北京高三理科解三角形大题专题(带答案)

解三角形大题专题

（2014石景山一模）15．（本小题满分13分）

在△中，角的对边分别为，且

．（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，，求边的长和△的面积．

（2014西城一模）15．（本小题满分13分）

在△

ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知．

（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）如果，，求△ABC 的面积．

ABC A B C ，

，a b c ，，a b c <<2sin b A =B 2a =b =c ABC 222b c a bc +=+A cos =B 2b =

（2014海淀二模）15.（本小题满分13分）

在锐角中，且. （Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）若，求的值.

（2015西城二模）15．（本小题满分13 分）

在锐角△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a

，b ＝3，

．

（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．

ABC

?a A

=b =B 3a c =c

（2013丰台二模）15．（13分）

已知ABC ?的三个内角分别为A,B,C,且22sin ()2.B C A += （Ⅰ）求A 的度数；

（Ⅱ）若7,5,BC AC ==求ABC ?的面积S .

（2014延庆一模）15．（本小题满分13分）

在三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且2=a ，4

=C ，5

3cos =

B ．（Ⅰ）求A sin 的值；（Ⅱ）求AB

C ?的面积．

（2015顺义一模）15.（本小题满分13分）

在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知,s i n 3

b B ==

, 2

B A π

(I)求a 的值;

(II)求cos C 的值.

（2016东城一模）（15）（本小题共13分）

在△ABC 中，BC =2AC =，且()cos 2

A B +=-．（Ⅰ）求AB 的长度；

（Ⅱ）若()sin(2)f x x C =+，求()y f x =与直线y =

相邻交点间的最小距离．

（2015延庆一模）15.（本小题满分13分） ABC ?中，2=BC ,θ=∠ABC . （Ⅰ）若5

cos

，5=AB ,求AC 的长度；（Ⅱ）若6

=∠BAC ，)(θf AB =，求)(θf 的最大值.

（2016西城一模）15．（本小题满分13分）

在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设3

A π

=，sin 3sin B C =．

（Ⅰ）若a =

b 的值；

（Ⅱ）求tan C 的值．

（2014朝阳二模）15.（本小题满分13分）

在中，角，，的对边分别是，，，且，，的面

．（I ）求边的边长；

（II ）求的值．

（2015东城一模）（15）（本小题共13分）

在△ABC 中，2b =，3

cos 4

C =，△ABC ．

（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求sin 2A 值．

ABC △A B C a b c 2π

A =3b =ABC △a cos2B

（2015海淀二模）（15）（本小题满分13分）

在ABC ?中，5c =

，b =

a A =. （Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）求证：2B A ∠=∠.

（2014顺义一模）15.（本小题共13分）

已知ABC ?中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且满足)

sin cos 3(sin A A A +2

（1）求角A ；

（2）若22=a ，，求c b 、的值

32=?ABC S

（2015石景山期末）15．（本小题共13分）

如图所示，在四边形ABCD 中， AB DA ⊥，CE =，23

ADC π

∠=

；E 为AD 边上一点，1DE =，2EA =，3

BEC π

∠=.

（Ⅰ）求sin ∠CED 的值；（Ⅱ）求BE 的长．

（2015朝阳二模）15．（本小题共13分）

在梯形ABCD 中，

（Ⅰ）求AC 的长；

（Ⅱ）求梯形ABCD 的高．

（2015丰台二模）15.（本小题共13分）

在△ABC 中，30A ?

=，52=BC ，点D 在AB 边上，且BCD ∠为锐角，2CD =，

△BCD 的面积为4．

（Ⅰ）求cos BCD ∠的值；（Ⅱ）求边AC 的长．

（2016海淀一模）15．（本小题满分13 分）如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且1

AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β．（Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC β

；

（Ⅱ）若,,6

AB π

αβ=

=BC 的长．

（2015房山一模）15．（本小题共13分）

已知函数2()sin(2)2cos 1()6

f x x x x π

-∈+R .

（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()12

f A =

，且△ABC

，求a 的值.

（2013石景山一模）15．（本小题满分13分）

已知函数()sin(2)cos26

f x x x π

+．

（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知()2f A =,2a =，

B π

=，求△ABC 的面积．

（2013朝阳二模）15.（13分）

在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2

()2c o s s i n (

)s i n 22

A A

f A =π-+-2

c o s

. （Ⅰ）求函数()f A 的最大值；

（Ⅱ）若()0,,12

f A C a 5π

=b 的值．

（2014东城一模）15. （本小题共13分）在ABC ?中，

a A cos 3sin = （1）求角B 的值；

（2）如果2=b ，求ABC ?面积的最大值

（2013东城一模）（15）（13分）

在△中，三个内角，，的对边分别为，，，且．（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，求的最大值．

（2014丰台二模）（15）（本小题满分13分）

已知△ABC 中，∠A , ∠B , ∠C 的对边长分别为,,a b c ,且2

3a b ab +=+,60o C =. （Ⅰ）求c 的值；

（Ⅱ）求a b +的取值范围.

ABC A B C a b

c sin cos b A B =

B b =ac

（2014石景山一模） 15．（本小题满分13分）

2sin b A =，

2sin sin A B A =，…………………………2分

因为0A π<<，所以sin 0A ≠，

所以sin 2

B =

， ………………………… 4分

因为0B π<<，且a b c <<，所以60B =．…………………………6分

（Ⅱ）因为2a =，b =

所以由余弦定理得2

2222

c c =+-???

，即2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍），

所以c 边的长为3．…………………………10分

11=sin 232222

ABC S ac B ?=???=

．…………………………13分

（2014西城一模） 15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为222b c a bc +=+，

所以2221

cos 22

b c a A bc +-==，……………………………… 3分

又因为(0,π)∈A ，

所以π

A =

．……………………………… 5分

（Ⅱ）解：因为cos 3

B ，(0,π)∈B ，

所以sin B ==

．……………………………7分由正弦定理

sin sin =a b

A B ，………………………………9分得sin 3sin =

=b A

a B

．……………………………10分因为222b c a bc +=+，

所以2250--=c c ，

解得1=c 因为0>c ，

所以1=

c ．……………………………11分

故△ABC 的面积1sin 22

S bc A ==

．……………………………13分

（2014海淀二模） 15.

解

：

（

Ⅰ

）由正弦定理可得

sin sin a b

A B

----------------------------2分

因为,a A b ==

所以sin sin b A B a =

== ---------------------------5分在锐角ABC ?中，60B = ---------------------------7分（Ⅱ）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ----------------------------9分

又因为3a c =

所以2222193c c c =+-，即23c =-------------------------------11分

解得c = -------------------------------12分

经检验，由222cos 0

2b c a A bc +-=

=<可得90A >，不符合题意，

所以c =舍去.--------------------13分

（2015西城二模）

（2013丰台二模）

15．解: （Ⅰ） 22sin ()2.B C A +=

22sin cos A A A ∴=, ……………………….2分

sin 0,sin ,tan A A A A ≠∴=∴=……………………….4分

60,0=∴<

（Ⅱ）在ABC ?中,

60cos 22

??-+=AC AB AC AB BC ,7,5,BC AC ==

,525492AB AB -+=∴8,02452=∴=--∴AB AB AB 或3-=AB (舍), (10)

分

3102

3852160sin 21=???=??=

∴? AC AB S ABC . …………………….13分

（2014延庆一模） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 5

3cos =

B ，∴54

sin =B ……………………1分

∴)sin(sin C B A +=……………………2分

C B C B sin cos cos sin +=……………………4分

722532254=

?+?=……………………6分（Ⅱ）

A a

B b sin sin =……………………8分 10

27254=

∴

b ， 7

∴b ……………………10分 C ab S ABC sin 2

π<<, ……........................................................

...................................

.......4分

(

=-== ...........................................5分

==. ...........................7分

cos A ===. ...........................................9分

又

sin ,cos 33

B B =

=-, ...........................................10分所

.................................

..........11分

..........................

(12)

分cos cos sin sin 33333

A B A B

=-+??=--+? ? ???

...........................................13分

（2016东城一模）

（15）（本小题共13分）

解：（Ⅰ）Q ()()cos cos cos 2

222222cos 2AB AC BC AC BC C ∴=+-?=+- 4=

，k Z ∈ ，解得1124x k π=π+

或22524

x k π

=π+，12,k k Z ∈. 因为 1212()66

θ=-=?-= …………………2分 ∴2222cos AC AB BC AB BC θ=+-?? 32542525

===- ……………………9分 54sin()6AB π

()f θ的最大值为4 …………………………13分

（2016西城一模） 15．（本小题满分13分） (1)解：因为sin 3sin B C =，由正弦定理

sin sin sin a b c

A B C

，得3b c =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-及π

A =

，a =227b c bc =+- 所以2

（2014朝阳二模） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由1sin 2ABC S bc A ?=

得，13sin 23ABC S c ?2π=??=．所以5c =．

由2222cos a b c bc A =+-得，2

=-=．……………13分（2015东城一模）

a=-（舍）. ………………6分sin sin

a b

A B

sin B

解三角形大题及答案

(I)求 (II)若,求. 2．（2013四川）在中,角的对边分别为,且 . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影. 3．（2013山东）设△ 的内角所对的边分别为,且,, . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值. 4．（2013湖北）在中,角,,对应的边分别是,,.已知 . (I)求角的大小; (II)若的面积,,求的值. 5．（2013新课标）△ 在内角的对边分别为,已知. (Ⅰ)求; (Ⅱ)若 ,求△ 面积的最大值. 6．（2013新课标1）如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90° (1)若PB=1 2 ,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA [ 7．（2013江西）在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-3sinA)cosB=0. (1) 求角B 的大小; (2)若a+c=1,求b 的取值范围 B sin sin A C = C ABC ?,,A B C ,,a b c 2 3 2cos cos sin()sin cos()25 A B B A B B A C ---++=-cos A a =5b =BA u u u r BC uuu r ABC ,,A B C ,,a b c 6a c +=2b =7 cos 9 B = ,a c sin()A B -ABC ?A B C a b c ()cos23cos 1A B C -+=A ABC ?S =5b =sin sin B C

(I)求 (II)若,求. 【答案】 4．（2013年高考四川卷（理））在中,角的对边分别为,且 . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影. 【答案】解: 由,得 , 即, 则,即 B sin sin A C = C ABC ?,,A B C ,,a b c 2 3 2cos cos sin()sin cos()25 A B B A B B A C ---++=-cos A a =5b =BA u u u r BC uuu r ()I ()()2 3 2cos cos sin sin cos 25 A B B A B B A C ---++=-()()3 cos 1cos sin sin cos 5 A B B A B B B -+---=-????()()3 cos cos sin sin 5 A B B A B B ---=- ()3cos 5A B B -+=- 3cos 5 A =-

解三角形大题专练(2020更新)

解三角形大题专练 1．(2018·北京)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－1 7. (1)求∠A ； (2)求AC 边上的高．解 (1)在△ABC 中，因为cos B ＝－1 7，所以sin B ＝1－cos 2 B ＝43 7 . 由正弦定理得sin A ＝ a sin B b ＝3 2 . 由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π 2，所以∠A ＝π 3. (2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33 14 ，所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝33 2 . 2.在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝3 7 a . ①求sin C 的值； ②若a ＝7，求△ABC 的面积． [解析](2)(文)①在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝3 7a ，所以由正弦定理得sin C ＝ c sin A a ＝37×32＝33 14 . ②因为a ＝7，所以c ＝3 7 ×7＝3. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得72＝b 2＋32 －2b ×3×12，解得b ＝8或b ＝－5(舍)．所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×3 2 ＝6 3.

3.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2 B 2 . ①求cos B ； ②若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b . (理)①解法一：∵sin(A ＋C )＝8sin 2 B 2， ∴sin B ＝8sin 2 B 2，即2sin B 2·cos B 2＝8sin 2 B 2， ∵sin B 2>0，∴cos B 2＝4sin B 2 ， ∴cos 2B 2＝1－sin 2B 2＝16sin 2B 2，∴sin 2B 2＝117 ∴cos B ＝1－2sin 2B 2＝1517 . 解法二：由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2 B 2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2 B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝15 17 . ②由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝4 17ac . 又S △ABC ＝2，则ac ＝17 2. 由余弦定理及a ＋c ＝6得， b 2＝a 2＋ c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－17×32 17 ＝4，∴b ＝2. 4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知. （1）求tanC 的值；（2）若△ABC 的面积为3，求b 的值。【答案】（1）2；（2）3. 【思路分析】（1）根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式子作三角恒等变形即可求解；（2）根据条件首先求得sinB 的值，再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解. 2221 ,42 A b a c π =-=

解三角形大题经典练习

高考大题练习（解三角形1） 1在"BC中，内角A*的对边分别为a，b，c，已知co TZ 普 cosB （1）求哑的值；（2）若cos^1,^2，求：ABC的面积S . sin A 4 C 2、在.ABC中，角A, B,C的对边分别是a,b,c，已知si nC?cosC=1-s in . 2 (1)求sin C的值; (2)若a2 b2=4(a b) -8，求边c 的值. 3、在. ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c . ■TT d (1)若sin(A ^2 cos A，求A 的值；(2)若cosA= —,b=3c，求sinC 的值. 6 3 5 3 4、- ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD=33,sin B ,cos ADC ，求AD . 13 5 高考大题练习（解三角形1、在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知 1 a =1, b =2, cosC 二- 4 （1）求ABC的周长；（2）求cos（A-C）的值. 2、在ABC中，角A, B,C的对边分别是a,b,c .已知si n A ? si nC二psi nB（p?R），且 ac」b2. （1）当p =5,b =1时，求a,c的值；（2）若角B为锐角，求p的取值范围. 4 4 3、在ABC 中，角A, B,C 的对边分别是a,b,c .且2asi nA = （2b，c）si nB，（2c，b）si nC . （1）求A的值；（2）求sin B sinC的最大值. 1 4、在ABC中，角A, B,C的对边分别是a,b,c，已知cos2C - 4

（1）求sinC 的值；（2）当a=2,2s in A=s in C 时，求b,c 的长. 高考大题练习（解三角形3） A 2x15 T 1、在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且满足cos , AB A^ 3 . 2 5

解三角形高考大题-带答案汇编

解三角形高考大题，带答案 1. （宁夏17）（本小题满分12分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形， 90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求cos CAE ∠的值；（Ⅱ）求AE ．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠， CB AC CD ==，所以15CBE =∠．所以62 cos cos(4530)4 CBE +=-=∠． ···················································· 6分（Ⅱ）在ABE △中，2AB =，由正弦定理 2 sin(4515)sin(9015) AE =-+．故2sin 30 cos15 AE = 122 624 ? = +62=-． 12分 2. （江苏17）（14分）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。（1）按下列要求写出函数关系式： ①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。【解析】：本小题考查函数的概念、解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力。（1）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad )，则10 cos cos AQ OA BAO θ = =∠，故10 cos OB θ = 又1010OP tan θ=-，所以1010 1010cos cos y OA OB OP tan θθθ =++= ++- B A C D E B C D A O P

解三角形大题与答案36029

1．（2013大纲）设ABC ?的角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=. (I)求B (II)若31 sin sin 4 A C -= ,求C . 2．（2013）在 ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且 2 3 2cos cos sin()sin cos()25 A B B A B B A C ---++=-. (Ⅰ)求cos A 的值; (Ⅱ)若42a =,5b =,求向量BA u u u r 在BC uuu r 方向上的投影. 3．（2013）设△ ABC 的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7 cos 9 B = . (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值. 4．（2013）在ABC ?中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos23cos 1A B C -+=. (I)求角A 的大小; (II)若ABC ?的面积53S =,5b =,求sin sin B C 的值. 5．（2013新课标）△ABC 在角 ,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (Ⅰ)求B ; (Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值. 6．（2013新课标1）如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P 为△ABC 一点,∠BPC=90° (1)若PB=1 2 ,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan ∠PBA [ 7．（2013）在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA- sinA)cosB=0.

解三角形大题专项训练

1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）的值． 2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长． 3.△ABC的三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若C2=b2+a2，求B． 4.在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA的值（2）若a=1，，求边c的值．

5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c （1）若，求A的值；（2）若，求sinC的值． 6.△ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC= （I）求△ABC的周长；（II）求cos（A﹣C）的值． 7.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=．（I）求sinC的值；（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．

8.设△ABC的角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b2+3c2﹣3a2=4bc．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）求的值． 9.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值． 10.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且．（1）确定角C的大小；（2）若，且△ABC的面积为，求a+b的值．

11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面积． 12.设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=60°，c=3b．求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）cotB+cot C的值． 13.△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，求：（Ⅰ）A的大小；（Ⅱ）2sinBcosC﹣sin（B﹣C）的值．