求解线性规划的一种Mehrotra型预估-矫正内点算法
线性规划计算方法
线性规划法的数学模型如下： 设X1，X2，X3，…，X n为各变量，n为变量个数，m为约束条件数，a ij(i＝1，2…,m；j＝1，2…,n)为各种系数，b1,b2,b3,…，b m为常数，C1，C2,C3,…C n为目标函数系数，Z为目标值，则线性规划模型如下： a11X1＋a12X2＋…＋a1n X n≥(＝≤)b1 a21X1＋a22X2＋…＋a2n X n≥(＝≤)b2 ………………… a m1X1＋a m2X2＋…＋a mn X n≥(＝≤) b m X1，X2，…，X n≥0 目标函数Zmin（max）＝C1X1＋C2X2十…＋C n X n 线性规划计算方法: 鲜花店向李大民预定两种花卉——百合、玫瑰。其中每株收购价百合为4元,玫瑰为3元,鲜花店需要百合在1100～1400株之间,玫瑰在800～1200株之间,李大民只有资金5000元, 要去购买良种花苗, 在自家902m的温室中培育,每株苗价百合为2.5元,玫瑰为2元,由于百合与玫瑰生长所需采光条件的不同,百合每株大约占地0.052m，玫瑰每株大约占地0.032m，应如何配置才能使李大民获利最大? 数学建模：设种百合x1 株,玫瑰x2 株,则 2. 5 x1 + 2 x2 ≤5000 0. 05 x1 + 0. 03 x2 ≤90 x1 ≥1100 x1 ≤1400 x2 ≥800
x2 ≤1200 目标函数求最大值(即获利)Max z = (4 - 2. 5) x1 + (3 - 2) x2 = 1. 5 x + x1 可以看出,变量数为2,约束方程数为6,目标函数求最大值,打开线性规划计算软件,输入如下所示: 输入完成后点“计算”按纽，即可完成计算结果如下图：
几何校正中控制点的选取
几何校正中控制点的选取 1.控制点的布设 控制点的布设的原则一般要把握两点：一是要尽可能地均匀，一般规则遥感影像的前4～9个控制点要将整个影像控制在一个规则的坐标范围内，概括地把校正控制点范围确定好，以方便后续控制点的采集。这样，控制点的点位中误差往往会控制到最小，每个控制点的几何残差也容易校正，我们称这种控制点布设方法为“边廓点”，即四边形点位布设。 当影像不是一个很规则的几何图形时，要尽可能地将它用控制点分成几个规则的几何图形，然后分块进行控制点的采集。但这并不是说把每块独立起来，还要保证整体点位均匀。在不规则影像的边缘，尽量的布放控制点，从而控制住影像的边缘，来更好的控制整体。 总之在选取控制点的时候，要把握整体，整体把握住后再对局部均匀地选择控制点。 2.点位布设顺序 进行选取控制点的时候要注意点和点之间的排放顺序。在局部选取控制点的时候千万不要盲从，看到拐角、交叉等地形就放点，这样的结果只能是局部校正得比较好，但从整体来看就不理想。点密而不均、量多而无序起不到好的效果。 所谓有序布点，就是让控制点按照一定的顺序排列，当然这种顺序不是唯一的，可以是从左到右、从上到下，从中心到四周，从左上到右下等等，要根据影像的图面要素特征来选取适合的控制点布放顺序。不同的顺序最后的校正的结果是有所不同的。如：对于平原来说，可以在选好边廓点后按照从左到右、从上到下的顺序来选取控制点。 选点时要选择没有变化的相同区域，如明显的道路交叉路口、建筑物或构筑物的边角等等。因为遥感影像与航片有时相差异，成像时的太阳高度角、方位角、大气等条件也不尽相同，因此同样的建筑物或其它具有明显高程差的地物上不宜放置控制点，以避免像差带来的几何误差，保证点位的精准度。一般来说，采用多项式数学模型时，控制点个数与多项式阶项n及地形情况有密切关系。控制点个数最少应2倍于(n＋1)(n＋2)/2。当阶项n＝2或更高时，通常要求每景控制点在25个以上，困难地区应适量增加控制点，保证在30～50个左右。在复杂地形条件下，对整景影像要进行分区选点和校正并保证相邻分区有影像重叠区和公共控制点，在公共区域有意的均匀增加控制点，来保证两个相邻的公共区域校正效果一致，从而方便将相邻两幅图镶嵌起来。 控制点布设方式，是在图面均匀布点的基础上，根据不同的地段采用不同的方式，如不规则的河流采用四边形和三角网方式。平原采用四边形和六边形的方式。控制点残差一般不超过下表的规定： 控制点残差（米）平原≤0.5，山区≤1.25 当遇到大面积的山地时可以提高多项式的项阶来校正，更好的办法还是用非线性算法，以非均匀变换的方法对其进行校正。顾名思义，这种方法没有很严谨的算法，它忽略了影像成像时高程差带来的影响，将被校正目标当作一个平面去处理，在有高程形成误差的地方把控制区域强行拉伸到控制点指定的地方，从而实现对难以控制地区的几何位置校正。 但要注意的是，采用这种方法一定要把被校正区域的边廓点选好，更要布点均匀、有序。使用非线性算法进行控制位加密布设控制点时，其周围一定要有相应的控制点来平衡它，不然该区域会发生几何扭曲、变形。为了避免这种情况的发生要注意两点： ①在选取边廓点的时候尽量选取影像的边缘部位、把握住边缘，因为边缘地区最容易发生形变； ②在控制点比较密的地区一定要在四周放点控制，对于没把握的点位不要轻易去放，以
线性规划问题的算法综述
线性规划问题的算法综述 本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！ 线性规划概念是在1947年的军事行动计划有关实践中产生的，而相关问题1823年Forier和口1911年PQusi就已经提出过，发展至今已有将近100年的历史了。现在已成为生产制造、市场营销、银行贷款、股票行情、出租车费、统筹运输、电话资费、电脑上网等等热点现实问题决策的依据。线性规划就是在满足线性约束下，求线性函数的极值。 毋庸置疑，数学规划领域的重大突破总是始于线形规划。提到线性规划算法，人们最先想到的是单纯形法和内点法。单纯形法是实际应用中使用最普遍的一种线性规划算法，而研究者们已证明在最坏的情况下单纯形法的计算复杂度是指数级的，内点算法的计算复杂度是多项式时间的。把两种算法相提并论，要么是这两种算法都已经非常完备，要么都有需改进之处。显然不属于前者，即两者都有需要改进之处。几十年来，研究者通过不断努力，在两种算法的计算上都取得相当的进展。 1数学模型
线性规划问题通常表示成如下两种形式:标准型、规范型。 设jj(2…，n)是待确定的非负的决策变量；认2…，n)是与决策变量相对应的价格系数；K2…mj=l2…n)是技术系数；b(i12…，m)是右端项系数； 线性规划是运筹学最基本、运用最广泛的分支，是其他运筹学问题研究的基础。在20世纪50年代到60年代期间，运筹学领域出现许多新的分支：非线性规划（nonlinearprogranming、商业应用（crnxmereialpplieation、大尺度方法(laresealemeh-Qd)随机规划（stochasticPKgiamniig)、整数规划(ntegerprogramming)、互补转轴理论（amplmentaiyPivotheor)多项式时间算法（polynomialtjneagatm)等。20世纪70年代末，上述分支领域都得到了极大发展，但是却都不完善。而且数学规划领域中存在许多Nfkhard问题，如TP问题，整数规划问题等。这些问题的基本模型都可以写成线性规划形式，因此通过对线性规划算法的进一步研究，可以进一步启发及推动数学规划领域内其他分支的发展。 2边界点算法 由于单纯形法与基线算法都是在可行集的边界上
龙格库塔方法的Miline-Hamming预测-校正算法实验报告
2011-2012学年第2学期实验报告 实验名称：微分方程数值解实验学院：****** 专业：**************班级：********** 班内序号：** 学号：******** 姓名：****** 任课教师：****** 北京邮电大学 时间：****年**月**日
实验目标 用多环节Miline-Hamming预测-校正算法求下列方程的解 y‘=y?2x , y0=1, 0≤x≤4 其中解析解为 y x=1+2x 实验原理 计算龙格库塔显示公式计算预测值，然后用隐式公式进行校正。Miline-Hamming预测-校正公式为 p n+1=u n?3+4 h(2f n?f n?1+f n?2) m n+1=p n+1+112 121 (c n?p n) c n+1=1 9u n?u n?2+ 3 h[f t n+1,m n+1+2f n?f n?1] u n+1=c n+1? 9 (c n+1?p n+1) 其对应的算法流程为 1）输入a，b，f(t,u)，N，u0 2）置h=(b-a)/N，t0=a，n=1 3）计算f n-1=f(t n-1,u n-1) K1=hf n-1 K2=hf(t n-1+h/2, u n-1+K1/2) K3=hf(t n-1+h/2, u n-1+K2/2) K4=hf(t n-1+h, u n-1+K3) u n= u n-1+1/6(K1 +2K2 +2K3 +K4) t n=a+nh 4）输出(t n ,u n) 5）若n<3，置n+1→n，返回3； 否则，置n+1→n，0→p0，0→c0，转6. 6）计算 f3=f(t3,u3) t= t3+h p=u0+4/3(2 f3–f2 +2f1) m=p+112/121(c0-p0) c=1/8(9u3- u1)+3/8h[f(t,m)+ 2 f3–f2] u=c-9/121(c-p)
线 性 规 划 算 法 详 解
线性规划算法详解 线性规划 首先什么是线性规划，大致的定义我总结为在线性的目标和约束中，找出一个最优解。 举个例子： ?M1和M2两种原料用于生产内外墙涂料，M1日最大可用量24吨，M2日最大可用量为6吨，外墙涂料每吨需要6吨M1，1吨M2，内墙涂料每吨需要4吨M12，吨M2，外墙涂料每吨利润5个单位，内墙涂料每吨利润4个单位。且市场需求调查数据得出，内墙日需求量不超过外墙的日需求量+1吨，内墙最大日需求量为2吨 怎样在这样的各个线性的条件中，得到最优的内外墙生产吨数，就是我们线性规划算法要做的事情。 设外墙生产x1吨,内墙生产x2吨,设利润为z，要得到z的最大化，也就是最优解，上述条件罗列为公式可得出 6x1+4x2=24 x1+2x2=6 -x1+x2=1 z=5x1+4x2 如何从这个公式中求出最优解？有以下两大方法 我们将上述约束条件画图，y轴为x2，x轴为x1，得出如下：圈红色的部分就是所有的可行解，表示这个区间内都的x1x2能满
足约束条件 对于我们的z函数，其实表示的是一条截距为z斜率为-(5-4)的线性直线，我们要求z最大化的最优解，就是在所有的可行区域内找到可以满足z曲线截距最大的点。 最后我们发现，可行区域内能让z函数达到最大截距的点就是我圈出来的那个角点，z再增大的话，就超出可行区域了，所以不满足要求，所以最终得出最优解为x1=3,x2=1.5 这就是图解法的做法，一个定理就是，线性规划的最优解总是发生在约束几何平面的角点上，例如上面圈出来的点，先当做是个定理，我也不知道怎么证明这个定理。 以上就是线性规划的图解法，优点是简单明了，缺点就是当参数超过3个时，我们很难直观画出一个jihe几何平面来找角点，所以我们需要下面的另一种解法。 单纯形法 当超过3个参数时，单纯形法就派上用场了，单纯形法首先要做的就是把方程化为标准形式： 所有的变量都是非负数 所有的约束都是等式(非负限制除外)，且具有非负的右端项像上述的方程，如果化为标准形式，将会是如下 6x1+4x2+s1=24 x1+2x2+s2=6 -x1+x2+s3=1
龙格库塔方法的Miline-Hamming预测-校正算法实验报告知识讲解
龙格库塔方法的 M i l i n e-H a m m i n g预测-校正算法实验报告
2011-2012学年第2学期实验报告 实验名称：微分方程数值解实验学院：****** 专业：************** 班级：********** 班内序号：** 学号：******** 姓名：****** 任课教师：****** 北京邮电大学 时间：****年**月**日
实验目标 用多环节Miline-Hamming 预测-校正算法求下列方程的解 {y‘=y ?2x y ,y (0)=1, 0≤x ≤4 其中解析解为 y (x )=√1+2x 实验原理 计算龙格库塔显示公式计算预测值，然后用隐式公式进行校正。Miline-Hamming 预测-校正公式为 { p n+1=u n?3+4 3 h(2f n ?f n?1+f n?2) m n+1=p n+1+112 121(c n ?p n ) c n+1=18 (9u n ?u n?2)+38h[f (t n+1,m n+1)+2f n ?f n?1] u n+1=c n+1?9(c n+1 ?p n+1) 其对应的算法流程为 1） 输入a ，b ，f(t,u)，N ，u 0 2） 置h=(b-a)/N ，t 0=a ，n=1 3） 计算f n-1=f(t n-1,u n-1) K 1=hf n-1 K 2=hf(t n-1+h/2, u n-1+K 1/2) K 3=hf(t n-1+h/2, u n-1+K 2/2) K 4=hf(t n-1+h, u n-1+K 3) u n = u n-1+1/6(K 1 +2K 2 +2K 3 +K 4) t n =a+nh 4） 输出(t n ,u n ) 5） 若n<3，置n+1→n ，返回3； 否则，置n+1→n ，0→p 0，0→c 0，转6. 6） 计算 f 3=f(t 3,u 3) t= t 3+h p=u 0+4/3(2 f 3 –f 2 +2f 1) m=p+112/121(c 0-p 0) c=1/8(9u 3- u 1)+3/8h[f(t,m)+ 2 f 3 –f 2] u=c-9/121(c-p)
多目标线性规划的若干解法及MATLAB实现
多目标线性规划的若干解法及MATLAB 实现 一．多目标线性规划模型 多目标线性规划有着两个和两个以上的目标函数,且目标函数和约束条件全是线性函 数,其数学模型表示为： 11111221221122221122max n n n n r r r rn n z c x c x c x z c x c x c x z c x c x c x =+++??=+++?? ??=+++? （1） 约束条件为： 1111221121122222112212,,,0 n n n n m m mn n m n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x x +++≤??+++≤?? ??+++≤?≥?? （2） 若（1）式中只有一个1122i i i in n z c x c x c x =+++ ，则该问题为典型的单目标线性规划。我们记:()ij m n A a ?=,()ij r n C c ?=,12(,,,)T m b b b b = ,12(,,,)T n x x x x = ， 12(,,,)T r Z Z Z Z = . 则上述多目标线性规划可用矩阵形式表示为: max Z Cx = 约束条件：0 Ax b x ≤?? ≥? （3） 二．MATLAB 优化工具箱常用函数[3] 在MA TLAB 软件中，有几个专门求解最优化问题的函数，如求线性规划问题的linprog 、求有约束非线性函数的fmincon 、求最大最小化问题的fminimax 、求多目标达到问题的fgoalattain 等,它们的调用形式分别为： ①.[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) f 为目标函数系数,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束系数, lb,ub 为x 的下 限和上限, fval 求解的x 所对应的值。 算法原理：单纯形法的改进方法投影法 ②.[x,fval ]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub ） fun 为目标函数的M 函数, x0为初值,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束
计算方法 用欧拉预估-校正法求初值问题
《计算方法》实验指导书 实验1 方程求根 一、实验目的 1．通过对二分法、牛顿法、割线法作编程练习，进一步体会它们各自不同的特点； 2．了解二分法，切线法，割线法。 3．能熟练运用二分法，牛顿法进行方程求根 4．通过上机调试运行，对方程求根的几种方法程序进行改进。 二、实验要求 1．上机前作好充分准备，包括复习编程所需要的语言工具。 2．上机时要遵守实验室的规章制度，爱护实验设备。 3．记录调试过程及结果，记录并比较与手工运算结果的异同。 4．程序调试完后，须由实验辅导教师在机器上检查运行结果。 5．给出本章实验单元的实验报告。 三、实验环境、设备 1．硬件设备：IBM PC以上计算 机，有硬盘和一个软驱、单机 和网络环境均可。 2．软件环境：C语言运行环境。 四、实验原理、方法 二分算法计算步骤： （1）输入有根区间的端点a、b及预 先给定的精度ε； （2）计算中点x=(a+b)/2； （3）若f(x)f(b)<0，则a=x，转向下一 步；否则b=x，转向下一步； （4）若b-a<ε，则输出方程满足精度 要求的根x，结束；否则转向步骤（2）。 迭代法：
牛顿法： 牛顿迭代法是一种逐步线性化方法，即将非线性方程f(x)=0的求根问题归结为计算一系列线性方程的根。 设x k 是方程f(x)=0的一个近似根，将f(x)在x k 处作一阶泰勒展开，即 f(x)≈f(x k )+f′(x k )(x- x k ) 于是得到如下的近似方程 f(x k )+f′(x k )(x- x k )=0 （2.7） 设f′(x k )≠0，则式（2.7）的解为 ) () (' k k k x f x f x x - = 取x 作为原方程的新的近似根x k+1，即令 ) () ('1k k k k x f x f x x - =+ k=0,1,2, … （2.8） 则称式（2.8）为牛顿迭代公式。用牛顿迭代公式（2.8）求方程近似根的方法称为牛顿迭代法，简称牛顿法，又称切线法。 五、实验内容 1． 以方程：x 3 -0.2x 2 -0.2x-1.2=0为例，编写程序求方程的根 图2 牛顿法框图 图 2.3 迭代法框图
线 性 规 划 算 法 详 解
机器学习--支持向量机（四）SMO算法详解 上篇我们讲到，线性和非线性都转化为求解的问题即： 求解的方法就是SMO算法，下面详细介绍SMO算法： 在讲解SMO算法之前先说明一下讲解思路，首先先帮助大家理解这个式子，说明推倒的过程细节，然后和原论文对照，本文不打算刚开始就深入数学公式，先带大家感性认识一下SMO的算法实现过程，通过语言描述继续讲解，让大家对该算法有一个整体的认识?，然后在循序渐进深入数学公式，吃透原理，这样符合知识的接受过程。 从倒数第二行，大家可以看到第一项我们可以看做一个含有未知数的常数项，第二项大家感觉是不是很眼熟即，向量的转置乘以本向量这就是求內积啊，只是说这里的A不简单而已，两个i不是同时变化的，因此为了方便把其合在一起，而合在一起的前提是需要表现两个i不一样，因此引入了j以示区别，至于为什么不一样，举一个简单的例子，因为里面是求和，大家各自展开求和在相乘,举个例子，含有三项的： ?（a1 + a2 + a3）* （a1 + a2 + a3）=?+ a1*a2 + a1+a3 + a2*a1 +?+ a2*a3 + a3*a1 + a3*a2 +? ? =?+?+?+ 2a1*a2 + 2a1*a3 + 2a2*a3 求和后各自展开，结果是上式，如果直接把两个i合并为一个i，那么化简会是什么样呢？ ?其实就只有平方项了即：++ 之所以讲解这个，原因是希望大家能拿笔自己推一下上面的式子，同
时按照下面的要求展开试试，虽然没必要推这些，但是如果去做一下，你会发现数学的推倒很有助于理解，同时这种“复杂”的式子其实还好，强化学习中的数学推倒比这里复杂多了，所以建议大家以后遇到数学公式尽量自己推一遍，比你看几遍有用的多，好了，废话不多说，把上面的结果按如下要求展开， 把和看做未知数，其他的看做已知数进行展开，我先给出自己推倒的（讲真编辑这个式子很耗费时间，我查了一下网上其他人的推到感觉有点问题，所以打算自己推倒一下，为了确认自己正确把原论文读了一下，是正确的）： 先令? ------------为內积，为了大家能看懂就做这一个假设： 首先他假设的分离平面就和我们不一样，但是道理都是一样的： 与我们之前的?是一样的意思 他的优化目标相同即： 经过引入拉格朗日因子和对偶后再求对w、b求导为： 其实到这里就和我们的形式是一样的，只是正负号位置不一样的，所以极值就是求极小值了，这也是差异的原因继续往下： 加入松弛变量以后： 到这里就是我们最后的求解式子了，有点不同，但是原理都是一样的把和看做未知数，其他的看做已知数进行展开为： 我和他展开的是差不多的，只是正负号问题，原因上面讲了，在查看相关的推倒博客，发现好多人目标是我们定义的目标，分解后就是这个结果，真不知道如何来的，所以自己动手推了一遍，形式和原著一样，结果
Adams预测-校正系统
2012-2013（1）专业课程实践论文 Adams 预测-校正系统 高强强，0818180212，R数学08-2班 王岳，0818180108，R数学08-1班
一、算法理论 显示格式和隐式格式都具有四阶精度，两种格式可匹配成下列Adams 预测-校正系统： Adams 预测 - 校正 预测 ()3-2-1-n 19-3759f -5524 n n n n n f f f h y y ++=+, ()111,+++=n n n y x f f ; 校正 ( ) 2-1-1 15-19924 n n n n n n f f f f h y y +++ =++ ; ()111,+++=n n n y x f f . Adams 内插外插公式联合使用称作 Adams 预测 - 校正系统，用外插公式计算预测，用内插公式进行校正。计算时需要注意以下两点： 1 、外插公式为显式，内插公式为隐式。故用内插公式计算需要进行迭代。 2 、这种预测 - 校正法是四步法，计算1+n y 时，不但用到前一步的信息n x ，n y ，而且要用到更前三步的信息 1-n f ,2-n f ,3-n f ，因此它不是自开始的，实际计算时必须借助于某种单步法，用Runge-Kutta 格式为它提供开始值 1y ,2y ,3y 。 依据局部截断误差公式得 ()() ()n n n x y h y x y 551 1720 251-≈ ++, ()() ()n n n x y h y x y 5511720 19-≈ ++. 进一步将Adams 预测-校正系统加工成下列方案： 预测 ()3-2-1-19-3759-5524n n n n n n f f f f h y p ++=+, 改进 ()n n n n p c p m -720 251 11+=++, 计算 ()111,+++=n n n m x f m , 校正 ()2-1-115-19924n n n n n n f f f m h y c ++'+=++, 改进 ()1111-720 19 -++++=n n n n p c c y , 计算 ()111,+++='n n n y x f y ; 运用上述方案计算1+n y 时，要用到先一步的信息n y ，n y '，n n c p -和更前一步的
线 性 规 划 算 法 详 解
Java基础算法详解 查找和排序算法是算法的入门知识，其经典思想可以用于很多算法当中。因为其实现代码较短，应用较常见。所以在面试中经常会问到排序算法及其相关的问题。但万变不离其宗，只要熟悉了思想，灵活运用也不是难事。一般在面试中最常考的是快速排序和归并排序，并且经常有面试官要求现场写出这两种排序的代码。对这两种排序的代码一定要信手拈来才行。还有插入排序、冒泡排序、堆排序、基数排序、桶排序等。 面试官对于这些排序可能会要求比较各自的优劣、各种算法的思想及其使用场景。还有要会分析算法的时间和空间复杂度。通常查找和排序算法的考察是面试的开始，如果这些问题回答不好，估计面试官都没有继续面试下去的兴趣都没了。所以想开个好头就要把常见的排序算法思想及其特点要熟练掌握，有必要时要熟练写出代码。 冒泡排序 冒泡排序是最简单的排序之一了，其大体思想就是通过与相邻元素的比较和交换来把小的数交换到最前面。这个过程类似于水泡向上升一样，因此而得名。举个栗子，对5,3,8,6,4这个无序序列进行冒泡排序。首先从后向前冒泡，4和6比较，把4交换到前面，序列变成5,3,8,4,6。同理4和8交换，变成5,3,4,8,6,3和4无需交换。5和3交换，变成3,5,4,8,6,3.这样一次冒泡就完了，把最小的数3排到最前面了。对剩下的序列依次冒泡就会得到一个有序序列。冒泡
排序的时间复杂度为O(n^2)。 实现代码： *@Description:冒泡排序算法实现 public class BubbleSort { public static void bubbleSort(int[] arr) { if(arr == null || arr.length == 0) for(int i=0; i) { for(int j=arr.length-1; ji; j--) { if(arr[j]arr[j-1]) { swap(arr, j-1, j); public static void swap(int[] arr, int i, int j) { int temp = arr[i]; arr[i] = arr[j]; arr[j] = temp; 抑或简单理解一点的正向排序 public class BubbleSort { public static void bubbleSort(int[] arr) { if(arr == null || arr.length == 0) for(int i=1;iarr.length-1;i++) { for(int j=0; jarr.length-i; j++) { if(arr[j]arr[j+1]) { swap(arr, j+1, j);
线 性 规 划 算 法 详 解
线性回归算法及用python实现 一、线性回归算法简介 1、线性回归： 线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，运用十分广泛。 在统计学中，线性回归(Linear Regression)是利用称为线性回归方程的最小平方函数对一个或多个自变量和因变量之间关系进行建模的一种回归分析。这种函数是一个或多个称为回归系数的模型参数的线性组合。只有一个自变量的情况称为简单回归,大于一个自变量情况的叫做多元回归。 回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。在线性回归中，数据使用线性预测函数来建模，并且未知的模型参数也是通过数据来估计。这些模型被叫做线性模型。 回归的目的就是预测数值型的目标值，因此我们要用线性回归找到一条最佳拟合直线。 2、回归系数的求解： 设最佳拟合直线为：y(x)=w^T*x，其中回归系数w=(w0,w1,w2.,wn),变量x=(1,x1,x2.,xn),w^T表示w的转置
对于任意一个数据（x(i),y(i)），与最佳拟合直线的误差为：|y(x(i))-y(i)|=|w^T*x(i)-y(i)| 在这里我们用最小二乘法算误差，即：(w^T*x(i)-y(i))^2 而y(x)为最佳拟合直线，意味着所有的点的误差最小。即： 而我们要做就是使所有误差最小的回归参数w 用矩阵可以这样表示： 对w求导，得： 令上式等于0，得： 3、局部加权线性回归： 线性回归有一个问题就是欠拟合，解决这个问题方法就是局部加权线性回归。 我们给预测点附近的每个点都赋予一定的权重，得到的回归系数为： 其中：W为矩阵，除对角线外其他元素均为0 二、python代码的实现 在实现代码前，你需要先建立一个含有数据点的文本，比如ex0.txt,文本格式为： 当然，你也可以代入自己的数据点 1、线性回归： from numpy import * import matplotlib.pyplot as plt def loadDataSet(fileName):
模型预测控制快速求解算法
模型预测控制快速求解算法 模型预测控制（Model Predictive Control，MPC）是一种基于在线计算的控制优化算法，能够统一处理带约束的多参数优化控制问题。当被控对象结构和环境相对复杂时，模型预测控制需选择较大的预测时域和控制时域，因此大大增加了在线求解的计算时间，同时降低了控制效果。从现有的算法来看，模型预测控制通常只适用于采样时间较大、动态过程变化较慢的系统中。因此，研究快速模型预测控制算法具有一定的理论意义和应用价值。 虽然MPC方法为适应当今复杂的工业环境已经发展出各种智能预测控制方法，在工业领域中也得到了一定应用，但是算法的理论分析和实际应用之间仍然存在着一定差距，尤其在多输入多输出系统、非线性特性及参数时变的系统和结果不确定的系统中。预测控制方法发展至今，仍然存在一些问题，具体如下： ①模型难以建立。模型是预测控制方法的基础，因此建立的模型越精确，预测控制效果越好。尽管模型辨识技术已经在预测控制方法的建模过程中得以应用，但是仍无法建立非常精确的系统模型。 ②在线计算过程不够优化。预测控制方法的一大特征是在线优化，即根据系统当前状态、性能指标和约束条件进行在线计算得到当前状态的控制律。在在线优化过程中，当前的优化算法主要有线性规划、二次规划和非线性规划等。在线性系统中，预测控制的在线计算过程大多数采用二次规划方法进行求解，但若被控对象的输入输出个数较多或预测时域较大时，该优化方法的在线计算效率也会无法满足系统快速性需求。而在非线性系统中，在线优化过程通常采用序列二次优化算法，但该方法的在线计算成本相对较高且不能完全保证系统稳定，因此也需要不断改进。 ③误差问题。由于系统建模往往不够精确，且被控系统中往往存在各种干扰，预测控制方法的预测值和实际值之间一定会产生误差。虽然建模误差可以通过补偿进行校正，干扰误差可以通过反馈进行校正，但是当系统更复杂时，上述两种校正结合起来也无法将误差控制在一定范围内。 模型预测控制区别于其它算法的最大特征是处理多变量多约束线性系统的能力，但随着被控对象的输入输出个数的增多，预测控制方法为保证控制输出的精确性，往往会选取较大的预测步长和控制步长，但这样会大大增加在线优化过程的计算量，从而需要更多的计算时间。因此，预测控制方法只能适用于采样周
非线性规划理论和算法
非线性最优化理论与算法 第一章引论 本章首先给出了一些常见的最优化问题和非线性最优化问题解的定义，并且根据不同的条件对其进行了划分。接着给出了求解非线性优化问题的方法，如图解法等，同时又指出一个好的数值方法应对一些指标有好的特性，如收敛速度与二次终止性、稳定性等。随后给出了在非线性最优化问题的理论分析中常用到的凸集和凸函数的定义和有关性质。最后给出了无约束优化最优性条件。 第二章线搜索方法与信赖域方法 无约束优化的算法有两类，分别是线搜索方法和信赖域方法。本章首先给出了两种线搜索方法即精确线搜索方法和非精确线搜索方法。线搜索方法最重要的两个要素是确定搜索方向和计算搜索步长，搜索步长可确保下降方法的收敛性，而搜索方向决定方法的收敛速度。 精确线搜索方法和非精确线搜索方法 对于精确线搜索方法，步长ακ满足 αk=arg min ?x k+αd k α≥0 这一线搜索可以理解为αk是f(x k+αd k)在正整数局部极小点，则不论怎样理解精确线搜索，它都满足正交性条件： d k T??(x k+αk d k)=0 但是精确搜索方法一般需要花费很大的工作量，特别是当迭代点远离问题的解时，精确的求解问题通常不是有效的。而且有些最优化方法，其收敛速度并不依赖于精确搜索过程。对于非精确搜索方法，它总体希望收敛快，每一步不要求达到精确最小，速度快，虽然步数增加，则整个收敛达到快速。书中给出了三种常用的非精确线搜索步长规则，分别是Armijo步长规则、Goldstein步长规则、Wolfe步长规则。第一个步长规则的不等式要求目标函数有一个满意的下降量，第二个不等式控制步长不能太小，这一步长规则的第二式可能会将最优步长排除在步长的候选范围之外，也就是步长因子的极小值可能被排除在可接受域之外。但Wolfe步长规则在可接受的步长范围内包含了最优步长。在实际计算时，前两种步长规则可以用进退试探法求得，而最后一种步长规则需要借助多项式插值等方法求得。紧接着，又介绍了Armijo和Wolfe步长规则下的下降算法的收敛性。 信赖域方法 线性搜索方法都是先方向再步长，即先确定一个搜索方向d k，然后再沿着这个搜索方向d k选择适当的步长因子αk，新的迭代点定义为x k+1=x k+αk d k。与线搜索方法不同，信赖域方法是先步长再方向,此方法首先在当前点附近定义目标函数的一个近似二次模型，然后利用目标函数在当前点的某邻域内与该二次模型的充分近似，取二次模型在该邻域内的最优值点来产生下一迭代点。它把最优化
线 性 规 划 算 法 详 解
SHA256算法原理详解 1. SHA256简介 SHA256是SHA-2下细分出的一种算法 SHA-2，名称来自于安全散列算法2（英语：Secure Hash Algorithm 2）的缩写，一种密码散列函数算法标准，由美国国家安全局研发，属于SHA 算法之一，是SHA-1的后继者。 SHA-2下又可再分为六个不同的算法标准 包括了：SHA-224、SHA-256、SHA-384、SHA-512、SHA-512-224、SHA-512-256。 这些变体除了生成摘要的长度、循环运行的次数等一些微小差异外，算法的基本结构是一致的。 回到SHA256上，说白了，它就是一个哈希函数。 哈希函数，又称散列算法，是一种从任何一种数据中创建小的数字“指纹”的方法。散列函数把消息或数据压缩成摘要，使得数据量变小，将数据的格式固定下来。该函数将数据打乱混合，重新创建一个叫做散列值（或哈希值）的指纹。散列值通常用一个短的随机字母和数字组成的字符串来代表。 对于任意长度的消息，SHA256都会产生一个256bit长的哈希值，称作消息摘要。 这个摘要相当于是个长度为32个字节的数组，通常用一个长度为64的十六进制字符串来表示
来看一个例子： 干他100天成为区块链程序员，红军大叔带领着我们，fighting! 这句话，经过哈希函数SHA256后得到的哈希值为： A7FCFC6B5269BDCCE571798D618EA219A68B96CB87A0E21080C2E758D23E 4CE9 这里找到了一个SHA256在线验证工具，可以用来进行SHA256哈希结果的验证，后面也可以用来检验自己的SHA256代码是否正确。用起来很方便，不妨感受下。 2. SHA256原理详解 为了更好的理解SHA256的原理，这里首先将算法中可以单独抽出的模块，包括常量的初始化、信息预处理、使用到的逻辑运算分别进行介绍，甩开这些理解上的障碍后，一起来探索SHA256算法的主体部分，即消息摘要是如何计算的。 2.1 常量初始化 SHA256算法中用到了8个哈希初值以及64个哈希常量 其中，SHA256算法的8个哈希初值如下： h0 := 0x6a09e667 h1 := 0xbb67ae85 h2 := 0x3c6ef372 h3 := 0xa54ff53a h4 := 0x510e527f h5 := 0x9b05688c
线 性 规 划 算 法 详 解
线性规划专题——SIMPLEX 单纯形算法（三）图解——示例、注意点 线性规划专题——SIMPLEX 单纯形算法（一） 线性规划专题——SIMPLEX 单纯形算法（二） 前面两篇博文已经把单纯形算法里面的核心思想给解释清楚了，主要是要认识到在线性规划里面的以下几点： 目标函数的最优值一定在可行域的顶点取得。 可行域的顶点对应这系数矩阵的一组基；系数矩阵的一组基也对应这一个可行域上的顶点 顶点的转移是通过在旧的基本列里面加入新的列，同时为了保持rank 一致，再从基本列里面删去一列。在转移的时候，重点就是要求出那个λ?vec lambdaλ来，它其实是使得Aλ?=0Aveclambda=0Aλ=0 的λ?vec lambdaλ的解，只不过在解这个方程的时候，选择AAA 的那组旧的基本列来求解。 单纯形法的终止条件是，添加任意的非基本列都不能改善目标函数，此时目标函数到达最小值。 OK,本博客来看看到底如何来用这个单纯形法来解线性规划。 一般，单纯形法会使用一个表格。使用表格来记录。我们来举几个例子。 再次使用如下记号来表示线性规划的松弛型： 几个例子
假设存在如下的线性规划： 这是一个标准型的线性规划。我们添加松弛变量，得到松弛型： 这个线性规划的右边的所有bib_ibi? 都是非负的，所以：X=[0,0,0,4,2,3,6]X=[0,0,0,4,2,3,6]X=[0,0,0,4,2,3,6] 就是满足条件的一个顶点。 我们画出下面这个表格出来： 这个表格一共有5部分组成。 第1部分，表示各个变量。 第2部分，目标函数的各个系数，这些系数是与第一部分的变量是对应起来的。c￣ioverline c_ici? 与 xix_ixi?对应。 第3部分，当前得到的目标函数值的相反数。 第4部分，对应于AX=bAX=bAX=b 的 b，它其实表示了选定基本列后，基本列对应的xix_ixi?的值，那些非基本列的xjx_jxj? 全部为0。上面的表格说明基本列是第4,5，6,7列，这组基对应的顶点是X=[0,0,0,4,2,3,6]X=[0,0,0,4,2,3,6]X=[0,0,0,4,2,3,6] 第5部分，系数矩阵。每一列与变量也是对应的，第i列表示第i个变量的系数列。 注意，我们需要始终保持基本列都是eie_iei? ,eie_iei?是单位阵的第iii列。化成这种形式是为了方便的解方程和求λ?vec lambdaλ。 怎么操作呢？ 每次从第2部分中，选择一个负的 c￣ioverline c_{i}ci? ，负的意味着把cic_ici?对应的列添加进来以后，目标函数是会减少的量的多少。
预测控制主要算法
动态矩阵控制 从1974年起，动态矩阵控制(DMC)就作为一种有约束的多变量优化控制算法应用在美国壳牌石油公司的生产装置上。1979年，Cutler等在美国化工年会上首次介绍了这一算法。二十多年来，它已在石油、化工等部门的过程控制中获得了成功的应用。 DMC算法是一种基于对象阶跃响应模型的预测控制算法，它适用于渐近稳定的线性对象。对于弱非线性对象，可在工作点处首先线性化；对于不稳定对象，可先用常规PID控制使其稳定，然后再使用DMC算法。
1． 模型预测 DMC 中的预测模型是用被控对象的单位阶跃响应来描述的。当在系统的输入端加上一控制增量后，在各采样时刻T t =、T 2、…、NT 分别可在系统的输出端测得一系列采样值，它们可用动态系数a 、a 、…、a 来表示，这种用动态系数和输入量来特性，就是被控
N 是阶跃响应的截断点，称为模型长度，N 的选择应使过程响应值已接近其稳态值，一般选N=20~60。因此，对象的阶跃响应就可以用集合{}N a a a ,...,,2 1 来描述。这样，根据线性系统的比例和叠加性质，利用这一模型，在给定的输入控制增量 T M k u k u k u k U )]1(),...,1(),([)(-+D +D D =D 作用下，系统未来时刻的输出预测值： )1()1()()()(?)1()()2()2(?)()1()1(?11012010-+D +++D +D ++=++D +D ++=+D ++=++--M k u a k u a k u a P k y P k y k u a k u a k y k y k u a k y k y M P P P L M 其中，y 0(k+j)是j 时刻无控制增量作用时的模型输出初值，将上式写成矩阵形式为： )()1()1(?0k U A k Y k Y D ++=+ （2-20）
第六章 线性规划及其解的实现
第六章 线性规划及其解的实现 线性规划是目前应用最广泛的一种系统优化方法，它的理论和方法已十分成熟，可以应用于生产计划、物质调运、资源优化配置、地区经济规划等许多实际问题.线性规划最早由前苏联学者L V Kantorovich 于1939年提出，但他的工作当时并未为人所熟知.直到1947年，美国学者G B Danzing 提出求解线性规划最有效的算法-----单纯性算法后，才引起数学家、经济学家和计算机工作者的重视，并迅速发展成为一门完整的学科而得到广泛的应用.利用线性规划建立数学模型也是中国大学生数学建模竞赛中最常用的方法之一. 优化模型的一般形式为 T n X x x x X X f z ),,,(),(min 21 == (1) m i X g t s i ,,2,1,0)(.. =≤ (2) 其中)(x f 称为目标函数，)(X g i 称为约束条件.只满足式(2)的X 称为可行解；同时满足式(1)、式(2)两式的解* X X =称为最优解. 由式(1)、式(2)组成的模型属于约束优化，若只有式(1)就是无约束优化.一般情况下，优化问题都是有约束的，但是如果最优解不是在可行域的边界上，而是在可行域的内部，那么就可以用无约束优化作比较简单的处理. 若f ，i g 均为线性函数，优化模型式(1)、式(2)称为线性规划，否则称为非线性规划. 本章主要对线性规划问题及其解的实现作简要介绍. §6.1 线性规划模型形式及其性质 线性规划是运筹学的一个重要分支，应用很广.线性规划问题可以描述为求一组非负变量，这些非负变量在一定线性约束的条件下，使一个线性目标函数取得极小(或极大)值的问题. 1、线性规划的标准形式 目标函数 n n x c x c x c z +++= 2211m in 约束条件 ????? ????≥=+++=+++=+++0 ,,,2122112222212111212111n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 这里n x x x ,,,21 是变量，i ij i b a c ,,都是已知常数，且0≥i b ，约束条件常用..t s 表示.线性规划用矩阵表示就是 T n x x x X cX z ),,,(, min 21 == T n n m ij b b b b n m a A x b AX t s ),,,(),()(,0,..21 =≤=≥=?.