三角恒等变换专题复习(教师版)
人教版高中数学必修四三角恒等变换题库
（数学4必修）第三章 三角恒等变换 [基础训练A 组] 一、选择题 1．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．7 24- 2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ） A . 5π B .2 π C .π D .2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判定 4．设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，c = ， 则,,a b c 大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b << 5．函数)cos[2()]y x x ππ= -+是（ ） A .周期为4π的奇函数 B .周期为4 π的偶函数 C .周期为2π的奇函数 D .周期为2 π的偶函数 6．已知cos 2θ= 44sin cos θθ+的值为（ ） A ．1813 B ．1811 C ．9 7 D ．1- 二、填空题 1．求值：0000 tan 20tan 4020tan 40+=_____________。 2．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα += 。 3．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________。
4．已知sin cos 223 θ θ +=那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 。 5．ABC ?的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，cos 2cos 2 B C A ++取得最大值，且这个最大值为 。 三、解答题 1．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值. 2．若,2 2sin sin = +βα求βαcos cos +的取值范围。 3．求值：0 010001cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20 -+-- 4．已知函数.,2 cos 32sin R x x x y ∈+= （1）求y 取最大值时相应的x 的集合； （2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象. （数学4必修）第三章 三角恒等变换 [综合训练B 组] 一、选择题 1．设2132tan131cos50cos6sin 6,,,221tan 13a b c -=-==+则有（ ） A .a b c >> B .a b c << C .a c b << D .b c a <<
(浙江专版)高考数学一轮复习 专题4.3 简单的三角恒等变换(讲)
第03节简单的三角恒等变换 【考纲解读】 【知识清单】 1.两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；
C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β； S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β； T (α＋β)：tan(α＋β)＝1－tan αtan βtan α＋tan β ； T (α－β)：tan(α－β)＝1＋tan αtan βtan α－tan β . 变形公式： tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)； . 函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 2. 二倍角公式的运用公式的应用 二倍角的正弦、余弦、正切公式： S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α； C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； T 2α：tan 2α＝1－tan2α2tan α. 变形公式： cos 2α＝21＋cos 2α，sin 2α＝21－cos 2α 1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 【重点难点突破】 考点1两角和与差的三角函数公式的应用 【1-1】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆：，点 ， ， 记射线 与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的
高中数学三角恒等变换精选题目(附答案)
高中数学三角恒等变换精选题目（附答案） 1、cos 24cos36cos66cos54? ? ? ? -的值为（ ） A 0 B 12 C 2 D 1 2 - 2.3cos 5α=- ，,2παπ?? ∈ ??? ，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ） A 、3365- B 、6365 C 、5665 D 、1665 - 3. tan 20tan 4020tan 40? ? ? ? ++的值为（ ） A 1 B 3 C D 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ） A 47- B 47 C 18 D 18- 5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4 cos 5 αβ+=-，则βsin 的值是（ ） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、6365 6.,)4,43(ππ- ∈x 且3cos 45x π?? -=- ??? 则cos2x 的值是（ ） A 、725- B 、2425- C 、2425 D 、7 25 7. 函数4 4 sin cos y x x =+的值域是（ ） A []0,1 B []1,1- C 13,22?????? D 1,12?? ???? 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于 5 4 ,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A 1010 B 1010- C 10103 D 10 103- 9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-= 的图像（ ）
A 、向右平移6π个单位 B 、向右平移12π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向左平移12π个单位 10. 函数sin 22x x y =+的图像的一条对称轴方程是 （ ） A 、x =113π B 、x = 53π C 、53x π=- D 、3 x π =- 11. 已知1cos sin 21cos sin x x x x -+=-++，则x tan 的值为 （ ） A 、34 B 、34- C 、43 D 、4 3- 12.若0,4πα? ? ∈ ?? ?()0,βπ∈且()1tan 2αβ-=,1 tan 7 β=-,则=-βα2 （ ） A 、56π- B 、23π- C 、 712 π- D 、34π- 13. .在ABC ?中，已知tanA ,tanB 是方程2 3720x x -+=的两个实根，则tan C = 14. 已知tan 2x =，则 3sin 22cos 2cos 23sin 2x x x x +-的值为 15. 已知直线12//l l ，A 是12,l l 之间的一定点，并且A 点到12,l l 的距离分别为12,h h ，B 是直线2l 上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ?面积的最小值为 。 16. 关于函数( )cos2cos f x x x x =-，下列命题： ①若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ?? - ???? 上是单调递增； ③函数()f x 的图像关于点,012π?? ??? 成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移 512 π 个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上） 17. 已知02 π α<< ，15tan 2 2tan 2 α α + = ，试求sin 3πα? ?- ?? ?的值． 18. 求) 212cos 4(12sin 3 12tan 30 200--的值．
三角恒等变换专题复习
三角恒等变换专题复习 一、 两角和与差的三角函数公式：⑴ sin()_____________________αβ±= ⑵ cos()____________________αβ±=⑶ tan()_____________αβ±= 练习：1、sin15______o =；1tan15______1tan15 o o +=- 1tan 751tan 75+- ＝ 2、sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ） A.－21 B.21 C.－ 2 3 D. 2 3 （一）特殊技巧 （1）平方相加 ①ABC ?中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则C ∠＝_______． ②已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-_______． (2)表示分子 ①求值0000 tan35tan 25tan 25+? ②求(1tan 22)(1tan 23)_______o o ++=。 ③求 (1tan1)(1tan 2)(1tan3)(1tan 44)_______o o o o ++++= （二）知值求值，知值求角 ①设1sin()9αβ-=-，cos 2α=13 ，且0＜α＜2 π，0＜β＜2 π，求cos （α+β） ②已知 α∈(4π，43π )，β∈(0，4π),cos (α－4 π)＝5 3，sin(4 π ＋β)＝13 5，求sin(α＋β)的值． ③已知?? ? ??∈π,π4 3 βα、，5 3)sin(-=+βα，13 124πsin =??? ? ?-β，则?? ? ? ?+4πcos α的值 ④若sinA= 5 5 ，sinB= 10 10，且A ，B 均为钝角，求A+B 的值。 ⑤已知tan α ，tan β 是方程6x 2－5x ＋1＝0的两个根，且0＜α ＜2π ，π2 3π<<β，求α ＋β 的值 二、二倍角公式； ⑴ sin 2__________θ=__________= ①已知3sin(),4 5 x π -=则sin 2x 的值为（ ） ②若 ，且，则=（ ） ③已知),2,23( ππα∈化简ααsin 1sin 1-++2cos 2 α -__________= ④已知cos 23 θ= 44sin cos θθ+的值为（）A ．1813 B ．1811 C ．97 D ．1- ⑵ cos 2__________α= __________= __________= __________= 降次公式： 2cos _______α=， 2sin _________α= ①求证：cos4θ-4cos2θ+3=8sin 4θ. ②已知sin 2 α=35,cos 2α= -45 ,则角α终边所在的象限是 ③证明， 1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθ θθθ+-=++ ④已知 1cos sin 21cos sin x x x x -+=-++，则x tan 的值为 ⑤函数2 21tan 21tan 2x y x -=+的最小正周期是__________= （3）tan 2____________θ= ①在△ABC 中，cos A =35 ,tan B =2，求tan(2A +2B )的值。 ②若1tan 2008,1tan αα+=-则1 tan 2cos 2αα += 。
三角恒等变换各种题型归纳分析
三角恒等变换基础知识及题型分类汇总 /4的两倍，3α是 “二倍角”的
题型一：公式的简单运用 例1: 题型二：公式的逆向运用 例2: 题型三：升降幂功能与平方功能的应用 例3. 提高题型： 题型一：合一变换（利用辅助角公式结合正余弦的和角差角公式进行变形） 例1 方法：角不同的时候，能合一变换吗？ .cos sin ,,cos sin .cos sin cos sin )(;cos sin cos sin )(.cos )(;cos )(; sin )(;sin )(.x x x x x 2203132212212221221121420131240111和求已知化简：化简下列各式： πθ θθθθθθθα α<<=+--+-++-+-?+-?+).2tan(,21)tan(,,2,53sin ][).22tan(,2tan ,54cos ][.tan ,cos ,sin ,,22,13122cos ][.4tan ,4cos ,4sin ,2 4,1352sin ][y x y x x B A B A ABC -=-??? ??∈=+==??? ??∈-=<<=求已知提高练习求中，在△课本例题求已知同型练习求已知课本例题πππαααππαααααπαπα????? ??-??? ??---?-?-???72cos 36cos )2(;125cos 12cos )1(.34cos 4sin )3(;23tan 23tan 1)2(;2cos 2sin )1(.275sin 21)3(;15tan 115tan 2)2(;5.22cos 5.22sin )1(.124422πππααπαααα求值：化简下列各式：求下列各式的值：.)70sin(5)10sin(3.3.2cos )31(2sin )31(,.212 cos 312sin .1的最大值求大值有最大值？并求这个最取何值时当锐角?++?+=-++-x x y θθθππ
三角恒等变换知识点总结
、知识点总结 1、两角和与差的正弦、 ⑴cos cos ⑶sin si n 三角恒等变换专题 余弦和正切公式: cos sin si n :⑵ cos cos cos si n si n cos cos si n :⑷ sin si n cos cos si n ⑸tan tan tan 1 tan tan ⑹ta n tan tan 1 tan tan 2、二倍角的正弦、 余弦和正切公式： ⑴ sin 2 2si n cos 1 sin 2 ⑵ cos2 cos 2 ?2 sin 2cos 2 升幕公式 1 cos 2cos 2 — 2 降幕公式 2 cos cos2 1 (tan (tan 1 cos 2 ,1 sin 2 .2 sin tan tan 2 cos tan tan 2 sin cos tan tan tan tan (si n ） ； ). cos )2 1 2si n 2 2sin 2 — 2 1 cos2 ⑶tan2 1 2ta n tan 2 万能公式 半角公式 2 tan a cos - 2 a tan - 2 1 "一个三角函数，一个角，一次方”的y A sin （ x a 2 2 a tan — 2 2 a tan - 2 4、合一变形 把两个三角函数的和或差化为 形式。 sin 2 si n ，其中tan 5. (1)积化和差公式 1 cos = [sin( 2 1 cos =— [cos( 2 和差化积公式 si n cos (2) si n + )+sin( + )+cos( +sin = 2 sin ------ cos --- 2 2 )] )] cos si n si n 1 sin = [sin( + )-sin( 2 1 sin = - — [cos( + )-cos( 2 )] )] -sin = 2 cos ----- sin --- 2 2
简单的三角恒等变换专题及答案
简单的三角恒等变换专题 一、选择题 1．已知sin α＝2 3 ，则cos(π－2α)＝( ) A ．－53 B ．－19 C.19 D.53 2． 2cos10°－sin20° sin70° 的值是( ) A.12 B.3 2 C. 3 D. 2 3．若sin76°＝m ，用含m 的式子表示cos7°为( ) A.1＋m 2 B.1－m 2 C ．±1＋m 2 D.1＋m 2 4．若 cos2αsin ? ? ? ??α＋7π4＝－2 2，则sin α＋cos α的值为( ) A ．－22 B ．－12 C.12 D.7 2 5．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1 sin x 2cos x 2 ，则f ? ?? ?? π12的值为( ) A ．4 3 B.83 3 C ．4 D ．8 6．已知cos ? ????π6－α＋sin α＝45，则cos ? ? ? ??α＋2π3的值是( ) A ．－25 B.25 C.4315 D ．－43 15
7．已知α，β∈? ?? ?? 0，π2，满足tan(α＋β)＝4tan β，则tan α的最大值是( ) A.14 B.34 C.34 2 D.3 2 8．已知tan α＝4，则1＋cos2α＋8sin 2αsin2α 的值为( ) A ．4 3 B.654 C ．4 D.23 3 9．已知sin2α＝－ 2425，且α∈? ?? ?? 3π4，π，则sin α＝( ) A.35 B.45 C ．－35 D ．－4 5 10．已知α∈(0，π)，cos ? ? ???α＋π6＝22 ，则tan2α＝( ) A.33 B ．－3 3 C. 3 D ．－ 3 二、填空题 11． 3tan12°－3 (4cos 212°－2)sin12°＝________. 12．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2 第三章 三角恒等变换 一、选择题 1．函数y ＝sin ＋cos ??? ? ? 2π ＜ ＜ 0α的值域为( )． A ．(0，1) B ．(－1，1) C ．(1，2] D ．(－1，2) 2．若0＜＜＜4 π ，sin ＋cos ＝a ，sin ＋cos ＝b ，则( )． A ．a ＜b B ．a ＞b C ．ab ＜1 D ．ab ＞2 3．若θθtan ＋2tan 1－＝1，则θθ 2sin ＋12cos 的值为( )． A ．3 B ．－3 C ．－2 D ．－ 2 1 4．已知 ∈??? ? ?2π3 ，π，并且sin ＝－ 2524，则tan 2α等于( )． A ．34 B ．43 C ．－43 D ．－34 5．已知tan(＋)＝3，tan(－)＝5，则tan 2＝( )． A ．－ 4 7 B ． 4 7 C ．－ 7 4 D ． 7 4 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＞sin A sin B ，则该三角形是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．锐角或直角三角形 7．若0＜＜2π＜＜，且cos ＝－3 1 ，sin(＋)＝97，则sin 的值是 ( )． A ． 27 1 B ． 27 5 C ．3 1 D ． 27 23 8．若cos(＋)·cos(－)＝31，则cos 2 －sin 2 的值是( )． A ．－ 3 2 B ．3 1 C ．－31 D ． 3 2 9．锐角三角形的内角A ，B 满足tan A －A 2sin 1 ＝tan B ，则有( )． A ．sin 2A －cos B ＝0 B ．sin 2A ＋cos B ＝0 C ．sin 2A －sin B ＝0 D ．sin 2A ＋sin B ＝0 三角恒等变换专题 【整体感知】：三角恒等变换是我们学习了三角函数之后的两角和差公式以及二倍角公式的运用。 所以在考试中经常和三角函数的图像与性质一起考查。尤其是二倍角公式的运用。 【热点点击】：高考中对于三角恒等变换中的二倍角公式考查的是比较多的，也是高考的一个热点。注意公式的正用和逆用以及变用。 【本章考点】:两角和差的三角函数公式、二倍角公式、三角恒等变换的化简与证明。 【高考命题趋势】：1.考查两角和差的三角函数公式，经常以小题形式出现，难度不大；2考查二倍角公式的运用，题型可以是小题，也可以是大题，为中档题；3.考查三角恒等变换的化简与求值问题，一般都放在大题中进行考查；4.解答题数中高档题目.对三角恒等变换的考查形式有稳重求变、求活，以“能力立意”的命题趋势. 【高考复习建议】：1.首先熟练记忆三角函数的两角和差的正弦公式和余弦公式、正切公式；2.联系三角函数的有关的图像以及性质，往往先化简后，然后利用三角函数的性质求解，因此化简的过程就是三角恒等变换的重要体现。特别是二倍角的余弦公式。注重通法通解的训练，不要只注重技巧. 第1讲 两角和差的正弦、余弦、正切公式 【知识精讲】 两角和、差的正弦，余弦、正切公式及其变形；二倍角、半角的正弦、余弦、正切公式；升降幂公式；万能公式；. 【基础梳理】 1.两角和与差的三角函数 ()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ ()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()βαβαβαsin sin cos cos cos +=- 2.二倍角公式： αααcos sin 22sin = 2 22 2 2cos sin 12sin 2cos 11tan cos22tan tan2ααααα αα α-=-=--== 3. 半角公式 2 cos 12sin αα -± = 2cos 12cos αα+±= tan 2α=α αααsin cos 1cos 1sin -=+ 高一数学试题 三角恒等变换测试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1、cos 24cos 36cos 66cos 54????-的值为（ ） A 0 B 12 C 2 D 12 - 2.3cos 5 α=- ，,2π απ?? ∈ ??? ，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ） A 、3365 - B 、 6365 C 、 5665 D 、1665 - 3. tan 20tan 4020tan 40? ? ? ? ++ 的值为（ ） A 1 B 3 C D 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ） A 47 - B 47 C 18 D 18 - 5.βα,都是锐角，且5sin 13 α=，()4cos 5 αβ+=- ，则βsin 的值是（ ） A 、 3365 B 、 1665 C 、5665 D 、6365 6.,)4, 4 3(π π- ∈x 且3cos 45x π?? -=- ??? 则cos2x 的值是（ ） A 、725 - B 、2425 - C 、 2425 D 、 725 7. 函数4 4 sin cos y x x =+的值域是（ ） A []0,1 B []1,1- C 13,22?????? D 1,12?? ???? 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于 5 4,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A 10 10 B 10 10- C 10 103 D 10 103- 9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像（ ） A 、向右平移 6 π 个单位B 、向右平移 12 π 个单位C 、向左平移 6 π 个单位D 、向左平移 12 π 个单位 2021年高考数学一轮复习专题4.3简单的三角恒等变换练 1.【xx 江西（宜春中学、丰城中学、樟树中学、高安二中、丰城九中、新余一中）六校上学期第五次联考】已知， ，则__________． 【答案】 【解析】∵，∴，由于，∴， 243cos 1sin 7 αα=--=-，由诱导公式得： 1143sin cos 27απα??-==- ?? ?，故答案为. 2.【浙江省杭州二中】已知,,，且，则________，_______. 【答案】， 以()()()33447sin sin sin cos cos sin 555525 βααβααβααβ=--=---= ?-?=-????，所以答案应填：，． 3.【浙江高三模拟】已知，，则________． 【答案】. 4.【xx 湖北,部分重点中学7月联考】已知,2sin cos 5R ααα∈ -=，则 ， = . 【答案】 【解析】由同角三角函数基本定理得解得， ， ， tan tan 4tan 341tan tan 4 π απαπα-??∴-== ?? ?+． 5.【xx 浙江省上学期高考模拟】已知函数. （1）求的最小正周期； （2）当时，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 ∴函数的取值范围为. B 能力提升训练 1. 若且()()Z k k Z k k ∈+≠∈+ ≠22ππβππα，，则“”是“()()41tan 31tan 3=--βα”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】()() 41tan 31tan 3=--βα， 3tan tan 3tan 3tan 14αβαβ--+=， 3tan tan tan tan 3αβαβ--=， 三角恒等变换与解三角形 高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题 . 真 题 感 悟 1.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos C 2＝5 5，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ) A.4 2 B.30 C.29 D.2 5 解析 因为cos C 2＝55，所以cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2× ? ?? ??552 －1＝－3 5. 于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1× ? ???? －35＝32.所以AB ＝4 2. 答案 A 2.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈? ????0，π2，tan α＝2，则cos ? ? ? ??α－π4 ＝________. 解析 ∵α∈? ?? ?? 0，π2，且tan α＝2，∴sin α＝2 cos α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝255，cos α＝5 5 . 所以cos ? ? ???α－π4＝22(cos α＋sin α)＝31010. 答案 310 10 3.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5. (1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC . 解 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB ，即5sin 45°＝2 sin ∠ADB ， 所以sin ∠ADB ＝ 25 . 由题设知，∠ADB <90°， 所以cos ∠ADB ＝ 1－ 225＝235 . (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25 . 在△BCD 中，由余弦定理得 BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×2 5 ＝25. 所以BC ＝5. 4.(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ? ????－3 5，－45. (1)求sin(α＋π)的值； (2)若角β满足sin(α＋β)＝ 5 13 ，求cos β的值. 解 (1)由角α的终边过点P ? ?? ??－3 5，－45， 得sin α＝－4 5 ， 所以sin(α＋π)＝－sin α＝4 5 . (2)由角α的终边过点P ? ????－3 5，－45，得cos α＝－35 ， 由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±12 13. 由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－ 5665或cos β＝1665 . 考 点 整 合 1.三角函数公式 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β； 专题六三角恒等变换 第一节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 [考情展望] 1.利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角函数式的化简与求值. 2.利用二倍角公式进行三角函数式的化简与求值. 3.与三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质相结合，考查学生的综合能力． 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．六个公式： ①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；②cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β；③tan(α±β)＝tan α±tan β 1?tan αtan β. 2．公式T (α±β)的变形： ①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 二、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．三个公式： ①sin 2α＝2sin_αcos_α②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；③tan 2α＝2tan α 1－tan 2α. 2．公式S 2α、C 2α的变形： ①sin αcos α＝12sin 2α；②sin 2α＝12(1－cos 2α)；③cos 2α＝1 2 (1＋cos 2α)． 1．sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°的值是( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－3 2 2．下列各式中，值为 3 2 的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°－1 D ．sin 215°＋cos 215° 3．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α＝( ) 高中数学：三角恒等变换知识点 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= - ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2.二倍角的正弦、余弦和正切公式： 《1》 sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ?升幂公式2 sin 2cos 1,2cos 2cos 12 2 α αα α=-=+ ?降幂公式2cos 21cos 2αα+= ，21cos 2sin 2α α-=． ⑶2 2tan tan 21tan α αα = -． 3. ?（后两个不用判断符号，更加好用） 4.合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(??形式。 辅助角公式： ()sin cos ααα?A +B =+，其中tan ?B = A ． 5.三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方 αααααα ααα半角公式cos 1sin cos 1cos 12tan 2cos 12sin ;2cos 12cos :-==+-±=-± =+±=2 tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin : 2 22α ααααα万能公式+-=+= 三角恒等变换专题复习 教学目标： 1、能利用单位圆中的三角函数线推导出 απαπ ±±,2 的正弦、余弦、正切的诱导公式； 2、理解同角三角函数的基本关系式： ； 3、可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题。 教学重难点： 可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题 【基础知识】 一、同角的三大关系： ① 倒数关系 tan α?cot α=1 ② 商数关系 sin cos αα= tan α ； cos sin α α = cot α ③ 平方关系 2 2 sin cos 1αα+= 温馨提示： （1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解。[来源:学+科+网] （2）利用上述公式求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号。 二、诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限 用诱导公式化简，一般先把角化成 ,2 k z α+∈的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是 “奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把α看作是锐角，判 断角2 k π α+在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”，就加在前面）。 用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间0 (0,360)的角，再变到区间 00(0,180)的角，再变到区间00(0,90)的角计算。 三、和角与差角公式 ： sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ; tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ±±=m 变 用 tan α±tan β=tan (α±β)(1μtan αtan β) 四、二倍角公式： sin 2α= 2sin cos αα. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-. 2 2tan tan 21tan α αα =- 2019年高中数学单元测试试题 三角恒等变换专题 （含答案） 学校：__________ 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题 1．设02 x π ＜＜ ，则“2 sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（2010浙江理4） 2．设sin 1 +=43π θ（ ），则sin 2θ=（ ） A ． 79- B ． 19- C ． 19 D ．7 9 （2011辽宁理7） 3．已知α是第三象限角，并且sin α=－ 2524 ，则tan 2 α等于（ ） A ． 3 4 B ． 43 C ．－ 4 3 D ．－ 3 4 （1996全国文6） 4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则， =θ2cos （ ） A 54- B 53- C 32 D 4 3 (2011年高考全国新课标卷理科5) 第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 5． 已知 ()4sin ,35πα+=则() cos 6πα-= ▲ . 6．已知1cos21sin cos ααα-=，1 tan()3 βα-=-，则tan(2)βα-等于 ▲ . 7．已知方程01342 =+++a ax x （a 为大于1的常数）的两根为αtan ，βtan ， 且α、∈β ? ?-2π,??? 2π，则2tan βα+的值是_________________. 8． 若13 cos(),cos()55 αβαβ+=-=，.则tan tan αβ?= . 9．? -?20sin 3 20tan 的值是 ▲ ． 10．已知41)6 sin(= +π x ，则)3 (sin )65sin(2x x -+-ππ= 。 11．实数,x y 满足tan ,tan x x y y ==，且x y ≠，则sin()sin() x y x y x y x y +--=+- 12．设33 sin(),cos(),510 αβαβ+=-=则(sin cos )(sin cos )ααββ--的值为 ▲ ． 13．tan 20tan 403tan 20tan 40++的值是 14．计算下列式子：①tan 25tan 353tan 25tan 35++， 专题07 三角恒等变换 一、三角恒等变换问题知识框架 【一】公式顺用、逆用及其变形用 1.例题 【例1】计算： (1)cos(－15°)； (2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°. 【例2】(1)计算：cos 2 π12－sin 2π12 ； (2)计算：1－tan 275° tan 75°； (3)计算：cos 20°cos 40°cos 80°. 【例3】(1)1＋tan 15° 1－tan 15° ＝________. (2)化简：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°. （3）已知sin θ＝45，5π2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ 2. 2.巩固提升综合练习 【练习1】化简cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°的值为( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－3 2 【练习2】1－3tan 75° 3＋tan 75° ＝________. 【练习3】在△ABC 中，A ＋B ≠π 2 ，且tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 的值为( ) A.π3 B.2π3 C.π6 D.π4 【练习4】若sin α＋cos α＝1 3，则sin 2α= . 1.例题 【例1】已知31)3sin(=- π α，则)6 cos(πα+ 的值为( ) A ．－13 B.13 C.223 D ．－22 3 【例2】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点?? ? ??--54,53P . 若角β满足sin(α＋β)＝5 13，则cos β的值为________． 【例3】若1sin 63 πα??-= ???，则2cos 23πα?? += ???（ ） A ．1 3 B ．13 - C ． 79 D ．79 - 2.巩固提升综合练习 【练习1】已知33)6 tan( = -απ ，则=+)6 5tan(απ________. 【练习2】若1027)4 sin(= +π A ，A ∈),4 (ππ ，则sin A 的值为( ) A.3 5 B.4 5 C.35或45 D.34 【练习3】已知sin(α?3π10)=3 5 ，则cos(α+π5)=（ ） A.?4 5 B.4 5 C.?3 5 D.3 5 第三章 三角恒等变换 一、选择题 1．函数y ＝sin ＋cos ??? ? ? 2π ＜ ＜ 0α的值域为( )． A ．(0，1) B ．(－1，1) C ．(1，2] D ．(－1，2) 2．若0＜＜＜4 π ，sin ＋cos ＝a ，sin ＋cos ＝b ，则( )． A ．a ＜b B ．a ＞b C ．ab ＜1 D ．ab ＞2 3．若θθtan ＋2tan 1－＝1，则θθ 2sin ＋12cos 的值为( )． A ．3 B ．－3 C ．－2 D ．－ 2 1 4．已知 ∈??? ? ?2π3 ，π，并且sin ＝－ 2524，则tan 2α等于( )． A ． 3 4 B ．43 C ．－43 D ．－3 4 — 5．已知tan(＋)＝3，tan(－)＝5，则tan 2＝( )． A ．－ 4 7 B ． 4 7 C ．－ 7 4 D ． 7 4 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＞sin A sin B ，则该三角形是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．锐角或直角三角形 7．若0＜＜2π＜＜，且cos ＝－31，sin(＋)＝97 ，则sin 的值是( )． A ． 271 B ． 27 5 C ．3 1 D ． 27 23 8．若cos(＋)·cos(－)＝31 ，则cos 2 －sin 2 的值是( )． A ．－ 3 2 B ．31 C ．－31 D ． 3 2 9．锐角三角形的内角A ，B 满足tan A － A 2sin 1 ＝tan B ，则有( )． > A ．sin 2A －cos B ＝0 B ．sin 2A ＋cos B ＝0 C ．sin 2A －sin B ＝0 D ．sin 2A ＋sin B ＝0 专题5.5 三角恒等变换 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020·湖南省岳阳县第一中学高三月考）已知α为锐角，sin 2 α = ，则cos 2πα??+ ???＝（ ） A ．4 5 - B ． 35 C ． 35 D ． 45 【答案】A 【解析】因为α为锐角，所以 0,24α π??∈ ??? ， 所以cos 25α ==， 所以4 cos sin 2sin cos 2222555 παααα?? + =-=-=-??=- ? ? ?.故选：A. 2．（2020·河南南阳?高一期末）已知向量()()cos ,,2,1a sin b θθ==-，且a b ⊥，则tan 4πθ? ? - ? ? ? 的值是（ ） A ． 13 B ．3- C ．3 D ．13 - 【答案】A 【解析】由(cos ,sin ),(2,1)a b θθ==-，且a b ⊥，得2cos sin 0θθ-=，即tan 2θ=． tan tan 2114tan 412131tan tan 4 π θπθπθ--??∴-= == ?+?? ?+?，故选A ． 3．（2020·全国高三其他（文） ）设sin cos 6παα? ? + = ?? ?，则cos 23πα??-= ???（ ） A ．57 25 - B ． 5725 C ．725 - D ． 725 【答案】D 【解析】 依题意，1sin cos cos 225ααα? +?=- ，即3sin cos 225 αα?+?= ，则 1sin 2α? +4 cos 25 α?=，即4cos 65πα??-= ???， 故2167cos 22cos 2121332525ππαα???? -=--=?-= ? ????? ，故选：D. 4．（2020·云南省云天化中学高一期末）若02 ＜＜π α， 02 π β-＜＜，1cos()4 3 πα+= ，cos()42πβ-= ，则cos()2 β α+ =（ ） A B ．C D ．- 【答案】C 【解析】cos()cos[()()]2442β ππβ αα+ =+--cos()cos 442ππβα??=+- ??? sin()sin()442ππβ α++-， 而 3(,)444π ππα+∈，(,)4242 πβππ-∈ ，因此sin()43πα+= ，sin()42πβ-=，高中数学三角恒等变换习题及答案
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