2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题(word版)及参考答案

2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及参考答案

（5月5日8:00至10:00）

一．填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．

1．设方程22210x mx m -+-=的根大于2-，且小于4，则实数m 的范围是 ． 2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为 ．

3．设实数x ，y 满足2

430x x y -++=，则2

2

x y +的最大值与最小值之差是 ． 4．若存在正实数a ，b 满足()()n

n

a bi a bi +=-（i 是虚数单位，*

n ∈N ），则n 的最小值是 ．

5．若三角形ABC 的三边AB ，BC ，AC 成等差数列，则A ∠的取值范围是 ．

6．若数列{}n a 满足49a =，11(1)(3)0n n n n a a a a ++---=（*n ∈N ），则满足条件的1a 的

所有可能值之积是 ． 7．已知2

()942013f x x x =-+，则

()60

30

()()n f n f n =+

=∑ ．

8．设x ，[]0,2y π∈，且满足1

2si n

cos si n cos 2

x y x y ++

=-，则x y +的最大值

为 ．

9．已知正四面体ABCD 的棱长为9，点P 是面ABC 上的一个动点，满足P 到面DAB 、

DBC 、DCA 的距离成等差数列，则P 到面DCA 距离的最大值是 ． 10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平

方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是 ．

二．解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．

11．设k 为实数，06k <<，椭圆22

1():

19x k E y -+=与椭圆222:19

x E y +=交于点A 和C ，1E 的左顶点为B ，2E 的右顶点为D （如图），若四边形ABCD 是正方形，求实数k ．

12．如图，梯形ABCD 中，B 、D 关于对角线AC 对称的点分别是'B 、'D ，A 、C 关于

对角线BD 对称的点分别是'A 、'C ．证明：四边形''''A B C D 是梯形．

13．设实数a ，b 满足1

012

a b ≤≤

≤≤．证明：2()cos cos b a a b ππ-≤-．

14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明：必存在四个同色点，恰为某等腰

梯形的顶点．

2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

（5月5日8:00至10:00）

一．填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分． 1．设方程2

2210x

mx m -+-=的根大于2-，且小于4，则实数m 的范围是 (-1,3) ．

2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为

1733

．

3．设实数x ，y 满足2430x x y -++=，则22x y +的最大值与最小值之差是 。

（似乎出错） 4．若存在正实数a ，b 满足()()n

n a bi a bi +=-（i 是虚数单位，*n ∈N ）

，则n 的最小值是 3 ． 5．若三角形

ABC 的三边AB ，BC ，AC 成等差数列，则A ∠的取值范围是03

A π

<∠<

．

6．若数列

{}n a 满足49a =，11(1)(3)0n n n n a a a a ++---=（*n ∈N ）

，则满足条件的1a 的所有可能值之积是 0 ． 7．已知

2

()942013f x x x =-+，则()60

30

()()n f n f n =+=∑ 364 ．

8．设x ，

[]0,2y π∈，且满足12sin cos sin cos 2x y x y ++=-

，则x y +的最大值为236

π

．

9．已知正四面体ABCD 的棱长为9，点P 是面ABC 上的一个动点，满足P 到面DAB 、DBC 、DCA

的距离成等差数列，则P 到面DCA 距离的最大值是 ．（未学）

10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31

年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是 12 ．

二．解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．

11．设k 为实数，06k <<，椭圆22

1():19x k E y -+=与椭圆222:19

x E y +=交于点A 和C ，1

E 的左顶点为B ，2E 的右顶点为D （如图），若四边形

ABCD 是正方形，求实数k ．

解：BD=6-k=AC

又AC=

3

得k=4.8

12．如图，梯形

ABCD 中，B 、D 关于对角线AC 对称的点分别是'B 、'D ，A 、C 关于对角线BD

对称的点分别是'A 、'C ．证明：四边形''''A B C D 是梯形．

连A ’O,B ’O,C ’O,D ’O 易证 A ’,O,C ’; B ’,O,D ’共线（角度），由比例线段证毕。

13．设实数a ，b 满足1

012

a b ≤≤≤≤．证明：2()cos cos b a a b ππ-≤-． 解： 记f(x)=cos 2x x π+ 则f ’(x)=sin 2x ππ-+

令f ’(x)=0 ，则x=

2

arcsin

0.2196ππ

=

所以 x<0.2196时 f ’(x)>0 , x>0.2196时 f ’(x)<0 所以f(a)≥min{f(0),f(1)}=1 f(b)≤f(0.5)=1

所以f(b)≤f(a) ，证毕。

14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点． 根据抽屉原理，必定存在34个点同色。该34个点连成34*33/2=561条线段。

考虑这561条线段的垂直平分线，显然它们都是正100边形的对称轴。正100边形的对称轴有200条，所以必定存在3条线段它们的垂直平分线重合。

所以这3条线段两两平行，其中必有两条不等长，于是构成等腰梯形四个顶点且同色，证毕。