微积分基本原理在日常生活中的应用
微积分基本原理在日常生活中的应用
提起微积分,一般人都知道那是数学的重要组成部分,属于高等数学。它的定理、公式一大堆,写出来又多又长又不好记,叫人一看就头疼。其实它的基本原理,或者说是基本思想亦或是基本表述却很简单:可以概括为:微分等于无限细分,积分等于无限求和,两者合并叫微积分。也就是说,对某些不太好测量、计算、把握、分析的东西,先把它拆解成一个个独立的小单元,加以研究计算,得出结论(微分)。然后再把它们累计相加,得出总结论(积分)。有了它,对繁杂、纷乱的世界、事物,我们就有了精确把握的认识,以及对一些难于驾驭的东西进行顺利把握的应用。
微积分的应用非常广泛,最典型的应用是求曲线的长度,求曲线的切线,求不规则图形的面积。它在天文学、力学、数学、物理学、化学、生物学、工程学以及社会科学等各个领域都发挥重要作用。比如谷歌地球,中央电视台新闻频道的时事报道。常看到地球转向某一点,放大,现出地名,播送最新动态的新闻画面。它的整体概貌是拼装的,是由卫星将地球分成一个个小区域进行拍照,最后拼接成地球的形状,才让我们形象地、跨时空地欣赏新闻报道的同步魅力。再比如,现在的数字音像制品以及正时兴的数字油画,都是把声音和图像分解成一个个音素或像素,用数字的方式来记录、保存,重放时,再由设备用数字方式来解读还原,使我们听到或看到几乎和原作一模一样的音像。诸如此类的应用比比皆是。
微积分的基本原理或思想,不但在大的方面到处应用,在
我们日常生活、工作、学习中也常常能用到。比如你家要装修,或者你接到一笔装潢生意,要做工程预算。除了那些见多识广,早已将工程规范化、程序化、套路化的包工头或设计人员能一口报价外,基本上都是自觉不自觉地应用微积分原理,先将装修工程整体拆解成一个个小单元,计算材料、工时,然后再相加,得出总造价。再比如你想开店,想了解选址处的人流量或车流量。要精确了解只有在一天的几个时间段,做一分钟的调查。测出经过的人数或车数,再相乘相加,得出每天或每月的人流量或车流量,这将是你创业的一个重要参考面。
再说修理,最复杂的大概要数电器了。比如彩电,打开后盖,里面元器件密密麻麻,线路纵横交错,似乎无从下手。但你只要对它一微分,不管它总共有多少元器件,每个部分总是有限的。而且故障一般都在某个部分某个点上,整体或多个部件同时出故障的概率是很低很低的。你如果能把整体分成几大板块,每个板块分成几个工作单元,再把故障表现与每个工作单元的任务一联系,测出静态或动态的正常值或非正常值,一般就能找出毛病的所在,从而修复故障电视。
按照微积分的基本原理或思想,不仅能恢复或修好电器,甚至还能创新或改进原电器,使之更完美。就拿功放(音频放大器)来说吧,一般比较好的功放,输出功率都达到50w以上,以保证2~10w 的不失真功率输出。功率大、失真小的功放一般都采用全对称OCL线路。笔者曾遇到过这么个情况,一台功放由于操作不慎将末级大功率管烧坏了。从市面上购一对同型号的大功率管,安上后,试开基本正常。试放音乐也和从前差不多。后来社区开会借去用一下,还回来时反映说,麦
克风讲话,音一大就没声了,过一会又恢复正常。通电一试,确实如此。拆盖测量分析,原来大功率放大器为了保证不损坏扬声器,一般都在中点电位输出端串接一个延时开机兼偏压保护器,当中点电压不平衡,产生较大的漂移时,该喇叭保护器便动作,自动切断,约几秒钟后恢复。产生这一状况的原因是后配的对管各方面参数不一致而造成的。由于工厂生产功放为保证质量需严格筛选配对管,而质量不符合要求的二级品、等外品才供应市场作修配用。由于业余维修你不可能拥有筛选设备,只能另想它法来解决问题。研究各类功放的线路图,发现它们虽然结构各异,但都有一个动态控制中点电位的部件,(它们的任务是放大器在工作中中点电位动态修正,不是指喇叭保护器)以确保输出端中点电位为零。一旦分开它,线路中点电位都会产生漂移。再由于放大器是多级直接偶合进行乘积放大,只要有一级不平衡就会影响下一级,而且放大。按照微积分的基本思想,我把功放的各级分离,通电测量,哪一级不平衡就调平衡。调整方法是用电位器(最好是线绕的)代替原发射极下地的偏置电阻,将中点电位调至零后关机拆开电位器,量出阻值用同样的固定电阻焊上即可(其中最重要的一级是倒相级,这一级必须调到零)。调整时最好送一半电压,待全部完成后再满压试机。经过如此整合,通电试验,结果发现,即便是后配的管子,参数不对,中点电位都为零。而且开关机无冲击声,(在不用喇叭保护器的情况下)最可喜的表现是在无信号的情况下,开机后,喇叭静悄悄的,无一絲电流噪声,如同不通电仿佛,一旦接上信号便惊天动地。中点电位纠偏电路和扬声器保护电路皆可甩开不用,但为保险起见,扬声器保护电路不拆为好。有此爱
好的朋友可以照此一试,包管你对修复效果喜出望外。即便是小功率基本对称放大器照此调理,也可获得中点电位绝对零位,开关机无冲击声,无信号时无噪音的高保真效果。
微积分原理在日常生活中也能应用,比如你去买菜或水果,摊主一般是价格一口报,他是熟能生巧,且朝里错不朝外错。你不一定能很快反应过来,等你走多远甚至已拿回家了。再仔细一算发现钱多给了,也不能为一点小钱再跑回去。对此你可用微积分原理先微分,管它多重,你只算一个单元,然后汇总累计,抓大数不错即可。正巧,刚写到这儿,一个朋友打电话来问一个搞不明白的算题(大概是脑筋急转弯),说是一个人去买香蕉,问明是一元一斤。他要买十斤,但要求摊主把皮肉分开卖。摊主试剥一斤,约为肉九两,皮一两,全部加工完毕,共九斤肉子,一斤皮。买的人说:九九八十一,肉子八块一,皮一块,共给你九块一。就把香蕉拿走了。摊主看看手中钱,想来想去不明白,怎么我还为他加工十斤香蕉,反而少了九毛钱,这九毛钱到哪去了?我朋友也没想明白。我说这好办,用微积分原理一排就明白了,一斤香蕉一元钱,一斤香蕉九两肉子九毛钱,一两皮一毛钱,合起来仍是一元钱。同理十斤仍是十元钱。他又问,那九九八十一是怎么回事?我说那是脑筋急转弯的误导,它把九两肉子九毛钱跟九斤肉子相乘是错误的。因为总量是十斤,每斤九两肉子,十斤有九斤肉子。也就是说十斤香蕉分十份,每份有九两肉子一两皮。九两肉子乘十加一两皮乘十才等于总量十斤。这问题大概要算趣味算术题。凡遇到类似题目,大家皆可应用微积分原理来剖解。
说到算术题,就扯到学习上。学习也可应用微积分原理来迅速掌握其精华知识、要点要素,事半而功倍。比如文学,无论中国文学还是世界文学,古典文学还是现代文学。你都可以按时段、流派、区域、风格、题材等进行微分,用挂络状或树枝形进行图示微分。当你用一张纸或几张纸将它们微分完毕,并标以各自特色,说明短语后,你对这一门学科就大体把握了,然后就是按要点再微分各流派各时段,直至每个作者、每部作品。重点特点浓缩到几个字或一句短语。这个工作完成后,考起试来,过关是肯定的。拿不拿高分看你的临场发挥水平。
再比如学习历史,历史这门课最好的学习方法就是画一条横线表示时间的起点和终点。然后在这时间横线上用小竖线进行微分,把各时期的标志事件、重大变革、著名集团、领军人物一一标明。再把每个部分的一主题、二分法、三因素、四要点总结一遍。浓缩成两张纸上,这门历史课内容就基本熟悉了。掌握这种学习方法,虽然不能永远牢牢记住这些知识,但能让你遇到任何学习上的困难,用此法迅速拿下它。说到历史的横竖线表示法,就想起四维时空表示法。其实将历史的横竖线转九十度来表示时间和空间交叉,还是蛮准确的,因为三维空间的压缩化表达就是一根横线,而时间就是一根竖线。它们只在某一点上交叉,永远不可能再重合。正如西方哲人所说“太阳每天都是新的。”“人不能两次踏入同一条河流。”而某些权威科学论著竟然说,人类的宇宙飞船速度如果超过光速,就能追上过去的时光,甚至孙子能看到祖父睡在摇篮里。这种说法是典型的科幻想象,且不说时空只在一点交叉,你飞船再快也只是在空间即飞驰在横线上,越快离时间竖线越
远。即便你能从时空隧道(假如有这种隧道的话)刹那间到了数亿光年以外的某个星球,看到的也只是遥远地球的一个暗蓝色光亮点。决不可能跑进上个世纪,看到你的祖父睡在摇篮里。再说光在真空中每秒速度跑三十万公里,是因为光子是目前已知重量最轻的量子。别说宇宙飞船,只要比它重一点都不可能超过光速。除非将来能找到比光子更小更轻的量子,也许能超过光速。那就意味着你要想超过光速,就得变成比光量子更小更轻的东东,那你已化为无生命物质了,还能看到什么吗?啊呀,扯远了,就此打住。
微积分在生活中的应用
龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/bf16141047.html, 微积分在生活中的应用 作者:曹红亚 来源:《数学大世界·中旬刊》2020年第01期 【摘要】微积分产生于十七世纪后期,完善于十九世纪。在现代社会中,微积分是高等数学中至关重要的组成部分,在数学领域中扮演着不可替代的角色,与此同时,微积分在现实生活中的应用也越来越广泛。本文将就微积分在生活中的应用进行深入的分析与探究。 【关键词】微积分;现实生活;实际应用 众所周知,微积分建立的基础是实数、函数以及极限。关于微积分的定义,其指的是微分学和积分学二者的总称,其更代表着一种数学思想。微积分的发展与现实生活的发展是密切相关的,现在的微积分已经广泛存在于诸多自然科学当中,如天文学、生物学、工程学以及经济学等等,在现实生活着发挥着越来越重要的作用。以下笔者结合自己多年的相关实践经验,就此议题提出自己的几点看法和建议。 一、微积分在日常工作中的应用 微积分不仅仅应用在科研领域,其更实实在在地存在于我们的生活当中。例如日常生活中,我们需要装修或者从事装修工作,都需要进行工程预算,这时我们便会不自觉地应用微积分原理,首先将整个装修工程科学划分成为多个小单元,然后对应用到的材料和工时进行计算,最终得出总的造价。再比如,现在很多人特别是年轻人都希望创造一份属于自己的事业,那么其在创业时可能会应用到微积分。如对所选地址处的车流量以及人流量进行了解,在一天的几个时间段,做一分钟的调查,测出经过的人数或车数,再通过计算得出每天或每月的人流量或车流量,这将是我们创业的一个重要参考面。 二、微积分在曲线领域中的应用 在微积分的现实应用中,最具代表性的便是求曲线的长度、切线以及不规则图形的面积。 如在当前社会中,相关数字音像制品或者正流行的数字油画,其都需要将图像和声音分解成为一个个像素或者音频,利用数字的方式来进行记录、完成保存。在重放的时候,再由设备用数字方式来解读还原,使我们听到或看到几乎和原作一模一样的音像。再比如,中央电视台新闻频道的时事报道中常看到地球转向某一点,放大,现出地名,播送最新动态的新闻画面。它的整体概貌是拼装的,是由卫星将地球分成一个个小区域进行拍照,最后拼接成地球的形状,才让我们形象地、跨时空地欣赏新闻报道的同步魅力。 三、微积分在买卖中的应用
生活中的微积分
生活中的微积分 姓名:骆雨 学号:2012212476 班级:国贸八班 公元3世纪,著名的数学家刘徽提出“割圆术”:割之弥细,所失越少。割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而不可割矣。这就是现在所说的微积分。 微积分的基本原理,或者说是基本思想很简单,可以概括为:微分等于无限细分,积分等于无限求和,两者合并叫微积分。也就是说,对某些不太好测量、计算、把握、分析的东西,先把它拆解成一个个独立的小单元,加以研究计算,得出结论(即微分)。然后再把它们累计相加,得出总结论即积分。有了它,对繁杂、纷乱的世界,我们就有了精确把握的认识,并能对一些难于驾驭的东西进行顺利把握的应用。 微积分的应用范围非常广泛,最典型的应用是求多元曲线的切线和法平面方程,求不规则图形的面积。而且它在天文学、物理学、经济学、工程学、化学、生物学等各个领域都发挥着重要作用。在我们的日常生活中,比如谷歌地球、中央电视台新闻频道的时事报道也都是微积分的应用。常看到地球转向某一点,放大、现出地名,播送最新动态的新闻画面。它的整体概貌是拼装的,是由卫星将地球分成一个个小区域进行拍照,最后拼接成地球的形状,才让我们形象地、跨时空地欣赏新闻报道的同步魅力。 再比如,现在的数字音像制品以及正时兴的数字油画,都是把声音和图像分解成一个个音素或像素,用数字的方式来记录、保存,重放时再由设备用数字方式来解读还原,使我们
听到或看到几乎和原作一模一样的音像。诸如此类的应用比比皆是。 21世纪,我们生活在市场经济时代和信息时代,瞬时变化,不断更新的经济与信息和我们的学习、工作息息相关。微积分在经济学中的应用对我们的日常生活也有重大影响。 例如,某一种商品的价格会影响我们对于该商品的需求。对于需求函数Q=f (p),由于价格上涨时,商品的需求函数Q=f (p)为单调减函数, ?p 与?Q 异号,所以特殊定义需求对价格的弹性函数为)()(')(p f p p f p ?-=η。设某商品的需求函数为5 ^p e Q -=,求需求弹性函数;p=7,5,3时的需求弹性。 解: 5)()()(p p f p p f p =?'-=η, 6.0)3(=η<1,说明当p=3时,价格上涨%1,需求减少%0.6,需求变动的幅度小于价格变动的幅度; 1)5(=η=1,说明当5=p 时,价格上涨%1,需求也减少%1,需求变动的幅度与价格变动的幅度是一样的; 14.1)7(>=η,说明当 p=7时,价格上涨%1,需求减少%1.4,需求变动的幅度大 于价格变动的幅度。 当某种商品价格上涨时,我们通常会减少该商品的需求。并且,对于需求弹性不同的商品,比如生活必需品和高档消费品,我们往往在不自觉的情况下已经用导数即微分的知识来决定对它的消费量了。
微积分在经济生活中的应用
微积分在经济生活中的应用 人们面对着规模越来越大的经济和商业活动,逐渐转向用数学方法来帮助自己进行分析和决策,而且正越来越广泛地应用数学理论进行经济理论研究.在经济生活中经常涉及成本、收入、利润等问题,解决这些问题与微积分有着紧密联系. 1 导数及微分的应用 导数及微分在经济生活中的应用主要有边际分析与弹性分析等. 1.1 边际问题[1](37)P - 1.1.1 边际成本 边际成本是指在一定产量水平下,增加或减少一个单位产量所引起成本总额的变动数. 设成本函数为()C C x =,产量从x 改变到x x +?时,成本相应改变 ()()C C x x C x ?=+?- 成本的平均变化率为 ()() C C x x C x x x ?+?-= ?? 若当0x ?→时,0lim x C x ?→??存在,则这个极限值就可反映出产量有微小变化时,成本的变化情 况.因此,产品在产量x 时的边际成本就是: 00()() ()lim lim x x dC C C x x C x C x dx x x ?→?→?+?-'= ==?? 如果生产某种产品100个单位时,总成本为5000元,单位产品成本为50元.若生产101个时,其总成本5040元,则所增加一个产品的成本为40元,即边际成本为40元. 在经营决策分析中,边际成本可以用来判断产量的增减在经济上是否合算.当企业的生产能力有剩余时,只要增加产量的销售单位高于单位边际成本,也会使得企业利润增加或亏损减少.或者说,只要边际成本低于平均成本,也可降低单位成本.由上面知当产量100x =时,这时候有 (100)40C '= (100) 50100 C = 即边际成本低于平均成本,此时提高产量,有利降低单位成本. 1.1.2 边际收入 边际收入是指在某一水平增加或减少销售一个单位商品的收入增加或减少的量.实际上就是收入函数的瞬时变化率.而从数学的角度来看,它是一个导数问题. 设收入函数为()R R x =,则边际收入函数就是
微积分在现实中的应用
微积分的应用 微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想,‘无限细分’就是微分,‘无限求和’就是积分。无限就是极限,极限的思想是微积分的基础,它是用一种运动的思想看待问题。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近",好像一个事物始终在变化你不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。微积分是与实际应用联系着发展起来的,它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中,有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。客观世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后,就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 微积分建立之初的应用:第一类是研究运动的时候直接出现的,也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 微积分学极大的推动了数学的发展,同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛
的应用,特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。 微积分作为一种实用性很强的数学方法和根据,在数学发展中的地位是十分重要的。例如,微分可以解决近似计算问题。比如:求sin29°的近似值,求不规则图形面积或几何体体积的近似值等。通过微积分求极限、利用微分中值定理,能够及时的放缩多项式,有利于不等式的化简和证明。极限求和、导数求和、积分求和也都是解决求数列前n项和的好方法。其次,数理化不分家。而且微积分在不等式中也有很大的运用,我们可以运用微积分中值定理,泰勒公式,函数的单调性,极值,最值,凸函数法等来证明不等式。在物理问题上,通过解微分方程研究物体运动问题、气体问题、电路问题也是非常普遍的。已知位移——时间函数计算速度,已知速度——时间函数计算加速度(即生活中交通管理方面的应用);运动学中的曲线轨迹求解(即生活中在篮球投篮训练中的应用);求不规则物体的重心;力学工程中计算变力和非恒力做功等等。在化学领域,用气相色谱仪和液相色谱仪做样品化学成分分析时,我们得到的并不是直观的数字结果,而是一张色谱图。色谱图是由一个一个的峰组成的,而我们进行定量计算的根据,就是这些峰的面积。而求这些峰的面积,就需要用到积分。现在的仪器里都集成了自动积分仪,只要选定某一个峰,它就能把积分计算出来。最终得到的成分含量就是基于积分原理计算出来的 微积分的应用不仅仅遍及各个学科,也渗透到了社会的各个行业,甚至深入人们日常生活和工作。利用微积分进行边际分析(经济函数的
微积分在生活中的应用Word版
微积分在生活中的应用 (何杰东陈新亮连冠才施楠信工一班北二830) 一.摘要 牛顿、莱布尼兹发明微积分以后,人们才有能力把握运动和过程。有了微积分,就有了工业革命,就有了大工业生产,也就有了现代化的社会。航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都是在微积分的帮助下制造出来的。微积分在人类社会从农业文明跨入工业文明的过程中起到了决定性的作用。 微积分是为了解决变量的瞬时变化率而存在的。从数学的角度讲,是研究变量在函数中的作用。从物理的角度讲,是为了解决长期困扰人们的关于速度与加速度的定义的问题。“变”这个字是微积分最大的奥义。因此,了解微积分在生活中的应用对于我们解决实际问题有很大的帮助。 二.关键词:物理,经济,应用。 三.引言:通过研究微积分在物理,经济等方面的具体应用,得到微积分在现实生活中的重要意义,从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。获取资料的途径主要是互联网。 四(一)在物理中的应用 例1,研究物体做匀变速直线运动位移问题时; 对于匀速直线运动,位移和速度之间的关系我们都清楚,x=vt,但如果物体的速度大小时刻发生变化,那么物体的位移如何求解呢?此时,微积分就成了我们有利工具。我们可以把物体运动的时间无限细分。在每一份时间内,速度的变化量非常小,可以忽略这种微小变化,认为物体在做匀速直线运动,因此根据已有知识位移可求;接下来把所有时间内的位移相加,即“无限求和”,则总的位移可以知道。现在我们明白,物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的面积; 例2,研究匀速圆周向心加速度的方向问题时; 根据牛顿第二定律,我们可以知道匀速圆周运动加速度的方向指向圆心;同时利用极限思想,也可以加速度的方向。当圆周上的两个点无限靠近时,速度变化量也无限的小,因此由VAVB△V围成的等腰三角形的底角接近90,因此速度变化量和速度垂直,而速度又和半径垂直,因此,匀变速圆周运动中,加速度的方向始终指向圆心。 例3.研究变力做功问题时; 对于恒力做功,我们可以利用公式直接求出;但对于变力,我们不能利用公式;这种情况下,我们要借助于微积分,我们可以把位移无限细分,在每一个小位移上,力的变化很小,可以看作是恒力,根据公式算出力所作的功;然后把每一个小位移上的功无限求和,那么就可以求出变力做的总功是多少。 (二)在经济上的应用 1.1 边际分析在经济分析中的的应用 1.1.1 边际需求与边际供给 设需求函数Q=f(p)在点p处可导(其中Q为需求量,P为商品价格),