m -<+<+，即()f x 的值域为(),1m ，故()()2f a f b m +>，()1f c <，

要使

()f a +f b ()f c >恒成立，则21m ≥，即1

2

m ≥

，故m 的取值范围是112m ≤<；

综上所述：m 的取值范围是

1

22

m ≤≤. 故答案为：

()0,1；

1

22

m ≤≤. 【点睛】关键点点睛：

本题解题关键在于讨论函数的单调性来确定值域，才能将()f a +f b ()f c >恒成立的问题转化到取值范围

上，以突破难点.

四、解答题 17．已知全集U =R ，集合{}2230A x x x =--<，{}

1216x

B x =<<.

（①）求

(

)U

A B ?；

（①）设非空集合{}

23,D x a x a a =<<+∈R ，若U

D A ?，求实数a 的取值范围.

【答案】（①）{}

34x x ≤<；（①）

(][)3,23,--?+∞.

【分析】（①）分别解不等式，化简两集合，再由交集和补集的概念，即可求出结果； （①）由（①），根据集合D 非空，且U

D A ?，列出不等式求解，即可得出结果.

【详解】（①）因为{}

{}2

23013A x x

x x x =--<=-<<，{}

{}121604x B x x x =<<=<<，

所以

{1U

A x x =≤-或}3x ≥，则(){}34U A

B x x ?=≤<；

（①）因为非空集合{

}

23,D x a x a a =<<+∈R ，且U

D A ?

，

所以233

a a a <+??≥?或23231a a a <+??+≤-?，

解得3a ≥或32a -<≤-， 即实数a 的取值范围是(][)3,23,--?+∞.

18．已知函数

()()sin 0,0,02f x A x A πω?ω??

?=+>><< ??

?只能同时．．．．满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为2π；①最大值为2；①()01f =-；①03f π??

-= ???

.

（①）请指出

()f x 同时满足的三个条件，并说明理由；

（①）求()f x 的解析式； （①）求

()f x 的单调递增区间.

【答案】（①）①①①，见解析；（①）()2sin 3f x x π??

=+

??

?

； （①）52,2,66k k k Z ππππ??

-

+∈???

?

【分析】（①）代入①计算，可判断不成立，故满足的三个条件为①①①；（①）由①①①，分别计算,,A ω?的值，可得函数

()f x 解析式；（①）利用整体法列不等式计算单调递增区间.

【详解】（①）因为

()0sin f A ?=，0A >，02

π

?<<

，所以

()0sin 0f A ?=>，故①不成立；所以()

f x 满足的三个条件为：①①①；

（①）由（①）知，最小正周期为2π，最大值为2，可得212π

ωπ

==，2A =，所以()()2sin f x x ?=+，又因为03f π??-= ???

，02π?<<，则2sin 033f ππ?????-=-+= ? ?????，即03π?-+=，得3π

?=，所以

()2sin 3f x x π?

?=+ ??

?.

（①）由22,2

3

2

k x k k Z π

π

π

ππ-

≤+

≤+

∈，得522,66

k x k k Z ππ

ππ-

≤≤+∈， 所以

()f x 的单调递增区间为52,2,66k k k Z ππππ?

?-+∈???

?. 【点睛】求三角函数的解析式时，由2T

π

ω

=

即可求出ω；确定?时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标0x ，则令00x ω?+=（或0x ω?π+=），即可求出?，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和?，若对A ，ω的符号或对?的范围有要求，则可

用诱导公式变换使其符合要求.

19．已知函数()2

2sin cos 213f x x x π??=+-- ??

?.

（①）求6f π??

???

的值； （①）若0,2x π??

∈????

，求()f x 的最大值和最小值； （①）将函数

()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度，所得函数图象与函数cos 2y x =的图象重合，求

实数m 的最小值.

【答案】（①）

1

2；（①）最小值为12-，最大值为1；（①）3

π 【分析】（①）利用二倍角公式、差的余弦公式和辅助角公式化简函数可得()sin 26f x x π?

?

=- ??

?

，代入6

x π

=

可求； （①）由0,

2x π??

∈????

可得52,666x πππ??-∈-????，在利用正弦函数的性质即可求解； （①）求出平移后的解析式，可得22,6

2

m k k Z π

π

π-

=

+∈，即可解出m ，得出最小值.

【详解】（①）()2

2sin cos 213f x x x π?

?

=+-

- ??

?

cos 2cos 2cos

sin 2sin

3

3x x x π

π

=-++12cos 22

x x =-sin 26x π??=- ???， 1

sin 26662f πππ????∴=?-= ? ????

?；

（①）当0,2x π??

∈????

时，52,666x πππ??-∈-????， 则当26

6

x π

π

-

=-

，

()f x 取得最小值为12

-，

当22

6x π

π-

=，()f x 取得最大值为1； （①）将函数

()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度，可得sin 226y x m π?

?=+- ??

?，

则

sin 226y x m π?

?=+- ??

?和cos 2y x =的图象重合，

22,6

2

m k k Z π

π

π∴-

=

+∈，解得,3

m k k Z π

π=

+∈，

0m >，则当0k =时，m 取得最小值为

3

π

. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简求三角函数性质，解题的关键是利用二倍角公式、差的余弦公式和辅助角公式化简函数可得()sin 26f x x π??

=- ??

?

. 20．设函数()()2

m

f x x m x

=+

∈R ，且()212f =. （①）求实数m 的值；

（①）判断

()f x 在区间()2,+∞上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论；

（①）若关于x 的方程

()f x a =恰有三个实数解，写出实数a 的取值范围（不必证明）.

【答案】（1）16；（2）

()f x 在区间()2,+∞上为增函数，证明见详解；（2）()12,a ∈+∞

【分析】（1）将2x =直接代入即可求解.

（2）根据证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、定号即可证明. （3）根据

()f x 的单调性，即可得出结果.

【详解】（1）由()()2

m f x x m x =+∈R ，()212f =，即4122

m

+=，解得16m =. （2）

()f x 在区间()2,+∞上为增函数，

由（1）可知()2

16

f x x x

=+

，任取()12,2,x x ∈+∞，且12x x <， 则()()()()()212

2121212121212

161616

x x f x f x x x x x x x x x x x --=+

--=-++ ()()12121212

16

x x x x x x x x +-=-?

，

由120x x -<，124x x +>，124x x >， 所以

()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数为增函数.

（3）由()2

16

f x x x

=+

，可知()12,a ∈+∞. 21．“函数()x ?

的图象关于点(),m n 对称”的充要条件是“对于函数()x ?定义域内的任意x ，都有

()()22x m x n ??+-=”.若函数()f x 的图象关于点()1,2对称，且当[]0,1x ∈时，()21f x x ax a =-++.

（①）求

()()02f f +的值；

（①）设函数()42x

g x x

=-. （i ）证明函数()g

x 的图象关于点()2,4-对称；

（ii ）若对任意[]10,2x ∈

，总存在22

,13x ??∈-???

?，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.

【答案】（①）4（①）（i ）证明见详解；（ii ）[]1,3- 【分析】（①）计算()()2224f x f x +-=?=，令0x =，即求.

（①）（i ）计算()()4g

x g x +-，由新定义即可证明；

（ii ）求出()g

x 的值域，设()f x 在[]0,2上的值域为A ，存在与恒成立思想可得A 是()g x 的值域的子集，

再由二次函数的最值以及对称性求出A ，结合集合的包含关系即可求出范围. 【详解】（①）由题意，若函数()f x 的图象关于点()1,2对称，

则

()()2224f x f x +-=?=，

令0x =，可得

()()024f f +=.

（①）（i ）由()42x

g x x

=

-，

()()()()4444224x x g x g x x x -+-=

+---()4164816824222x x x x x x

--=-==-=?----， 所以函数()g

x 的图象关于点()2,4-对称.

（ii ）()48422x g x x x ==-+--，函数在2,13??-????

上单调递增， 所以()[]1,4g x ∈-，

不妨设

()f x 在[]0,2上的值域为A ，

对任意[]10,2x ∈，总存在22,13x ??

∈-????

，使得()()12f x g x =成立， 则[]1,4A ?-，

当[]0,1x ∈时，()21f x x ax a =-++，且()12f =，

当

02

a

≤时，即0a ≤，函数()f x 在[]0,1上单调递增， 由对称性可知，

()f x 在(]1,2上单调递增，

()f x ∴在[]0,2上单调递增，由()01f a =+，()()024f f +=，

所以()23f a =-， []1,3A a a ∴=

+-，

由[]1,4A ?-，可得11430a a a +≥-??

≥-??≤?

，解得10a -≤≤，

当012

a

<

<时，即02a <<， 函数

()f x 在0,2a ??????上单调递减，在,12a ??

???

上单调递增，

由对称性可知

()f x 在1,22a ??- ??

?上单调递增，在2,22a ?

?- ???上单调递减，

()f x ∴在0,2a ??????

上单调递减，在,222a a ??- ???上单调递增，在2,22a ?

?- ???上单调递减，

结合对称性可得()()2,0A f f =????或,222a a A f

f ??????=- ? ?????????

，

02a <<，()()011,3f a ∴=+∈，

又

()()024f f +=，()()231,3f a ∴=-∈，

[]2

11,224a a f a ??

=-++∈ ???

，

又2422a a f f ???

?+-=

? ?????，()22,32a f

?

?∴-∈ ???

，

∴当02a <<，[]1,4A ?-成立；

当12

a

≥，即2a ≥时，()f x 在[]0,1上单调递减， 所以()f x 在[]1,2上单调递减， 由

()01f a =+，()()024f f +=，所以()23f a =-，[]3,1A a a ∴=-+，

由[]1,4A ?-，可得31412a a a -≥-??

≥+??≥?

，解得23a ≤≤，

综上所述，实数a 的取值范围为[]1,3-.

【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的新定义，考查了二次函数的最值以及函数对称性，解题的关键是将问题转化为两函数值域的包含关系，考查了任意性、存在性问题，同时考查了分类讨论的思想以及转化与化归的思想.