三角形中的定理及公式
三角形中的定理及公式
在直角三角形ABC ，∠C=90°CD 为AB 边上的高，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c 则
1勾股定理
222c b a =+
2三角函数之间的关系
c a B A ==cos sin ,c b A B ==cos sin ,b a B A ==cot tan ,a
b A B ==cot tan 1sin sin 22=+B A 1
c o t t a n =A A tanA=A A cos sin A
A A s i n c o s c o t = 3射影定理
CD AD CD ?=2
4特殊角的三角函数????90,45,60,30及??75,15的求法
二次函数
二次函数的三种形式：
一般式 )0(,2≠++=a c bx ax y
两点式 ))((21x x x x a y --=其中21,x x 为方程0))((21=--x x x x a 的两根
顶点式 k h x a y +-=2)(，其中),(k h 表示顶点坐标，h x =表示对称轴.
要注意三种形式的适用范围：一般式主要用在已知抛物线上三点，或者易求得抛物线上的三点，易求时常结合三角形或者其它知识，要注意综合性。两点式主要用于已知抛物线与x 轴的两个交点，或者是抛物线所对应二次方程的两个根，这时就直接设抛物线的两点式，再根据其他条件求得a ，顶点式主要用于已知或者易求抛物线的顶点或者最值时直接设顶点式 另外二次函数（抛物线）常和二次方程、二次不等式结合起来考察。首先要弄清楚他们之间的关系是非常必要的！
三角形的证明-知识点汇总
三角形的证明知识点汇总 知识点1 全等三角形的判定及性质 判定定理简称 判定定理的内容 性质 SSS 三角形分别相等的两个三角形全等 全等三角形对应边相等、对应角相等 SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 HL （Rt △） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 知识点2 等腰三角形的性质定理及推论 内容 几何语言 条件与结论 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等。简述为：等边对等角 在△ABC 中，若AB=AC ，则∠B=∠C 条件：边相等，即AB=AC 结论：角相等，即∠B=∠ C 推论 等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线及底边上的 高线互相垂直，简述为：三 线合一 在△ABC ，AB=AC ，AD ⊥BC ， 则AD 是BC 边上的中线，且 AD 平分∠BAC 条件：等腰三角形中已知顶点的平分线，底边上的中线、底边上的高线之一 结论：该线也是其他两线 等腰三角形中的相等线段：1、等腰三角形两底角的平分线相等；2、等腰三角形两腰上的高相等；3、两腰上的中线相等；4、底边的中点到两腰的距离相等 知识点3 等边三角形的性质定理 内容 性质定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度 解读 （1）等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质 （2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一” 【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形 知识点4 等腰三角形的判定定理 内容 几何语言 条件与结论 等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：等校对等边 在△ABC 中，若∠B=∠C 则AC=BC 条件：角相等，即∠B=∠C 结论：边相等，即AB=AC 解读 对“等角对等边”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一个三角形中” 拓展 判定一个三角形是等腰三角形有两种方法:1、利用等腰三角形；2、利用等腰三角形的判定定理，即“等角对等边” 知识点5 反证法 概念 证明的一般步骤
三角形的证明知识点汇总
百度文库- 让每个人平等地提升自我 1 三角形的证明知识点汇总 判定定理简称判定定理的内容性质SSS 三角形分别相等的两个三角形全等 全等三角形对 应边相等、对 应角相等SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 HL（Rt△）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 知识点2 等腰三角形的性质定理及推论 内容几何语言条件与结论 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等。 简述为：等边对等角 在△ABC中，若AB=AC，则 ∠B=∠C 条件：边相等，即AB=AC 结论：角相等，即∠B=∠C 推论等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线及底边上的 高线互相垂直，简述为：三 线合一 在△ABC，AB=AC，AD⊥BC， 则AD是BC边上的中线，且 AD平分∠BAC 条件：等腰三角形中已知顶点的 平分线，底边上的中线、底边上 的高线之一 结论：该线也是其他两线 等腰三角形中的相等线段：1、等腰三角形两底角的平分线相等；2、等腰三角形两腰上的高相等；3、两腰上的中线相等；4、底边的中点到两腰的距离相等 知识点3 等边三角形的性质定理 内容 性质定理等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度 解读（1）等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质 （2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一” 【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形 知识点4 等腰三角形的判定定理 内容几何语言条件与结论 等腰三角形的判定定理有两个角相等的三角形是等腰 三角形，简述为：等校对等边 在△ABC中，若∠B=∠C则AC=BC 条件：角相等，即∠B=∠C 结论：边相等，即AB=AC 解读对“等角对等边”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一个三角形中” 拓展判定一个三角形是等腰三角形有两种方法:1、利用等腰三角形；2、利用等腰三角形的判定定理，即“等角对等边” 知识点5 反证法 概念证明的一般步骤
三角形的重心定理及其证明
三角形的重心定理及其证明 积石中学王有华 同学们在学习几何时，常常用到三角形的重心定理.但很多同学不会证明这个定理？下面给出三种证明方法，你阅读后想一想，哪一种证明方法最好. 已知：（如图）设ABC V 中，L 、M 、N 分 别是BC 、CA 、AB 的中点. 求证：AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且 AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1. 证明1（平面几何法）：（如图1）假设中 线AL 与BM 交于G ，而且假设C 与G 的连线与AB 边交于N ，首先来证明N 是AB 的中点. 现在，延长GL ，并在延长线上取点D ，使GL=LD 。因为四边形BDCG 的对角线互相平分，所以BDCG 是平行四边形.从而，B G ∥DC ，即GM ∥DC.但M 是AC 的中点，因此，G 是AD 的中点. 另一方面，GC ∥BD ，即NG ∥BD.但G 是AD 的中点，因此N 是AB 的中点. 另外，G 是AD 的中点，因此AG ﹕GL=2﹕1.同理可证： BG ﹕GM=2﹕1， CG ﹕GN=2﹕1. 这个点G 被叫做ABC V 的重心. 证明2（向量法）：（如图2）在ABC V 中，设AB 边上的中B C
线为CN ，AC 边上的中线为BM ，其交点为 G ，边BC 的中点为L ，连接AG 和GL ，因 为B 、G 、M 三点共线，且M 是AC 的中点， 所以向量BG u u u r ∥BM u u u u r ，所以，存在实数1λ ，使得 1BG BM λ=uuu r uuu u r ，即 1()AG AB AM AB λ-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r 所以，11(1)AG AM AB λλ=+-u u u r u u u u r u u u r =111(1)2 AC AB λλ+-u u u r u u u r 同理，因为C 、G 、N 三点共线，且N 是AB 的中点. 所以存在实数2λ，使得 22(1)AG AN AC λλ=+-u u u r u u u r u u u r = 221(1)2 AB AC λλ+-uu u r uuu r 所以 111(1)2AC AB λλ+-u u u r u u u r = 221(1)2 AB AC λλ+-u u u r u u u r 又因为 AB uuu r 、 AC u u u r 不共线，所以 1221112112λλλλ=-=-??? 所以 1223λλ== ，所以 1133AG AB AC =+uuu r uu u r uuu r . 因为L 是BC 的中点，所以GL GA AC CL =++u u u r u u u r u u u r u u r =111()332AB AC AC CB -+++u u u r u u u r u u u r u u u r =121()332AB AC AB AC -++-uuu r uuu r uuu r uuu r =1166 AB AC +uuu r uuu r ，即2AG GL =u u u r u u u r ，所以A 、G 、L 三点共线.故AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1 C
相似三角形预备定理证明
课题：相似三角形的判定（预备定理） 教学目标：1 ?掌握预备定理以及用相似三角形的定义判断两三角形相似； 2 ?在探索相似三角形预备定理过程中，感受特殊到一般的思想方法，体验 分析解决 问题的方法； 3?通过思考交流与教师启发，获得探索问题的乐趣，增强数学学习的信心 与原动力。 教学重点： 预备定理的证明与应用。 教学难点： 预备定理的证明。 教学方法： 启发+探究+讲授 教学手段： 常规教学用具，计算机及课件 教学过程： 教学过程 教师活动 学生活动 设计意图 出示情境问题： 1、 什么叫相似三角形？什么叫相似比？ 2、 如图，矩形草坪长20m 宽10m 沿草坪四 周有1m 宽的小路。小路的内外边缘所围成的 矩形相似吗？ □—''~:—:—A ?—'—>:—?—A 3、 如图两个三角形相似吗？若相似，你是若 何判 断的，相似比是多少？若不相似，也请说 明。 4、 思考：如图：在AA BC 与厶DEF 中，/ A= / D, Z B=Z E ，请问 AA BC 与△ DEF 是否相似？ 明确指出： 本节课将研究如何用相似三角形的定义判断 两三角形相似。 板书课题：相似三角形的判定 创 设 情 境 复习相似形 的有关概 思考回答问题： 念，明确否 1、2 口答 定两图形相 3题可能的方法： 似，指出一 ⑴直觉（引导有理有 个不满足的 据）； 条件即可， ⑵度量角与边，再计 而冃疋两图 算（指引这种方法简 形相似，则 单易于操作，但有时 需要所有对 会对结果的精确程度 应角相等， 质疑） 对边成比 ⑶根据格点特性计算 例。 （积极鼓励） 而随后的思 考，是为了 给学生点引 一下，预备 定理为什么 叫预备定 理，后继学
三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方
三角形中位线定理的证明及其教学说明一、三角形中位线定理的几种证明方法，则，，使，连结CF法1：如图所示，延长中位线DE至F DF FC BCFD 是平行四边形，BD，则四边形BC有AD FC，所以。因为1DE ，所以．BC 2，有F，则作FC 交DE的延长线于法2C 因为，DF BC。为平行四边形，AD，那么BDFC ，则四边形BCFD1．所以DE BC 2 ，连接CF、DC、AF，则四边形ADCF至法3：如图所示，延长DEF，使BD，那么四边形BCFDCFAD ，所以FC 为平行四边形，为平行四边形，有1BC．DE ，所以BCDF 。因为2 法4：如图所示，过点E作MN∥AB，过点A作AM∥BC，则四边形ABNM为平行四边形，易证，从而点E是MN的中点，易证四边形ADEM和BDEN都
CENAEM 1。DEDE∥BC，即DE=AM=NC=BN为平行四边形，所以，BC 2 法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线． 二、教学说明 1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维” 在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。 ⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC 的中点，线段DE与BC有什么关系？ A BEDC 图⑴： ⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗? A
ED BC 图⑵：,上时A的顶点运动到直线BC说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的BC 中位线DE也运动到如果教师直接叫学.两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成. 生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。2第一，要知道中位线定理的作用：可以证明两条直线平行及线段的倍分关系，计算边长或中位线的长。第二，要知道中位线定理的使用形式，如： A DE是△ABC的中位线∵ ED1BCDE ，BC∥∴ DE2CB． 第三，让学生通过部分题目进行训练，进而掌握和运用三角形中位线定理。 题1 如图4.11-7，Rt△ABC，∠BAC＝90°，D、E分别为AB，BC的中点，点F 在CA延长线上，∠FDA＝∠B. (1)求证：AF＝DE；(2)若AC＝6，BC＝10，求四边形AEDF的周长.
勾股定理和三角形证明相关习题
勾股定理及三角形证明相关测试题 1.已知a 、b 、c 是?ABC 三边长，则2)(c b a --+c b a -+的值是（ ） A.2a B.2b C.2c D.2(a-c) 2.如图所示，AB=BC=CD=DE=1,AB ⊥BC,AC ⊥CD,AD ⊥DE,则AE=（ ） A.1 B.2 C.3 D.2 3.如图在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，一只蚂蚁从点A 出发，沿正方体表 面爬行到面对对角线A 1B 上的一点P ，再沿截面A 1BCD 1，则整个过程中蚂蚁爬行 的最短路程为（ ） A.2 B.2 62+ C.2+2 D.22+ 4.下列4个命题中正确的个数是( ) （1）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 （2）两边及第三边上的高线对应相等的两个三角形全等 （3）直角三角形两条边的长分别为3和4，则第三边边长为5. （4）如果a ≥0,那么(a )2=a. A.1 B.2 C.3 D.4
5.若一个直角三角形的三边长为a,b,c,且a2=9,b2=16,则c2= . 6.已知一个直角三角形的两条直角边长为5cm,12cm,则第三边长为 . 7.如图，一棵大树在一次强台风中离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为 m 8.如图，这是某种牛奶的长方体包装盒，长、宽、高分别为5cm，4cm、12cm,插吸管处的出口到相邻两边的距离都是1cm,为了设计配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管长度要在3cm至5cm间（包括3cm与5cm，不计吸管粗细及出口大小）则设计的吸管总长度L的范围是 . 9.如图，在?ABC中，AB=3+1,AC=6,BC=2,求?ABC三个内角的度数.
三角形相似判定定理的证明
第四章图形的相似 5．相似三角形判定定理的证明 驻马店市第四中学：田慧婷一、学生知识状况分析 “相似三角形判定定理的证明”是“探索三角形相似的条件”之后的一个学习内容，学生已经学习了相似三角形的有关知识，对相似三角形已有一定的认识，并且在前一节课的学习中，以充分经历了猜想，动手操作，得出结论的过程。本节主要进行相似三角形判定定理的证明，证明过程中需添加辅助线，对学生来说具有挑战性，需要通过已有的知识储备，相似三角形的定义以及构造三角形全等的方法完成证明过程。 二、教学任务分析 本节共一个课时，本节是从证明相似三角形判定定理1、两角分别相等的两个三角形相似入手，使学生进一步通过推理证明上节课所得结论命题1的正确性，从而学会证明的方法，为后续证明判定定理2,3打下基础。 三、教学过程分析 本节课设计了个教学环节：第一环节：复习回顾,导入课题；第二环节：动手操作、探求新知；第三环节：动手实践，推理证明；第四环节：方法选择，合理应用；第五环节：课堂小结，布置作业。 第一环节：复习回顾，导入课题 内容：1.平行线分线段成比例公理及推论定理； 2.判定两个三角形全等的方法有哪些？ 3.三角形相似的定义，判定两个三角形相似的方法有哪些？ 在上节课中，我们通过类比两个三角形全等的条件，寻找并探究判定两个三角形相似的条件，您能证明它们一定成立吗？ 目的：通过学生回顾复习已得结论入手，激发学生学习兴趣。 效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣。 第二环节：动手操作，探求新知
内容：命题1、两角分别相等的两个三角形相似。如何对文字命题进行证明？与同伴进行交流. 目的：通过学生回顾证明文字命题的步骤入手，引导学生进行画图，写出已知，求证。 第一步：引导学生根据文字命题画图， 第二步：根据图形和文字命题写出已知，求证。 已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，∠A=∠A’，∠B=∠B’。 求证: △ABC∽△A’B’C’。 第三步：写出证明过程。（分析现在能说明两个三角形相似的方法只有相似三角形的定义，我们可以利用这一线索进行探索，已知两角对应相等，根据三角形内角和定理可以推出第三个角也相等，从而可得三角对应相等，下一步，我们只要再证明三边对应成比例即可。根据平行线分线段成比例的推论，我们可以在△ABC内部或外部构造平行线，从而构造出与△A’B’C’全等的三角形。）教师可以以填空的形式进行引导。 证明：在△ABC的边AB（或延长线）上截取AD=A’B’,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则∠ADE=∠B, ∠AED=∠C, ________(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)。 过点D作AC的平行线，交BC于点F,则 __________(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)。 ∴____________ ∵DE∥BC，DF∥AC
三角形的重心定理及其证明
三角形的重心定理及其证明 积石中学王有华 同学们在学习几何时，常常用到三角形的重心定理.但很多同学不会证明这个定理？下面给出三种证明方法，你阅读后想一想，哪一种证明方法最好. 已知：（如图）设ABC 中，L 、M 、N 分别是BC 、CA 、AB 的中点. 求证：AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且 AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1. 证明1（平面几何法）：（如图1）假设中 线AL 与BM 交于G ，而且假设C 与G 的连线与AB 边交于N ，首先来证明N 是AB 的中点. 现在，延长GL ，并在延长线上取点D ，使GL=LD 。因为四边形BDCG 的对角线互相平分，所以BDCG 是平行四边形.从而，B G ∥DC ，即GM ∥DC.但M 是AC 的中点，因此，G 是AD 的中点. 另一方面，GC ∥BD ，即NG ∥BD.但G 是AD 的中点，因此N 是AB 的中点. 另外，G 是AD 的中点，因此AG ﹕GL=2﹕1.同理可证： BG ﹕GM=2﹕1， CG ﹕GN=2﹕1. 这个点G 被叫做ABC 的重心. 证明2（向量法）：（如图2）在ABC 中，设AB 边上的中 B C
线为CN ，AC 边上的中线为BM ，其交点为G ，边BC 的中点为L ，连接AG 和GL ，因为B 、G 、M 三点共线，且M 是AC 的中点， 所以向量B G ∥BM ，所以，存在实数1λ ，使得 1BG BM λ= ，即 1()AG AB AM AB λ-=- 所以，11(1)AG AM AB λλ=+- =111 (1)2 A C A B λλ+- 同理，因为C 、G 、N 三点共线，且N 是AB 的中点. 所 以存在实数2λ，使得 22(1)AG AN AC λλ=+- = 221(1)2 A B A C λλ+- 所以 111 (1)2A C A B λλ+- = 221(1)2 A B A C λλ+- 又因为 AB 、 A C 不共线，所以 12 21 112112 λλλλ=-=-?? ? 所以 122 3λλ== ，所以 1133 A G A B A C =+ . 因为L 是BC 的中点，所以G L G A AC C L =++ =111()332 A B A C A C C B -+++ =121()332AB AC AB AC -++- =1166 A B A C + ，即2AG GL = ，所以A 、G 、L 三点共线. 故AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1 C
相似三角形预备定理证明学习资料
课题：相似三角形的判定（预备定理） 教学目标：1．掌握预备定理以及用相似三角形的定义判断两三角形相似； 2．在探索相似三角形预备定理过程中，感受特殊到一般的思想方法，体验分析解决问题的方法； 3．通过思考交流与教师启发，获得探索问题的乐趣，增强数学学习的信心与原动力。 教学重点：预备定理的证明与应用。 教学难点：预备定理的证明。 教学方法：启发+探究+讲授 教学手段：常规教学用具，计算机及课件
组织学生思考： （1）△ADE与△ABC满足“对应角相等”吗？为什么？ （2）△ADE与△ABC满足对应边成比例吗？ 由“DE//BC”的条件可得到怎样的比例式？（3）本题的关键归结为“只要证明什么”？（4）根据以前的推论，如何把DE移到BC 上去，即应添怎样的辅助线？（EF//AB） 教师板演证明过程 由此得到预备定理： 定理平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似。2：过E作EF//AB 找关键字词，记忆定 理 层层递进， 突破难点， 提高学生的 分析推理思 维能力。 通过分析定 理，促进理 解。 定理应用与巩固例题选讲： 例如图，D为△ABC的A B边上的一点，过 点D作DE//AC，交BC于E，已知BE：EC=2： 1，AC=6CM，求DE的长以及 DA BD 的值。 E B C A D 在学生思考后，得出： （1）平行线既可得相似三角形，又可得线段 成比例； （2）这种判断两三角形相似的方法比起定义 方便多了，但是局限性很大： 我们能否将这个问题转化为预备定理图形加 以说明呢？ 练习： 1、如图，DG//EH//FI//BC，请找出图中所有 的相似三角形，并说明理由。 口述思路：根据平行 线得相似三角形，进 而根据相似比求DE； 根据平行线得线段成 比例求 DA BD 在教师启发下进行解 题反思 通过对例题 的分析，设 置与平行线 有关的截三 角形两边成 比例定理以 及预备定 理，注意所 得的比的差 别，落实好 重点。
初中数学相似三角形的判定定理资料讲解
相似三角形的判定 教学目标 1．知道相似三角形的定义及有关概念，知道相似比为1的相似三角形是全等三角形；会读、会用 “∽”符号；能准确写出相似三角形的对应角与对应边的比例式； 2、掌握相似三角形判定的预备定理及相似三角形的判定定理1； 3、综合运用所学两个定理，来判定三角形相似，计算相似三角形的边长. 4、了解判定定理1的证题方法与思路，应用判定定理l. 一、复习 1．什么叫做全等三角形？它在形状上、大小上有何特征？ 2．两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？ 3、复习平行线分线段成比例定理（文字表述及基本图形） 本节学习相似三角形的定义及相关判定定理. 二、学习新课 相似三角形的概念： 我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. 相似三角形的概念作为相似三角形的判定方法之一. [说明]相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别．两个三角形形状相同，就是他们的对应角相等，对应边成比例． 相似比的概念 ：相似三角形对应边的比k ，叫做相似比（或相似系数）． [说明]①两个相似三角形的相似比具有顺序性． ②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形． 注：在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上． 类似地，如果两个边数相等的多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比，叫做相似比. 如图，111,ABC A B C ??是相似三角形，则111,ABC A B C ??相 似可记作ABC ?∽111A B C ?.由于 111 2 AB A B =，则ABC ?与111A B C ?的相似比1112AB k A B = =，则111A B C ?与ABC ?的相似比,112A B k AB == . C 1 B 1 A 1 C B A
第15讲 相似三角形判定定理的证明(提高)知识讲解
相似三角形判定定理的证明(提高) 【学习目标】 1.熟记三个判定定理的内容. 2.三个判定定理的证明过程. 3.学选会用适当的方法证明结论的成立性. 【要点梳理】 要点一、两角分别相等的两个三角形相似 已知：如图,在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A =∠A ′，∠B =∠B ′.求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′. 证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD =A ′D ′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E,则∠ADE =∠B ，∠AED =∠C, (.AD AE AB AC =平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） 过点D 作AC 的平行线，交BC 与点F ,则 (AD CF AB CB =平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ∴AE CF AC CB = ∵DE ∥BC,DF ∥AC, ∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE =CF . ∴ AD AE DE AB AC BC ==. 而∠ADE =∠B,∠DAE =∠BAC,∠AED ==∠C, ∴△ADE ∽△AB C.
∵∠A =∠A ′,∠ADE =∠B =∠B ′,AD =A ′B ′, ∴△ADE ∽△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′. 要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时 辅助线的做法. 要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 已知，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A =∠A ′, '''' AB AC A B A C = ,求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′. 证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD =A ′B ′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E,则 ∠B =∠ADE,∠C =∠AED, ∴△ABC ∽△ADE (两个分别相等的两个三角形相似). ∴AB AC AD AE = . ∵''''AB AC A B A C = ,AD =A ′B ′, ∴''AB AC AD A C = ∴'' AC AC AE A C = ∴AE =A ′C ′ 而∠A =∠A ′ ∴△ADE ≌△A ′B ′C ′.
相似三角形的判定定理
24.4（1）相似三角形的判定 教学目标 1．知道相似三角形的定义及有关概念，知道相似比为1的相似三角形是全等三角形；会读、会用 “∽”符号；能准确写出相似三角形的对应角与对应边的比例式； 2、掌握相似三角形判定的预备定理及相似三角形的判定定理1； 3、综合运用所学两个定理，来判定三角形相似，计算相似三角形的边长. 4、了解判定定理1的证题方法与思路，应用判定定理l. 一、复习 1．什么叫做全等三角形？它在形状上、大小上有何特征？ 2．两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？ 3、复习平行线分线段成比例定理（文字表述及基本图形） 本节学习相似三角形的定义及相关判定定理. 二、学习新课 相似三角形的概念： 我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. 相似三角形的概念作为相似三角形的判定方法之一. [说明]相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别．两个三角形形状相同，就是他们的对应角相等，对应边成比例． 相似比的概念 ：相似三角形对应边的比k ，叫做相似比（或相似系数）． [说明]①两个相似三角形的相似比具有顺序性． ②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形． 注：在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上． 类似地，如果两个边数相等的多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比，叫做相似比. 如图，111,ABC A B C ??是相似三角形，则111,ABC A B C ??相 似可记作ABC ?∽111A B C ?.由于 111 2 AB A B =，则ABC ?与111A B C ?的相似比1112AB k A B = =，则111A B C ?与ABC ?的相似比,112A B k AB == . C 1 B 1 A 1 C B A
相似三角形判定定理证明
如何证明相似三角形判定定理 预备知识： 图1中，平行线等分线段定理 已知l 1//l 2//l 3，AB =BC ，则DE =EF 由已知条件构造三角形全等，可证得平行线间距离相等，然后以此结论做条件可构造线段DE ，EF 所在三角形全等，结论获证. 图2中，平行线分线段成比例定理 已知l 1//l 2//l 3，则 DE EF BC AB =，命题可通过添加平行线转化成平行线等分线段定理. 由比例性质还可得DF EF AC AB =，EF ED AB CB =，DF ED AC CB = 相似三角形判定定理证明 图3，已知DE//BC ，求证：△AD E ∽△ABC 析：欲证两三角形相似，则需证三对角对应相等，三对边的比 相等，本题目三对角相等，则证三边比相等即可. 由DE//BC 得 AC EA AB AD =，作EF//AB 得AC EA CB BF =，依题意知四边形DEFB 是平行四边形，DE=BF . 则 CB DE AC AE AB AD ==，命题获证. 图4，已知DE//BC ，求证：△AD E ∽△ABC 作AG=AD ，GH//BC ，HM//AB ，可证△AD E ≌△AGH 此问题同图3 图5，在△ABC 与△A`B`C`中，``````C A AC C B BC B A AB == 求证：△ABC ∽△A`B`C` 在线段A`B`上截取A`D=AB ，过点D 作DE//B`C`，交A`C`于点E ，根据上面定理得△A`D E ∽△A`B`C` ∴ ` ```````C A E A C B DE B A D A == ∵ ` `````C A AC C B BC B A AB ==，AB=A` D ∴DE=BC ，A`E=AC ∴△A`D E ≌△A`B`C` ∴△ABC ∽△A`B`C` 图6， ` ```C A AC B A AB =，∠A =∠A`，求证：△AB C ∽△A`B`C` 3 l 3 图3 B 图4 B 图5 图6 B
三角形证明相关定理
三角形证明相关定理 1.定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 2.定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 3.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 4.等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 5.推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 6.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 7.推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 8.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对 等边） 9.推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 10.推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 11.正三角形面积√3a／4 a表示边长 12.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 13.直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 14.定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 15.逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 16.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 17.定理四边形的内角和等于360° 18.四边形的外角和等于360° 19.多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180° 20.推论任意多边的外角和等于360° 21.平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 22.平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
23.推论夹在两条平行线间的平行线段相等 24.平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 25.平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 26.平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 27.平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 28.平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 29.矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 30.矩形性质定理2 矩形的对角线相等 31.矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 32.矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 33.菱形性质定理1 菱形的四条边都相等 34.菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 35.菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2 36.菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 37.菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 38.正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 39.正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 40.定理1 关于中心对称的两个图形是全等的 41.定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 42.逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一 43.点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 44.三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半