高中物理与函数及函数图象(一)
高中物理与函数图象（一）
函数图象与物理规律
一、学情与内容分析
1、地位与作用：
在高考能力要求中，应用数学工具处理物理问题一项中，就有“能运用几何图形、函数图象进行表达、分析”的要求。图象法就是利用图象来描述两个物理量之间的关系的方法。图象的特点是具有直观性和形象性。从高考试题中也反映物理图象是考试热点之一。
2、重点与难点：
能够正确地作图、读图是准确把握两个物理量间的关键，然后再结合相应的物理规律解答物理问题是重点也是难点。
3、教学说明：
用图像法解题的主要依据是利用了物理过程中恒量与变量之间的关系，以及与数学函数图像之间的联系，再利用几何或分析的方法解决问题。在考试过程中若能巧用图像解题，必会达到事半功倍的效果，特别在高考紧张的气氛下，一般人都易利用公式法和分析法算，思维易混乱，计算繁杂且易算错，这是很不利的，多树立用图像解题的意识，多加训练达到得心应手的境界。但是也不是所有物理题都适用图像法解题，所以我们也必须总结出，哪类题更适合用图像法解题以及哪类题目在高中阶段只能用图像法解。
4、学生情况分析：
图像法是高考考试的热点，高中学生数学水平已经能够解决高中物理中的图像问题，而以往学生只在做习题的时候，零星的接触了一些图像题，在讲解题目的时候，发现学生对于这类题目有点发怵，觉得无从着手，即使这道题搞懂了，碰到其他又不会了，所以对图像问题进行一次总结很有必要。
二、教学目标：
1、知识与技能：
①回顾高中所学过的常见图像
②能搞清图象所揭示的物理规律或物理量间的函数关系
③具有建立图像以及应用图像解决物理问题的能力
2、过程与方法：
①培养学生理解事物本质的能力，以及归纳能力。
②培养学生学科间的迁移能力
3、情感与态度：
①体验用图像方法描述物理现象的乐趣，培养学生用数学方法处理物理问题的意识。
②让学生用科学的眼光去认识事物，去了解事物的本质，培养学生的科学素养。
四、教学方法：
讲授法、归纳法，利用多媒体资源，以学生为主体，展开教学。
五、教学过程：
【引入】提问：描述一个物体过程和物理规律有几种方法？举例：一个物体Array在不受任何外力作用下运动用3种不同的方式描述它：匀速直线运动， S＝
vt，，
所以任何一个物理规律或物理过程都有3种描述方法：文字
描述、数学描述和图像描述。但哪种更加直观、形象？当然是图像法。在高
考能力要求中，应用数学工具处理物理问题一项中，就有“能运用几何图形、函数图象进行表达、分析”的要求。所以今天我们就来研究物理图像专题。
一、在我们学习高中物理，有哪些常见图像？
力学：运动学：s－t图；v－t图；振动和波：y－x图；y－t图
热学：p－T图；V－T图；p－V图
电学：U－I图；P出－R图
这中间包含了我们数学学过的：正比例函数、一次函数、正、余弦函数、反比例函数等函数图像。
（1）物理图象的分类
整个高中教材中有很多不同类型的图象，按图形形状的不同可分为以下几类．
(1)直线型：如匀速直线运动的s－t图象、匀变速直线运动的v－t图象、定值电阻的U－I图象等．
(2)正弦曲线型：如简谐振动的x－t图象、简谐波的y－x图象等．
(3)其他型：分子力与分子间距离的f－r图象等．
下面我们对高中物理中接触到的典型物理图象作一综合回顾，以期对物理图象有个较为图象函数形式特例物理意义
y＝c 匀速直线运动的v
－t图象
做匀速直线运动的
质点的速度是恒矢
量．
y＝kx ①匀速直线运动的
s－t图象
②初速度v0＝0的匀
加速直线运动的v
－t图象(若v0≠
0，则纵截距不为零)
③纯电阻电路的I
－U图象
①表示物体的位移
大小随时间线性增
大．
②表示物体的速度
大小随时间线性增
大．
③表示纯电阻电路
中I随导体两端的
电压U线性增大．
y＝a－kx ①匀减速直线运动
的v－t图象
②闭合电路中的U
－I图象(U＝E－
Ir)
①表示物体的速度
大小随时间线性减
小．
②表示路端电压随
电流的增大而减小．
y＝a
x＋b
·x (双曲线函数)①由纯电阻用电器
组成的闭合电路的
U－R图象(U＝
E
R＋r
R)
②在垂直于匀强磁
场的
[XCzt71．tifBP]导
轨上，自由导体棒在
一恒定动力F的作
用下做变加速运动
的v－t图象
①表示纯电阻电路
中电源的端电压随
外电阻而非线性增
大．
②将达到稳定速度
v m＝
FR总
B2L2
．
y ＝kx 2
(抛物线函数)
①小灯泡消耗的实际功率与外加电压的P －U 图象 ②位移与时间的s －t 图象(s ＝12at 2) ①表示小灯泡消耗的实际功率随电压的增大而增大，且增大得越来越快． ②表示位移随时间的增大而增大，且增
大得越来越快．
xy ＝c
(双曲线函数)
机械在额定功率下，其牵引力与速度的关系图象(P ＝Fv )
表示功率一定时，牵引力与速度成反比． y ＝A sin ωt 交流电的e －t 图象
(e ＝E m sin ωt ) 表示交流电随时间变化的关系．
二、识图：认识图象，理解图象的物理意义；搞清图象所揭示的物理规律或物理量间的函数关系，全面系统地看懂图象中的“轴”、 “线”、“点”、“斜率”、“面积”、“截距”等所表示的物理意义。
(1)首先应明确所给的图象是什么图象，即认清图象中比纵横轴所代表的物理量及它们的“函数关系”，特别是对那些图形相似、容易混淆的图象，更要注意区分．例如振动图象与波动图象、运动学中的 s －t 图象和v －t 图象、电磁振荡中的i －t 图象和q －t 图象等．
(2)要注意理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义．
①点：图线上的每一个点对应研究对象的一个状态．要特别注意“起点”、“终点”、“拐点”、“交点”，它们往往对应着一个特殊状态．如有的速度图象中，拐点可能表示速度由增大(减小)变为减小(增大)，即加速度的方向发生变化的时刻，而速度图线与时间轴的交点则代表速度的方向发生变化的时刻．
坐标原点坐标值是0吗？图线上任意一点的物理意义是什么？图线相交点含义？注意坐标原点不一定是0，比如路端电压--电流图象中；图线上任意一点即可表示某个状态（如横轴是时间，U-I 线），也可表示一过程（如1/v-F 图，2009-11海淀期中）；两图线相交点只表示横轴和纵轴代表的物理量相等，其他物理量是否相等需要进一步推导，与其他条件有关。比如v-t 图中两线交点仅表示该时刻速度相同，而加速度通常不同，位移也不一定相同，也不一定相遇。
例题1：两物体甲和乙在同一直线上运动，它们在0～0.4s 时间内的v -t 图象如图所示。若仅在两物体之间存在相互作用，则物体甲与乙的质量之比和图中时间t 1分别为 A ．13
和0.30s B ．3和0.30s C ．13和0.28s D ．3和0.28s
【解析】答案B 。本题考查图象问题。根据速度图象的特点可知甲做匀加速，乙做匀减速
v/ms -1 t/s 11 2 3 4 0 乙 甲
。根据v a t
?=?得3a a =乙甲,根据牛顿第二定律有13F F m m =乙甲,得3m m =甲乙,由24110/0.40.4a m s t
===-乙,得t=0.3s,B 正确。
例题2：小灯泡灯丝的电阻会随温度的升高而变大。某同学为研究这一现象，用实验得到如
⑴在左下框中画出实验电路图。 可用的器材有：电压表、电流表、滑线变阻器（变化范围0 — 10 Ω）、电源、小灯泡、电键、导线若干。
⑵在右图中画出小灯泡的U – I 曲线。
⑶如果将本题中的小灯泡接在电动势是1.5V ，内阻是2.0 Ω的电池两端，小灯泡的实际功率是多少？（简要写出求解过程；若需作图，可直接画在第⑵小题的方格图中）
【解析】⑴分压器接法（如下图所示）。⑵如下图所示。⑶作出电源的U ＝E －Ir 图线，该图线与小灯泡的U – I 曲线相交于一点，由此可得小灯泡工作电流为0.35 A ，工作电压为0.80 V
【说明】生在实验复习中已基本掌握，而第⑶问则对实验数据的处理进行了拓展、延伸，对小灯泡的实际功率无计算公式，只能在小灯泡的伏安特性曲线上画出电池的U —I 图线，然后找出两曲线的交点，从而确定此时灯泡的工作状态，得到实际工作功率。这考查了学生对小灯泡的伏安特性曲线的理解和实验数据处理的能力。
U (A)
同时也要深入理解图线交点与电路工作状态的对应关系。
通过画电源的U-I图，找到两图线的交点是解决此问题的关键所在！
②线：注意观察图线是直线、曲线还是折线等，从而弄清图象所反映的两个物理量之间的关系．纵轴所代表的物理量量值变化吗，是均匀变化还是非均匀变化？是否是分段函数（图象）？是否存在极值？注意观察图象中图线的形状是直线、曲线，还是折线等，分析图线所反映两个物理量之间的关系，进而明确图象反映的物理内涵。如金属导体的伏安特性曲线反应了电阻随温度的升高而增大。图线分析时还要注意图线的拐点具有的特定意义，它是两种不同变化情况的交界，即物理量变化的特殊点。例如，共振图象的拐点（最高点）表明了共振的条件，这时驱动力的频率与物体的固有频率相同；光电效应中光电流—电压图象中存在饱和电流，电源输出功率--外电阻的图象中，在外电阻等于内电阻时输出功率有极值等等。例题：将一个力电传感器接到计算机上，可以测
量快速变化的力。用这种方法测得的某单摆摆动
过程中悬线上拉力大小随时间变化的曲线如图
5所示。由此图线提供的信息做出下列判断，其
中正确的是（）
A、t＝0.2s时刻摆球正经过最低点
B、t＝1.1s时摆球正处于最高点
C、摆球摆动过程中机械能时而增大时而减
小
D、摆球摆动的周期约是T＝0.6s
【解析】本题的关键是把图象与具体的物理情景对应起来，如上图所示，在最低点悬线受到的拉力最大；在最高点悬线受到的拉力最小；又由于受到阻力的作用，物体做阻尼振动，机械能减小；再根据周期性可得周期约1.2s。因此，本题的正确答案是A、B选项。
例题3：两带电量分别为q和－q的点电荷放在x轴上，相距为L，能正确反映两电荷连线上场强大小E与x关系的是图（）
（A）（B）（C）（D）
【答案】A
【解析】由等量异种点电荷的电场强度的关系可知，在两电荷连线中点处电场强度最小，但不是零，从两点电荷向中点电场强度逐渐减小，因此A正确。
③斜率：表示纵横坐标上两物理量的比值．常有一个重要的物理量与之对应，用于求解定量计算中所对应的物理量的大小以及定性分析变化的快慢．如v－t图象的斜率表示加速度．
例题：如图所示，光滑轨道MO和ON底端对接且ON＝2MO，M、N两点高度相同。小球自M 点由静止自由滚下，忽略小球经过O点时的机械能损失，以v、s 、a、Ek分别表示小球的速度、位移、加速度和动能四个物理量的大小。下列四象中能正确反映小球自M点到N点运动过程的是
【 】
解析：首先弄清楚物体在om 段和on 段的运动特征，om 段匀加速，on 段匀减速，得出各个物理量之间的关系，然后根据关系式结合数学知识画出图形。
答案：A
例10（2009年江苏卷8）．空间某一静电场的电势?在x 轴上分布如图所示，x 轴上两点B 、C 点电场强度在x 方向上的分量分别是Bx E 、Cx E ，下列说法中正确的有
A ．E
B x 的大小大于E
C x 的大小
B ．E B x 的方向沿x 轴正方向
C ．电荷在O 点受到的电场力在x 方向上的分量最大
D ．负电荷沿x 轴从B 移到C 的过程中，电场力先做正功，
后做负功
答案：AD 。
【解析】本题的入手点在于如何判断Bx E 和Cx E 的大小，因为
－x 图中斜率为沿x 方向的E ，可见Bx E >Cx E ，A 项正确；同理可知O 点场强最小，电荷在该点受到的电场力最小，C 项错误；沿电场方向电势降低，在O 点左侧，Bx E 的方向沿x 轴负方向，在O 点右侧，Cx E 的方向沿x 轴正方向，所以B 项错误，D 项正确。
④截距：表示纵横坐标两物理量在“边界”条件下物理量的大小．由此往往可得到一个很有意义的物理量．如电源的U －I 图象反映了U ＝E －Ir 的函数关系，两截距点分别为(0，E )和? ??
??E r
，0． 截距是图线与两坐标轴的交点所代表的坐标数值，该数值具有一定的物
理意义。如下右图为左图情景中杆的速度v 与拉力F 的关系图，图线在横轴上的截距表示杆所受
到的阻力。同样要注意弹簧的弹力图象、路端电
压--电流图象、光电效应中光电子最大初动能—
光照频率图象等等的截距表示的物理意义。
例7（2009年上海卷22）．如图（a ），质量
m ＝1kg 的物体沿倾角＝37的固定粗糙斜面由静止开始向下运动，风对物体的作用力沿水平方向向右，其大小与风速v 成正比，比例系数用k 表示，物体加速度a 与风速v 的关系如图（b ）所示。求：v A ． B ． C ． D ．
（1）物体与斜面间的动摩擦因数； （2）比例系数k 。（sin370=0.6,cos370=0.8,g=10m/s 2） 【解析】 （1）对初始时刻：mg sin －mg cos ＝ma 0 ①， 由右图读出a 0=4 m/s 2 代入①式，
解得：＝g sin －ma 0g cos
＝0.25； （2）对末时刻加速度为零：mg sin －N －kv cos ＝0 ②，又N ＝mg cos ＋kv sin ③，
由右图得出此时v =5 m/s 代入②③式解得：k ＝mg （sin －cos ）v （sin ＋cos
＝0.84kg/s 。 例题：如图所示，A ，B 两条直线是在A ，B 两地分别用竖直向上的力F 拉质量分别是A m 和B m 的物体实验得出的两个加速度a 与力F 的关系图线，由图分析可知（ ）
A ．
B A m m < B ．两地重力加速度B A g g >
C ．B A m m >
D ．两地重力加速度B A g g =
解析：对图象中直线在两轴上的截距的物理意义进行分析，便
可获得解题突破。直线在纵轴上截距的物理意义是物理做自由
落体运动时物体运动的加速度，即重力加速度g ，故可以判定g Ａ=g Ｂ。直线在横轴上的截距的物理意义是竖直向上的拉力Ｆ刚好等于物体的重力，则有m Ａg Ａ ⑤面积：有些物理图象的图线与横轴所围的面积往往代表一个物理量的大小．如v －t 图象中面积表示位移．有些物理图象的图线与横轴所围的面积的值，它常代表另一个物理量的大小。如t v -图中，图线与t 轴所夹的面积代表位移，s F -图象中图线与s 轴所夹的面积代表功，t F -图象中图线与t 轴所夹的面积代表冲量，t i -图象中图线与t 轴所夹的面积代表电量，1s v -图象中图线与s 轴所夹的面积代表了时间等，端电压－电流图的面积是功率。 例题：例3：有A 、B 两火车在同轨道上同向匀速行驶，A 车在B 车后，速度分别为V A 和V B ，且A 车的速度大于B 车速度，当A 车司机发现B 时两车相距S 并立即刹车，为了避免两车相撞，A 车至少应以多大加速度刹车才能避免相撞？ 解析：此题可用图象法来解，在同一坐标系中画出AB 两车的V —t 图象，如图所示， A 车做匀减速直线运动，B 车仍做匀速运动。分析图象中交点C 的物理 意义，在此时刻A 、B 速度相等，此前，V A V B ，A 靠近B ，此后， V A V B ，B 远离A ，故只要在交点C 时刻两车不相撞就行，或者说 两车速度相等是判断相不相撞的临界条件。其中阴影部分面积为A 车比B 车多走的位移，所以要使两车不相撞，此面积必须小于或 等于S 。 评析：此类是同一坐标系中两个图象的交点,此点往往是两个图象的联系点和突破点,解题的关键是要理解此交点的物理意义。 a /ms －2 （b ） m 4 θ （a ） －1 小结：1．中学物理中涉及到的重要图象 力学中主要包括位移时间图象（s-t图象）、速度时间图象（v-t图象）、振动图象x－t 图、波动图象y-x图等;电学中的电场线分布图、磁感线分布图、等势面分布图、交流电图象、电磁振荡图象I-t图等；还有气体图象p-v图、v-T图、p-T图等；在实验中也涉及到不少图象，如验证牛顿第二定律时要用到a-F图象、a－1/m图象，用“伏安法”测电阻时要画出I-u图象，测电源电动势和内阻时要画u-I图，用单摆测重力加速度时要画出的T2-L 图等；在各类习题中图象问题也是频频出现，更有些图象是教材中未曾出现过的，如力学中F-t图，电磁振荡中的q-t图，电磁感应中的Φ-t图、E-t图等。 2．对图象意义的理解 (1)首先应明确所给图象是什么图象，即认清图象中横轴、纵轴所代表的物理量及他们的关系，特别是对那些图形相似，容易混淆的图象，更要注意区分。例如振动图象和波动图象，s-t图象和v-t图象等。 (2)要清楚的理解图象中的“点”，“线”，“斜率”，“面积”的物理意义。如在速度时间图象里： A．“点”的意义：图象上的任一点表示这时物体的速度。 B．“线”的意义：任一段线段表示在一段时间内物体速度的变化量。 C．“斜率”的意义：“斜率”表示物体的加速度。 D．“面积”的意义：图象围成的“面积”表示物体在一段时间内发生的位移。 E．“截距”的意义：截距表示物体出发时的速度，横轴截距表示物体出发时距计时起点的时间间隔。 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 平移，对称，旋转 一次函数图象的几何变换 【教学目标】 1．熟练掌握一次函数图象经过平移后的函数表达式求解方法． 2．了解一次函数的图象经过简单的旋转、对称的等几何变换后的表达式． 3．培养学生的位置感和推理能力. 【重难点】 重点：求一次函数平移变换后的表达式． 难点：由坐标系中不同的函数图象求相关的几何问题（面积，边长）． 【知识要点】 1．直线b kx y +=向左平移m 个单位得到直线 ，向右平移m 个单位得到直线 ，向上平移m 个单位得到直线 ， 向下平移m 个单位得到直线 ． 2．将直线b kx y +=①关于x 轴对称，得到直线 ； ②关于y 轴对称，得到直线 ． ③关于原点对称，得到直线 ． 3. 111b x k y +=和222b x k y +=，当,,2121b b k k ≠=两直线平行.当121-=?k k 时,两直线垂直. 【典型例题】 例1． （1）求函数3 6-= x y 向上平移4个单位后得到新函数的解析式. （2）直线121+-=x y 向 平移 个单位可得直线521--=x y 。 例2 已知函数25y x =-的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把它向右平移2个单位后与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点，求C ，D 两点的坐标. 例3 已知在直角坐标系中，直线y =+x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，作AB 边关于x 轴、y 轴和坐标原点的对称直线，画出图象，并求这四条直线围成的四边形的面积。 例4 如图，已知直线AB 与y 轴、x 轴分别交于点A （0，4）和点B （2，0），将此直线向左平移与x 轴的负半轴和y 轴的负半轴分别交于点C 、点D ，使DB=DC ，求直线CD 的解析式。 例5 已知直线1l ：21y x =-与2l ：122 y x =-+，将1l 向左平移3个单位得3l ，将2l 向下平移 一次函数图象的应用 一．知识与技能目标： 1．能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题； 2．在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系。 过程与方法目标： 1．通过对函数图象的观察与分析，培养学生数形结合的意识，发展形象思维； 2．通过具体问题的解决，培养学生的数学应用能力； 3．引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，使学生初步形成多样的学习方式． 情感与态度目标： 1．在具体的案例中，培养学生良好的环保意识和对生活的热爱等． 教学重点 一次函数图象的应用． 教学难点 正确地根据图象获取信息，并解决现实生活中的有关问题． 教学过程 第一环节复习 ．怎样应用一次函数的图象和性质来解决现实生活中的实际问 题，是我们这节课的主要内容．首先，想一想一次函数具有什么性质？ 在一次函数y kx b =+中 当0k >时，y 随x 的增大而增大， 当0b >时，直线交y 轴于正半轴，必过一、二、三象限； 当0b <时，直线交y 轴于负半轴，必过一、三、四象限． 当0 幂函数知识点归纳及题型总结 一、 幂函数定义：对于形如：() x f x α=，其中α为常数.叫做幂函数 定义说明： 1、 定义具有严格性，x α系数必须是1，底数必须是x 2、 α取值是R . 3、 《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况 二、 幂函数的图像 幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x = 2）=1α时图像是一条直线.即() x f x = 3）01α＜＜ 时图像是横卧的抛物线.例如()1 2x f x = 4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即() 0x f x =（0x ≠） 5）0α＜时图像是双曲线（可能一支）.例如() -1 x f x = 具备规律: ①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高） ②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称 ③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像 三、幂函数的性质 幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。 1、 定义域、值域与α有关，通常化分数指数 幂为根式求解 2、 奇偶性要结合定义域来讨论 3、 单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递 增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减 4、 过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两 点；α≤0时，过（1,1） 5、 由 ()0 x f x α=＞可知，图像不过第四象限 一、幂函数解析式的求法 1. 利用定义 （1）下列函数是幂函数的是 ______ ①21()y x -= ②22y x = ③21(1)y x -=+ ④0 y x = ⑤1y = （2（3 2 3 1． （1）、函数3 x y =的图像是（ ） （2）右图为幂函数y x α =在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是 （ ） 考点一：正比例函数y=k x 与一次函数y=k x+b 的一般式 1.已知一次函数4)2(2-++=k x k y 的图象经过原点，则k=_____。 2、已知函数y =（2m -2）x +m +1， （1）m 为何值时，图象为过原点的直线． （2）m 为何值时，图像为一条不过原点的直线。． 3.一次函数y =5kx －5k －3,当k =___时，图象过原点；当k ______时，y 随x 的增大而增大. 4.m x m y m +-=-32)2(是一次函数，则m=___。 考点二：图像所经过的象限（k 和b 的含义） 1、正比例函数y=（m －1）x 的图象经过一、三象限，则m 的取值范围是 2.在平面直角坐标系中，一次函数y =2x +1的图象不经过________。 3.已知点P （m ，n ）在第四象限，则直线y =nx +m 图象大致是下列的（ ） A．B．C．D． 4.一次函数y=kx+k（k＜0）的图象大致是（） A．B．C． D． 5.在平面直角坐标系中，若直线y=kx+b经过第一、三、 四象限，则直线y=bx+k不经过的象限是（） A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6.已知关于x的一次函数y=m(x-n)的图象经过第二、三、四象限，则有 ( ) A．m＞0，n＞0B．m＜0，n＞0 C．m＞0，n＜0D．m＜0，n＜0 7．在函数y=kx+3中,当k取不同的非零实数时,就得 到不同的直线,那么这些直线必定( ) A、交于同一个点 B、互相平行 C、有无数个不同的交点 D、交点的个数与k的具 体取值有关 8．函数y=3x+b,当b取一系列不同的数值时,它们图 象的共同点是( ) 一次函数图象的平移及解析式的变化规律 我们在研究两个一次函数的图象平行的条件时,曾得出“其中一条直线可以由另外一条直线通过平移得到”的结论,这就涉及到一次函数图象平移的问题. 函数的图象及其解析式,是从“形”和“数”两个方面反映函数的性质,也是初中数学中数形结合思想的重要体现.在平面直角坐标系中,当一次函数的图象发生平移（平行移动）时,与之对应的函数解析式也随之发生改变,并且函数解析式的变化呈现出如下的变化规律: 一次函数()0≠+=k b kx y 的图象平移后其解析式的变化遵循“上加下减，左加右减”的规律: （1）上下平移,k 值不变,b 值“上加下减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向上平移m 个单位长度,解析式变为()0≠++=k m b kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向下平移m 个单位长度,解析式变为()0≠-+=k m b kx y . （2）左右平移,k 值不变,自变量x “左加右减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向左平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠++=k b n x k y ,展开得()0≠++=k b kn kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向右平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠+-=k b n x k y ,展开得()0≠+-=k b kn kx y . 注意: （1）无论一次函数的图象作何种平移,平移前后,k 值不变,b 值改变.设上下平移的单位长度为m ,则b 值变为m b ±;设左右平移的单位长度为n ,则b 值变为kn b ±. （2）上面的规律如下页图（51）所示. 一次函数图象的应用 一、知识点睛 1.函数图象共存问题 选定一个函数图象，根据图象性质判断k，b符号，验证另一个函数图象存在的合理性. 2.数形结合求范围 __________、__________、__________. 二、精讲精练 1.若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a 5.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是（） A．x>1 B．x<1 C．x<2 D．x>2 6.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当0 一、幂函数图像的分布规律 幂函数图像的分布规律可用“一全有、二一偶、三一奇、四全无”来说明。 1.“一全有”：指所有幂函数的图像在第一象限都出现， 分布情况如图1所示，其特点如下：①抓住三条特征 线：直线x=1，y=x ，y=1把幂函数的图像分为三个区 域，这三个区域对应着幂函数y=x α在α<0,0<α<1, α>1时的图像；②第一象限内幂函数y=x α图像的区 域分布情况为：在直线x=1的右边，α越大，图像越高，越趋向于直线x=1；在直线x=1的右边，α越小，其图像越低，越趋向于x 轴。 2.“二一偶”：指当幂函数为偶函数时，其图像关于y 轴对称，即幂函数的图像出现在第一、第二象限。 3.“三一奇”：指当幂函数为奇函数时，其图像关于原点对称，即幂函数的图像出现在第一、第三象限。 4.“四必无”：指由定义，知幂函数的图像不可能出现在第四象限。 二、幂函数图像的应用 1.识别图像 例1.图2中 的曲线是幂函数y=x α在第一象限的图像，已知α取±2，±12四个值，则其相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的α依次为（ ） A.-2，-12，12，2 B.2，12，-12，-2 C.- 12，-2，2，12 D.2，12，-2，-12 解：根据幂函数的图像特点，立即可以断定相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值排序是由大到小，故选B 。 2.用于判断方程的个数 例2.方程x 2=2x 的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D. 解：令f（x）=x2，g（x）=2x，在同一坐标平面内作出这两个函数的图象，如图三所示，由图可知，交点有三个，所以方程x2=2x的根的个数为3，故选C。 一次函数图像信息题1 基础扫描：1.会观察函数图像（一横、二纵、三起始、四关键、五分段、六解析） 2.已知两点用待定系数法求一次函数的解析式（一设二列三解四回） 举一反三： (陕西省)在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货 后返回．设汽车从甲地出发x (h)时，汽车与甲地的距离为y (km)，y 与x 的函数关系如图所示． 根据图像信息，解答下列问题： （1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由； （2）求返程中y 与x 之间的函数表达式； （3）求这辆汽车从甲地出发4h 时与甲地的距离． 思路导航：关键弄清图像的信息，并会观察图像。弄清折线的含义及各段的含义。 解：（1）不同，理由如下： ∵往、返距离相等，去时用了2小时，而返回时用了2.5小时， ∴往、返速度不同． （2）设返程中y 与x 之间的表达式为y ＝kx+b ， 则? ? ?+=+=.50, 5.2120b k b k 解之，得? ? ?=-=.240, 48b k ∴y ＝－48x+240．（2.5≤x≤5）（评卷时，自变量的取值范围不作要求） （3）当x ＝4时，汽车在返程中， ∴y ＝－48×4+240＝48． ∴这辆汽车从甲地出发4h 时与甲地的距离为48km ． 模仿操作： 1．（ 黑龙江大兴安岭）邮递员小王从县城出发，骑自行车到A 村投递，途中遇到县城中学的学生李明从A 村步行返校．小王在A 村完成投递工作后，返回县城途中又遇到李明，便用自行车载上李明，一起到达县城，结果小王比预计时间晚到1分钟．二人与县城间的距离s (千米)和小王从县城出发后所用的时间t (分)之间的函数关系如图，假设二人之间交流的时间忽略不计，求： （1）小王和李明第一次相遇时，距县城多少千米？请直接写出答案． （2）小王从县城出发到返回县城所用的时间． （3）李明从A 一次函数与几何图形综合专题思想方法小结： （1）函数方法． 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． （2）数形结合法． 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结： （1）常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响． ①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点； 当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交． b＞0时，直线与x轴正半轴相交； ②当k，b异号时，即- k b=0时，直线经过原点； 当b=0时，即- k b﹤0时，直线与x轴负半轴相交． 当k，b同号时，即- k ③当k＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限； 当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限； 当b＞O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限； 当k﹤O，b＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k﹤O，b=0时，图象经过第二、四象限； 当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y=kx+b （k ≠0）与直线y=kx(k ≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0) 当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ； 当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ． （3）直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2?y 1与y 2相交； ②?? ?=≠2 121b b k k ?y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③?? ?≠=2 121,b b k k ?y 1与y 2平行； ④???==2 121,b b k k ?y 1与y 2重合. 例题精讲： 1、直线y=-2x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB (1) 求AC (2) 在 OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作 PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：① x 一次函数图像及应用中考题目专项训练 1 、(宁夏) 一次函数y=2x -3的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2、(陕西省) 若正比例函数的图像经过点（－1，2），则这个图像必经过点（ ） A ．(1，2) B ．(－1，－2) C ．(2，－1) D ．(1，－2) 3、（安徽）已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是【 】 4、(河北)如图所示的计算程序中，y 与x 之间的函数关系所对应的图象应为（ ） 5.（宜昌）由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降．若该水库的蓄水量V (万米 3)与干旱的时间 t (天)的关系如图所示，则下列说法正确的是( )． A ．干旱第50天时，蓄水量为1 200万米3 B ．干旱开始后，蓄水量每天增加20万米3 C ．干旱开始时，蓄水量为200万米3 D ．干旱开始后，蓄水量每天减少20万米3 O y x -2 - 4 A D C B O 4 2 y O 2 - 4 y x O 4 - 2 y x 取相反数 ×2 ＋4 图4 输入x 输出y x 6． (黄冈市)小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ） A ．12分钟 B ．15分钟 C ．25分钟 D ．27分钟 第5题 第6题 第7题 7．（桂林）如图，把该图像向左平移一个单位长度，得到的函数图像的解析式为 ． 8．（佛山）画出一次函数y=-2x+4的图象，并回答：当函数值为正时，x 的取值范围是 ． 9．（湘西）一次函数y=3x -b+1的图像过坐标原点，则b 的值为 ． 10．（天津）已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9)，则该函数的图象与y 轴交点的坐标为__________ ． 11．（乌鲁木齐）星期天8：00~8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气．之后，一位工作人员以每车20立方米的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量y （立方米）与时间x （小时）的函数关系如图2所示． （1）8：00~8：30，燃气公司向储气罐注入了多少立方米的天然气？ （2）当0.5x ≥时，求储气罐中的储气量一（立方米）与时间x （小时）的函数解析式； （3）请你判断，正在排队等候的第18辆车能否在当天10：30之前加完气？请说明理由． /天 t /万米3 V 20040060080010001200O 5040 302010O y x 2 -1 一次函数图象的变换——平移求一次函数图像平移后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住点的坐标变化解决问题。 知识点：“已知一个点的坐标和直线的斜率 k，我们就可以写出这条直线的解析式”。我们知道：y =kx+b经过点（0，b)，而（0，b)向上平移m 个单位得到点（0，b+m)，向下平移m个单位得到点（0，b－m)，向左平移m个单位得到点（0－m，b)，向右平移m个单位得到点（0+m，b)，直线y =kx+b平移后斜率不变仍然是k，设出平移后的解析式为y =kx+h,把平移后得到的点的坐标带入这个解析式求出h，就可以求出平移后直线的解析式。下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用： 例1：把直线y=2x-1向右平移1个单位，求平移后直线的解析式。 分析:y=2x-1经过点（0，-1），向右平移1个单位得到（1，-1）。平移后斜率不变，即k=2，所以可以设出平移后的解析式为y =2x+h，再将点（1，-1）代入求出解析式中的h，就可以求出平移后直线的解析式。 解：设平移后的直线解析式为y=2x+h 点（0，-1）在y=2x-1上，向右平移1个单位得到（1，-1）， 将点（1，-1）代入y=2x+h中得： -1=2×1+h h=-3 所以平移后直线的解析式为y=2x-3 例2：把直线y=2x-1向上平移3个单位，再向右平移1个单位，求平移后直线的解析式。 分析：点（0，-1）在直线y=2x-1上，当直线向上平移3个单位，点变为（0，-1+3），即为（0 , 2 ）；再向右平移1个单位后，点（0，2）变为点（0+1，2），即点变为（1 , 2 ）。设出平移后的解析式为y =kx+h，根据斜率k=2不变，以及点（1 , 2 ）就可以求出h,从而就可以求出平移后直线的解析式。 解：设平移后的直线解析式为y=2x+h. 2014中考数学一次函数图像与应用题汇总 （鄂州）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA 表示货车离甲地距离y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系；折线BCD 表示轿车离甲地距离y （千米）与x （小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题： （1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？ （2）求线段CD 对应的函数解析式． （3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD 段速度返回，求轿车从甲地出发后多长时间再与货车相遇（结果精确到0.01）． （?黄石）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车 从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离 甲地的距离为 1y 千米，出租车离甲地的距离为2y 千米，两车行驶的时间为x 小时，1y 、 2y 关于x 的函数图像如右图所示： （1）根据图像，直接写出 1y 、2y 关于x 的函数关系式； （2）若两车之间的距离为S 千米，请写出S 关于x 的函数关系式； （3）甲、乙两地间有A 、B 两个加油站，相距200千米，若客车进入A 加油站时，出租车恰好进入 B 加油站，求A 加油站离甲地的距离. （长春）甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面，乙队在甲队清理后铺设路面．乙队在中途停 工了一段时间，然后按停工前的工作效率继续工作．在整个工作过程中，甲队清理完的路面长y （米）与时间x （时）的函数图象为线段OA ，乙队铺设完的路面长y （米）与时间x （时）的函数图象为折线BC -CD -DE ，如图所示，从甲队开始工作时计时． （1）分别求线段BC 、DE 所在直线对应的函数关系式． （2）当甲队清理完路面时，求乙队铺设完的路面长． ) 一次函数 一次函数 图像性质 【培优练习】 1. 在同一直角坐标系中，对于函数：①y=﹣x ﹣1，①y=x+1，①y=﹣x+1，①y=﹣2（x+1）的图象，下列说法正确的是（ ） A ． 通过点（﹣1，0）的是①和① B ． 交点在y 轴上的是①和① C ． 相互平行的是①和① D ． 关于x 轴对称的是①和① 2. 如果点P(a ，b)关于x 轴的对称点p’在第三象限，那么直线y=ax+b 的图像不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 一次函数y=ax+b 在直角坐标系中的图象如图所示，则化简|a+b|﹣|a ﹣b|的结果是（ ） A ． 2a B ． ﹣2a C ． 2b D ． ﹣2b 4. 函数y=kx+|k| （k≠0）在直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 5. 作函数y 1=﹣x+4，y 2=3x ﹣4的图象如图，若y 1＞y 2成立，则x 的取值范围为（ ） A ． x≤2 B ． x ＜2 C ． x ＞2 D ． x≥2 6. 一次函数y 1=kx+b 与y 2=x+a 的图象如图，则下列结论：①k ＜0；①a ＞0；①当x ＞2时，y 2＞y 1，其 中正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7. 下列图象中，不可能是关于x 的一次函数y=mx ﹣（m ﹣3）的图象的是（ ） A ． B ． C ． D ． 8. 设直线kx+(k+1)y ﹣1=0与坐标轴所构成的直角三角形的面积为S k ，则S 1+S 2+…+S 2008= ． 幂函数的图像与性质 （三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是（ ） A ．y x = B ．3y x = C ．2y x = D ．1 y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数； （3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 变式 已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数 y =_______． 2.幂函数的图像 幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同． α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立； 3、幂函数的性质 y=x y=x 2 y=x 3 12 y x = y=x -1 定义域 R R R [0，+∞） {}|0x x R x ∈≠且 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {}|0y y R y ∈≠且 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x ∈[0，+∞）时，增； x ∈(,0]-∞时，减 增 增 x ∈(0,+∞)时，减； x ∈(-∞,0)时，减 定点 （1，1） 例3．比较大小： （1）112 2 1.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）112 5.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5 4.幂函数的性质及其应用 幂函数y ＝x α有下列性质： (1) 单调性：当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增； 当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减． (2)奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断． 例4．已知幂函数2 23 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于 原点对称，求m 的值． . 一次函数的图像专项练习30题1．函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系的大致位置正确的是（） A ．B ． C ． D ． 2．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＞2时，y2＞y1，其中正确的个数是（） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 3．一次函数y=kx+b，y随x的增大而减小，且kb＞0，则在直角坐标系它的大致图象是（）A ． B ． C ． D ． 4．下列函数图象不可能是一次函数y=ax﹣（a﹣2）图象的是（） A ． B ． C ． D ． 5．如图所示，如果k?b＜0，且k＜0，那么函数y=kx+b的图象大致是（） A ． B ． C ． D ． 6．如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=﹣x﹣把平面直角坐标系分成四个部分，则点（，）在（） A ．第一部分B ． 第二部分C ． 第三部分D ． 第四部分 7．已知正比例函数y=﹣kx和一次函数y=kx﹣2（x为自变量），它们在同一坐标系的图象大致是（） A ．B ． C ． D ． 8．函数y=2x+3的图象是（） A． 过点（0，3），（0，﹣）的直线B． 过点（1，5），（0，﹣）的直线 C． 过点（﹣1，﹣1），（﹣，0）的直 线D． 过点（0，3），（﹣，0）的直线 9．下列图象中，与关系式y=﹣x﹣1表示的是同一个一次函数的图象是（） A ．B ． C ． D ． 10．函数kx﹣y=2中，y随x的增大而减小，则它的图象是下图中的（） A ．B ． C ． D ． 11．已知直线y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，满足b1＜b2，且k1k2＜0，两直线的图象是（） 课题：6.5一次函数图象的应用（2） 【教学目标】 1、通过函数图象解决实际问题，进一步发展学生的数学应用能力。 2、从函数图象中正确读取信息，进一步发展学生的数形结合能力。 一、自主探究 阅读课本202p 页，并完成相应的空格部分。 例1、如图，1l 反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，2l 反映了该公司产品的销售成本与销售的关系，根据图象填空． ①当销售量为2t 时，销售收入= ， 销售成本= ． ②当销售量为6t 时，销售收入= ， 销售成本= ． ③当销售量等于 时， 销售收入等于销售成本． ④当销售量 时，该公司赢利， 当销售量 时，该公司亏损． ⑤1l 对应的函数解析式是 ． 2l 对应的函数解析式是 ． 二、练习： 1、如图分别是龟兔赛跑中路程与时间之间的函数图象。 根据图象可以知道： （1）这一次是 米赛跑 （2）表示兔子的图象是 （3）当兔子到达终点时，乌龟距终点还有 米 （4）乌龟要与兔子同时到达终点乌龟要先跑 米 （5）乌龟要先到达终点，至少要比兔子早跑 分钟 三、自学课本P203－204页，并完成相应的问题。 例2、我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A 正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇B 追赶 （如图），下图中l 1，l 2分别表示两船相对于海岸 的距离s （海里）与追赶时间t （分）之间的关系． （1）哪条线表示B 到海岸的距离与时间之间的关系？ t （2）A，B哪个速度快？ （3）15分钟内B能否追上A？ （4）如果一直追下去，那么B能否追上A （5）当A逃到离海岸12海里的公海时，B将无法对其进行检查．照此速度，B能否在A逃到公海前将其拦截？ 四、练习： 1、一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题. (1)农民自带的零钱是多少? (2)试求降价前y与x之间的关系 (3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少? (4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱 (含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆？ 2、如图：OA、BA分别表示甲乙两名学生跑步过程的一次函数的图象，图中s和t分别表示 幂函数图象有规律 幂函数()n y x n Q = 的图象看似复杂，其实很有规律。假如我们能抓住这些规律，那么幂函数图象问题就可迎刃而解。那么幂函数图象有哪些规律呢？ 1．第一象限内图象类型之规律（如图1）：1．n ＞1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，下凸递增。2．n ＝1时，过（0，0）、（1，1）的射线。 3．0＜n ＜1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，上凸递增。4．n ＝O 时，变形为y ＝1（x ≠0），平行于x 轴的射线。 5．n ＜0时过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近。 2．第一象限内图象走向之规律（如图1）： x ≥1部分各种幂函数图象，指数大的在指数小的上方；O ＜x ＜1部分图象反之，此二部分图象在（1，1）点穿越直线y ＝x 连成一体。 3．各个象限内图象分布之规律：设p n q = ，,p q 互质，,p Z q N 挝。 1．任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象。 2．n ＝奇数/偶数时，函数非奇非偶，图象只在第一象限（如图1）。 3．n ＝偶数/奇数时，函数是偶函数、图象在第一、二象限并关于y 轴对称（如图2）。 4．n ＝奇数/奇数时，函数是奇函数，图象在第一、三象限并关于原点对称（如图3）。 5. 当n<0时，图像与x 轴，y 轴没有交点。 知识点：幂函数的图象特征: （1）任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象． 先根据函数特征画出第一象限图象； ① 所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 并且图象都过点（1，1）； ②0>α时，幂函数的图象通过原点， 并且在区间),0[+∞上是增函数． ③0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减 函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴， 当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． （2）如果幂函数是奇函数，在第 象限内有其中心（坐标原点）对称部分；如果幂函数是偶函数，在第 象限内有其轴（y 轴）对称部分；如果幂函数是非奇非偶函数，则其函数图象只在第一象限内． 1、小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米．小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆．图中折线O－A－B－C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：（1）小聪在图书馆查阅资料的时间为________分钟，小聪返回学校的速度为________千米／分钟； （2）请你求出小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系式； （3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？ 2、如图已知函数y=-1/2x+b的图像与x轴y轴分别交于点A、B ，与函数y=x 的图像交于点M 点M的横坐标为2 在x轴上有一点P（a，0）（其中a＞2）且过点P作x轴垂线分别交函数y=-1/2x+b和y=x的图像于点C、D ⑴求点A坐标 ⑵若OB=CD，求a的值 3、如图，一次函数y= -3/4x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，再将△AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合、直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D． （1）点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）； （2）求OC的长度； （3）在x轴上有一点P，且△PAB是等腰三角形，不需计算过程，直接写出点P 的坐标． 4、甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车．已知每隔1 h有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城．如图所示，OA是第一列动车组列车离开甲城的距离s（km）与运行时间t（h）的函数图象，BC是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s（km）与运行时间t（h）的函数图象．请根据图中的信息，解答下列问题： （1）点B的横坐标0.5的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间 _____ 1 h(填”早”或”晚”)，点B的纵坐标300的意义是 _______ ；（2）请你在图中直接画出第二列动车组列车离开甲城的路程s（km）与时间t （h）的函数图象； （3）若普通快车的速度为100 km/h， ①求BC的解析式，并写出自变量t的取值范围； ②第二列动车组列车出发多长时间后与普通快车相遇？ ③请直接写出这列普通快车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的时间间隔时间。 §2.3幂函数（教案） 教学目标： 知识与技能 通过具体实例了解幂函数的概念，掌握幂函数的图象和性质，并能进行简 单的应用。 过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数 的图象和性质；培养学生数形结合、分类讨论的思想，以及分析归纳的能力。 情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性，培养学生合作交流的意识。 教学重点： 重点 从五个具体幂函数图象中认识幂函数的一些性质。 难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律。 教学关键：揭示出幂函数y x α =的图象的规律。 教学准备：多媒体课件，几何画板。 教学方式：引导教学法、探索讨论法、多媒体教学法。 学法指导：操作实验、自主探索、合作交流。 教学程序与环节设计： 教学过程与操作设计： 材料二：幂函数的图象变化规律归纳 ∞）都有定义，并且图象都经 板书设计： 幂函数 1、幂函数的定义例2 例4 2、幂函数的图象与性质 教案说明： （1）本节课的教学内容，课本中虽然只有3页，但内容丰富。课本通过几个特殊幂函数的图象类比 归纳，得到图象都通过点(1,1)。 （2）本节是新课标新增加的内容，教材不仅仅学习有关幂函数图象与性质的问题，还包含着教会学 生通过观察和思考，得到有关幂函数的一些知识的问题。 （3）有意识地将新知识的学习和研究方法渗透到教学过程之中，通过教学过程的设计，将这部分内 容适当展开，重新组合，使知识的传授和能力的培养有机地结合到一起。 （4）利用几何画板方便地研究出幂函数的图象，充分展示由幂指数的变化引起幂函数图象的变化的 内部规律。这样学生就容易从所举函数的个性中归纳出共性来，从而在整体上对幂函数的图象 与性质有较深刻的了解。 一次函数的定义 1、判断正误: （1）一次函数是正比例函数； （ ） (2)正比例函数是一次函数； （ ） (3)x ＋2y ＝5是一次函数； （ ）(4)2y －x=0是正比例函数． （ ） 2、选择题 （1）下列说法不正确的是（ ） A ．一次函数不一定是正比例函数。 B ．不是一次函数就不一定是正比例函数。 C ．正比例函数是特殊的一次函数。 D ．不是正比例函数就一定不是一次函数。 （2）下列函数中一次函数的个数为（ ） ①y=2x ；②y=3+4x ；③y=21 ；④y=ax （a ≠0的常数）；⑤xy=3；⑥2x+3y-1=0； A ．3个 B 4个 C 5个 D 6个 3、填空题 （1）若函数y=(m-2)x+5是一次函数，则m 满足的条件是____________。 （2）当m=__________时，函数y=3x2m+1 +3 是一次函数。 (3 )关于x 的一次函数y=x+5m-5，若使其成为正比例函数，则m 应取_________。 4、已知函数y= ()()112-++m x m 当m 取什么值时，y 是x 的一次函数？当m 取什么值是，y 是x 的正比例函数。 5、函数：①y=-2x+3；②x+y=1；③xy=1；④y=1+x ；⑤y=221x +1；⑥y=0.5x 中，属一次函数的有 ，属正比例函数的有 （只填序号） （2）当m= 时，y=()()m x m x m +-+-1122是一次函数。 (3)请写出一个正比例函数，且x =2时，y= －6 请写出一个一次函数，且x=－6时，y=2 (4) 我国是一个水资源缺乏的国家，大家要节约用水．据统计，拧不紧的水龙头每秒钟会滴下2滴水，每滴水约0.05毫升．李丽同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当李丽同学离开x 小时后水龙头滴了y 毫升水．则y 与x 之间的函数关系式是 (5)设圆的面积为s ，半径为R,那么下列说法正确的是（ ） 一次函数图象的变换——对称求一次函数图像关于某条直线对称后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住对称点的坐标解决问题。 知识点： 1、与直线y=kx+b关于x轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数。设l上任一点的坐标为（x,y），则（x, -y）应当在直线y=kx+b上，于是有-y=kx+b,即l：y=-kx-b。 2、与直线y=kx+b关于y轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数。设l上任一点的坐标为（x,y），则（-x, y）应当在直线y=kx+b上，于是有y=-kx+b,即l：y=-kx+b。下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用： 例：已知直线y=2x+6.分别求与直线y=2x+6关于x轴，y轴和直线x=5对称的直线l的解析式。 分析：关于x轴对称时，横坐标不变纵坐标互为相反数； 关于y轴对称时，纵坐标不变横坐标互为相反数； 关于某条直线（垂直坐标轴）对称时，则相关点 解：1、关于x轴对称 设点（x , y ）在直线l上，则点（x , -y ）在直线y=2x+6上。 即：-y=2x+6 y=-2x-6 所以关于x轴对称的直线l的解析式为：y=-2x-6. 关于直线对称。 2、关于y轴对称 设点（x,y）在直线l上，则点（-x,y）在直线y=2x+6上。 即：y=2(-x) +6 y=-2x+6 所以关于y轴对称的直线l的解析式为：y=-2x+6. 3、关于直线x=5对称（作图） 由图可知：AB=BC则C点横坐标：-x+5+5=-x+10 所以点C （-x+10, y） 设点（x,y）在直线l上， 则点（-x+10, y）在直线y=2x+6上。 即：y=2（-x+10）+6 y=-2x+26 所以关于直线x=5对称的直线l的解析式为：y=-2x+26. 总结：根据对称求直线的解析式关键在找对称的坐标点。 关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数； 关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数； 关于某条直线（垂直对称轴）对称，可见例题 中分析的方法去求对称点。 练习：1、和直线y=5x-3关于y轴对称的直线解析式为，和直线y=-x-2关于x轴对称的直线解析式为。 2、已知直线y=kx+b与直线y= -2x+8关于y轴对称， 求k、b的值。 答案：1、y=-5x-3;y=x+2 分析：设点（x,y）在直线上，则点（-x,y）在关于y轴对称的直线y=5x-3上，所以直线为y=-5x-3;设点（x,y）在直线上，则点（x,-y）在八年级数学辅导： 一次函数图象的几何变换
一次函数图象的应用
幂函数题型归纳
一次函数图像练习题
(完整版)一次函数图象的平移及解析式的变化规律
一次函数图象的应用
赏析幂函数的图象特征及应用
一次函数图像信息题
一次函数与几何图形综合专题
一次函数图像及应用中考题目专项训练
一次函数图象的变换
2014中考数学一次函数图像与应用题汇总
17一次函数-一次函数的图像与几何变换
幂函数的图像与性质
初中一次函数的图像专项练习30题有答案
一次函数图象的应用6.5(2)
幂函数图象规律
(完整版)一次函数图像与行程问题练习题
【新课标】函数.幂函数课堂教案
一次函数图象和性质经典练习题
一次函数图象的变换对称.doc