整数规划模型的构建及求解方法
整数规划模型的构建及求解方法整数规划是一种数学优化问题，其目标是在给定的约束条件下，寻
找能够使目标函数最大或最小的整数解。在实际应用中，整数规划模
型常被用于决策问题的求解，如生产计划、物流调度、资源分配等。
本文将介绍整数规划模型的构建方法以及常用的求解方法。
一、整数规划模型的构建方法
1.确定决策变量：首先需要确定问题中的决策变量，即可用整数来
表示的变量。这些变量一般代表决策问题中的选择或分配方案。例如，在生产计划问题中，决策变量可以是不同产品的生产数量。
2.定义目标函数：目标函数是整数规划问题中要最大化或最小化的
指标。根据问题的具体要求，可将目标函数设定为各个决策变量的线
性组合或非线性函数。例如，生产计划问题中，目标函数可以是利润
的最大化或成本的最小化。
3.确定约束条件：约束条件用于限制决策变量的取值范围，以满足
问题的实际限制。约束条件可以是等式或不等式。例如，在物流调度
问题中，约束条件可以包括产品的需求量、供应量以及运输容量等。
4.完善模型：为了更准确地描述问题，还需要考虑一些特殊约束条
件和问题的具体要求。例如，某些决策变量可能需要满足某种关系或
限制条件，或者需要指定某些变量的取值范围。
二、整数规划模型的求解方法
1.穷举法：穷举法是最简单直接的求解方法，即将所有可能的整数
解都列举出来，并计算对应的目标函数值，最后选取最优解。然而，
穷举法由于计算复杂度高，只适用于问题规模较小的情况。
2.分支定界法：分支定界法是一种逐步缩小解空间的方法。通过将
整数规划问题分解成若干个子问题，并为每个子问题设定上下界，不
断迭代求解，最终找到最优解。这种方法可以高效地搜索整数解空间，但对于规模较大的问题，计算时间可能会很长。
3.割平面法：割平面法是一种逐步划分解空间的方法。它通过添加
割平面来修正原始线性规划松弛的解，使其成为整数解。这种方法能
够快速收敛到最优解，并且具有较好的计算效率。
4.分枝定界法：分枝定界法是将分支定界法和割平面法相结合的方法。它通过不断分解问题，同时使用割平面来提高解的质量。这种方
法的搜索效率较高，尤其适用于规模较大的整数规划问题。
总结：
整数规划模型的构建涉及确定决策变量、定义目标函数和约束条件
等步骤。合理的模型构建可以准确描述问题，为求解提供基础。
整数规划模型的求解方法包括穷举法、分支定界法、割平面法和分
枝定界法等。根据问题的规模和要求，选择适当的方法进行求解，以
找到最优解或接近最优解的策略。
整数规划是一个广泛应用于实际问题的数学工具，通过合理构建模型和选择适当的求解方法，可以提供决策支持和优化方案，为企业、组织等提供更好的决策依据。
运筹学整数规划
运筹学整数规划 运筹学是研究在资源有限的条件下，如何进行决策和优化的一门学科。整数规划是运筹学中的一个重要分支，它解决的是决策变量必须为整数的问题。整数规划在实际问题中具有广泛的应用，如生产计划、设备配置、选址问题等。 整数规划问题的数学模型可以表示为： max/min c^T x s.t. Ax ≤ b x ≥ 0 x ∈ Z 其中，c是目标函数的系数矩阵，x是决策变量的向量，A是 约束条件的系数矩阵，b是约束条件的向量，Z表示整数集合。 整数规划问题与线性规划问题相似，但整数规划问题的约束条件多了一个整数限制，使得问题的解空间变得更为复杂。由于整数规划问题的NP-hard性质，求解整数规划问题是一项困难 的任务。 求解整数规划问题的常用方法有分支定界法、割平面法和启发式算法等。 分支定界法是一种穷举搜索的方法，它通过将整数规划问题不断分割成更小的子问题，从而逐步搜索解空间，直到找到最优解。分支定界法对于规模较小的问题比较有效，但对于大规模复杂问题，效率较低。
割平面法是一种通过添加新的约束条件来减少解空间的方法。它利用线性松弛问题（将整数约束条件放宽为线性约束条件）的解来构造有效的割平面，从而逐步缩小解空间，找到最优解。割平面法通常比分支定界法更有效，但对于某些问题，可能需要添加大量的割平面才能收敛到最优解。 启发式算法是一种基于经验和启发式搜索的方法。它通过设置初始解、搜索策略和邻域搜索等步骤，来快速找到近似最优解。常见的启发式算法有遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等。启发式算法虽然不能保证找到全局最优解，但能够在可接受的时间内找到较优解。 综上所述，整数规划作为运筹学中的重要分支，解决的是决策变量必须为整数的问题。整数规划问题具有广泛的应用，但由于其NP-hard性质，求解过程较为困难。常用的求解方法包括 分支定界法、割平面法和启发式算法等。这些方法各有优劣，根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
《运筹学》第5章 整数规划(割平面法)
第５章整数规划（割平面法） 求解整数规划问题： Max Z=3x1+2x2 2x 1+3x2≤14 4x1+2x2≤18 x1,x2≥0，且为整数 解：首先，将原问题的数学模型标准化，这里标准化有两层含义：（1）将不等式转化为等式约束，（2）将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数，以便于构造切割平面。从而有： Max Z=3x1+2x2 2x 1+3x2+x3=14 2x1+x2+x4=9 x1,x2≥0，且为整数 利用单纯形法求解，得到最优单纯形表，见表1： 表1 最优解为：x1=13/4, x2=5/2, Z=59/4
根据上表，写出非整数规划的约束方程，如： x2+1/2x3-1/2x4=5/2 (1) 将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式，即： (1+0)x2+(0+1/2)x3+(-1+1/2)x4=2+1/2 把整数及带有整数系数的变量移到方程左边，分数及带有分数系数的变量称到方程右边，得： x2 - x4-2 =1/2-(1/2x3+1/2x4) (2) 由于原数学模型已经“标准化”，因此，在整数最优解中，x2和x4也必须取整数值，所以(2)式左端必为整数或零，因而其右端也必须是整数。又因为x3,x4 0，所以必有： 1/2-(1/2x3+1/2x4)<1
由于(2)式右端必为整数，于是有： 1/2-(1/2x3+1/2x4)≤0 (3) 或 x3+x4≥1 (4) 这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程，它是用非基变量表示的，如果用基变量来表示割平面约束方程，则有： 2x1+2x2≤11 (5) 从图1中可以看出，(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部分区域，使点E(3.5，2)成为可行域的一个极点。 图1
整数规划简介及Lingo求解
整数规划及Lingo 求解 一、 概论 1.1 整数规划的定义 在工程设计和企业管理中，常常会遇到要求决策变量取整数值的规划问题。安排生产时，投入的人力与机器数量必须是整数，生产的 某些产品（如汽车、机床、船舶等）的数量也是整数。整数规划就是用于研究、处理这一类问题的数学规划。如果在线性规划的基础上，把规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，就称之为线性整数规划。大部分的整数规划都是线性的所以我们也称线性整数规划为整数规划。 在许多情况下，我们都可以把规划问题的决策变量看成是连续的变量；但在某些情况下，规划问题的决策变量却被要求一定是整数。例如，完成某项工作所需要的人数或设备台数，进入市场销售的商品件数，以及某一机械设备维修的次数等。当连续的决策变量变为离散变量时非线性优化问题通常会难解得多。但是应用软件就方便多了，本文给了Lingo 在规划中的常用方法和程序。 1.2 整数规划的分类 在线性规划的基础上，要求所有变量都取整的规划问题称为纯整数规划问题；如果仅仅是要求一部分变量取整，则称为混合整数规划问题。全部或部分决策变量只能取0，1值的规划问题称为10-规划问题。 1.3 整数规划的一般模型 目标函数 约束条件 决策集 x 为整数 如果用集合表示上面的式子 目标函数： Cx =max(min) 约束条件为： b Ax = 例 1.1 飞船装载问题 设有n 种不同类型的科学仪器希望装在登月飞船上, 令0>j c 表示每件第j 类仪器的科学价值；0>j a 表示每件第j 类仪器的重量。每类仪器件数不限, 但装载件数只能是整数。飞船总载荷不得超过数b 。设计一种方案, 使得被装载仪器的科学价值之和最大。 建模 记j x 为第j 类仪器的装载数。 目标函数 ∑=j j x c m a x 约束条件 ∑≤b x a j j 决策集 j x 为正整数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+++≤+++≤+++m n mm m m n n n n k x a x a x a k x a x a x a k x a x a x a t s 2211222221 2111212111..n n x c x c x c +++= 2211m ax (m in)
整数规划模型
整数规划模型 整数规划模型是一种数学模型，用于解决优化问题。在整数规划中，决策变量必须是整数。这种模型广泛应用于工程、科学、运筹学和管理等领域。 整数规划模型的一般形式如下： \[\text{maximize} \quad c^Tx \]\[\text{subject to} \quad Ax \leq b \]\[x_j \text{整数} , j = 1,2,...,n \] 其中，c是一个n维向量，表示目标函数的系数；x是n维向量，表示决策变量；A是m×n维矩阵，表示约束条件的系数 矩阵；b是一个m维向量，表示约束条件的上界。 整数规划模型的目标是找到一个满足约束条件的决策变量向量x，使得目标函数值最大或最小。由于决策变量必须是整数， 所以整数规划模型要比普通的线性规划模型更复杂。 整数规划模型可以应用于许多实际问题。例如，一个公司要决定生产哪种产品以最大化利润，但每种产品有一定的生产限制，需要整数规划模型来确定生产量；一个配送中心要决定如何分配物流资源以最小化成本，但每个分配决策都必须是整数，需要整数规划模型来求解。 求解整数规划模型可以使用多种算法。例如，分支定界算法通
过将问题分解为一个个子问题，并通过剪枝策略来减少搜索空间，最终找到最优解；约简与延迟约束算法通过线性松弛将整数规划转化为一个松弛线性规划问题，并通过迭代加入约束条件来逼近整数解。 整数规划模型的求解过程需要注意一些问题。首先，由于整数规划是一个NP难问题，没有通用的多项式时间算法可以解决所有情况。其次，整数规划模型可能有多个最优解，求解算法可能只能找到其中一个最优解。最后，整数规划模型的求解过程可能需要大量的计算资源和时间。 总之，整数规划模型是一种重要的数学模型，可以用于解决各种实际优化问题。但由于其复杂性和求解困难，需要合理选择算法和求解策略来获得满意的结果。
运筹学第五章 整数规划
第五章 整数规划 主要内容：1、分枝定界法； 2、割平面法； 3、0－1型整数规划； 4、指派问题。 重点与难点：分枝定界法和割平面法的原理、求解方法，0－1型规划模型的建立及求解步骤，用匈牙利法求解指派问题的方法和技巧。 要 求：理解本章内容，熟练掌握求解整数规划的方法和步骤，能够运用这些方法解决实际问题。 §1 问题的提出 要求变量取为整数的线性规划问题，称为整数规则问题（简称IP ）。如果所有的变量都要求为（非负）整数，称之为纯整数规划或全整数规划；如果仅一部分变量要求为整数，称为混合整数规划。 例1 求解下列整数规划问题 211020max x x z += ????? ? ?≥≤+≤+为整数2 1212121,0,13522445x x x x x x x x 如果不考虑整数约束，就是一个线性规划问题（称这样的问题为原问题相应的线性规划问题），很容易求得最优解为： 96max ,0,8.421===z x x 。
50 用图解法将结果表示于图中画“+”号的点都是可行的整数解，为满足要求，将等值线向原点方向移动，当第一次 遇到“+”号点（ 1,421==x x ）时得最优解为1,421==x x ，最优值为z=90。 由上例可看出，用枚举法是容易想到的，但常常得到最优解比较困难，尤其是遇到变量的取值更多时，就更困难了。下面介绍几种常用解法。 §2 分枝定界法 分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。基本思路：设有最大化的整数规划问题A ，与之相应的线性 规划问题B ，从解B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优值必是A 的最优值 * z 的上界，记为 z ； 而A 的任意可行解的目标函数值是* z 的一个下界 z ，采取将B 的可行域分枝的方法，逐步减少z 和增大z ，最 终求得* z 。现举例说明： 例2 求解A 219040max x x z += ?????? ?≥≤+≤+为整数 21212121,0 ,7020756 79x x x x x x x x 解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B （①--④），得最优解=1x 4.81, =2x 1.82, =0z 356（见下 图）。 ① ② ③ ④ ⑤
运筹学 第4章 整数规划
第四章整数规划 整数规划（Integer Programming）主要是指整数线性规划。一个线性规划问题，如果要求部分决策变量为整数，则构成一个整数规划问题，在项目投资、人员分配等方面有着广泛的应用。 整数规划是近二、三十年发展起来的数学规划的一个重要分支，根据整数规划中变量为整数条件的不同，整数规划可以分为三大类：所有变量都要求为整数的称为纯整数规划（Pure Integer Programming）或称全整数规划（All integer Programming）；仅有一部分变量要求为整数的称为混合整数规划（Mixed Integer Programming）；有的变量限制其取值只能为0或1，这类特殊的整数规划称为0－1规划。 本章主要讨论整数规划的分枝定界法、割平面法、0－1规划及指派问题。 第一节整数规划问题及其数学模型 一、问题的提出 在线性规划模型中，得到的最优解往往是分数或小数，但在有些实际问题中要求有的解必须是整数，如机器设备的台数、人员的数量等，这就在原来线性规划模型的基础上产生了一个新的约束，即要求变量中某些或全部为整数，这样的线性规划称为整数规划（Integer Programming）简称IP，是规划论中的一个分枝。 整数规划是一类特殊的线性规划，为了满足整数解的条件，初看起来，只要对相应线性规划的非整数解四舍五入取整就可以了。当然在变量取值很大时，用上述方法得到的解与最优解差别不大，当变量取值较小时，得到的解与实际最优解差别较大，当变量较多时，如n＝10个，则整数组合有210＝1024个，而且整数解不一定在这些组合当中。先来看下面的例子。 例4.1某工厂生产甲、乙两种设备，已知生产这两种设备需要消耗材料A、材料B，有关数据如下，问这两种设备各生产多少使工厂利润最大？ 表4－1 12 量都要求为整数，建立模型如下：
运筹学中的线性规划与整数规划
运筹学中的线性规划与整数规划在运筹学中，线性规划和整数规划是两个常用且重要的数学模型。它们被广泛应用于资源分配、生产调度、物流管理等问题的决策过程中。本文将介绍线性规划和整数规划的基本概念、数学模型以及求解方法。 一、线性规划 线性规划是一种通过线性关系来描述问题的数学模型。它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最优的决策变量取值。线性规划模型一般可以表示为如下形式： Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ s.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂ ... aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ x₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0 其中，Z表示目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ表示目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数。 线性规划的求解方法主要有两类：图形法和单纯形法。图形法适用于二维问题，通过绘制目标函数和约束条件在坐标系中的图形，找到
交点来确定最优解。而单纯形法适用于多维问题，通过迭代计算，逐 步接近最优解。 二、整数规划 整数规划是线性规划的一种特殊情况，它要求决策变量的取值必须为整数。整数规划模型可以表示为如下形式： Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ s.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂ ... aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ x₁, x₂, ..., xₙ ∈ Z 其中，Z表示目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ表示目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为整数决策变量，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数。 由于整数规划中决策变量的取值范围更为限制，整数规划的求解更加困难。常用的整数规划求解方法有分支定界法、割平面法和整数规 划启发式算法等。 三、线性规划与整数规划的应用 线性规划和整数规划在实际应用中有着广泛的应用。以下列举几个常见的应用领域：
整数规划模型的构建及求解方法
整数规划模型的构建及求解方法整数规划是一种数学优化问题，其目标是在给定的约束条件下，寻 找能够使目标函数最大或最小的整数解。在实际应用中，整数规划模 型常被用于决策问题的求解，如生产计划、物流调度、资源分配等。 本文将介绍整数规划模型的构建方法以及常用的求解方法。 一、整数规划模型的构建方法 1.确定决策变量：首先需要确定问题中的决策变量，即可用整数来 表示的变量。这些变量一般代表决策问题中的选择或分配方案。例如，在生产计划问题中，决策变量可以是不同产品的生产数量。 2.定义目标函数：目标函数是整数规划问题中要最大化或最小化的 指标。根据问题的具体要求，可将目标函数设定为各个决策变量的线 性组合或非线性函数。例如，生产计划问题中，目标函数可以是利润 的最大化或成本的最小化。 3.确定约束条件：约束条件用于限制决策变量的取值范围，以满足 问题的实际限制。约束条件可以是等式或不等式。例如，在物流调度 问题中，约束条件可以包括产品的需求量、供应量以及运输容量等。 4.完善模型：为了更准确地描述问题，还需要考虑一些特殊约束条 件和问题的具体要求。例如，某些决策变量可能需要满足某种关系或 限制条件，或者需要指定某些变量的取值范围。 二、整数规划模型的求解方法
1.穷举法：穷举法是最简单直接的求解方法，即将所有可能的整数 解都列举出来，并计算对应的目标函数值，最后选取最优解。然而， 穷举法由于计算复杂度高，只适用于问题规模较小的情况。 2.分支定界法：分支定界法是一种逐步缩小解空间的方法。通过将 整数规划问题分解成若干个子问题，并为每个子问题设定上下界，不 断迭代求解，最终找到最优解。这种方法可以高效地搜索整数解空间，但对于规模较大的问题，计算时间可能会很长。 3.割平面法：割平面法是一种逐步划分解空间的方法。它通过添加 割平面来修正原始线性规划松弛的解，使其成为整数解。这种方法能 够快速收敛到最优解，并且具有较好的计算效率。 4.分枝定界法：分枝定界法是将分支定界法和割平面法相结合的方法。它通过不断分解问题，同时使用割平面来提高解的质量。这种方 法的搜索效率较高，尤其适用于规模较大的整数规划问题。 总结： 整数规划模型的构建涉及确定决策变量、定义目标函数和约束条件 等步骤。合理的模型构建可以准确描述问题，为求解提供基础。 整数规划模型的求解方法包括穷举法、分支定界法、割平面法和分 枝定界法等。根据问题的规模和要求，选择适当的方法进行求解，以 找到最优解或接近最优解的策略。
生产流程中的混合整数规划模型与求解
生产流程中的混合整数规划模型与求解 混合整数规划（Mixed Integer Programming，MIP）模型是一种应用广泛的数学模型，在生产流程中也得到了广泛的应用。生产流程中的混合整数规划模型是指将生产流程中的各个环节和决策变量建模，通过数学方法进行求解，以得出最优解。本文将探讨混合整数规划模型在生产流程中的应用，并介绍一种求解混合整数规划模型的方法。 一、混合整数规划模型在生产流程中的应用 生产流程是一系列经过规划和安排的生产活动和工序，其中包括材料采购、生 产加工、产品检验等环节。生产流程中的各个环节涉及到多个决策变量，如何优化这些变量，提高生产效率和降低成本，是生产流程中的一大难题。混合整数规划模型提供了一种数学工具，可以帮助生产企业进行生产规划和决策。 以生产加工环节为例，生产企业需要决定何时开始生产、选择哪些机器进行生产，以及如何安排生产任务等问题。这些问题都可以转化为混合整数规划模型，并由模型求解器求解，得出最优解。通过混合整数规划模型，生产企业可以降低生产成本，提高生产效率，减少生产周期。 二、混合整数规划模型的建立 混合整数规划模型的建立，需要将生产流程中的各个环节和决策变量进行建模。以生产加工环节为例，假设有N台机器，每台机器每小时可以生产Mi个产品，其 中i=1,2,…,N。生产企业需要在T小时内完成生产任务，最大化生产数量。此时， 可以将生产加工环节的决策变量建模为： 其中，xi表示是否选择第i台机器生产，yi表示第i台机器在t小时内是否工作。 同时，由于xi和yi均为二进制变量，混合整数规划模型可以建立为： 其中，C表示生产成本，表示选择第i台机器的成本；
Matlab求解线性规划和整数规划问题
Matlab求解线性规划和整数规划问题 Matlab是一种强大的数学计算工具，可以用于求解线性规划和整数规划问题。本文将详细介绍如何使用Matlab来求解这两类问题。 一、线性规划问题的求解方法 线性规划问题是一类常见的数学优化问题，其目标是在一组线性约束条件下，找到使目标函数取得最大（或者最小）值的变量取值。以下是求解线性规划问题的普通步骤： 1. 定义目标函数和约束条件 首先，需要明确线性规划问题的目标函数和约束条件。目标函数是需要最大化或者最小化的函数，通常是一个线性函数。约束条件是对变量的一组线性不等式或者等式限制。 例如，假设我们要最大化目标函数 f(x) = 3x1 + 4x2，同时满足以下约束条件： 2x1 + x2 ≤ 10 x1 + 3x2 ≤ 12 x1, x2 ≥ 0 2. 构建模型 将目标函数和约束条件转化为Matlab中的矩阵和向量形式。可以使用矩阵A 表示约束条件的系数矩阵，向量b表示约束条件的右侧常数向量，向量c表示目标函数的系数向量。 在上述例子中，可以定义矩阵A、向量b和向量c如下： A = [2, 1; 1, 3]
b = [10; 12] c = [-3; -4] 3. 求解线性规划问题 使用Matlab的线性规划求解函数linprog来求解线性规划问题。该函数的基本语法如下： [x, fval, exitflag] = linprog(c, A, b) 其中，x是最优解向量，fval是最优解的目标函数值，exitflag是求解器的退出标志。 继续以上述例子为例，可以使用以下代码求解线性规划问题： [x, fval, exitflag] = linprog(c, A, b) 4. 结果解读 最优解向量x即为线性规划问题的最优解。最优解的目标函数值fval表示在最优解下目标函数的取值。退出标志exitflag用于判断求解器是否成功找到最优解。 二、整数规划问题的求解方法 整数规划问题是线性规划问题的一种扩展，其变量需要取整数值。整数规划问题通常更加复杂，求解难度更大。以下是求解整数规划问题的普通步骤： 1. 定义目标函数和约束条件 与线性规划问题类似，首先需要明确整数规划问题的目标函数和约束条件。 2. 构建模型 将目标函数和约束条件转化为Matlab中的矩阵和向量形式，同样使用矩阵A 表示约束条件的系数矩阵，向量b表示约束条件的右侧常数向量，向量c表示目标函数的系数向量。
管理运筹学讲义整数规划
管理运筹学讲义整数规划 整数规划是管理运筹学中一种重要的优化技术，它在实际问题中具 有广泛的应用。本文将介绍整数规划的基本概念、建模方法以及解决 算法，并通过实例展示其在实际问题中的应用。 一、整数规划的基本概念 整数规划是线性规划的一种扩展形式，其决策变量被限制为整数。 在实际问题中，往往存在某些变量只能取整数值的约束条件，这时就 需要使用整数规划方法进行求解。与线性规划相比，整数规划的求解 难度更大，但可以提供更精确的结果。 二、整数规划的建模方法 在进行整数规划建模时，需要确定决策变量、目标函数和约束条件。 1. 决策变量 决策变量是问题中需要优化的变量，其取值决定了问题的解。在整 数规划中，决策变量通常表示为整数。 2. 目标函数 目标函数是整数规划问题中需要最小化或最大化的目标。它可以是 线性函数或非线性函数，但在整数规划中，通常只考虑线性目标函数。 3. 约束条件
约束条件是问题的限制条件，限制了决策变量的取值范围。在整数规划中，约束条件可以是线性等式或线性不等式。 三、整数规划的解决算法 解决整数规划问题的常见算法包括割平面法、分支定界法和动态规划法等。这些算法通过不断对问题进行优化，逐步逼近最优解。 1. 割平面法 割平面法是一种通过添加额外的约束条件来逼近最优解的方法。它首先求解一个松弛问题，然后根据松弛问题的解加入新的约束条件，直到找到最优解。 2. 分支定界法 分支定界法是一种将整数规划问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解的方法。它通过不断分支和剪枝来找到最优解。 3. 动态规划法 动态规划法是一种通过将问题分解为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的方法。它采用自底向上的求解方式，将所有可能的决策情况进行组合，得到最优解。 四、整数规划在实际问题中的应用 整数规划在实际问题中有着广泛的应用。以下是一个应用整数规划解决的实际问题示例：
Matlab求解线性规划和整数规划问题
Matlab求解线性规划和整数规划问题 线性规划（Linear Programming）是一种优化问题的数学建模方法，用于求解 线性约束条件下的最优解。整数规划（Integer Programming）是线性规划的一种扩 展形式，要求变量取整数值。 在Matlab中，可以使用优化工具箱中的函数来求解线性规划和整数规划问题。以下将详细介绍如何使用Matlab进行线性规划和整数规划的求解。 1. 线性规划问题的求解步骤： a. 定义目标函数：首先，需要定义线性规划问题的目标函数。目标函数可以 是最小化或者最大化某个线性表达式。 b. 定义约束条件：其次，需要定义线性规划问题的约束条件。约束条件可以 是等式或者不等式形式的线性表达式。 c. 构建模型：将目标函数和约束条件组合成一个线性规划模型。 d. 求解模型：使用Matlab中的优化工具箱函数，如linprog，对线性规划模型进行求解。 e. 分析结果：分析求解结果，包括最优解和对应的目标函数值。 2. 整数规划问题的求解步骤： a. 定义目标函数和约束条件：与线性规划问题类似，首先需要定义整数规划 问题的目标函数和约束条件。 b. 构建模型：将目标函数和约束条件组合成一个整数规划模型。 c. 求解模型：使用Matlab中的优化工具箱函数，如intlinprog，对整数规划模型进行求解。
d. 分析结果：分析求解结果，包括最优解和对应的目标函数值。 下面以一个具体的例子来说明如何使用Matlab求解线性规划和整数规划问题。 例子：假设有一家工厂生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。产品 A每单位利润为100元，产品B每单位利润为200元。生产一个单位的产品A需 要2小时，生产一个单位的产品B需要4小时。工厂的生产能力限制为每天最多 生产10个单位的产品A和8个单位的产品B。求解如何安排生产，使得利润最大化。 1. 定义目标函数和约束条件： 目标函数：maximize 100A + 200B 约束条件： 2A + 4B <= 8 A <= 10 B <= 8 A, B >= 0 2. 构建模型： 目标函数可以表示为：f = [-100; -200]，即最大化-f的线性表达式。 约束条件可以表示为：Aeq = [2, 4; 1, 0; 0, 1]，beq = [8; 10; 8]，A = -eye(2)，b = [0; 0]。 即 Aeq * x <= beq 和 A * x <= b。 3. 求解模型： 使用Matlab中的linprog函数进行线性规划求解：
0—1型整数规划问题的求解方法
0—1型整数规划问题的求解方法 0-1型整数规划问题是一类特殊的整数规划问题，其中变量只能取0 或1，即变量是二进制的。这类问题在实际应用中具有广泛的应用，如装 配线平衡、员工调度、货物装载等。 求解0-1型整数规划问题可以使用多种方法，下面将介绍几种常用的 方法。 1.枚举法： 枚举法是最朴素的解法，它列举出了所有可能解，并通过穷举所有解 的方式找到最优解。这种方法适用于问题规模较小且没有明显的约束条件，但对于大规模问题不适用。 2.分支定界法： 分支定界法是一种广泛应用于整数规划的方法。它从原问题形成一个 目标函数较小的松弛问题开始，通过分支操作将问题分解为一系列子问题，每次选择一个变量分支，并根据问题的特性设置相应的约束条件。通过逐 步分解问题，最终获得最优解。 3.动态规划法： 动态规划法通过构建状态转移方程的方式，将问题分解为多个子问题，并利用子问题之间的关系求解最优解。对于0-1型整数规划问题，可以使 用动态规划来解决。首先定义一个二维数组dp[i][j]，其中dp[i][j]表 示在前i个物品中选择一些物品放入背包容量为j的情况下的最大价值。 然后根据背包容量逐步求解，最后得到最优解。 4.启发式算法：
启发式算法是一类基于经验和直觉的算法，通过评估当前解的优劣性 来寻找最优解。对于0-1型整数规划问题，可以使用启发式算法如遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法等进行求解。这些算法通过随机和逐步优 化的方式，可以在较短时间内找到较好的解。 以上是常用的几种0-1型整数规划问题的求解方法，根据问题的规模、约束条件和求解的要求选择合适的方法。在实际应用中，通常会根据问题 的特性选择相应的算法，并结合数学模型和计算机编程进行求解。
供应链网络设计中的整数线性规划模型构建与求解
供应链网络设计中的整数线性规划模型构建 与求解 一、引言 供应链网络设计是指为了实现最佳成本、服务和质量目标，在给定的供应链网络中选择适当的位置、规模和资源配置，以实现最佳的供应链绩效。整数线性规划（Integer Linear Programming，简称ILP）是一种数学优化方法，可以在满足约束条件的前提下，找到使目标函数最优化的整数解。本文将讨论在供应链网络设计中如何构建和求解整数线性规划模型。 二、问题形式化 在供应链网络设计中，我们需要考虑以下因素： 1. 供应链网络中的位置：确定供应链网络中的仓库和生产设施的位置。 2. 生产能力：确定每个生产设施的产能。 3. 运输网络：确定仓库与生产设施之间的运输路径和费用。 4. 需求预测：确定各个市场的需求量及其对应的价格。 5. 成本约束：考虑生产、运输和库存等成本的限制。 6. 目标函数：以最小化总成本或最大化总利润为目标。 三、模型构建 根据上述问题，我们可以构建以下整数线性规划模型： 目标函数：最小化总成本或最大化总利润。 约束条件：
1. 生产能力约束：每个生产设施的产量不得超过其产能上限。 2. 需求满足约束：市场需求必须得到满足，即供应量必须大于等于需求量。 3. 运输约束：运输路径上的运输量必须满足产能、需求和运输限制。 4. 成本约束：考虑各个方面的成本，如生产成本、运输成本和库存成本等。 5. 位置约束：每个生产设施和仓库的位置满足适当的限制条件。 四、求解方法 求解整数线性规划模型可以采用以下方法： 1. 分支定界法：将整数规划问题转化为一系列线性规划问题，通过分别求解这些线性规划问题来逐步逼近最优解。 2. 割平面法：根据整数规划模型的特殊结构，添加一些额外的线性约束条件，进而提高求解效率。 3. 分解协调法：将整数规划问题分解为多个子问题，通过协调子问题的优化目标和约束条件来求解整体问题。 4. 启发式算法：根据问题特点设计特定的启发式算法，例如遗传算法、模拟退火算法等，来近似求解整数规划问题。 五、实际案例 以一个跨国零售公司为例，假设公司在全球范围内设有多个仓库和生产设施，需要决定这些设施的位置和规模。目标是最小化公司的总成本，同时满足各个市场的需求。 根据上述模型构建方法，可以将该问题转化为一个整数线性规划模型。通过收集和整理相关数据，包括生产能力、需求量、运输路径和费用等信息，可以构建出一个适用于该实际案例的整数线性规划模型。
组合优化问题的整数规划建模与求解方法研究
组合优化问题的整数规划建模与求解方法研 究 组合优化是运筹学中的一个重要分支，主要研究在给定一组约束条件下，如何 选择最优的组合使得某个目标函数的值最大或最小。整数规划是组合优化问题的一种常见形式，其中决策变量被限制为整数。 在实际应用中，我们经常面临各种组合优化问题，例如货物配送、资源调度、 排课等等。这些问题的规模庞大，约束条件复杂，直接求解往往是不现实的。因此，我们需要研究有效的建模方法和求解算法来应对这些挑战。 在组合优化问题的整数规划建模中，一个重要的步骤是定义决策变量和约束条件。决策变量表示问题中需要做出选择的部分，而约束条件限定了变量之间的关系。合理地定义这两个部分可以帮助我们更好地描述问题，并找到最优解。 对于建模的一般方法，我们可以采用0-1整数规划、混合整数规划等方法。0-1整数规划中，决策变量只能取0或1，可以用来表示选择或排除某个元素的情况。 而混合整数规划允许决策变量既可以取整数，又可以取非整数值。在建模时，我们需要根据问题的特点选择合适的整数规划形式。 除了建模方法，求解组合优化问题的整数规划也是一个关键的步骤。对于小规 模问题，我们可以采用穷举法、分支定界等精确求解方法，通过遍历所有可能的解空间来找到最优解。然而，对于大规模问题，这些方法往往是不可行的，因为计算复杂度过高。 因此，我们需要研究高效的求解算法来解决大规模组合优化问题。常用的方法 包括启发式算法、近似算法、元启发式算法等。启发式算法通过启发式规则来搜索解空间，帮助我们找到一个较好的解。近似算法则通过对问题进行适当的简化，找
到一个近似最优解。元启发式算法结合了启发式和近似思想，通过多次迭代来改进解的质量。 同时，求解组合优化问题的整数规划还可以利用现有的优化软件和工具，如MATLAB、Gurobi、CPLEX等。这些工具提供了丰富的求解接口和优化算法，可以快速求解大规模的整数规划问题。 总之，组合优化问题的整数规划建模与求解方法研究涉及到了建模方法和求解算法两个方面。在实际应用中，我们需要根据问题的特点选择合适的建模形式，并采用适当的求解方法来获得最佳解。随着优化算法和工具的不断发展，我们相信在未来的研究中，组合优化问题的整数规划建模与求解方法将会得到更多的突破和改进。
整数线性规划的模型建立与加速求解技术
整数线性规划的模型建立与加速求解技术 整数线性规划是数学规划中的一个重要分支，其在实际问题的建模和优化中起到了至关重要的作用。本文将介绍整数线性规划的模型建立和加速求解技术。 一、整数线性规划的模型建立 整数线性规划是在给定的约束条件下，目标函数为线性函数，且决策变量为整数的优化问题。为了能够进行模型建立，需要先确定以下几个要素： 1.决策变量 首先需要确定问题中的决策变量，决策变量是可以调整的变量，对问题的求解产生影响。决策变量可以是某种产品的产量、投资项目的金额等。在整数线性规划中，决策变量应为整数。 2.目标函数 目标函数是整数线性规划中的优化目标，可以是最大化或最小化某种经济指标，如利润最大化、成本最小化等。目标函数应为线性函数，即决策变量的系数和常数项之间是线性关系。 3.约束条件 约束条件是限制问题解的条件，可以是资源的限制、技术的要求等。约束条件应为线性不等式或线性等式形式。而对于整数线性规划，还需添加整数约束条件，即决策变量必须为整数。 通过确定决策变量、目标函数和约束条件，可以建立整数线性规划的数学模型。示例如下： Maximize Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn Subject to: a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2 ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm
其中，xi为决策变量，ci为目标函数的系数，aij为约束条件的系数，bi 为约束条件的常数项。需要注意的是，在整数线性规划中，需要添加整数约 束条件：xi为整数。 二、整数线性规划的求解技术 整数线性规划是一个NP难问题，要求出最优解往往需要耗费大量的时 间和计算资源。为了加速整数线性规划的求解，可以采用以下几种技术： 1.分支定界法 分支定界法是解决整数线性规划问题的常用方法。该方法通过将整数线 性规划问题转化为一系列线性规划问题，并使用上界和下界来约束可行解的 搜索空间。首先，将原问题转化为线性规划问题，得到一个初始解，然后将 问题分为两个子问题，分别在上界和下界内搜索可行解。通过逐步缩小搜索 空间，最终找到整数线性规划问题的最优解。 2.剪枝技术 剪枝技术是用来减少搜索空间的一种方法。当搜索到某个节点时，可以 通过一定的判定条件来排除掉一些明显不可能出现最优解的节点，从而减少 计算的时间和资源消耗。常用的剪枝技术有界限剪枝和可行性剪枝等。 3.启发式算法 启发式算法是基于经验和启发性准则来求解问题的一类算法。在整数线 性规划问题中，启发式算法可以帮助找到接近最优解的解，从而加快求解速度。常用的启发式算法有模拟退火算法、遗传算法和禁忌搜索算法等。 4.整数规划求解器 整数规划求解器是一种将整数线性规划问题转化为计算机可处理的形式，并通过优化算法快速求解的工具。常用的整数规划求解器有CPLEX、 Gurobi等。这些求解器通过优化算法和高效的求解技术，可以在短时间内找 到整数线性规划问题的最优解。 需要注意的是，整数线性规划问题中的变量个数和约束条件个数越多， 问题的求解难度越大。对于大规模的整数线性规划问题，常常需要结合多种 求解技术和工具，进行混合整数规划、启发式算法和分布式计算等方法，以 获得更好的求解效果。
求解整数规划的方法
求解整数规划的方法 整数规划是一种最优化问题，其解决方案限制了决策变量必须取整数值。整数规划的应用非常广泛，涉及到许多实际问题，如制造业生产调度、物流优化、资源分配等。在本文中，我们将介绍几种常用的整数规划方法。 一、分支定界法 分支定界法是一种常用的整数规划求解方法，它通过不断将解空间分割为子问题并求解这些子问题，最终找到整数规划的最优解。具体步骤如下： 1. 初始时，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并求解线性规划问题的松弛解。 2. 如果松弛解满足整数约束条件，则找到一个整数解，更新当前最优解。 3. 如果松弛解不满足整数约束条件，则选择一个变量将其分割为两个子问题，并分别求解这两个子问题。 4. 对每个子问题，递归地应用上述步骤，直到找到一个整数解或者确定当前子问题的上界小于当前最优解。 5. 最终，得到整数规划的最优解。 分支定界法的优点是能够保证找到最优解，但其缺点是计算复杂度较高，特别是在问题规模较大时，会导致计算时间过长。 二、整数规划的近似算法 当整数规划问题规模较大时，找到精确解的计算复杂度可能变得非常高，此时可
以考虑使用近似算法来求解。近似算法的思想是通过放松整数约束条件，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并对线性规划问题进行求解。然后，根据线性规划问题的解，对整数规划问题进行修正，得到整数规划问题的一个近似解。 三、割平面法 割平面法是一种常用的整数规划求解方法，它通过添加一系列线性不等式（割平面）来逐步减小可行解空间，最终找到整数规划的最优解。具体步骤如下：1. 初始时，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并求解线性规划问题的松弛解。 2. 如果松弛解满足整数约束条件，则找到一个整数解，更新当前最优解。 3. 如果松弛解不满足整数约束条件，则根据当前松弛解所对应的目标函数值，添加一系列线性不等式（割平面）来限制可行解空间。 4. 对添加了割平面约束的线性规划问题，继续求解，并更新最优解。 5. 重复以上步骤，直到找到一个整数解或者确定当前问题的上界小于当前最优解。 6. 最终，得到整数规划的最优解。 割平面法的优点是在求解过程中动态地添加割平面约束，可有效地减小可行解空间，提高求解效率。然而，添加割平面约束的过程可能会导致问题规模增大，加大计算复杂度。 四、启发式算法
数学建模中的整数规划与线性规划
数学建模中的整数规划与线性规划数学建模是指利用数学方法解决实际问题的过程，其中整数规划和线性规划是常用的数学建模技术。本文将探讨数学建模中的整数规划和线性规划的基本原理、应用领域以及解决实际问题的方法。 一、整数规划 整数规划是指在线性规划的基础上，将决策变量限制为整数的优化问题。在实际问题中，有些变量只能取整数值，而不能取小数值。整数规划的数学模型可以表示为： $max\{cx:Ax≤b,x\geq0,x为整数\}$ 其中，c是目标函数的系数向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的常数向量，x是决策变量。 整数规划的应用非常广泛，比如生产调度、资源配置、旅行商问题等。整数规划不仅可以帮助企业进行生产计划，还可以优化物流配送路线，解决旅行商的最优路径问题等。 二、线性规划 线性规划是指目标函数和约束条件均为线性关系的优化问题。线性规划的数学模型可以表示为： $max\{cx:Ax≤b,x\geq0\}$
线性规划在数学建模中是最常用的优化工具之一，广泛应用于生产 计划、资源分配、投资组合等领域。通过线性规划，可以找到目标函 数在约束条件下的最优解，从而为决策提供科学依据。 三、整数规划与线性规划的联系 整数规划是线性规划的一个特例，即当决策变量限制为整数时，线 性规划就变成了整数规划。因此，整数规划可以通过线性规划来求解，但是整数规划的求解难度要高于线性规划。 在实际问题中，有时候整数规划难以求解，此时可以采用线性规划 来近似求解。例如，可以将决策变量限制为小数，然后通过计算得到 的解来指导实际决策。当然，这种近似解不一定是最优解，但可以提 供一种可行的解决方案。 四、整数规划与线性规划的求解方法 针对整数规划和线性规划问题，有多种求解方法。其中，常用的方 法包括暴力搜索、分支定界法、割平面法等。 暴力搜索是一种基础的求解方法，通过枚举所有可能的解来寻找最 优解。这种方法的好处是可以找到全局最优解，但计算时间较长，适 用于问题规模较小的情况。 分支定界法是一种常用的求解整数规划问题的方法。该方法通过将 问题划分为多个子问题，然后逐步求解子问题，最终得到整体的最优解。这种方法的好处是可以高效地求解大规模的整数规划问题。
第11章整数规划方法课案
·166 · 第十一章 整数规划方法 11.1 整数规划的模型 如果一个数学规划的某些决策变量或全部决策变量要求必须取整数，则这样的问题称为整数规划问题，其模型称为整数规划模型。 如果整数规划的目标函数和约束都是线性的，则称此问题为整数线性规划问题。在里我们只就整数线性规划问题进行讨论，整数线性规划的一般模型为： ⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅=≥⋅⋅⋅=≥=≤=∑∑==) ,,2,1(,0),,2,1(),(..max(min)1 1 n j x x m i b x a t s x c z j j i n j j ij n j j j 为整数 （11.1） 对于实际中的某些整数规划问题，我们有时候可以想到先略去整数约束的条件，即视为 一个线性规划问题，利用单纯形法求解，然后对其最优解进行取整处理。实际上，这样得到的解未必是原整数规划问题的最优解，因此，这种方法是不可取的，但可借鉴于这种思想。 整数规划求解方法总的基本思想是：松弛问题(11.1)中的约束条件（譬如去掉整数约束条件），使构成易于求解的新问题――松弛问题(A)，如果这个问题(A)的最优解是原问题(11.1)的可行解，则就是原问题(11.1)的最优解；否则，在保证不改变松弛问题(A)的可行性的条件下，修正松弛问题(A)的可行域(增加新的约束)，变成新的问题（B ），再求问题(B)的解，重复这一过程直到修正问题的最优解在原问题(11.1)的可行域内为止，即得到了原问题的最优解。 注意到: 如果每个松弛问题的最优解不是原问题的可行解时，则这个解对应的目标函数值z 一定是原问题最优值* z 的上界(最大化问题)，即z z ≤*，或下界(最小化问题)，即z z ≥* 。 11.2 整数规划的分枝定界法 11.2.1. 分枝定界法的基本思想 将原问题（11.1）中整数约束去掉变为问题（A ），求出问题（A ）的最优解，如果它不是原问题（11.1）的可行解，则通过附加线性不等式约束（整数），将问题（A ）分枝变为若干子问题),,2,1)((I i B i ⋅⋅⋅=，即对每一个非整变量附加两个互相排斥（不交叉）的整型约束，就得两个子问题，继续求解定界，重复下去，直到得到最优解为止。