高考数学创新试题赏析

2008年高考数学创新试题赏析

江西省吉水中学 周湖平 331600

纵观2008年全国各地的高考试题，出现了一引些内容立意深，情境设置新、设问方式新或题型结构新的创新试题，它与新课标要求学生“对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和研究，才是解决问题的思路，创造性解决问题”的思想相吻合，体现出高考支持课改并服务于课改的指导思想。突出考查学生的探究能力、创新意识，创新试题构成了高考试题中一道亮丽的风景线。本文将对08年高考全国各地卷中创新试题归纳分析，以供参考。 1 定义新集合

例 1 定义集合运算:{},,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B * 的所有元素之和为 （ ）

A ．0

B ．2

C ．3

D ．6

（2008年江西省数学高考试题） 分析：由题意得，*{0,2,4}A B =，其所有元素和为6，故选D

点评：利用集合描述法中的P 的性质，直接求出Z 的所有可能取值，注意不要遗漏，求解过程中运用了简单的分类讨论思想。新集合在高考中常考常新，如曾经出现的差集、幂集等。

2 定义新函数

例2 设［x ］表示不超过x 的最大整数（如［2］=2, ［

54］=1）,对于给定的n ∈N *,定义[][](1)(1)(1)(1)x n n n n x C x x x x --+=--+L L ，x ∈[)1,+∞,则当x ∈3,32??????

时，函数8x C 的值域是（ ） A.16,283?????? B.16,563??????

C.284,3??? ???[)28,56

D.16284,,2833????? ??????

（2008年湖南省数学高考试题）

分析：依题意，当,2??∈????

3x 2时，[]1x =，此时88164,3x c x ??=∈ ???；[)2,3x ∈当时，[]2=x ，此时8875628,28(1)(1)3x c x x x x ???==∈ ?--??。因此，3,32x ??∈????

当时，函数8x c 的值域是

16284,,2833????? ??????

，故选D 点评：本题是即时定义一个新函数，它是把组合数公式与高斯函数（取整函数）二者交汇而成，设计新颖，构思精妙，意味深长，从另一个方面也说明从课本中找原型、从竞赛课题中找启示成为高考命题的方向。解此题的关键是理解符号函数[]x 的意义，把8x C 化为比较熟悉的函数从而求出其值域，它考查了学生对信息的接受、理解和运用的能力。

3 定义新数表

例4 将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

。 。 。 。 。

根据以上排列规律，数阵中第n （3≥n ）行的从左向右的第3个数是

（2008年江苏省数学高考试题）

分析：该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n-1（3n ≥）行的最后一个数为2(1)(11)222n n n n -+-=-，则第n 行的第3个数为23(3)22

n n n -+≥。 点评：数表其实是数列的一种分拆，不同的分拆方式就会产生不同的数表，本题中的数阵是对正整数数列的一种重排，只要找出其排列规律便不难求得答案，本题以三角形数表为载体，考查了学生观察、归纳、猜想的思维能力。源于杨辉三角的数表蕴含着丰富的性质，数表型试题在各地高考试卷中屡见不鲜，如2008年山东高考试卷第19题：将数列｛a n ｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

a 1

a 2 a 3

a 4 a 5 a 6

a 7 a 8 a 9 a 10

……

记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为｛b n ｝,b 1=a 1=1. S n 为数列｛b n ｝的前n 项和，

且满足＝n N n n S S b b 22-1=（n ≥2）. (Ⅰ)证明数列｛n

S 1｝成等差数列，并求数列｛b n ｝的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当91481-

=a 时，求上表中第k (k ≥3)行所有项和的和.（解答略） 4 定义新图形

例3 体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且

与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正

方形的4个顶点.V 1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V 2为大球

内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是

（A ）V 1=2V

(B) V 2=2V （C ）V 1> V 2 （D ）V 1< V 2

（2008年重庆市数学高考试题） 分析：记大球、小球的体积分别为v 大球、小球v ，半径分别为R 、r ，根据图可以得到12r R =

根据已知条件可得214v v v =-+大球小球v ，即214v v v -=-大球小球v

3

3344243323

R R R πππ??=-?= ???﹥0,所以2v ﹥1v ，故选D 点评：球的组合体，对称和谐，极富美感，要比较其体积大小关系，首先要有较强的空间想象能力，其次要会进行类比推理。通过降维把球看成圆，则问题转化为：面积为S 的大圆内有4个小圆，每个小圆经过大圆的圆心且与大圆有且只有一个交点，4个小圆的圆心是以大圆圆心为中心的4个顶点，设1s 为小圆相交部分的面积，2s 为大圆内、小圆外的部分，比较1s 、2s 和s 的大小关系。而平面上阴影部分面积的求法可通过间接法易得，再进行思维类比获得空间问题解决的方法。

5 定义新数列

例5 对于每项均是正整数的数列12n A a a a L ：，，

，，定义变换1T ，1T 将数列A 变换成数列1()T A ：

12111n n a a a ---L ，，，，． 对于每项均是非负整数的数列12m B b b b L ：，，，，定义变换2T ，2T 将数列B 各项从大到小

排列，然后去掉所有为零的项，得到数列2()T B ；

又定义2221212()2(2)m m S B b b mb b b b =+++++++L L ．

设0A 是每项均为正整数的有穷数列，令121(())(012)k k A T T A k +==L ，

，，． （Ⅰ）如果数列0A 为5，3，2，写出数列12A A ，；

（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A ，证明1(())()S T A S A =；

（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A ，存在正整数K ，当k K ≥时，1()()k k S A S A +=． （2008年北京市数学高考试题）

分析：（Ⅰ） 0532A ：

，，，10()3421T A ：，，，，1210(())4321A T T A =：，，，； 11()43210T A ：，，，，，2211(())4321A T T A =：，，，．

（Ⅱ）设每项均是正整数的有穷数列A 为12n a a a L ，，

，， 则1()T A 为n ，11a -，21a -，L ，1n a -，

从而

112(())2[2(1)3(1)(1)(1)]n S T A n a a n a =+-+-+++-L 222212(1)(1)(1)n n a a a ++-+-++-L ．

又2221212()2(2)n n S A a a na a a a =+++++++L L ，

所以1(())()S T A S A -

122[23(1)]2()n n n a a a =----+++++L L 2122()n n a a a n +-++++L

2(1)0n n n n =-+++=，

故1(())()S T A S A =．

（Ⅲ）设A 是每项均为非负整数的数列12n a a a L ，，

，． 当存在1i j n <≤≤，使得i j a a ≤时，交换数列A 的第i 项与第j 项得到数列B ， 则()()2()j i i j S B S A ia ja ia ja -=+--2()()0j i i j a a =--≤．

当存在1m n <≤，使得120m m n a a a ++====L 时，若记数列12m a a a L ，，

，为C ， 则()()S C S A =．

所以2(())()S T A S A ≤．

从而对于任意给定的数列0A ，由121(())(012)k k A T T A k +==L ，

，， 可知11()(())k k S A S T A +≤．

又由（Ⅱ）可知1(())()k k S T A S A =，所以1()()k k S A S A +≤．

即对于k ∈N ，要么有1()()k k S A S A +=，要么有1()()1k k S A S A +-≤．

因为()k S A 是大于2的整数，所以经过有限步后，必有12()()()k k k S A S A S A ++===L ． 即存在正整数K ，当k K ≥时，1()()k k S A S A +=．

点评：数列是高考重点考查的内容，围绕数列问题创设情境，设计出一些新颖的题目是近几年高考的一大亮点，如07年上海卷的“对称数列”、07年湖北卷的“等方比数列”、06年北京卷的“绝对差数列”、04的北京卷的“等和数列”等，各种新数列精彩纷呈，此类试题形式新颖、内容深远、能力要求广泛、解法多样，能够较好地考查考生的学习能力、逻辑思维能力、应用能力和创新能力等等，因此备受高考命题者的青睐。

6 定义新运算

例 6 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据

组成传输信息．设定原信息为012i a a a a ，{01}∈，（012i =，，）

，传输信息为00121h a a a h ，其中001102h a a h h a =⊕=⊕，，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ）

A ．11010

B ．01100

C ．10111

D ．00011

（2008年陕西省数学高考试题）

分析：代入验证，当传输信息是10111时对应的原来信息是011，由题目里的约定计算0011h =⊕=，而102110h h a =⊕=⊕=，这时传输信息应是10110，与10111矛盾，故选C 。

点评：本题所定义运算规则实质是计算机语言中的二进制运算，引导学生关注生活、注重应用意识，通晓计算机已成为现代公民的基本素养。对于新运算应紧扣新运算法则，通过推导判断，从而获得正确的结论。定义一种新的运算，运用新的运算法则来展开计算，考查学生即学即用的能力，体现了高考命题指导思想提出的“由知识立意向能力立意过渡“的要求。

7 定义新概念

例7设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈R ，都有a+b 、a-b ， ab 、a

b

∈P （除数b ≠0），则称P 是一个数域.例如有理数集Q 是数域；数集

{},F a b Q =+∈也是数域.有下列命题：

①整数集是数域；

②若有理数集Q M ?，则数集M 必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域.

其中正确的命题的序号是 （把你认为正确的命题的序号填填上）

（2008年福建省数学高考试题）

分析：对于整数集Z ，a=1,b=2时，

12b Z a =?,故①错；对于满足Q M ?的集合

M Q =?，1M +不是数域，②错；若P 是数域，则存在0a P a ∈≠且，依定义，2a,3a,4a,

L ,均是P 中元素，故P 中有无数元素，③正确；类似数集

{},F a b Q =+∈也是数域，

④正确，故选③，④ 点评：此题是以高等数学中“群、环、域”的知识考查高中数学中有关知识的问题，体现了高考数学与中学数学的和谐接轨，以高考数学知识为背景的问题，对已有的知识改造、重组创造“新知识”的问题，也成为高考试题的一大亮点。定义一个新概念，要求学生面对陌生情境，迅速提取有用信息，要善于挖掘概念的内涵与本质，并合理迁移运用已学的知识加以解决。这类问题较好地考查学生的转化能力、知识迁移能力以及学生探究性学习的潜能。

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