A +
B 2=π
6
,
所以A +B =π3,所以C =2π
3
.
(2)S =1
2ab sin C =43,a =2,所以b =8,
所以c 2
=a 2
+b 2
-2ab cos C =84, 所以c =221.
A 组 专题通关
1.(2019·湖南雅礼中学月考)如图,在△ABC 中,B =π
4
,角A 的平分线AD 交BC 于点D ,设∠BAD =α,sin α=
55
.
(1)求sin C ;
(2)若BA →·BC →
=28,求AC 的长.
解 (1)∵α∈? ????0,π2,sin α=55=15.
∴cos α=1-sin 2
α=
25
.
则sin∠BAC =sin 2α=2sin αcos α=2×15×25=4
5
. ∴cos∠BAC =2cos 2
α-1=2×45-1=35,
sin C =sin ?
??
???π-? ????π4+2α=sin ? ??
?
?π4+2α
=
22cos 2α+2
2sin 2α =
22×35+22×45=7210
. (2)由正弦定理,得AB sin C =BC sin∠BAC ,即AB 7210=BC
4
5,
∴AB =72
8
BC ,①
又BA →·BC →
=28,∴|AB ||BC |×22=28,②
由①②解得BC =42,
又由AC sin B =BC sin∠BAC 得AC 22
=BC
4
5,∴AC =5.
2.(2019·湖南、江西名校联考)已知向量m =(sin x ,-1),n =(3,cos x ),且函数f (x )=m ·n .
(1)若x ∈?
????0,π2,且f (x )=23,求sin x 的值;
(2)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a =7,△ABC 的面积为33
2,
且f ? ????A +π6=73b sin C ,求△ABC 的周长. 解 (1)f (x )=m ·n =(sin x ,-1)·(3,cos x )
=3sin x -cos x =2sin ?
????x -π6.
∵f (x )=23,∴sin ?
????x -π6=1
3.
又x ∈?
????0,π2,
∴x -π6∈? ????-π6,π3,cos ?
????x -π6=
223.
∴sin x =sin ???????
????x -π6+π6
=13×32+223×12=3+22
6. (2)∵f ? ????A +π6=73b sin C ,
∴2sin A =
7
3
b sin C ,即6sin A =7b sin C , 由正弦定理可知6a =7b
c , 又a =7,∴bc =6.
由已知△ABC 的面积等于12bc sin A =33
2,
可得sin A =
3
2
, 又A ∈?
????0,π2,∴A =π3.
由余弦定理得b 2
+c 2
-2bc cos A =7,
故b 2+c 2=13,从而(b +c )2
=25,b +c =5, ∴△ABC 的周长为5+7.
3.(2019·佛山市顺德区检测)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c,2b sin C cos A +a sin A =2c sin B .
(1)证明:△ABC 为等腰三角形;
(2)若D 为BC 边上的点,BD =2DC ,且∠ADB =2∠ACD ,a =3,求b 的值. (1)证明 ∵2b sin C cos A +a sin A =2c sin B , ∴由正弦定理得:2bc cos A +a 2
=2cb ,
由余弦定理得:2bc ·b 2+c 2-a 22bc
+a 2=2bc ,
化简得:b 2
+c 2
=2bc ,∴(b -c )2
=0即b =c, 故△ABC 为等腰三角形.
(2)解 方法一 如图,由已知得BD =2,DC =1,
∵∠ADB =2∠ACD =∠ACD +∠DAC , ∴∠ACD =∠DAC, ∴AD =CD =1, 又∵cos∠ADB =-cos∠ADC ,
∴AD 2+BD 2-AB 22AD ·BD =-AD 2+CD 2-AC 22AD ·CD
,
即12
+22
-c 2
2×2×1=-12
+12
-b 2
2×1×1
, 得2b 2
+c 2
=9,由(1)可知b =c ,得b = 3. 方法二 取BC 的中点E ,连接AE .
三角函数与解三角形练习题
三角函数及解三角形练习题 一.解答题(共16小题) 1.在△ABC中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,求C的大小. 2.已知3sinθtanθ=8,且0<θ<π. (Ⅰ)求cosθ; (Ⅱ)求函数f(x)=6cosxcos(x﹣θ)在[0,]上的值域. 3.已知是函数f(x)=2cos2x+asin2x+1的一个零点. (Ⅰ)数a的值; (Ⅱ)求f(x)的单调递增区间. 4.已知函数f(x)=sin(2x+)+sin2x. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)若函数g(x)对任意x∈R,有g(x)=f(x+),求函数g(x)在[﹣,]上的值域. 5.已知函数f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值; (2)求f(x)的单调递增区间. 6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,﹣≤φ<)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π. (Ⅰ)求ω和φ的值; (Ⅱ)若f()=(<α<),求cos(α+)的值. 7.已知向量=(cosx,sinx),=(3,﹣),x∈[0,π]. (1)若∥,求x的值; (2)记f(x)=,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 8.已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式; (2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(2a﹣c)cosB=bcosC,求的取值围. 9.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示,M 为最高点,该图象与y轴交于点F(0,),与x轴交于点B,C,且△MBC的面积为π. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)若f(α﹣)=,求cos2α的值. 10.已知函数. (Ⅰ)求f(x)的最大值及相应的x值; (Ⅱ)设函数,如图,点P,M,N分别是函数y=g(x)图象的零值点、最高点和最低点,求cos∠MPN的值. 11.设函数f(x)=sin(ωx﹣)+sin(ωx﹣),其中0<ω<3,已知f ()=0.
解三角形大题及答案
(I)求 (II)若,求. 2.(2013四川)在 中,角的对边分别为,且 . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影. 3.(2013山东)设△ 的内角所对的边分别为,且,, . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值. 4.(2013湖北)在 中,角,,对应的边分别是,,.已知 . (I)求角的大小; (II)若的面积,,求的值. 5.(2013新课标)△ 在内角的对边分别为,已知. (Ⅰ)求; (Ⅱ)若 ,求△ 面积的最大值. 6.(2013新课标1)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90° (1)若PB=1 2 ,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA [ 7.(2013江西)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-3sinA)cosB=0. (1) 求角B 的大小; (2)若a+c=1,求b 的取值范围 B sin sin A C = C ABC ?,,A B C ,,a b c 2 3 2cos cos sin()sin cos()25 A B B A B B A C ---++=-cos A a =5b =BA u u u r BC uuu r ABC ,,A B C ,,a b c 6a c +=2b =7 cos 9 B = ,a c sin()A B -ABC ?A B C a b c ()cos23cos 1A B C -+=A ABC ?S =5b =sin sin B C
(I)求 (II)若,求. 【答案】 4.(2013年高考四川卷(理))在 中,角的对边分别为,且 . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影. 【答案】解: 由,得 , 即, 则,即 B sin sin A C = C ABC ?,,A B C ,,a b c 2 3 2cos cos sin()sin cos()25 A B B A B B A C ---++=-cos A a =5b =BA u u u r BC uuu r ()I ()()2 3 2cos cos sin sin cos 25 A B B A B B A C ---++=-()()3 cos 1cos sin sin cos 5 A B B A B B B -+---=-????()()3 cos cos sin sin 5 A B B A B B ---=- ()3cos 5A B B -+=- 3cos 5 A =-
高考数学三角函数与解三角形练习题
三角函数与解三角形 一、选择题 (2016·7)若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移 12 π个单位长度,则平移后图象的对称轴为( ) A .()26k x k Z ππ =-∈ B .()26k x k Z ππ =+∈ C .()212 k x k Z ππ =-∈ D .()212 k x k Z ππ =+∈ (2016·9)若3 cos( )45 π α-=,则sin 2α =( ) A . 725 B .15 C .1 5 - D .7 25 - (2014·4)钝角三角形ABC 的面积是12 ,AB =1,BC ,则AC =( ) A .5 B C .2 D .1 (2012·9)已知0>ω,函数)4sin()(π ω+ =x x f 在),2(ππ 单调递减,则ω的取值范围是() A. 15 [,]24 B. 13[,]24 C. 1(0,]2 D. (0,2] (2011·5)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y =2x 上,则cos2θ =( ) A .45 - B .35 - C .35 D .45 (2011·11)设函数()sin()cos()(0,||)2 f x x x π ω?ω?ω?=+++>< 的最小正周期为π,且()()f x f x -=, 则( ) A .()f x 在(0,)2π 单调递减 B .()f x 在3(,)44 ππ 单调递减 C .()f x 在(0,)2π 单调递增 D .()f x 在3(,)44 ππ 单调递增 二、填空题 (2017·14)函数()23sin 4f x x x =- (0,2x π?? ∈???? )的最大值是 . (2016·13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若cos 4 5 A = ,1cos 53C =,a = 1,则b = . (2014·14)函数()sin(2)2sin cos()f x x x ???=+-+的最大值为_________. (2013·15)设θ为第二象限角,若1 tan()42 πθ+=,则sin cos θθ+=_________. (2011·16)在△ABC 中,60,B AC ==o 2AB BC +的最大值为 . 三、解答题
解三角形常见题型
绝密★启用前 2014-2015学年度???学校8月月考卷 试卷副标题 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷(选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题(题型注释) 1.在ABC ?中,若00120306===B A a ,,,则△ABC 的面积是= ( ). A .93 B.9 C.183 D.18 【答案】A 【解析】 试题分析:在ABC ?中,0 30180,120,30=--=∴==B A C B A Θ,ABC ?∴是等腰三角形, 6==a c ,由三角形的面积公式得 392 36621sin 21=???== ?B ac S ABC . 考点:解三角形. 2.[2014·广西模拟]在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,ac =3,且a =3bsinA ,则△ABC 的面积等于( ) A. 12 B.32 C.1 D.34 【答案】A 【解析】∵a =3bsinA ,∴由正弦定理得sinA =3sinBsinA.∴sinB = 1 3 .∵ac =3,∴△ABC 的面积S =12acsinB =12×3×13=1 2 ,故选A.
第II 卷(非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题(题型注释) 3.在ABC ?中,已知tan AB AC A ?=u u u r u u u r ,当6 A π =时,ABC ?的面积为________. 【答案】1 6 【解析】由tan AB AC A ?=u u u r u u u r 得,tan tan 26||||cos tan ,||||cos 3 cos 6 A AB AC A A AB AC A π π?=?== =u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以,11221 ||||sin sin 223636 ABC S AB AC A π?=?=??==u u u r u u u r . 考点:平面向量的数量积、模,三角形的面积. 4.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,已知a 、b 、c 成等比数列,且a 2 -c 2 =ac -bc ,则A =________,△ABC 的形状为________. 【答案】60° 正三角形 【解析】∵a 、b 、c 成等比数列,∴b 2 =ac . 又a 2-c 2=ac -bc ,∴b 2+c 2-a 2 =bc . 在△ABC 中,由余弦定理得cos A =2222b c a bc +-=2bc bc =1 2 ,∴A =60°. 由b 2 =ac ,即a =2b c ,代入a 2-c 2 =ac -bc , 整理得(b -c )(b 3+c 3+cb 2 )=0, ∴b =c ,∴△ABC 为正三角形. 三、解答题(题型注释) 5.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ,设S 为△ABC 的面积,且 22 2)S b c a = +-。 (Ⅰ)求角A 的大小; (Ⅱ)若6a =,求△ABC 周长的取值范围. 【答案】(1)3 π = A ;(2)周长的取值范围是(12,18]. 【解析】 试题分析:(1)在解决三角形的问题中,面积公式
解三角形大题专练(2020更新)
解三角形大题专练 1.(2018·北京)在△ABC 中,a =7,b =8,cos B =-1 7. (1)求∠A ; (2)求AC 边上的高. 解 (1)在△ABC 中,因为cos B =-1 7, 所以sin B =1-cos 2 B =43 7 . 由正弦定理得sin A = a sin B b =3 2 . 由题设知π2<∠B <π,所以0<∠A <π 2, 所以∠A =π 3. (2)在△ABC 中, 因为sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =33 14 , 所以AC 边上的高为a sin C =7×3314=33 2 . 2.在△ABC 中,∠A =60°,c =3 7 a . ①求sin C 的值; ②若a =7,求△ABC 的面积. [解析](2)(文)①在△ABC 中,因为∠A =60°,c =3 7a , 所以由正弦定理得sin C = c sin A a =37×32=33 14 . ②因为a =7,所以c =3 7 ×7=3. 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A 得72=b 2+32 -2b ×3×12, 解得b =8或b =-5(舍). 所以△ABC 的面积S =12bc sin A =12×8×3×3 2 =6 3.
3.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin(A +C )=8sin 2 B 2 . ①求cos B ; ②若a +c =6,△ABC 的面积为2,求b . (理)①解法一:∵sin(A +C )=8sin 2 B 2, ∴sin B =8sin 2 B 2,即2sin B 2·cos B 2=8sin 2 B 2, ∵sin B 2>0,∴cos B 2=4sin B 2 , ∴cos 2B 2=1-sin 2B 2=16sin 2B 2,∴sin 2B 2=117 ∴cos B =1-2sin 2B 2=1517 . 解法二:由题设及A +B +C =π得sin B =8sin 2 B 2,故sin B =4(1-cos B ). 上式两边平方,整理得17cos 2 B -32cos B +15=0, 解得cos B =1(舍去),cos B =15 17 . ②由cos B =1517得sin B =817,故S △ABC =12ac sin B =4 17ac . 又S △ABC =2,则ac =17 2. 由余弦定理及a +c =6得, b 2=a 2+ c 2-2ac cos B =(a +c )2-2ac (1+cos B ) =36-17×32 17 =4,∴b =2. 4.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知. (1)求tanC 的值; (2)若△ABC 的面积为3,求b 的值。 【答案】(1)2;(2)3. 【思路分析】(1)根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系,再将式子作三角恒等变形即可求解;(2)根据条件首先求得sinB 的值,再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解. 2221 ,42 A b a c π =-=
2019年三角函数和解三角形大题
2018-2019学年高三一模理分类---三角函数和解三角形 海淀(理) (15)(本小题满分13分) 已知函数()cos()cos 4 f x x x a π =-+ (Ⅱ)求a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调递增区间. 文)已知函数()cos()cos 4 f x x x a π =-+的图象经过点(O,l),部分图象如图所示. (I)求a 的值; (Ⅱ)求图中0x 的值,并直接写出函数()f x 的单调递增区间. 朝阳 (理)15.(本小题满分13分) 在ABC △中,a ,120A ∠=?,ABC △b c <. (Ⅰ)求b 的值; (Ⅱ)求cos 2B 的值. (文)15.(本小题满分13分) 已知函数2 ()cos cos f x x x x =. (Ⅰ)求( )3 f π 的值及()f x 的最小正周期; (Ⅱ)若函数()f x 在区间[0,]m 上单调递增,求实数m 的最大值. 石景山
(文 理)15. (本小题13分) 在ABC △中,角A B C , ,的对边分别为a b c ,, ,b=3c =,1 cos 3 B=-. (Ⅰ)求sin C 的值; (Ⅱ)求ABC △的面积. 丰台 (理)15.(本小题13分) 已知函数2()cos(2)2sin ()3f x x x a a π =--+∈R ,且()03 f π=. (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)若()f x 在区间[0,]m 上是单调函数,求m 的最大值. 延庆 (理)15.(本小题满分13分) 如图,在ABC ?中,点D 在BC 边上,cos ADB ∠=,3cos =5 C ∠,7AC =. sin CA D ∠(求Ⅰ)的值; (Ⅱ)若10BD =, 求AD 的长及ABD ?的面积. 怀柔 15.(本小题满分13分) 在 中,角,,所的对边分别是a ,b ,c , , . (Ⅰ)求边c 的值; (Ⅱ)若,求 的面积. 门头沟 A D B C
必修五解三角形常考题型非常全面
必修五解三角形常考题型 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1:利用正弦定理解三角形 例1 在V ABC 中,已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化,利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 解:::1:2:3,A . ,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin :1 2.6 3 2 2A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== =Q 而 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式,要做到灵活应用。 例2在ABC 中,已知 ,C=30°,求a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数,然后再求解。 解:∵C=30°, ,∴由正弦定理得: sin sin sin a b c A B C === ∴ )sin (150°-A ). ∴ )[sinA+sin(150° )·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos(75°-A) ① 当75°-A=0°,即A=75°时,a+b 取得最大值 2 ; ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A <150°,∴0°<A <150°, ∴-75°<75°-A <75°,∴cos75°<cos(75°-A)≤1, ∴> 2 cos75° = 2 × 4 . 综合①②可得a+b 的取值范围为 ,8+ 考察点2:利用正弦定理判断三角形形状 例3在△ABC 中,2 a ·tanB=2 b ·tanA ,判断三角形ABC 的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系,利用角的关系判断△ABC 的形状。
解三角形大题经典练习
解三角形大题经典练习
高考大题练习(解三角形1) 1在"BC中,内角A*的对边分别为a,b,c,已知co TZ 普 cosB (1)求哑的值;(2)若cos^1,^2,求:ABC的面积S . sin A 4 C 2、在.ABC中,角A, B,C的对边分别是a,b,c,已知si nC?cosC=1-s in . 2 (1)求sin C的值; (2)若a2 b2=4(a b) -8,求边c 的值. 3、在. ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c . ■TT d (1)若sin(A ^2 cos A,求A 的值;(2)若cosA= —,b=3c,求sinC 的值. 6 3 5 3 4、- ABC 中,D 为边BC 上的一点,BD=33,sin B ,cos ADC ,求AD . 13 5 高考大题练习(解三角形1、在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知 1 a =1, b =2, cosC 二- 4 (1)求ABC的周长;(2)求cos(A-C)的值. 2、在ABC中,角A, B,C的对边分别是a,b,c .已知si n A ? si nC二psi nB(p?R),且 ac」b2. (1)当p =5,b =1时,求a,c的值;(2)若角B为锐角,求p的取值范围. 4 4 3、在ABC 中,角A, B,C 的对边分别是a,b,c .且2asi nA = (2b,c)si nB,(2c,b)si nC . (1)求A的值;(2)求sin B sinC的最大值. 1 4、在ABC中,角A, B,C的对边分别是a,b,c,已知cos2C - 4
(1)求sinC 的值;(2)当a=2,2s in A=s in C 时,求b,c 的长. 高考大题练习(解三角形3) A 2x15 T 1、在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足cos , AB A^ 3 . 2 5
(完整版)高中数学必修五解三角形测试题及答案
(数学5必修)第一章:解三角形 [基础训练A 组] 一、选择题 1.在△ABC 中,若0 30,6,90===B a C ,则b c -等于( ) A .1 B .1- C .32 D .32- 2.若A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( ) A .A sin B .A cos C .A tan D . A tan 1 3.在△ABC 中,角,A B 均为锐角,且,sin cos B A >则△ABC 的形状是( ) A .直角三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 D .等腰三角形 4.等腰三角形一腰上的高是3,这条高与底边的夹角为060,则底边长为( ) A .2 B . 2 3 C .3 D .32 5.在△ABC 中,若B a b sin 2=,则A 等于( ) A .006030或 B .006045或 C .0060120或 D .0015030或 6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A .090 B .0120 C .0135 D .0150 二、填空题 1.在Rt △ABC 中,090C =,则B A sin sin 的最大值是_______________。 2.在△ABC 中,若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3.在△ABC 中,若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4.在△ABC 中,若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13,则C =_____________。 5.在△ABC 中,,26-= AB 030C =,则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 1. 在△ABC 中,若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么?
必修五解三角形常考题型
必修五解三角形常考题型1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1:利用正弦定理解三角形 例1在ABC中,已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 例2在ABC中,已知,C=30°,求a+b的取值范围。 考察点2:利用正弦定理判断三角形形状 例3在△ABC中,2a·tanB=2b·tanA,判断三角形ABC的形状。
例4在△ABC 中,如果lg lg lg sin a c B -==-,并且B 为锐角,试判断此三角形的形状。 考察点3:利用正弦定理证明三角恒等式 例5在△ABC 中,求证 222222 0cos cos cos cos cos cos a b b c c a A B B C C A ---++=+++.
例6在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,C=2B ,求证2 2 c b ab -=. 考察点4:求三角形的面积 例7在△ABC 中,a,b,c 分别是三个内角A,B,C 的对边,若2,,cos 4 25 B a C π == =,求△ABC 的面积S.
例8已知△ABC 中a,b,c 分别是三个内角A,B,C 的对边,△ABC 的外接圆半径为12,且3 C π =, 求△ABC 的面积S 的最大值。 考察点5:与正弦定理有关的综合问题 例9已知△ABC 的内角A,B 极其对边a,b 满足cot cot ,a b a A b B +=+求内角C 例10在△ABC 中,A ,B ,C 所对的边分别为a,b,c,且c=10, cos 4 cos 3 A b B a ==,求a,b 及△ABC
解三角形高考大题-带答案汇编
解三角形高考大题,带答案 1. (宁夏17)(本小题满分12分) 如图,ACD △是等边三角形,ABC △是等腰直角三角形, 90ACB =∠,BD 交AC 于E ,2AB =. (Ⅰ)求cos CAE ∠的值; (Ⅱ)求AE . 解:(Ⅰ)因为9060150BCD =+=∠, CB AC CD ==, 所以15CBE =∠. 所以62 cos cos(4530)4 CBE +=-=∠. ···················································· 6分 (Ⅱ)在ABE △中,2AB =, 由正弦定理 2 sin(4515)sin(9015) AE =-+. 故2sin 30 cos15 AE = 122 624 ? = +62=-. 12分 2. (江苏17)(14分) 某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处,已知AB=20km ,BC=10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上(含边界),且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO 、BO 、OP ,设排污管道的总长为ykm 。 (1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO=θ(rad ),将y 表示成θ的函数关系式; ②设OP=x (km ),将y 表示成x 的函数关系式; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短。 【解析】:本小题考查函数的概念、 解三角形、导数等基本知识,考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。 (1)①由条件知PQ 垂直平分AB ,若∠BAO=θ(rad ),则10 cos cos AQ OA BAO θ = =∠, 故10 cos OB θ = 又1010OP tan θ=-,所以1010 1010cos cos y OA OB OP tan θθθ =++= ++- B A C D E B C D A O P
最新解三角形测试题(附答案)
解三角形单元测试题 一、选择题: 1、在△ABC 中,a =3,b =7,c =2,那么B 等于( ) A . 30° B .45° C .60° D .120° 2、在△ABC 中,a =10,B=60°,C=45°,则c 等于 ( ) A .310+ B .( ) 1310 - C .13+ D .310 3、在△ABC 中,a =32,b =22,B =45°,则A 等于( ) A .30° B .60° C .30°或120° D . 30°或150° 4、在△ABC 中,a =12,b =13,C =60°,此三角形的解的情况是( ) A .无解 B .一解 C . 二解 D .不能确定 5、在△ABC 中,已知bc c b a ++=2 2 2 ,则角A 为( ) A . 3 π B . 6 π C .32π D . 3π或32π 6、在△ABC 中,若B b A a cos cos =,则△ABC 的形状是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形 D .等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1,3,a ,则a 的范围是( ) A .()10,8 B . ( ) 10,8 C . ( ) 10,8 D . ()8,10 8、在△ABC 中,已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .正三角形 9、△ABC 中,已知===B b x a ,2, 60°,如果△ABC 两组解,则x 的取值范围( ) A .2>x B .22020年高考数学三角函数与解三角形大题精做
2020年高考数学三角函数与解三角形大题精做例题一:在△ ABC中,内角A , B , C所对的边分别为a , b , c,已知m n cosC,cos A,且m n . (1)求角A的大小; (2 )若b c 5 , △ ABC的面积为3,求a . n,AB 4 , BC .17,点D 在AC 边上,且cos (1 )求BD的长; (2)求△ BCD的面积. 例题三:△ ABC的内角A , B , C的对边分别为a , b , c,已知a 2c cosB bcosA 0 .a,c 2b , 例题二:如图,在厶ABC中,
(1 )求B ; (2)若b 3 , △ ABC的周长为3 2 3,求△ ABC的面积. 例题四:已知函数f x cos2 x 2 3 sin xcosx sin2 x . (1)求函数y f x的最小正周期以及单调递增区间; (2)已知△ ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若fC 1,c 2,sinC sin B A 2sin 2A,求△ ABC 的面积.
例题一:【答案】(1) A -; (2) a .13 . 3 【解析】(1)由m n ,可得 m n 0 ,艮卩2b cos A acosC ccosA , 即 2sin B cos A sin AcosC sin C cosA ,即 2sin BcosA sin A C , ?/ sin A C sin n B sin B , / ? 2sin B cosA sin B ,即 sin B 2cos A 1 0 , ?/ 0 B n, ? sin B 0 , ? cosA 1 2 ?/ 0 A n, ? A n . 3 (2) 由S A ABC J /3,可得 S A ABC 1 - bcsin A 3 , ? bc 4 , 2 又b c 5 , 由余弦定理得 2 .2 a b 2 2 c 2bccosA b c 3bc 13 ? a 13 . 例题二:【答案】(1) 3; ( 2) 4 2 . 【解析】(1)在△ ABD 中, ■/ cos ADB 1 ,? sin ADB 3 22 3 , BD AB ABsi n BAD 4 2 -Z 3 由正弦疋理一 ,? BD sin BAD sin ADB ' sin ADB 2 2 3 (2) ?/ ADB CDB n, 1 cos ADB -. 3 2 1 得 17 9 CD 2 2 3CD -,解得 CD 4或 CD 2 (舍). 3 2 例题三:【答案】(1) B 2 n; (2) S\ABC ??? △ BCD 的面积S -BD CD sin CDB 2 22 3 3.3 4 二 cos CDB cos n ADB 二 sin CDB sin n ADB sin ADB CDB 在厶BCD 中,由余弦定理 BC 2 3 2 BD 2 2 CD 2 2BD CD cos CDB ,
解三角形专题题型归纳
解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳(★☆注重细节,熟记考点☆★) 1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径) 变式:12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式) 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =() sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2.正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况). 3.余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边. 注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用),统一成边的形式或角的形式. 5.常用的三角形面积公式 (1)高底??=?2 1ABC S ; (2)()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 (两边夹一角); 6.三角形中常用结论 (1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中,即大边对大角,大角对大边) (3)在ABC ?中,A B C π++=,所以 ①()sin sin A B C +=;②()cos cos A B C +=-; ③()tan tan A B C +=-;④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角
解三角形大题与答案36029
1.(2013大纲)设ABC ?的角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=. (I)求B (II)若31 sin sin 4 A C -= ,求C . 2.(2013)在 ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且 2 3 2cos cos sin()sin cos()25 A B B A B B A C ---++=-. (Ⅰ)求cos A 的值; (Ⅱ)若42a =,5b =,求向量BA u u u r 在BC uuu r 方向上的投影. 3.(2013)设△ ABC 的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7 cos 9 B = . (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值. 4.(2013)在ABC ?中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos23cos 1A B C -+=. (I)求角A 的大小; (II)若ABC ?的面积53S =,5b =,求sin sin B C 的值. 5.(2013新课标)△ABC 在角 ,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (Ⅰ)求B ; (Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值. 6.(2013新课标1)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P 为△ABC 一点,∠BPC=90° (1)若PB=1 2 ,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan ∠PBA [ 7.(2013)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA- sinA)cosB=0.
解三角形专题高考题练习附答案
解三角形专题 1、在ABC ?中,已知内角3 A π = ,边BC =设内角B x =,面积为y . (1)求函数()y f x =的解析式和定义域; (2)求y 的最大值. 3、在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别是a ,b ,c ,且.2 1 222ac b c a =-+ (1)求B C A 2cos 2 sin 2++的值; (2)若b =2,求△ABC 面积的最大值. 4、在ABC ?中,已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量(2sin ,m B =, 2cos 2,2cos 12B n B ? ?=- ?? ?,且//m n 。 (I )求锐角B 的大小; (II )如果2b =,求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。 5、在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且.cos cos 3cos B c B a C b -= (I )求cos B 的值; (II )若2=?,且22=b ,求c a 和b 的值.
6、在ABC ?中,cos A = ,cos B =. (Ⅰ)求角C ; (Ⅱ)设AB =,求ABC ?的面积. 7、在△ABC 中,A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ,已知向量(1,2sin )m A =u r , (sin ,1cos ),//,.n A A m n b c =++=r u r r 满足 (I )求A 的大小;(II )求)sin(6π+B 的值. 8、△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且有sin2C+3cos (A+B )=0,.当13,4==c a ,求△ABC 的面积。 9、在△ABC 中,角A 、B 、C 所对边分别为a ,b ,c ,已知1 1tan ,tan 2 3 A B ==,且最长边的边长为l.求: (I )角C 的大小; (II )△ABC 最短边的长.
解三角形大题专项训练
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知. (Ⅰ)求cosA的值; (Ⅱ)的值. 2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知. (1)求的值; (2)若cosB=,△ABC的周长为5,求b的长. 3.△ABC的三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c,asinAsinB+bcos2A=a.(Ⅰ)求; (Ⅱ)若C2=b2+a2,求B. 4.在△ABC中,角A,B,C的对边是a,b,c,已知3acosA=ccosB+bcosC (1)求cosA的值 (2)若a=1,,求边c的值.
5.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c (1)若,求A的值; (2)若,求sinC的值. 6.△ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a=1,b=2,cosC= (I)求△ABC的周长; (II)求cos(A﹣C)的值. 7.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知cos2C=.(I)求sinC的值; (Ⅱ)当a=2,2sinA=sinC时,求b及c的长.
8.设△ABC的角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3b2+3c2﹣3a2=4bc. (Ⅰ)求sinA的值; (Ⅱ)求的值. 9.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(Ⅰ)求A的大小; (Ⅱ)求sinB+sinC的最大值. 10.在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且. (1)确定角C的大小; (2)若,且△ABC的面积为,求a+b的值.
11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为,. (Ⅰ)求sinC的值; (Ⅱ)求△ABC的面积. 12.设△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=60°,c=3b.求:(Ⅰ)的值; (Ⅱ)cotB+cot C的值. 13.△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,求: (Ⅰ)A的大小; (Ⅱ)2sinBcosC﹣sin(B﹣C)的值.
解三角形练习题及答案
解三角形练习题及答案 解三角形习题及答案 、选择题(每题5分,共40分) 1、己知三角形三边之比为5 : 7 : 8,则最大角与最小角的和为(). A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 2、在厶ABC中,下列等式正确的是(). A. a : b=Z A :Z B B . a : b= sin A : sin B C. a : b= sin B : sin A D . asin A= bsin B 1 : 2 : 3,则它们所对的边长之比为( 3、若三角形的三个内角之比为 A. 1 : 2 : 3 B . 1 : 3 : 2 C . 1 : 4 : 9 D . 1 :;』2 : 3 4、在厶ABC中,a= V5 , b= 尿,/ A= 30 °贝卩c等于(). A. 2 5 B. --:5C . 2 ;5或■、5 D. . 10或■,5 5、已知△ ABC中,/ A= 60° a=76 , b= 4,那么满足条件的厶ABC的形 状大小(). A .有一种情形B.有两种情形
C .不可求出 D .有三种以上情形 6、在厶ABC 中,若a2+ b2—c2v 0,则4 ABC 是(). A .锐角三角形B.直角三角形 C .钝角三角形 D .形状不能确定 7、sin7cos37 -sin 83 sin 37 的值为( ) A.—一 2 B. 1 2 C. 1 2 n 3 D.— — 8、化简1 T:等于( ) A. 3 B.二 C. 3 D. 1 2 二、填空题(每题5分,共20分) 9、已知cos a —cos B 二丄,sin a —sin 3 =丄,贝S cos (a —B )= . 2 3 10、在厶ABC 中,/ A= 105° / B= 45° c=忑,贝S b= _____________ . a + b + c 你在厶ABC 中,/ A= 60° a= 3,则sinA + sinB + sinC = --------- ? 12、在厶ABC中,若sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4,则最大角的余弦值等于__ . 班别:__________ 姓名: _____________ 序号:_______ 得分: _______ 9、______ 10、_______ 11、 ________ 12、__________
三角函数与解三角形大题部分-高考数学解题方法训练
专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断; 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形; 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数; 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式; 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式; 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、(浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文) 已知函数. (1).求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间; (2).当时,求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】(1)π, (2) 【解析】 (1) ,π=T , 单调递增区间为; (2)
∴当时,,∴. 当时,,∴. 2、(河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文)试卷)已知中,角所对的边分别是,且,其中是的面积,. (1)求的值; (2)若,求的值. 【答案】 (1);(2). (2),所以,得①, 由(1)得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、(湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题)已知函数f(x)=sin(ωx+)- b(ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f(x)的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数. (1)求f(x)的解析式并写出单增区间; (2)当x∈,f(x)+m-2<0恒成立,求m取值范围. 【答案】