一次函数图像导学案

一次函数和它的图像

青州市何官中学

鞠明军

一次函数和它的图像

一、教案背景

函数图像是数学学习的重点内容，一次函数图像是函数图像的基础，因此需要熟练掌握一次函数图像，为函数图像打好基础。

二、教学课题

认识一次函数图像，熟练绘制函数图像，根据函数图像写出一次函数解析式。

三、教材分析

青岛版教材，能够贴合实际讲解数学问题，讲解了一次函数的解析式，y=kx+b（k≠0）。正比例函数y=kx，k叫做比例系数。

四、教学方法

通过实际问题，引申出所学内容，对重难点详细讲解。

五、教学目标：

1. 知识与技能：

（1）了解一次函数与正比例函数的关系和意义。

（2）掌握一次函数的一般形式，并能根据所给条件写出实际问题中正比例关系与一次函数关系的解析式。

（3）了解一次函数的图像是一条直线，会画一次函数和正比例函数的图像。

（4）学会用列表法、图像法表示一次函数。

（5）掌握一次函数及其图像的性质。

2. 过程与方法：

经历一般规律的探索过程，体会数学建模的基本思想方法，发展抽象思维能力和应用能力。

3. 情感态度与价值观：

体会数学与人类社会的密切联系，增强学好数学的信心。

六、教学重点和难点：

重点：理解一次函数的概念。

难点：掌握一次函数的性质。

七、教学过程

教学知识要点：

1. 理解一次函数和正比例函数的定义：

一般地，如果y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数。

特别地，当一次函数y＝kx＋b中b为0时，y＝kx（k为常数，k≠0），这时，y叫做x的正比例函数。

强调指出：

①一次函数的解析式为y＝kx＋b（b为常数，k≠0）。

②正比例函数的解析式为y＝kx（k为常数，k≠0）。

③正比例函数与一次函数的关系是：正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数。

2. 一次函数的图像与画法：

①图像：一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图像是一条直线，其图像也称为直线y ＝kx ＋b 。

正比例函数y ＝kx 的图像是经过原点（0，0）的一条直线。 强调指出：点A （0，b ）是直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点。 当b ＞0，此交点在y 轴的正半轴上； 当b ＜0时，此交点在y 轴的负半轴上；

当b ＝0时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数。 ②画法：画正比例函数y ＝kx 的图像，通常选取O （0，0），A （1，k ）两点，

然后再连成直线。画一次函数＝＋的图像，通常选取，，，y kx b A b B b k ()()

00-

两点，然后再连成直线。

强调指出：作一次函数的图像的一般步骤是：列表、描点、连线。 3. 一次函数的性质：

【典型例题】例1. 下列函数哪些是y 关于x 的一次函数？哪些是y 关于x 的正比例函数？

()()()1522323

y x

y x

y x ==

=+

()()()()

471

5262122

2

2

y x y

x y x x x =+==+-

分析：

①判断一个函数关系式是否是一次函数或正比例函数，应紧扣

定义。

②无论是正比例函数还是一次函数的自变量和因变量的指数只能为1。 解：根据定义可知： （1）是正比例函数； （3）是一次函数；

（2）、（4）、（5）既不是正比例函数也不是一次函数，因为它们的自变量和因变量的指数不为1；

（6）经过化简后得y ＝x 是正比例函数。 例 2.

已知函数，是一次函数，求的值；是正比

y m x

m m m =-++-()()()51122

24

例

函数，求m 的值。

分析：①要使函数是一次函数，根据一次函数的定义，x 的指数m 2－24＝1，且系数m －5≠0。

②要使函数是正比例函数，除了满足上述条件外，还需加上m ＋1＝0这个条件。

解：()()1512

24

∵是一次函数

y m x

m m =-++-

∴≠m m 2241

50-=-??

?

解之得：±≠m m =+??

?5

5 ∴m ＝－5

∴当m ＝－5时，函数是一次函数。 ()()2512

24

∵是正比例函数

y m x

m m =-++-

∴≠m m m 22415010

-=-+=???

??

解之得：±≠m m m ==-????

???5

5

1

m ＝－5，m ＝－1

∴函数不可能为正比例函数 ［能力拓展题］

例4. 画出函数y ＝－x ＋2的图像，利用图像求： （1）方程－x ＋2＝0的根； （2）不等式－x ＋2≥0的解集； （3）当y ＜3时，求x 的取值范围； （4）当－1≤x ≤1时，求y 的取值范围； （5）求图像与坐标轴围成的三角形的面积；

分析：（1）一元一次方程kx ＋b ＝y 0（y 0是已知数）的解就是直线y ＝kx ＋b 上，y ＝y 0这个点的横坐标。

（2）一元一次不等式y 1＜kx ＋b ＜y 2（y 1，y 2是已知数，且y 1＜y 2）的解就是直线y ＝kx ＋b 上满足y 1≤y ≤y 2那条线段所对应的自变量的取值范围。 ()()31

21212当，是已知数且时，求的解集就是直线

x x x x x x x y kx b ≤≤<=+

y kx b x x x y =+≤≤上满足那条线段所对应的因变量的取值范围。

12

解：∵函数y ＝－x ＋2的图像是一条直线 ∴

连结A（0，2），B（2，0）两点，作出如下图形。

（1）直线AB与x轴的交点B（2，0），从图像中可以看出当x＝2时，y＝0

∴x＝2是方程－x＋2＝0的解

（2）从图像上可以看出，射线BA在x轴的上方，所以它上面的点的纵坐标都不小于零。∴－x＋2≥0的解集为x≤2

（3）过点（0，3）引平行于x轴的直线CD，交直线AB于C点，则C 点的坐标为（－1，3）。

直线CD上的点的纵坐标y均等于3，直线下方的点的纵坐标y均小于3，射线CB（不包括端点C）上的点的横坐标满足x＞－1。

∴y＜3时，x的取值范围为x＞－1

（4）过（－1，0）和（1，0）点作平行于y轴的直线交直线AB于C （－1，3）和E（1，1）两点。

从图像可见：线段CE上的点的横坐标，满足于－1≤x≤1，而纵坐标满足1≤y≤3。

∴当－1≤x≤1时，y的取值范围是1≤y≤3

（5）∵图像与x轴的交点为B（2，0）与y轴的交点为（0，2）

又∵△AOB 是直角三角形 ∴·××△S O A O B AO B =

=

=12

12

222

||||

【模拟试题】（答题时间：40分钟） 一、填空题：

1. 若x ，y 是变量，且y k x

k =+-()||11

是正比例函数，则k ＝___________。

2. 一次函数y a x b

=++-()46的图像经过原点，则a__________，

b__________。

3. 一次函数y k x =-+()12（k 为常数），y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是_______________，如果y 随x 增大而减小，则k 的取值范围是_____________。 二、选择题：

1. 函数y x =+24，如果-≤≤22y ，则x

的取值范围是（ ）

A. -≤≤22x

B. -≤

≤-31x

C. 13≤≤x

D. -≤

≤13x

2. 直线

y x =+

32

12

上有一点A 到y 轴距离为1，则点A 的纵坐标为（ ）

A. 2或0

B. －2或1

C. 2或－1

D. 1或－3 3. 点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2）是一次函数y x b

=-

+12的图像上两点，

若x x 1

2<，则

y 1与y 2的大小关系是（ ）

A. y y 12<

B. y y 1

2≥

C. y y

12

> D. 无法确定

三、如图，是函数y x

=-+

1

2

5

的一部分图像，根据图像回答。

（1）自变量x的取值范围是什么？

（2）当x取什么值时，y有最小值？最小值是多少？

（3）在（1）中x的变化范围内，y随x的增大而怎样变化？

四、在同一坐标系中作出下列函数的图像

（1）y x

=+

1

3

1

（2）

y x

=-

1

3

1

（3）

y x

=

1

3

五、A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台，D村8台，已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元，从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元。

（1）设B市运往C村机器x台，求总运费W（元）关于x的函数关系式。

（2）若要求总运费不超过9000元，共有几种调运方案。

（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？

八、教学反思

通过本节课的学习，很多学生对一次函数的理解不够，在求解一次函数解析式时，不能迅速设处函数解析式y=kx+b，需要在以后练习中多加练习，对一部分学生要求课后自己复习一次函数。在学习过程中，要对以前学过的内容定期复习，打好数学基础。

附件1：

青州市优秀教育教学论文（教学设计、导学案）评选登记表